chơng I
dao động cơ học
Tóm Tắt Lý THUYếT
1. Dao động tuần hoàn
Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái chuyển động của vật đợc lặp lại sau những
khoảng thời gian bằng nhau.
Chu kì T là khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái dao động lặp lại.
Tần số f là đại lợng chỉ rõ tần số dao động trong một đơn vị thời gian. Đơn vị tần số trong hệ
SI là hec ( Hz ).
2. Dao động điều hoà. Con lắc lò xo
Con lắc lò xo gồm một vật có khối lợng m đợc gắn vào một lò xo có khối lợng không đáng
kể, có thể chuyển động không ma sát dọc theo phơng của lò xo.
Lực đàn hồi: Xét con lắc lò xo nằm ngang. Trong giới hạn đàn hồi, lực F của lò xo tác dụng
vào vật tỷ lệ thuận với độ dịch chuyển x của vật xo với vị trí cân bằng O và hớng về vị trí cân
bằng: F = -kx, trong đó k là hệ số đàn hồi hay độ cứng của lò xo.
Phơng trình dao động (tự do) của con lắc lò xo: mx
'
= -kx

x=Asin(
+
t

), trong đó
mk /
=

, A và là những hằng số. Nếu chọn A>0 thì A đợc gọi là biên độ,
+
t



A
2
3. Con lắc đơn: Con lắc đơn gồm một vật nhỏ (chất điểm) treo trên một sợi dây khối
lợng không đáng kể, không co giãn.
Phơng trình dao động nhỏ của con lắc đơn: ma
1
=-mgsin

-mg =-mgs/l trong đó s là
độ dài đại số của cung (cung ở bên phải có s>0, cung ở bên trái có s<0), a
1
là thành phần tiếp
tuyến của gia tốc, a
1
= s. Đặt
lg /
=

, ta có: s+
0
2
=
s

.
Chu kì dao động nhỏ của con lắc đơn:
lg /2

=

x
=
Asin(
+
t

)=x.
Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phơng, cùng tần số:
Giả sử cần tổng hợp hai dao động sau: x
1
=A
1
sin(
+
t


1
), x
2
=A
2
sin(
+
t


2
) để đợc dao động
x. Ta biểu diễn x

. Véctơ

A
là đờng chéo của hình bình hành mà hai cạnh là

A
1
,

A
2
. Theo thời gian

A
1
,

A
2
đều quay với cùng vận tốc góc nên hình bình hành không biến
dạng. Do đó đờng chéo

A
cũng quay theo với vận tốc góc và có độ dài không đổi.

A
làm
với trục hoành một góc ban đầu nào đó. Góc mà

A

tg=
2211
2211
coscos
sinsin


AA
AA
+
+
,

[
1
,
2
]
5. Dao động tắt dần: Tính đến lực cản của môi tròng thì dao động của con lắc lò xo hoặc
con lắc đơn là dao động tắt dần. Dao động tắt dần không phải là dao động điều hoà, cũng
không phải là dao động tuần hoàn. Nhng nếu lực cản nhỏ thì dao động tắt dần của con lắc đơn
với biên dộ nhỏ hoặc của con lắc lò xo có thể xem một cách gần dúng là dao động điều hoà và
do đó cũng có thể xem một cách gần đúng là dao động tuần hoàn.
6. Dao động cỡng bức: Tác dụng vào vật của con lắc lò xo đang nằm yên trong môi trờng
cản của một ngoại lực cỡng bức dạng F
n
= F
0
sin(
+

2
, kg, N. B. m, s, kg, A, mol, K.
C. m, s, m/s, m/s
2
, kg, kG. D. m, s, kg, rad, rad/s,rad/s
2
.
1.2. Trong công thức li độ của dao động điều hoà x=Asin(
+
t

) đơn vị của trong hệ đơn
vị SI là đơn vị nào dới đây:
A. Hz. B. rad/s. C. rad/h. D. độ/s.
1.3. Trong công thức li độ của dao động điều hoà x=Asin(
+
t

