t
Ch¬ng III.
D·y sè
–
cÊp sè céng vµ cÊp sè nh©n
47
t
Ngày soạn: 05/12/2008 Tiết pp:
37-38
Đ 1.
phơng pháp quy nạp toán học
I. mục tiêu.
1. Kiến thức: - Học sinh nắm đợc các bớc chứng minh bài toán bằng phơng pháp quy nạp.
2. Kỹ năng: - Học sinh chứng minh đợc bài toán bằng phơng pháp quy nạp.
3. T duy : T duy các vấn đề của toán học một cách logic có hệ thống.
4. Thái độ: Tự giác tích cực trong học tập.
II. Chuẩn bị phơng tiện dạy học.
1. Thực tiễn:
2. Ph ơng tiện : Giáo án, SGK, thớc kẻ, .
III. Phơng pháp dạy học. Gợi mở - vấn đáp - đan xen thảo luận nhóm
IV. Tiến trình bài học và các hoạt động.
1. ổn định:2P
2. Kiểm tra:
3. Bài mới:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
-Phơng pháp quy nạp th-
ờng đợc áp dụng c/m các
mđ chứa biến
n N
- trờng hợp thờng gặp p
=1,2

1 + 3 + 5 + ... + (2k 1) + (2k
+ 1) = (k + 1)
2
Thay n = 1 vào 2 vế của (2)
VT = 1, VP = 1
KL (2) đúng với n = 1
Đặt giả thiết qui nạp
Giả sử (2) đúng với n = k 1
I. Phơng pháp qui nạp toán học.
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến
số tự nhiên n N
*
là đúng với mọi n mà không
thể thử trực tiếp đợc thì có thể làm nh sau:
Bớc 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1
Bớc 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự
nhiên bất kì n = k 1 (gọi là giả thiết qui nạp),
chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
Đó là phơng pháp qui nạp toán học, hay còn gọi
là phơng pháp qui nạp.
II. Ví dụ áp dụng
1 Ví dụ 1. CMR n N
*

thì
1 + 3 + 5 + ... + (2n 1) = n
2
(1)
Giải:
Với n = 1 , ta có:

vào đt(2)
Chú ý:
giả sử ax
2
+ bx + c = 0 có
hai nghiệm phân biệt x
1
và
x
2
thì đợc viết lại bằng
a(x - x
1
)(x - x
2
)
Bớc 1 ta làm ntn
Gọi HS đặt giả thiết qui
nạp
Gọi học sinh thay n = k+1
vào (3)
Hớng dẫn HS chứng minh
dựa vào giả thiết qui nạp
1+2+3 +.......+ k =
( 1)
2
k k +
đi cm (2) đúng với n = k+1
Thử xem (3) có đúng với n = 1
VT = 1, VP = 1

( 1 + 2 + 3 +....+ k ) + (k +1) =
=
( 1)
2
k k +
+ (k +1)
=
[ ]
( 1) 2( 1)
2
k k k+ + +
=
( 1)( 2)
2
k k+ +
Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi n1.
Bài 1c/ 82 SGK
CMR n N*, ta có
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+...+ n
2
=
( 1)(2 1)
6
n n n+ +

2
+...+k
2
+(k+1)
2
=
( 1)( 2)(2 3)
6
k k k+ + +

Thật vậy theo gt qui nạp, ta có:
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+...+ k
2
+ (k+1)
2
=
( 1)(2 1)
6
k k k+ +
+ (k+1)
2
= (k + 1)
2
2 7 6

III. Phơng pháp dạy học. Gợi mở - vấn đáp - đan xen thảo luận nhóm
IV. Tiến trình bài học và các hoạt động.
1. ổn định:2P
2. Kiểm tra: Nêu các bớc cm bài toán bằng phơng pháp qui nạp
CMR CMR nN* thì 1 + 2 + 3 + ... + n =
( 1)
2
n n +

