Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên tập)

Chủ đề 7

1

TÍCH VOÂ HÖÔÙNG & ÖÙNG DUÏNG
Vấn đề 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA
MỘT GÓC BẤT KÌ
KÌ TỪ
TỪ 00 ĐẾN 1800

sin

1. Định nghĩa các giá trị lượng giác
Cho ( OA, OM ) = α với 0° ≤ α ≤ 180° . Giả sử M ( x; y ) .

tang

A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT

T

• cos α = x = OH
cotang
B
S
• sin α = y = OK
M
K

–
–
90° < α < 180°
3. Quan hệ giữa các góc phụ nhau, bù nhau:
Hai góc phụ nhau: α và 90° − α
Hai góc bù nhau: α và 180° − α
sin ( 90° − α ) = cos α
sin (180° − α ) = sin α
cos ( 90° − α ) = sin α

cos (180° − α ) = − cos α

tan ( 90° − α ) = cot α

tan (180° − α ) = − tan α

cot ( 90° − α ) = tan α

cot (180° − α ) = − cot α

4. Các giá trị lượng giác của một số góc (cung) đặc biệt
Độ

0°

30°

45°

60°

cot

||

1

3
3

3
2
3
3

3

90°

120°

135°

150°

180°

3
2
1
−

③ tan x =

sin x
cos x

1
0

3
2
3
−
3
−

–1

0

||

5. Một số hệ thức cơ bản
① sin 2 x + cos 2 x = 1
④ cot x =

cos x
sin x

② tan x.cot x = 1
⑤ 1 + tan 2 x =

Dựa vào bảng trong phần tóm tắt lý thuyết
A B C
Lưu ý: với ∆ABC : 0° < , , < 90° và 0° < A, B, C < 180°
2 2 2
2. Tìm góc α khi biết giá trị lượng giác:
Sử dụng bảng các giá trị đặc biệt để tìm.
Lưu ý: −1 ≤ cos α ≤ 1 , 0 ≤ sin α ≤ 1 .

II - BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 1. Với những giá trị nào của góc α ( 0° ≤ α ≤ 180° ) thì:
a) sinα và cosα cùng dấu ?
b) sinα và cosα khác dấu ?
c) sinα và tanα cùng dấu ?
d) sinα và tanα khác dấu ?
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1.

Với những giá trị nào của góc α ( 0° ≤ α ≤ 180° ) thì:
sin α
a) sin α .cos α có giá trị âm ?
b)
có giá trị âm
cos α


Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = 2 sin 30° + 3cos 45° − sin 60°

b) B = 2 cos 30° + 3sin 45° − cos 60°

Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = a sin 0° + b cos 0° + c sin 90°
c) C = a 2 sin 90° + b 2 cos 90° + c2 cos180°

b) B = a cos 90° + b sin 90° + c sin180°
d) D = 3 − sin 2 90° + 2cos 60° − 3 tan 2 45°

2

e) E = 4a 2 sin 2 45° − 3 ( a tan 45° ) + ( 2a cos 45° )
Bài 6.

B
C
.cot
2
3

2

Tính giá trị các biểu thức sau:
a) sin x + cos x khi x bằng 0° , 135° , 120° .
b) 2sin x + cos 2 x khi x bằng 60° , 45° , 30° .
c) sin 2 x + cos 2 x khi x bằng 30° , 75° , 90° , 145° , 180° .


4
1
e) sin α = , 0° < α < 180°
f) cot α = − , 0° < α < 90°
5
2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ:

MS: HH10-C2




Bài 7.

Biết sin15° =

Bài 8.

Cho ∆OAB cân tại O có OA = a và các đường cao OH , AK . Giả sử AOH = α . Tính AK và
OK theo a và α .

Bài 9.

a) Cho sin α =

1
, với 90° < α < 180° . Tính cosα và tanα.
4

b) Cho cos α = −

2
. Tính sinα và tanα.
4

c) Cho tan α = 2 2 , với 0° < α < 90° . Tính sin α và cos α cosα.
3sin α − cos α
d) Cho tan α = 2 . Tính giá trị của biểu thức A =
sin α + cos α
2
cot α − tan α

A = cos 2 30° − sin 2 30° và
B = cos 60° + sin 45°
2 tan 30°
C=
và
D = − tan135°.tan 60°
1 − tan 2 30°

Bài 13.

Biết sin α =

Bài 14.

