CHUYÊN ĐỀ 3 - BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐỒ THỊ
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Sự tương giao: Cho 2 đồ thị của hàm số: y  f  x  , y  g  x 
Phương trình hoành độ giao điểm: f  x   g  x   f  x   g  x   0 là một phương trình đại số, tùy theo số
nghiệm mà có quan hệ tương giao. Vô nghiệm: không có điểm chung, 1 nghiệm (đơn): cắt nhau, 1 nghiệm kép:
tiếp xúc, 2 nghiệm phân biệt: 2 giao điểm,…
Chú ý:
1) Phương trình bậc 3: ax3  bx 2  cx  d , a  0





Nếu có nghiệm x  x0 thì phân tích:  x  x0  Ax 2  Bx  C  0
Nếu đặt hàm số f  x   ax3  bx 2  cx  d thì điều kiện: có 1 nghiệm: đồ thị không có cực trị hoặc

yC Ð . yCT  0 , có 2 nghiệm: yC Ð . yCT  0 , có 3 nghiệm phân biệt: yCÐ . yCT  0 .
 yC Ð . yCT  0

Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm dương khi:  xC Ð , xCT  0
a. f 0  0
 

2) Hai điểm trên 2 nhánh đồ thị y 

g  x
, ta thường lấy hai hoành độ k  a và k  b với a, b  0 .
xk

Góc và khoảng cách:


Ax0  By0  C
A2  B 2

- Đồ thị hàm bậc 3: y  f  x  cắt trục hoành tại 3 điểm A, B, C theo thứ tự có khoảng cách AB  BC tức
là 3 nghiệm x1 , x2 , x3 lập cấp số cộng thì điểm uốn thuộc trục hoành.

Trang 1


- Phương trình trùng phương ax 4  bx 2  c  0, a  0 có 4 nghiệm phân biệt lập cấp số cộng khi 0  t1  t2 ,

t2  9t1 .
Tiếp tuyến và tiếp xúc:
- Tiếp tuyến tại điểm M  x0 ; y0  của đồ thị  C  : y  f  x 

y  y0  f '  x0  x  x0  , hệ số góc: f '  x   k  tan  0 x, t 
- Điều kiện 2 đồ thị y  f  x  và y  g  x  tiếp xúc là hệ phương trình:

 f  x   g  x 
có nghiệm

f
'
x

g
'
x




là hàm số lẻ.
- Điều kiện  C  nhận d : x  a làm trục đối xứng;

f  a  x   f  a  x  , a  x, a  x  D , hoặc chuyển trục bằng phép tịnh tiến đến S  a;0  là hàm số
chẵn.
Quỹ tích điểm M:
Tìm tọa độ x, y của M, khử tham số giữa x và y.
Trang 2


Giới hạn: Chuyể ndk nếu có của tham số về điều kiện của x (hay y).
Đặc biệt: Nếu M  x; y   V  thì chỉ cần tìm x rồi rút tham số để thế, khử tham số.

2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 3.1: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y  x 4  2m2 x 2  1 luôn cắt đường thẳng y  x  1 tại đúng hai
điểm phân biệt với mọi giá trị m.
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

x 4  2m2 x 2  1  x  1  x  x3  2m2 x  1  0
 x  0 hoặc x3  2m2 x  1  0
Xét hàm số f  x   x3  2m2 x  1 . Ta có f  0   1  0 và

f '  x   3x 2  2m2  0 nên hàm số này đồng biến trên ¡ .






 m  1 hoặc m  2, m  3


f

1

0



m

3

0



b) D  ¡ . Ta có y '  3x2  3m, y '  0  x 2  m .
Điều kiện  Cm  cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt là đồ thị có CĐ, CT và yC Ð . yCT  0
Trang 3




  m  0

 m  0 và yC Ð . yCT  0  f  m . f


mx  2m  2 

2x 1
  mx  2m  2  x  1  2 x  1, x  1
x 1

 mx 2  3mx  2m  3  0, x  1

1

a) Đường thẳng  d m  cắt đường cong đã cho tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai
nghiệm phân biệt khác −1.


m  0
a  0
 2
 m  0 hoặc m  12 .