3. Bài mới:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Giỏo viờn phõn tớch din gii
vớ d trong sỏch sgk , sau ú
rỳt ra nh ngha dóy s.
GV yờu cu hc sinh tr li
cõu hi H1
GV a ra ký hiu dóy s, ký
hiu s hng tng quỏt.
- GV cho hc sinh ghi dng
khai trin ca dóy s Vớ d
1.
GV nờu chỳ ý cho hc sinh
v dóy s hu hn
.
- Hc sinh quan sỏt v ghi nh
- Mi hc sinh c lp suy
ngh v tr li.
- Hc sinh ghi dng khai trin
ca dóy s vớ d 1.
HS chú ý định nghĩa hữu hạn

Số hạng tổng quát u
n
= 2n 1
2. Định nghĩa dãy số hữu hạn
Mỗi hàm số u xác định trên tập M = (1, 2, 3, ...,
m) với m N* đợc gọi là một dãy số hữu hạn.
50
t
Số hạng đầu và số hạng cuối
là bao nhiêu
GV tip tc phõn tớch Vớ d 2
hc sinh hiu hn khỏi
nim dóy s hu hn
GV phõn tớch thớ d, giỳp hc
sinh hiu cỏch cho mt dóy s
theo cụng thc tng quỏt.
GV yờu cu hc sinh tr li
cõu hi H2.
GV kim tra v nhn xột
GV phõn tớch vớ d 3, giỳp
hc sinh bit cỏch cho dóy s
bng bi cụng thc truy hi.
+ s hng th hai u
2
cú liờn
quan nh th no n s hng
th nht u
1
?
+ s hng th ba cú liờn quan

Hc sinh lnh hi kin thc
- Hc sinh tr li: v
n-1
v v
n-2
- Hc sinh tr li: v
.3
v v
2
- Hc sinh tr li: thụng qua v
1
v v
2
ó cho.
- Hc sinh c lp suy ngh tr
li
Dạng khai triển là: u
1
, u
2
, u
3
,..., u
m
Trong đó: u
1
là số hạng đầu, u
m
là số hạng cuối
Ví dụ1:


+
H2. Tỡm s hng u
55
v u
555
ca dóy s trờn?
Gii
u
55
=
55 1 28
...
3.55 1 83

= =
+
u
555 =
555 1 277
...
3.555 1 833

= =
+
2. Dãy số cho bằng phơng pháp mô tả (SGK)
3. Dãy số cho bằng phơng pháp truy hồi
Vớ d 3: Xột dóy s (u
n
) xỏc nh bi cụng

v
2
= 2 v
3n

1 2
2 .
n n n
v v v

= +
Tỡm s hng th 4 ?
Gii
Ta cú: v
3
=...... = 0
v
4
=....... = 4
51
t
GV a ra mt dóy s (u
n
)
vi u
n
= n
3
, sau ú yờu cu
hc sinh so sỏnh u

+ GV theo dừi v yờu cu i
din nhúm phỏt biu, nhúm
cũn li nhn xột.
+ GV nhn xột ỏnh giỏ
GV cho hc sinh c nh
ngha trong sgk, sau ú a
ra cõu hi:
+ Em hiu nh th no l dóy
s b chn trờn?
+ Em hiu nh th no l dóy
s b chn di?
Gv yờu cu hc sinh da vo
nh ngha xột tớnh b chn
ca cỏc dóy s sau:
a) u
n
= n
2
, vi mi n.
b) u
n
=
2 1
1
n
n

+
vi mi n.
Gv theo dừi v nhn xột

với mọi n N*
Dãy số u
n
đợc gọi là dãy số giảm nếu ta có
u
n+1
< u
n
với mọi n N*
Ví dụ. Dãy số u
n
= 2n 1 là dãy số tăng
Vì, nN* xét hiệu u
n+1
u
n
, ta có
u
n+1
u
n
= 2(n+1) (2n 1) = 2 > 0
Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng
hoặc giảm.
Chẳng hạn, dãy số (u
n
) với u
n
= (-3)
n

dạng khai triển 1,2,3 ,.....,n,....
bị chặn dới vì u
n
1 nN
*
nhng không bị chặn trên,suy ra dãy số đã
cho không bị chặn.
c/m dãy số u
n
= (n-1)/n bị chặn
Giải :
Tacó u
n
= (n-1)/n = 1 - 1/n < 1 nN
*
u
n
= (n-1)/n 0 nN
*
suy ra 0u
n
1 nN
*
Do đó dãy số đã cho bị chặn.
4. Củng cố bài : - Phỏt biu /n v dóy s.
- Phỏt biu /n dóy s tng, gim, b chn
52
t
- Nêu các cách cho một dãy số.
Cho dãy số (u