Biết sin x + cos x = m . Tính: a) sin x.cos x

2
cot α − tan α
. Tính giá trị các biểu thức C =
5
cot α + tan α

File word liên hệ:

b) sin 4 x.cos4 x
MS: HH10-C2


Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên tập)


(a + b)

2

(a + b)

= a 2 + 2ab + b 2
2

= a 2 + 2ab + b 2
2

a 2 + b 2 = ( a + b ) − 2ab

a 2 + b 2 = ( a − b ) + 2ab

3

= a3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 = a 3 + b3 + 3ab ( a + b )

3

= a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3 = a 3 − b3 + 3ab ( a − b )

(a + b)
(a − b)

2

a3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) = ( a + b ) − 3ab ( a + b )

d) ( sin x − cos x ) = 1 − 2sin x cos x

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ:

MS: HH10-C2


TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 10 – HÌNH HỌ
HỌC – TÍCH VÔ HƯ
HƯỚNG. HỆ
HỆ THỨ
THỨC LƯ
LƯỢNG


Chứng minh các đẳng thức sau trên điều kiện xác định của chúng:
a) sin 4 x − cos 4 x = sin 2 x − cos 2 x = 2sin 2 x − 1 = 1 − 2 cos 2 x
b) sin x.cos x (1 + tan x )(1 + cot x ) = 1 + 2 sin x cos x
c)

sin 2 x
cos 2 x
−
= sin x − cos x
cos x (1 + tan x ) sin x (1 + cot x )

cos x 
sin x 
1

d)  tan x +
 cot x +
=
1 + sin x 
1 + cos x  sin x cos x

Bài 16.

Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x :
a) C = sin 6 x + cos 6 x + 3sin 2 x cos 2 x
b) D = cos 2 x ( cos 2 x + 2sin 2 x + sin 2 x tan 2 x )
c) E = sin 4 x + 4 cos 2 x + cos 4 x + 4sin 2 x
d) F = 3 ( sin 8 x − cos8 x ) + 4 ( cos 6 x − 2sin 6 x ) + 6sin 4 x


cos x.tan x
− cos x.cot x
sin 2 x

)

J=

cos 2 x − sin 2 x
−1
sin 4 x + cos 4 x − sin 2 x

Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:
a) tan 2 x – sin 2 x = tan 2 x.sin 2 x

b) cot 2 x – cos 2 x = cot 2 x.cos 2 x

c) sin 4 x – cos 4 x = 2sin 2 x –1

d)

cot 2 x − sin 2 x
= sin 2 x.cos 2 x
2
2
cot x − tan x

f)

tan x sin x

Bài 19.

D=

H = sin 3 x (1 + cot x ) + cos 3 x (1 + tan x )

I = 1 – sin 2 x cot 2 x + 1 – cot 2 x
Bài 18.

sin x + tan x
− sin x.cos x
tan x

sin 2 x
cos 2 x
F = 1−
−
1 + cot x 1 + tan x

2

(

B=

1 − sin x
cos x
−
cos x 1 + sin x



File word liên hệ:

MS: HH10-C2


TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 10 – HÌNH HỌ
HỌC – TÍCH VÔ HƯ
HƯỚNG. HỆ
HỆ THỨ
THỨC LƯ
LƯỢNG

8

D – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VẤN ĐỀ 1
Câu 1.

[0H2-1] Giá trị của E = sin 36° cos 6° − sin126° cos84° là
A.

Câu 2.

1
.
2


[0H2-1] Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
A. cos 45° = sin 45° .
B. cos 45° = sin135° . C. cos 30° = sin120° . D. sin 60° = cos120° .

Câu 5.

[0H2-1] Tam giác ABC vuông ở A có góc B = 30° . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. cos B =

Câu 6.

1
.
3

B. sin C =

3
.
2

Câu 8.

1
.
2

D. cot α = cot (180° − α ) .

[0H2-1] Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây

A. 1 .

B.

2.

C.

3.

D. 0 .

Câu 10. [0H2-1] Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. sin (180° − α ) = − cos α .
B. sin (180° − α ) = − sin α .
C. sin (180° − α ) = sin α .

D. sin (180° − α ) = cos α .

Câu 11. [0H2-1] Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. sin 0° + cos 0° = 0 .
B. sin 90° + cos 90° = 1 .
C. sin180° + cos180° = −1 .