0,
g

1

0


m

a) Phương trình hoành độ giao điểm:

x 4  3 x 2  2  m  x 4  3x 2  2  m  0
Với mọi m  0 thì đường thẳng y  m cắt  C  tại hai điểm phân biệt A  xA ; m  và B  xB ; m  đối xứng
qua Oy, xA  xB .

uuur uuur

Tam giác OAB vuông tại O nên OAOB
.
 0  xA .xB  m2  0
Mà xA  xB  0 nên xA  m; xB  m





Do đó m4  3m2  m  2  0   m  2  m3  2m2  m  1  0

 m  2 (vì m  0 )
b) Phương trình hoành độ giao điểm:

x2
 3x  m  2 x 2   m  3 x  m  0, x  1 .
x 1
Điều kiện có 2 nghiệm phân biệt khác 1:


 m 2  2m  9  0
  0

2

Vậy giá trị x1  x2 nhỏ nhất khi m  1 .
Trang 5


Bài toán 3.5: Tìm các giá trị của m sao cho
a) Đồ thị của hàm số y  x 4   m  1 x 2  m cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài
bằng nhau.
b) Đường thẳng d : y   x  m cắt  C  : y 

2x 1
tại hai điểm A, B mà AB  10 .
x 1
Hướng dẫn giải

a) Hoành độ giao điểm của đường cong và trục hoành là nghiệm phương trình:

x4   m  1 x2  m  0  x 2  1 hoặc x 2  m .
Điều kiện m  0 và m  1 . Khi đó, phương trình có 4 nghiệm

x  1, x  1, x   m , x  m

Đường cong cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi:

m

m  3 hoặc

1

Ta có AB  10   x2  x1    x2  x1   10   x2  x1   5
2

2

2

  x1  x2   4 x1 x2  5   m  1  4  m  1  5  0
2

2

 m  1  1  m  0
(thỏa mãn).


m  1  5
m  6
Vậy m  0 hay m  6 .

Trang 6


x 2  3x
Bài toán 3.6: Chứng minh các đường thẳng d : y  m  x luôn cắt đồ thị  C  : y 
tại 2 điểm M, N
x 1
và cắt 2 tiệm cận của  C  tại P, Q đồng thời hai đoạn MN, PQ có cùng trung điểm.
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm d và  C  :

a) y 

x  2 biết tung độ tiếp điểm là y0  2
1
3

b) y   x3  2 x 2  3x  1 song song với d : y 

3
x9
4

Hướng dẫn giải





a) Ta có phương trình tiếp tuyến tại điểm x0 , f  x0  :

y  f '  x0  x  x0   f  x0 
Vì y0  2 

f ' x 

x  2  2  x0  2

1
1
nên f '  x0   .

hoặc x0   .
2
2
Trang 7


Với x0  

3
29
37
5
thì f  x0  
nên có tiếp tuyến y  x 
4
24
12
2

Đăng ký mua file word

trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Với x0  

3
3

b) Lấy đạo hàm 2 vế, ta có:

4 f 1  2 x  . f ' 1  2 x   1  3 f 2 1  x . f ' 1  x 
Thế x  0 : 4 f 1 . f ' 1  1  3 f 2  x  . f ' 1

*

Thế x  0 vào f 2 1  2 x   x  f 3 1  x   f 2 1   f 3 1

 f 2 1 1  f 1   0  f 1  0 hoặc f 1  1 .
Với f 1  0 thì * : 0  1 (loại)
Với f 1  1 thì * : 4 f ' 1  1  3 f ' 1  f ' 1 
Vậy phương trình tiếp tuyến y  

1
.
7

1
 x  1
7
Trang 8


Bài toán 3.9: Viết phương trình tiếp tuyến của  C  hàm số:
a) y 

x 3
biết khoảng cách từ tâm đối xứng của  C  đến tiếp tuyến bằng 2 2 .
x 1

 4 x   x0  1 y   x02  6 x0  3  0 nên
2

4   x0  1   x02  6 x0  3
2

d  I ,   2 2 

16   x0  1

4

2 2
2

4
2
2
  x0  1  8  x0  1  16  0   x0  1  4  0



 x0  1
2
  x0  1  4  
 x0  3
Với x0  1 ta có phương trình tiếp tuyến y  x  2
Với x0  3 , ta có phương trình tiếp tuyến y  x  6 .
b) Ta có y '  3x 2  6 x .
Tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm phân biệt A, B sao cho OB  9OA nên hệ số góc của

6

Hướng dẫn giải
Ta có y ' 

3

 x  2

2

,x  2

Tiếp tuyến d với  C  tại M  x0 ; y0  , x0  0

d:y

3

 x0  2 

2

 x  x0  

x0  1
x0  2

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với Ox và Oy.