B)
2 1
2 7
3
n
n
u
+
−
=
C)
1
2 7
3
n
n
u
+
−
=
D)
2 1
2
3
n
n
u
+
=
5. Híng dÉn vÒ nhµ : lµm c¸c bµi tËp trong SGK.

Thực hiện hoạt động 1 Tip
cn v nờu nh ngha:
GV nhn mnh: dóy s trờn
tho mi s hng sau bng s
hng ng k trc cng vi
mt hng s d = 4. t ú giỏo
viờn hng dn hc sinh a
ra khỏi nim cp s cng.
Cng c nh ngha
CH1:
Cho cp s cng: 1; 3; 5;...,
2n-1; ...
Tỡm cụng sai ca cp s cộng
ú
CH2: Cho cỏc dóy s, dóy
no l cp s cng, vỡ sao?
a. -6; -1; 4; 9; 14.
b. 10; 7; 4; 1; -2; -5; -8.
c. 4; 6; 9; 13; 18.
Cho nhúm 1, 4 lm cõu a;
nhúm 2, 5 lm cõu b v nhúm
3, 6 lm cõu c
Thực hiện hoạt động 3 - Tip
cn nh lý
Cho CSC cú s hng u l
u
1
v cụng sai d. Tớnh u
2
; u

I. Định nghĩa.
Cấp số cộng là một dãy sô (hữu hạn hoặc vô hạn),
trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều
bằng số hạng đứng ngảytớc nó cộng với một số
không đổi d.
Số d đợc gọi là công sai của cáp số cộng
Nếu (u
n
) là cấp số cộng với công sai d, ta có công
thức truy hồiĐặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số
không đổi
Ví dụ: SGK
HĐ2: Cho u
n
là cấp số cộng có 6 số hạng với u
1
= 2,
công sai d = 3. viết dạng khai triển của cấp số cộng
đó.
Dạng khai triển là: 2, 5, 8, 11, 14, 17
II. Số hạng tổng quát.
Định lí.
Nếu cấp số cộng (u
n
) có số hạng đầu u
1
và công sai

7; 4; 1 ...
CH2: Từng bộ 3 số có một
quy tắc chung, đó là quy tắc
gì?
GV hướng dẫn học sinh hình
thành định lý
Hình thành và chứng minh
định lý: u cầu học sinh áp
dụng định nghĩa để chứng
minh định lý
Củng cố định lý
CH1: Có u
1
; u
3,
tính u
2
bằng
cơng thức nào?
CH2: Muốn tính u
4
ta cần có
dữ kiện gì?
u cầu HS lên bảng trình
bày.
Tiếp cận định lý
GV treo bảng phụ: Cho CSC
gồm 7 số hạng
1 3 5 7 9 11 13
u cầu HS viết các số hạng

2
+
=
u
4
= u
3
+ d
d = u
2
- u
1
u
3
u u
2 4
2
+
=
Nghe hiểu nhiệm vụ và trả
lời
phát hiện định lý và trả lời
thøc:
Chøng minh: SGK
VD; TÝnh sè lỴ thø n
gi¶i: ta cã d·y sè lỴ 1,3,5,7,......... lËp thµnh
mét cÊp sè céng víi u
1
= 1 vµ c«ng sai d = 2
Sè lỴ thø n lµ: u