D. sin 60° + cos 60° =

3 +1
.
2


2

File word liên hệ:

C. 1 .

D. 0 .
MS: HH10-C2


Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên tập)

9

Câu 15. [0H2-1] Cho hai góc α
sin α cos β + sin β cos α
A. 0 .
B. 1 .

và

Câu 16. [0H2-1] Cho hai góc α
cos α cos β − sin β sin α
A. 0 .
B. 1 .

và

Câu 17. [0H2-1] Cho hai góc α
cos α cos β − sin β sin α

3
9
11
B. P = .
C. P = .
25
9

B. −

D. 2 .

với α + β = 90° , tìm giá trị của biểu thức:
C. −1 .

Câu 19. [0H2-2] Cho α là góc tù và sin α =
A. 3 .

β

D. 2.

D. P =

9
.
11

5
. Giá trị của biểu thức 3sin α + 2 cos α là

1
3
3
1
.
A. sin BAH =
.
B. cos BAH =
C. sin ABC =
.
D. sin AHC = .
2
2
2
3
Câu 23. [0H2-2] Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
A. sin 90° < sin150° .
C. cos90°30' > cos100°.

B. sin 90°15' < sin 90°30 ' .
D. cos150° > cos120° .

Câu 24. [0H2-2] Trong các hệ thức sau, hệ thức nào không đúng?
2
2
A. ( sin α + cos α ) = 1 + 2 sin α cos α .
B. ( sin α − cos α ) = 1 − 2sin α cos α .
C. cos 4 α − sin 4 α = cos 2 α − sin 2 α .

D. cos 4 α + sin 4 α = 1 .

1
Câu 28. [0H2-2] cos α bằng bao nhiêu nếu cot α = − ?
2
5
5
5
A. ±
.
B.
.
C. −
.
5
2
5
File word liên hệ:

D.

1
.
3

1
D. − .
3
MS: HH10-C2


TÀI LIỆ

A

xO y = 0 °

A

D

0 ° ≤ xOy ≤ 180 °

B

C

D

xO y = 180 °

C

A
D

B

B

C

b

② a , b = 0° ⇔ a , b cùng hướng

⑤ Nếu a = 0 , b = 0 thì góc xen giữa là tùy ý từ 0° đến 180° .

2. Tích vô hướng của hai véctơ:
• Định nghĩa: a.b = a . b cos a , b .

( )

2

Đặc biệt: ① a.a = a 2 = a ;

2

② AB = AB 2 ;

③ 0.a = a.0 = 0, ∀a

( )
⑤ ( a , b ) = 180° ⇔ a , b ngược hướng: a.b = − a . b

④ a , b = 0° ⇔ a , b cùng hướng: a.b = a . b (bằng tích độ dài)

(bằng âm tích độ dài)

• Tính chất: Với a , b , c bất kì và ∀k ∈ ℝ , ta có:

(


⑨ a.b < 0 ⇔ ( a , b ) là góc tù
⑦ a2 − b 2 = a − b

)

2

= a 2 − 2ab + b 2

( )
⑩ a.b = 0 ⇔ ( a , b ) là góc vuông
⑧ a.b > 0 ⇔ a , b là góc nhọn

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:
Cho hai véctơ a = ( a1 ; a2 ) và b = ( b1; b2 ) . Khi đó:
① a.b = a1 .b1 + a2 .b2

( )

④ cos a; b =

a.b
a .b

② a = a12 + a22

=

a1b1 + a2 b2
a12 + a22 . b12 + b22

( )

( )

xác định chính xác góc α = a ; b sau đó dùng công thức: a.b = a . b cos a , b

Hướng 2: Sử dụng các tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai
vectơ.
Hướng 3: Nếu đề bài cho dạng tọa độ a = ( a1 ; a2 ) và b = ( b1; b2 ) thì:
a.b = a1b1 + a2b2
Hướng 4: Trong ∆ABC, nếu biết độ dài 3 cạnh:
2
2
1
BC 2 = BC = AC − AB ⇒ AC. AB = ( AB 2 + AC 2 − BC 2 )
2
Chú ý: Khi tính tích vô hướng của hai vectơ ta thường:
Biến đổi các vectơ về chung gốc để việc tìm góc giữa 2 vectơ dễ dàng hơn.
Ví dụ: AB.BC = − BA.BC
Đưa về các vectơ cùng phương hoặc vuông góc.
Ví dụ: nếu ABCD là hình chữ nhật (hình vuông) thì: AB.AC = AB. AB + BC