6
 x0  2 

 x02  x0  0
 x0  1  x0  0
 2

 x0  3x0  4  0
 x0  4  x0  1
Chọn x0  0 nên có hai tiếp tuyến là:

d1 : y  

1
1
1
 x  1 ; d2 : y   x  .
3
12
6

Bài toán 3.11: Viết phương trình tiếp tuyến của  C  hàm số:
a) y  x3  5x 2  2 và đi qua A  0;2 
b) y 

1  m  x  2  m , m  0 và đi qua M
mx  m  1

 1; 1
Hướng dẫn giải

thì có tiếp tuyến y  
x2
4
2

b) Ta có y ' 

1

 mx  m  1

2

,x 

1 m
m

Gọi d là tiếp tuyến với  Cm  tại điểm T  x0 ; y0  bất kỳ.

d : y  y '  x0  x  x0   y0

y

1

 mx0  m  1

 x  x0  



2



2

 0  x0  1 (vì m  0 )

2

 mx0  m  1

Vậy phương trình tiếp tuyến d : y   x  2 .
Bài toán 3.12: Lập phương trình tiếp tuyến chung của 2 đồ thị:

 P1  : y  x2  5x  6 và  P2  : y   x2  5x  11
Hướng dẫn giải

 P1  : y  f  x   x2  5x  6  f '  x   2x  5

 P2  : y  g  x    x2  5x  11  g '  x   2x  5
Gọi tiếp tuyến chung là y  ax  b và M1  x1; f  x1   , M 2  x2 ; g  x2   là 2 tiếp điểm tương ứng. Ta có hệ:

Trang 11


 f  x1   ax1  b
 x12  5 x1  6  ax1  b


sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai đường tiệm
x2

cận của A, B với AB  2 5 .
Hướng dẫn giải
Phương trình tiếp tuyến tại M  x0 ; y0    C  , x0  2

d:y

2

 x0  2

2

 x  x0  

2 x0  2
x0  2



Giao điểm của d với tiệm cận đứng x  2 là A  2;



2 x0 
;
x0  2 


2

5

 x0  2 2  1
 x0  1; x0  3
  x0  2   5  x0  2   4  0  

 x  0; x  4
 x0  2 2  4
0
 0

4

2

Vậy M  0;1, M 1;0 , M 3;4 , M 4;3  .
Trang 12


Bài toán 3.14: Cho hàm số y  f  x   x 4  2 x 2 có đồ thị  C  . Trên đồ thị  C  lấy điểm phân biệt là A và B
có hoành độ lần lượt là a, b. Tìm điều kiện của a, b để tiếp tuyến của  C  tại các điểm A và B song song với
nhau.
Hướng dẫn giải
Ta có f '  x   4 x3  4 x . Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B, a  b . Hệ số góc của tiếp tuyến của

 C  tại A và B lần lượt là:
k A  f '  a   4a3  4a,


'
a

f
b

bf
'
b










3a  2a  3b  2b


Giải hệ này, ta được nghiệm là  a; b    1;1 , 1; 1
Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của  C  tại A và B song song với nhau là a 2  ab  b2  1 ,

a  1 , a  b .
Bài toán 3.15: Tiếp tuyến T  của  H  : y 

1
tại điểm M có hoành độ x  a  2 , cắt trục hoành Ox tại A


Trang 13


Cho y A  0 thì

xa

 a  2

2



1
 x A  2a  2 .
a2

Giao điểm B với đường thẳng d : x  2 .
Cho xB  2 thì yB 

2  a

 a  2

2



1

S

1
1
2
IA.IB  2a  2  2
 0  2 : không đổi
2
2
a2

x 2  3x  3
Bài toán 3.16: Cho hàm số y 
. Chứng minh rằng qua điểm M  3; 1 vẽ được hai tiếp tuyến với
x 1
đồ thị và hai tiếp tuyến đố vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải
Phương trình đường thẳng qua M  3; 1 hệ số góc là a là y  a  x  3  1, đường thẳng là tiếp tuyến với
đồ thị khi hệ sau có nghiệm:

 f

 f

 x 2  3x  3
 a  x  3  1

 x  g  x
 x 1
 2




1 2  4

 1  1  1

2

 1

Vậy 2 tiếp tuyến qua M vuông góc với nhau.
Bài toán 3.17: Cho hàm số y   x3  3x 2  2  C  . Tìm trên  C  những điểm mà qua đó chỉ kẻ được một
tiếp tuyến với  C  .
Hướng dẫn giải
Giả sử M  x0 ; y0  là một điểm trên  C  . Giả sử tiếp tuyến  t  kẻ từ M đến  C  tiếp xúc với  C  tại

N  x1; y1  . Khi đó phương trình của  t  có dạng: y  y1   3x12  6 x1   x  x1 



 x

 x1 

  x1  x0   2 x1  x0  3  0  x1  x0 hay x1 

3  x0
2


Giả sử d là tiếp tuyến của  C  thì hệ sau có nghiệm.