( )
2
n
n u u+
Chó ý:
V× u
n
= u
1
+ (n – 1)d nªn c«ng thøc trªn cã thĨ
viÕt: S
n
= nu
1
+
( 1)
2
n n −
d
VÝ dơ: SGK
Tính tổng của 100 số hạng đầu của CSC biết u
1
=
1 ; d = -1
Giải :
55
u
n
= u
1

thì (u
n
) là CSC và
ngược lại không phải là CSC
+ GV gọi học sinh lên bảng
giải câu a,b theo cách giải
trên .
H- Câu b) có cách giải khác
không ?
- CM bằng phản chứng.
Giả sử (u
n
) là CSC với công
sai d.
Ta có:
3 2
2 1
u u d
u u d
= +


= +

hay
2 2
2 2
3 2
2 1
d

Lªn b¶ng g¶i bµi 1
Lªn b¶ng g¶i bµi 2
Ta có S
100
=
100
2
[2.1+(100-1)(-1)] = -4850
Bµi tËp
Bài 1 : Trong các dãy số (u
n
) sau,dãy số nào là
CSC. Khi đó cho biết số hạng đầu,công sai.
a) u
n
=
3 2
5
n +
b) u
n
= n
2
Giải :
a)
Ta có:u
n+1
– u
n
=

8
. 75
u u
u u
− =


=

b)
2 3 5
1 6
10
17
u u u
u u
− + =


+ =

Giải :
a) Ta có:
7 3
2 7
8
. 75
u u
u u
− =

2
3
d
u
=


=

V
1
2
17
d
u
=


= −

b) Ta có
2 3 5
1 6
10
17
u u u
u u
− + =



= u
n-1
+d.
Học sinh biểu diễn trên rục toạ độ. Rút ra nhận xét: các điểm đó cách đều nhau
Các số hạng của cấp số cộng liên tiếp thì cách đều nhau
Một số câu hỏi trắc nghiệm (phát phiếu học tập và làm theo nhóm)
Câu 1: Số hạng thứ 6 của một cấp số cộng là -5, cơng sai d = 3. Số hạng thứ 46 của cấp số cộng
này là:
A. 130 B. 136 C. 115 D. -125
Câu 2: Hãy điền vào ? để hồn thành các phát biểu sau:
A. a
1
= 7; d = 4; a
2
=?; a
3
= ?
B. a
1
= 2; d = 4; a
21
=?; a
31
= ?
C. a
1
= 18; a
20
= 75; S
20

2. Ph ơng tiện : Giáo án, SGK, thớc kẻ, .
III. Phơng pháp dạy học. Gợi mở - vấn đáp - đan xen thảo luận nhóm
IV. Tiến trình bài học và các hoạt động.
1. ổn định:2P
2. Kiểm tra: Nêu định lí về tính chất các số hạng của cấp số cộng
Cho cấp số cộng có số hạng đầu u
1
= 1 và công sai d = 2, tính tổng 10 số hạng đầu.
3. Bài mới:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Nờu yờu cu (bng ph)
Hng dn c th cho hc
sinh túm tt bi toỏn:
Gi
n
u
, lp cụng thc tớnh
n
u
theo
1

n
u
Nhn mnh c im ca (
n
u
) N
Nhn mnh cụng bi v s
hng u,

u
sau
khi c gi ý
Nhn xột v dóy s
n
u
Phỏt biu N
Tr li ?1
Cho vớ d CSN v ch ra SH
u v cụng bi
Lm H1 tr 166
Tr li ?2
Lp lun kt lun
Tính số thóc ở các ô mà giáo
viên yêu cầu bằng định nghĩa
Rút ra công thức tổng quát
HS áp dụng công thức số hạng
tổng quát tính
u
5
= 32
Hoạt động 1
I. Định nghĩa.
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô
hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số
hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trớc nó
với một số không đổi q.
Số q đợc gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu (u
n

a/ u
5
áp dụng công thức u
n
= u
1
.q
n 1Với n = 5 ta có u
5
= 2. 2
4
= 32
b/ u
10
áp dụng công thức u
n
= u
1
.q
n 1Với n = 10 ta có u
10
= 2. 2
9
= 1024