) hãy cho biết: 1) A có nhất
thiết dơng hay không? 2) Biên độ của dao động điều hoà bằng gì?
A. 1) Nhất thiết. 2)A. B. 1) Không nhất thiết. 2)
A
.
C. 1) Không nhất thiết. 2)A. D. 1) Không nhất thiết. 2) A.
1.4. Dao động nào có li độ cho dới đây là dao động điều hoà( A, B, ,
1
,
2
, , ,l là các
hằng số):



2
).
1.5. 1) Dao động điều hoà có chắc chắn tuần hoàn không? 2) Dao động tuần hoàn có chắc
chắn điều hoà không?
A. 1) Có 2) Có. B. 1) Có 2) Không.
C. 1) Không 2) Có. D. 1) Không 2) Không.
1.6. Hãy cho biết, dao động sau đây: x=A
1
sint+A
2
sin2
t

1) Có điều hoà không? 2) Có
tuần hoàn không?
A. 1) Điều hoà, 2) Tuần hoàn.
B. 1) Điều hoà, 2) Không tuần hoàn.
C. 1) Không điều hoà, 2) Tuần hoàn.
D. 1) Không điều hoà, 2) Không tuần hoàn.
1.7
*
. Khi nào dao động tuần hoàn: x=A
1
sin
1
t+A
2
sin

Tính gia tốc cực đại của chất điểm.
A. A. B.
2
A. C. A/
2
. D.
( )
2
A

.
1.10. Một lò xo có độ cứng k. Cắt đôi lò xo. Tính độ cứng của một nửa lò xo.
A. 2k. B. k. C.
2
k
. D.
4
k
.
1.11. Một lò xo có độ cứng k. Cắt đôi lò xo rồi ghép hai nửa kề nhau thành một lò xo mới
(dài bằng nửa lò xo cũ) . Tính độ cứng của lò xo mới.
A. 4k. B. 2k C.
2
k
. D.
4
k
.
1.12. Hai lò xo có độ cứng k
1

21
22
kk
kk
+
B. k
1
+ k
2
C.
21
kk

. D.
2
21
kk +
.
1.14. Cho một con lắc lò xo với độ cứng của lò xo bằng k và khối lợng chất điểm gắn với lò
xo bằng m. Tại thời điểm t=0 chất điểm có li độ x
0
so với vị trí cân bằng và vận tốc bằng 0. Viết
biểu thức li độ của chất điểm m ở thời điểm bất kì.
A. x
0
sin





0
sin
t
m
k
. D.
0
x
sin
t
m
k
.
1.15. Cho một con lắc lò xo với độ cứng của lò xo bằng k và khối lợng chất điểm gắn với lò
xo bằng m. Tại thời điểm t=0 chất điểm m có li độ bằng 0 so với vị trí cân bằng và vận tốc
0

.
Viết biểu thức li độ của chất điểm m ở thời điểm bất kì.
A.
0

k
m
sin
t
m
k
. B.
0


k
m
sin








+
2

t
m
k
.
1.16
*
Cho một con lắc lò xo với độ cứng của lò xo bằng k và khối lợng chất điểm gắn với lò
xo bằng m. Tại thời điểm t=0 chất điểm m có li độ x
0
so với vị trí cân bằng và có tốc độ v
0
. Viết
biểu thức li độ của chất điểm m ở thời điểm bất kì.
A.
0

x
k
m
;
22




.
B.
2
0
2
0

k
m
x
+
sin








+

m
k
.
D.
2
0
2
0

k
m
x
+
sin








+
2

t
m
k
.
1.17. Hãy cho biết khi chất điểm m thực hiện dao động điều hoà thì: 1) Vận tốc của nó có