Trang 15


1

k  x  1  x  1  x  1

1 
1

  x  1 1 
  x 1

2
1
  x  1 
x 1
k  1 


2

 x  1



1
1

x






4 x  4 x  1  1

2
 2
4
2

 x  2 x  1  0
 x  1  0


 x  1 .
3
2

4
x

4
x

0



x

 x
2 2

x2
x2

2 2

 2
3
6
 x  3 x    3x 
x  




2  x  2 2
 2 2   x  2 


1
 2

Trang 16



3
3
nên phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm chung là y  x .
2
2

Bài toán 3.21: Tìm tham số để đồ thị hàm số
a)

 C  : y  x3  1  k  x  1 tiếp xúc với trục hoành

x 2   m  2  x  2m  2
b)  C  : y 
có tiệm cận tiếp xúc với đường cong: y  x3  3x 2  8x .
x2
Hướng dẫn giải
a) Đồ thị  C  tiếp xúc với trục hoành ứng với k sao cho:

k  3
3

y  0
 x  1  k  x  1  0
 2


k  3
y
'


 2

2


1  3x  6 x  8
x  2x  3  0

m  x3  3x 2  9 x

 x  1  x  3
Với x  1 , ta có m  5 và với x  3 thì m  27
Vậy có hai giá trị m cần tìm là m  5 , m  27 .
Bài toán 3.22: Cho hàm số y  x3  3x  2  C  . Xét 3 điểm A, B, C thẳng hàng và thuộc  C  . Gọi A ', B ', C '
là giao điểm của  C  với tiếp tuyến của  C  tại A, B, C. Chứng minh rằng A ', B ', C ' thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm A  xA ; y A  có dạng:

y   3xA2  3  x  xA   y A
Trang 17


Phương trình hoành độ giao điểm của  C  và tiếp tuyến có dạng:

 3x

2
A

 3  x  x A   y A  x 3  3 x  2

x  3m

. Tìm m để góc giữa 2 tiệm cận bằng 45°.

Hướng dẫn giải
Ta có: y  mx  2 

6m  2
1
,m 
x  3m
3
Trang 18


Khi m  0 thì đồ thị có TCĐ và TCN vuông góc: loại
Khi m  0 thì đồ thị có tiệm cận đứng: x  3m và tiệm cận xiên: y  mx  2 .
Hai tiệm cận hợp nhau góc 45° khi tiệm cận xiên hợp với trục hoành một góc 45°  m  1 .
Bài toán 3.24: Tìm m để đường thẳng y  2m cắt đồ thị hàm số y 

x 2  2mx  1
tại hai điểm phân biệt M và
x 1

N sao cho OM vuông góc với ON.
Hướng dẫn giải
Đường thẳng y  2m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm M và N khi phương trình hoành độ có 2 nghiệm phân
biệt x1 , x2 khác 1:

x 2  2mx  1

4 x2  5x  4
Bài toán 3.25: Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M bất kỳ thuộc đồ thị  C  : y 
đến 2
x2
tiệm cận là một hằng số.
Hướng dẫn giải

4 x2  5x  4
2
y
 4x  3 
nên TCĐ  : x  2 ,
x2
x2
TCX:  ' : y  4 x  3  4 x  y  3  0




Với M  x;4 x  3 

2 
   C  , khoảng cách đến 2 tiệm cận:
x2

d  M ,   .d  M ,  '  x  2 .

2
2


d ' : y  2  m  1 x  m  1 .
3
3

Điều kiện CĐ, CT cách đều d : y  2 x là d ' hoặc song song với d hoặc d đi qua trung điểm I 1; m  1
của đoạn nối CĐ, CT.