(

)

(

)



)

(

)

(

)

• cos A = cos AB, AC =

A

B

C

II - BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 6. Cho tam giác đều ABC , đường cao AH . Hãy vẽ và tính các góc của các cặp véctơ sau:

a)

( AB, AC )

(

b) AB, BC


THỨC LƯ
LƯỢNG

12

Ví dụ 7. Cho tam giác ABC đều cạnh a , đường cao AH . Tính các tích vô hướng sau:

a) AB. AC

(

b) AH . AC c) AB. AB + AC

)

(

d) AC. AC − AB

)

(

d) AB + AC

)( AC − AB )

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ:

MS: HH10-C2


Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên tập)

13

Ví dụ 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tính góc giữa hai vectơ a và b trong các trường hợp sau:

a) a = ( 2; −3) , b = ( 6; 4 ) .

b) a = ( 3; 2 ) , b = ( 5; −1) .

(

)

(

)

c) a = −2; −2 3 , b = 3; 3 .


c) AB.BD

(
)(
)
f) ( AB + AC )( BC + BD + BA )
h) ( AB + AC + AD )( DA + DB + DC )

e)

d) AB + AD BD + BC

( AC − AB )( 2 AD − AB )

g) OA. AB
Bài 23.

)

a) AB. AC

Cho ∆ABC , trên cạnh BC lấy 2 điểm E , F sao cho BE = EF = FC . Đặt AE = a , EB = b .
a) Biểu thị AB, BC , AC theo các véctơ a và b .

( )

b) Tính AB. AC nếu a = 5 , b = 2 , a , b = 120° .
Bài 24.

( )

HỌC TẬ
TẬP TOÁN 10 – HÌNH HỌ
HỌC – TÍCH VÔ HƯ
HƯỚNG. HỆ
HỆ THỨ
THỨC LƯ
LƯỢNG

14

Dạng 2. Tính độ dài của một đoạn thẳng
I - PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ta thường sử dụng:
2

(

)

2

• Quy tắc biến đổi: BC 2 = BC = AC − AB tức là biến đổi phép tính độ dài đoạn
thẳng thành phép tính tích vô hướng.
• Công thức tọa độ: AB = AB =

2

( xB − xA ) + ( yB − yA )

2

III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 28.

Cho ∆ABC có AB = 2 , AC = 3 và A = 120° .
a) Tính độ dài BC và trung tuyến AM .
b) Gọi I , J là 2 điểm định bởi: 2 IA + IB = 0 , JB − 2 JC = 0 . Tính BI .BJ và độ dài IJ .

File word liên hệ:

MS: HH10-C2


Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên tập)

15

Dạng 3. Chứng minh vuông góc
I - PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ta có thể lựa chọn một trong các hướng sau:
Hướng 1: Dùng tính chất tích vô hướng:
a = 0

a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ a . b cos a , b = 0 ⇔ b = 0

cos a , b = 0

( )

( )



MS: HH10-C2


TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 10 – HÌNH HỌ
HỌC – TÍCH VÔ HƯ
HƯỚNG. HỆ
HỆ THỨ
THỨC LƯ
LƯỢNG

16

Ví dụ 16. Trong hệ trục tọa độ ( O, i , j ) , cho a = (1; 2 ) và b = ( x; −1) .

a) Tìm x để a và b vuông góc với nhau.

b) Tìm x để độ dài của a và b bằng nhau.

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

b) Chứng minh: PN =  AC − AB  .
3
a

c) Tìm x theo a để AM ⊥ NP .

Bài 31.

Cho điểm I nằm trong đường tròn tâm O . Kẻ qua I hai dây cung AB và CD vuông góc vớ i
nhau. Gọi M là trung điểm của AD . Chứng minh rằng: BC ⊥ IM .

Bài 32.

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tạo O . Gọi H , K lần lượt là trực
tâm của tam giác ABO và CDO ; I , J lần lượt là trung điểm của AD , BC . Chứng minh:
HK ⊥ IJ .

Bài 33.

Cho ∆ABC đều, trên BC , CA , AB lấy các điểm D , E , F thỏa 3DB = BC , 3CE = 2CA và
15 AF = 4 AB . Chứng minh: AD ⊥ EF .

Bài 34.