lại của dây đợc treo ở một điểm.
1.21. Khi nào thì con lắc đơn dao động điều hoà? Bỏ qua sức cản.
A. Luôn luôn dao động điều hoà. B. Khi chu kì nhỏ.
C. Khi biên độ nhỏ. D. Khi nó dao động tự do.
1.22. Hãy cho biết trong dao động nhỏ của con lắc đơn gồm một hòn bi nhỏ gắn với một
sợi dây nhẹ, không gãin thì: 1) Gia tốc hòn bi có phụ thuộc khối lợng hòn bi không, 2) Chu kì
của hòn bi có phụ thuộc khối lợng hòn bi không?
A. 1) Có 2) Có. B. 1) Có 2) Không.
C. 1) Không 2) Có. D. 1) Không 2) Không
1.23. Nếu gia tốc trọng trờng giảm đi 6 lần, độ dài sợi dây của con lắc đơn giảm đi 2 lần thì
chu kì dao động điều hoà của con lắc đơn tăng hay giảm, bao nhiêu lần?
A. Giảm 3 lần. B. Tăng
3
lần.
C. Tăng
12
lần. D. Giảm
312
lần.
1.24. Cho một con lắc đơn gồm một vật nhỏ đợc treo trên một sợi chỉ nhẹ không co giãn.
Con lắc đang dao động với biên độ A và đang đi qua vị trí cân bằng thì điểm giữa của sợi chỉ bị
giữ lại. Tìm biên độ dao động A sau đó.
A. A=
A2
. B.A=
2
A
. C. A=A. D. A=
2
A







+
2
sin

T
t
A
.
D. -







2
sin

T
t
A
.
1.28. Cho một con lắc lò xo với độ cứng của lò xo bằng k và khối lợng chất điểm gắn với lò








t
m
k
.
C.
2
2
0
2
xmk
sin
2








+
2


đại của dao động thẳng đúng của chất điểm m để dao động đó còn là điều hoà.
A.
k
mg
2
. B.
k
mg
. C.
k
mg2
. D.
mg
k
.
1.31. Hai dây chun vô cùng nhẹ, có độ dài tự nhiên bằng nhau và bằng l
0
, có hệ số đàn hồi
khi giãn bằng nhau. Một chất điểm m đợc gắn với một đầu của mỗi dây chun, các đầu còn lại đ-
ợc kéo căng theo phơng nằm ngang cho đến khi mỗi dây chun có độ dài bằng l. Tìm biên độ
cực đại của dao động của chất điểm m để dao động đó còn là điều hoà, biết rằng dây chun
không tác động lực lên chất điểm m khi bị chùng.
A. 2( l - l
0
). B. ( l - l
0
). C.
2
0
ll

. Động năng E
đ
và
thế năng E
t
(so với vị trí cân bằng) của chất điểm đợc cho bởi các biểu thức:
1) E
đ
=
2
2
0
mv
cos
2








+
2

t
m
k
. 2) E

sin(
+
t


1
), x
2
=A
2
sin(
+
t


2
). Dao
động tổng hợp x=Asin(
+
t

) có A và đợc cho bởi:
1)
( )
2121
2
2
2
1
2

0
của dao động riêng thì trong một thời gian dài hòn bi dao động với tần số f hay f
0
?
2) Khi nào xảy ra cộng hởng?
A. 1) f 2) f
0



B. 1) f 2) f

f
0
.
C. 1) f
0
2) f
0


D. 1) f
0
2) f

f
0
.
1.38. Khi ngoại lực cỡng bức tác dụng vào hòn bi của con lắc lò xo có dạng
F=F

sin2t+F
2
sin2
t

. Tần số góc của dao động riêng của con lắc lò xo bằng
0
. Hãy liệt kê
các trờng hợp xảy ra cộng hởng. Cho rằng lực cản nhỏ.
A. Khi =
0
và khi 2 =
0
B. Khi =
0
C. Khi 2 =
0
D. Không bao giờ có cộng hỏng
1.40. Cho hai dao động điều hoà cùng phơng: x
1
=A
1
sin(
+
t


1
), x
2

.
21
AAA
+=
C. 1)
.2
12

n
=
2)
2
2
2
1
AAA
+=
.
D. 1)
.2
12

n
=
2)
.
21
AAA
+=
(với n nguyên)







+
4
10sin.1

D.
cmt






+
4
3
10sin2

1.42. Một vật khối lợng M đợc troe lên trần bằng một sợi dây nhẹ không co giãn. Phía dới
vật M có gắn một lò xo nhẹ có độ cứng k. Đầu còn lại của lò xo đợc gắn với một vật khối lợng
m. Với biên độ dao động thẳng đứng của vật m tối đa bằng bao nhiêu thì dây treo cha bị chùng.
A.
k
Mg
. B.