1
1

2  m  1  2, m  1  0 hoặc m  1  2
3
3

 m  0 hoặc m  1 (chọn)
Bài toán 3.27: Chứng minh tiếp tuyến tại điểm M bất kỳ thuộc đồ thị  C  : y 

1
x  4 x 2 cắt trục tung Oy
2

tại một điểm A cách đều gốc O và tiếp điểm M.
Hướng dẫn giải
Với điều kiện x  4 x 2  0  0  x 

1
1  8x
thì: y ' 
4
4 x  4x2

2
x0  4 x02 
Ta có: AM   x0  0   
2
4 x0  4 x02









2

x02
 AO : đpcm
16  x0  4 x02 

Bài toán 3.28: Tìm các điểm M thuộc  C  : y 
cận của  C  ngắn nhất.

x 1
sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm
x 1

Hướng dẫn giải

Trang 20




4

 x  1

2

4

  x  1  2  x  1  2 .
2

 x  1



2

2





Vậy M1 1  2;1  2 , M 2 1  2;1  2 .

x 1
có đồ thị  C  . Tìm điểm M trên đồ thị  C  sao cho tổng khoảng cách



1 
2
4 
 3  x0 
 2 x0 

x0  1
x0  1 
5



1
2
4
3
2
2 x0 
 3  x0 

x0  1 
x0  1
x0  1
x0  1
5
5




Hướng dẫn giải
Đồ thị y 




Gọi M  x;

4x  3
có TCĐ  : x  3 , TCN  ' : y  4 .
x 3
4x  3 
   C  , ta có d  M ;    d  M ;  '
x 3 

 x 3 

4x  3
9
4  x3 
2 9 6
x 3
x 3

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x  3 

9
2
  x  3  9 , do đó có 2 điểm M  6;7  và M '  0;1 .

d  x

x 1
2
2
 x 1
 2   x  1 
 2  2 2
x 1
x 1
x 1

Dấu = xảy ra khi x  1 

2
2
  x  1  2  x  1  2
x 1



 

Vậy có 2 điểm M 1  2;1  2 , M ' 1  2;1  2
Bài toán 3.32: Tìm điểm M thuộc đồ thị  C  : y 



x2  3
có tổng khoảng cách đến 2 trục bé nhất.

x2




3
2

Xét điểm A  0;    C  thì d 
Khi đó

3
3
3
, do đó min d  nên chỉ xét các điểm có hoành độ x  .
2
2
2

x2  3
x2  3
 0 nên d  x 
.
x2
x2
Trang 22


x2  3
2 x2  8x  7

0
Nếu   x  0 thì d  g  x    x 
2
x2
2
 x  2
 3
 2




Do đó g nghịch biến trên   ;0   g  x   g  0  
So sánh thì min d 

3
.
2

3
 3
tại M  A  0;  .
2
 2

Bài toán 3.33: Tìm hai điểm trên 2 nhánh đồ thị  C  :

y

x2  x  1

a b

  ab  
2

2

2
1 
2
1 
2

  a  b  2 
 2 2   4ab  2 
 2 2
ab a b 
ab a b 


Trang 23


1 

 8  4  2ab    8  4.2 2 .
ab 

Dấu = xảy ra khi a  b và 2ab 






4
4
4
4
2
2
2
2


Bài toán 3.34: Tìm điểm M thuộc  P  : y  f  x   3x 2  8x  9 và N thuộc  P ' : y  g  x   x 2  8 x  13
sao cho MN bé nhất.
Hướng dẫn giải
Ta có khoảng cách MN bé nhất khi 2 tiếp tuyến tại M và N song song với
nhau và chúng vuông góc với đoạn MN.



 



Gọi M x; f  x  , N x1; g  x1  thì f '  x   g '  x1 

 6 x  8  2 x1  8
 x1  3x

nên  C  có TCĐ: x  3 và TCX: y  x  1 , do đó giao điểm 2 tiệm cận I  3;4  .
x 3
uur  x  X  3
Chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI : 
. Thế vào  C  thì được:
y  Y  4

a) Ta có y  x  1 

Trang 24


Y  4  X  3 1

5
5
Y  X 
X 33
X

Vì Y  F  X   X 

5
là hàm số lẻ  đpcm.
X



b) y '  4 x3  12 x 2  8 x  4 x x 2  3x  2



4
. Gọi E  x1; y1  , F  x2 ; y2  theo đề bài:
x 1

 x1  x2  0
 x1  x2  0
x  x  0


 1 2
4
4

 y1  y2  5
 x1 x2  9
 x1  x2  4  x  1  x  1  5
1
2

Do đó x1   x2 , x12  9 nên E  3; 2  và F  3;7  .
Bài toán 3.37: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y 

x2  2 x  2
đối xứng nhau qua đường thẳng
x 1

d : y  x  3.
Hướng dẫn giải
Xét đường thẳng d ' vuông góc với d thì d ' : y   x  b .