Cho hình vuông OACB và một điểm M thuộc OC . Kẻ đường PP′ qua M và vuông góc với
OA , đường QQ′ qua M và vuông góc với OB .
a) Chứng minh: AM = PQ .

Bài 35.


.
2

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

Ví dụ 18. Cho 4 điểm A , B , C , D bất kì.

a) Chứng minh rằng AB.CD + BC. AD + CA.BD = 0
b) Suy ra rằng 3 đường cao của một tam giác bất kì đòng qui tại một điểm gọ i là trực tâm.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ:

MS: HH10-C2


Bài 38.

Cho ∆ABC , gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh AB. AC = MA2 − MB 2 .

Bài 39.

Cho 4 điểm A , B , C , D tùy ý.
a) Chứng minh rằng AB.CD + AC.BD + AD.BC = 0 . Suy ra cách chứng minh định lý “ba
đường cao trong tam giác đồng qui”.
b) Chứng minh rằng: AB 2 + CD 2 − BC 2 − AD 2 = 2CA.BD suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác
có hai đường chéo vuông góc.

Bài 40.

Cho ∆ABC có trọng tâm G . Lấy điểm M tùy ý.
a) Chứng minh: MA2 + MB 2 + MC 2 = 3MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2 .
1
1
b) Suy ra rằng: GA2 + GB 2 + GC 2 = ( a 2 + b 2 + c 2 ) ; OG 2 = R 2 − ( a 2 + b 2 + c 2 )
3
9
(Với O là tâm và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ; BC = a ,
AC = b , AB = c )

Bài 41.

Cho ∆ABC có trọng tâm H . Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh rằng:
1
1

Từ điểm P trong đường tròn kẻ 2 dây vuông góc APB và CPQ . Chứng minh rằng đường
chéo PQ của hình chữ nhật APCQ vuông góc với PD .

Bài 45.

Cho ∆ABC có AA′ , BB′ , CC ′ là các đường trung tuyến, G là trọng tâm, M là điểm tùy ý.
Chứng minh rằng:
a) AA′.BC + BB′.CA + CC ′.AB = 0 .
b) MA′.BC + MB′.CA + MC ′.AB = 0
1
AB 2 + BC 2 + CA2 )
(
2
1
d) MA.MB + MB.MC + MC .MA = MA′2 + MB′2 + MC ′2 − ( AB 2 + BC 2 + CA2 )
4
1
e) MA2 + MB 2 + MC 2 = MA′2 + MB′2 + MC ′2 + ( AB 2 + BC 2 + CA2 )
4

c) MA.MB + MB.MC + MC .MA = MA2 + MB 2 + MC 2 −

File word liên hệ:

MS: HH10-C2


Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên tập)

19

.
4
4

AB 2
.
4

Khi đó:
Nếu l < 0 : M không tồn tại
Nếu l = 0 thì M ≡ I : là trung điểm AB
Nếu l > 0 : M thuộc đường tròn tâm I , bán kính R = l .
Lưu ý các phép biến đổi vectơ, quy tắc trung điểm, trọng tâm, đặc biệt là tâm tỉ cự
I thì ta phải chọn đặt và chứng minh I cố định rồi chèn I vào biểu thức vectơ
tương ứng. nếu không có tâm tỉ cự của hệ điểm thì chọn tâm tỉ cự của bộ phận điểm.
• Dạng 3: α MA2 + β MB 2 + γ MC 2 = k , với α + β + γ ≠ 0 , A , B , C cố định và k
không đổi.
Gọi I là điểm cố định thỏa α IA + β IB + γ IC = 0 .
Ta có: α MA2 + β MB 2 + γ MC 2 = k ⇔ (α + β + γ ) MA2 = k − (α IA2 + β IB 2 + γ IC 2 )
MI =
2

k − (α IA2 + β IB 2 + γ IC 2 )

α + β +γ

. Đặt h =

k − (α IA2 + β IB 2 + γ IC 2 )



MS: HH10-C2


TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 10 – HÌNH HỌ
HỌC – TÍCH VÔ HƯ
HƯỚNG. HỆ
HỆ THỨ
THỨC LƯ
LƯỢNG

20

II - BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 19. Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp những điểm M sao cho:

a) AM .AB = AB. AC

b) MA.MB + MA.MC = 0

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................


