VNU JOURNAL OF SCIENCE. Nat, Sci,. t XV.

- 1999

L IN E A R E Q U A T IO N S W IT H

P O L Y IN V O L U T IO N S

T ia u T h i Tao
FHcuity o f MHthciiiHtics
Hanoi ưnivcTsity o f Scỉviìce- V N Ư
he (I l i n e a r s pace o v e r c . D e n o t e hy L q ( X )

A bstract.

I.et X

operators A

G L (X

—* .Y) Wifh d o m A =

X

m i d by X

L e t S i , . . . . 5,„ be i n v o l u i i o n s o f o r d e r s 7Í1 , . . . ,

t h e sef o f (ill !nie(ir


I
= 1, / ; - 1.
Suppose th a t s is an involution of order 1 Ì then
P. — _ y
It

27T/

^

f = erp —

n

k= \

are callocl projections aysoc’iat(‘cl with

s.

The projections P i , . . . , p,, satisfy th e following proportios:
1. P j P j =

where

is the Kron ock or s y m b o l .

2 . ± r , = /,

.7=1
) P{ i ) P{ 3) — ị


k = i Jk = ĩ

j f c = T ^ (j)eA
fc= 1. rn

b) It n a t u r a l l y h o l d s b y the c o m m u t a t i v i t y a n d th.e a s s o c i a t i v i t y o f p r o j ec t io n s

c) It is im plied from a) and b)

□

2. T he equation (1) can be re w ritte n in th e from

=

A{S)x=

(1)

(•)€/
where A(.) =
We consider th e eq u atio n (1) under th e assumptions; V P(j), P(^),
G

A, ( 0 €

r, 3

where (j), (Ả:)


(t)er(Ẳ:)€A

E

E

V0 ' ) € A

=

(i)er{fc)€A

=> E

E

■4(.)o k * ) '''‘" ' ’’ (‘ ) = n , ) ! /

V(j) e A,

(3)

(r)€r(fc)6A
w h ere

3-(fc) = P(k)X € X(fc).

L enim a 1. ỉ f the condition (2) is satisfied, then the eqìiãtỉon (1) has a solution T e X if
and only i f sys tem (3) has a soiỉiủioíi (^(A:))(A:)eA ^


Con ver sely, s u p p o s e th a t t h e s y s t e m (3) has a s o lu ti o n (j^(A:))(ye)6A ^

We

(t)6A
prove that

X

=

^

is a solution of the equation (1).

{k)eA

Iiidet'd, since •'(it) t ^{k)

) t A (Iiicl ^ ( k ) ~
(fc)€A

= -Tịk)- FurtherrnoiP, i ^( k) ) { k) e^

V(J) € A,

5;

^ s o lu ti o n o f (3), which implies th at

(i)er

^ 0 )2^
(j)eA

Thus,
(fc)GA

is a solution of (1). Lem m a 1 is proved

Y.
(Oer

□

= y-


L i n e a r E q u a ti o n s w ith P o l y i n v o l u t i o n s

45

L e m m a 2. Suppose thnt the condi t i on (2) is satisfied. I f the system (3) has solutions
ãỉKÌ ( /■(ả-))(a-)€A ^
one its solution in the space
soliJtion of (3) in the space

then (Pạ-)-'ĩ'ik))(k)eA

^

i.(\. (^^(A-Ị-í^íAOÌíẢìeA ^ solution of systoni (3) □
Combining two rosults just obtained yields ih(* following
T h e o r e m . Siipposc tiiHt Coiiditioli (2) is satisfied. The eqiiatioii (1) ÌÌH.S sohitioiis if and
only if the svstciii (3) Ììrìs soììitioĩi. Moreover, if .1' is H sobition o f (Ĩ) tiicn {P{k-)-^')(k ) e \
a solution o f (3) and coiiverscly, //"

^ soìĩìtion o f (3) then .1' = ^
{k-)eA

ri sollỉĩioỉi o f ( 1 ).
R e m a r k . I f *4(,) ((;) 6 r) are com m utative with the operators Sk- (A' — 1, 777) then the
system (3) becomes the iiKlepondont system
E
(Oer

= Puyy

VU) G A,

3. E x a m p l e s .
E x a m p l e 1 . Consider the Volterra - C arlem an integral equation of the form


IVtzn Thi Tao

16

ự:>(.r,y,t) ~ y

y


V

J

= l, ? n.

a n d ni l e s p p c t i v r l y on

1 < Ả-< n,

Q„(:r) = ,r.

1 < A' < i n,

0 „ , { y ) = y.

R, i.e.,

a r e in v a r i a n t u n d e r t h o t r a n s f o r m a t i o n s a { . r ) , f3{y).

W e define the o p erators V , W , A j j E Loi-r) as follows:
{Vip){.r,yJ) = ự>a{.r),y,t

( U » ( . r , i/,0 = ự > \ x j 3 { y ) j ] ,
A,,^){x,y,f) =

/

K^j{x,yJ,T)ip{x,y,T)dT.

respectively.
From the above obtained results, in order to s tu d y of E q u a tio n (4), we can s tu d y
the system of the independent equations

-

/

M^f,{T,y,f,T)ip^,,{T,y,T)dT = g^f,{x,y,t)

V ;/=

1, n , / i = 1 ,7 » ,

If)
n

wheiT

rfi

1= 1 7=1
27T?
f i = e x p ------,

n

27T/

f2 = exp

= t^

We define th e operators V, w , Ai j as follows:

(5


L inear Equations w ith P o lyin vo lu tio n s

47

{Vip){x,t) =
{ Wự>) { x , f ) =

-t),

Ị

{A, j i p ) { x , i ) =

V?: = T7n; j =

K,j{x,f,T)^{x,r)dT,

1, 2.

T h en the e q u atio n (5) can be re w ritte n in the form:

We get
V/" = / ,


^ 1, 2)

and

V P^,P^(/v,/i

T h ( ' 1 ont IB t o n l i o w t h a t

1
^

"

—0

if

^

or

r; /

r

1,7?,) Q s . Q r { s . r = 1,2).

a iv tlir iiitcgiul o p c ia to iy . w\- have



/
A-=l /-1

K,Aa,{x),m ,Pi{cTM x,a)da.


Tran Jhi Tao

48
We get

Thus, instead
id of studying the equation (5) we can stu d y the following onv

- Ẻ Ề Ê Ẻ i

i 1 1 (-

2= 1 J = 1 ^ = 1 r = l

A-=l i = l

X

(6)

X K i j { a k { x ) , l3 i ( f ) , P i { T ) ] i p ^ , r { : r , T ) d T

- P^Qsgi^J)

tuvến tính A trẻn X với dom i4 = X . X Ik đại số con của Lq{ X) . Giả sử 5 i , . . . , Sn, là
các toán tử đối hợp cấp r ?i , . . .

tư ơ n g ứng đòi một giao hoán với nhau.

Xét phương trình

t ^ —1, »1

fc=(l ,m)

trong đó
e X{ i k =

l,Tik,k

= l , m)

và x, y € X .

Nội dung của bài báo này là đ ư a phương trìn h (*) về hệ p h ư an g trình không còn
toán tử đối h ạ p m à tính giải đ ư ợ c của nó khả thi h ơ n nhiều, đồng thời cho mối liên hệ
giữa cấu trúc nghiệm của p h ư a n g trìn h (*) vái cấu trú c nghiệm của hệ đó.