MS: HH10-C2


Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên tập)

21

Ví dụ 21. Cho ∆ABC cố định, G là trọng tâm.

a) Chứng minh: MA.MB + MB.CA + MC. AB = 0
b) Chứng minh rằng với mọ i điểm M ta có: MA2 + MB 2 + MC 2 = 3MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2
c) Với vị trí nào của điểm M thì tổng MA2 + MB 2 + MC 2 có giá trị bé nhất và giá trị đó bằng
bao nhiêu?
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN

)(

)

a) MA.MB = MA.MC

b) MA + MB MA + MC = 0

c) MA.MB = k (với k là số không đổi)

d) MA.MB = MC 2

e) MA2 + MA.MB + MA.MC = 0
f) MA2 + MB 2 + MC 2 = k (với k là số không đổi)
g) MA2 + 2 MB 2 + 4 MC 2 = k (với k là số không đổi)
Bài 48.

Cho hình bình hành ABCD , tâm O , M là điểm tùy ý.
a) Chứng minh rằng: MA2 − MB 2 + MC 2 = MD 2 − 2 ( OB 2 − OA2 )
b) Giả sử M di động trên đường thẳng d, xác định vị trí của M để MA2 − MB 2 + MC 2 đạt giá
trị nhỏ nhất.

Bài 49.

Cho ∆ABC đều cạnh bằng 6 (cm). Lấy M là một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
Đặt S = MA2 − MB 2 − MC 2 . Tìm vị trí của điểm M để S đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất ?

File word liên hệ:

MS: HH10-C2

=

a1b1 + a2 b2
a12 + a22 . b12 + b22

( )

• a ⊥ b ⇔ cos a , b = 0 ⇔ a1b1 + a2b2 = 0
• AB = AB =

2

( xB − xA ) + ( yB − yA )

2

• Khi tính tích vô hướng 2 véctơ, ta nên để ý đến chiều nhằm xác định đúng góc của
chúng.

II - BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 22. a) Cho a = ( −1; 2 ) . Tìm tọa độ véctơ b cùng phương với a biết b = 10 .

b) Cho a = ( 2; −3) . Tìm véctơ b cùng phương với a biết a.b = −26 .
c) Cho a = ( −2;1) . Tìm tọa độ véctơ b vuông góc với a biết b = 5 .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................


23

Dạng 7. Tìm các điểm đặc biệt trong tam giác
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Để tìm điểm M ( x; y ) ta dùng quan hệ giữa các vectơ: vuông góc, cùng phương, bằng

nhau, … để thiết lập phương trình theo 2 ẩn x , y .
2. Trang ∆ABC , ta cần nhớ các thuộc tính của một số điểm sau:
Trọng tâm G ( xG ; yG ) là giao điểm ba đường trung tuyến:
x A + xB + xC
y + y B + yC
; yG = A
3
3
là giao điểm ba đường cao:
xG =

Trực tâm H ( x H ; y H )

Ta có

A

AH ⊥ BC ⇔ AH .BC = 0
BH ⊥ AC ⇔ BH . AC = 0

H

 AH .BC = 0

IA
=
IC

Cách 2: Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AC .

M

B

Ta có IM ⊥ BC ⇔ IM .BC = 0
IN ⊥ AC ⇔ IN . AC = 0

 IM .BC = 0
Từ đó ta có hệ phương trình: 
 IN . AC = 0
Giải hệ trên ta tìm được xI , yI .
Tìm D và E lần lượt là chân đường phân giác trong và phân
giác ngoài của góc A :
x
• Chân đường phân giác trong D ( xD ; yD ) :

DB
AB
AB
=−
⇒ DB = −
⋅ DC
AC
AC

HƯỚNG. HỆ
HỆ THỨ
THỨC LƯ
LƯỢNG

24

Tâm đường tròn nội tiếp K ( x K ; y K ) là giao điểm ba đường phân giác:

• Bước 1: ∆ABC : Tìm điểm D là chân đường phân giác
trong của góc A :
DB
AB
AB
=−
⇒ DB = −
⋅ DC
AC
AC
DC
• Bước 2: ∆ABD : Tìm điểm K là chân đường phân giác
trong của góc B :

A

K

B
D
KA

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

Bài 52.

Cho ∆ABC , biết A ( 4;3) , B ( –1; –1) , C ( 2; –4 ) .
a) Tìm tọa độ trực tâm H của ∆ABC .

b) Tìm điểm K là chân đường cao kẻ từ C .

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ:

MS: HH10-C2