+

B.
.
22
1
21
m
kk
+

C.
( )
.
21
21
mkk
kk
+
D.
.
2
1
21
m
kk

1.44. Một vật khối lợng m đợc treo vào một lò xo nhẹ có độ cứng k. Giữ cho lò xo không bị
biến dạng và nằm theo phơng thẳng đứng. Tại thời điểm t=0 thả nhẹ cho vật dao động không
có vận tốc ban đầu. Tìm phơng trình dao động của vật m. trục tọa độ x thẳng đứng hớng xuống,



+

t
m
k
k
mg
C.
.
2
cos








+

t
m
k
k
mg
D.
.

). Cho gia tốc rơi tự do bằng g, hệ số nở dài của con lắc là .
A.
( )
( )
.
1
1
2
2
11
tg
tl



+
+
B.
( )
( )
.
1
1
2
1
21
tg
tl



1.46. Cho một con lắc lò xo với lò xo vô cùng nhẹ và độ cứng k, chất điểm gắn với lò xo có
khối lợng m. ở vị trí cân bằng lò xo không biến dạng. Tại thời điểm t=0 chất điểm m có li độ d-
ơng, vận tốc dơng, thế năng bằng
t
E
0
, động năng bằng
d
E
0
. Viết hàm số dao động của chất
điểm m.
A.
( )
.
2
0,,sin
1
0
0
00


=











++=
d
t
dt
E
E
tgt
m
k
EE
k
x
C.
.
2
0,,sin
2
0
0
0


=




=








++=
d
t
dt
E
E
tgt
m
k
EE
k
x
1.47
*
. Một ống hình trụ đầu dới kín có đựng thuỷ ngân. Nhúng nhẹ đầu dới của ống vào nớc
rồi buông tay thì ống nằm cân bằng theo phơng thẳng đứng, dới đáy cách mặt thoáng của nớc
một đoạn h
0
. Kích thích cho ống dao động thẳng đứng. Tính tần số góc của dao động riêng.
Cho gia tốc trọng trờng bằng g.
A.

T

2
. B.
.2
ml
T
C.
ml
T
. D.
.
2
ml
T
1.49
*
. Một dòng dọc động vô cùng nhẹ có trục gắn với một vật khối lợng m. Một sợi dây
nhẹ đợc vắt qua ròng rọc, một đầu dây đợc gắn lên trần, đầu còn lại gắn với một đầu của một lò
xo nhẹ có độ cứng k. Đầu còn lại của lò xo đợc gắn lên trần. Lò xo và các đoạn thẳng của dây
nằm thẳng đứng (hình bên). Tính tần số góc của dao động riêng nhỏ của vật m theo phơng
thẳng đứng.
A.
m
k
2
. B.
m
k2
. C.

.2
g
l

2) Đúng.
1.51. Một con lắc lò xo nằm ngang trên bàn gồm một lò xo nhẹ có độ cứng k gắn với một
chất điểm khối lợng m
1
. Chất điểm m
1
gắn với một sợi dây không giãn, nhẹ, nằm ngang, vắt qua
một dòng dọc nhẹ ở mép bàn. Đầu còn lại của dây gắn với một chất điểm khối lợng m
2
. Tính
tần số góc của dao động riêng của hệ dao động trên, bỏ qua sức cản.
A.
.
21
mm
k
+
B.
.
21
mm
k

C.
.
1

+
g
l

C.
.
2
g
l

D.
.
g
l

1.53. Cho một con lắc đơn gồm một dây treo dài l và một viên bi nhỏ khối lợng m gắn với
dây treo. Khi con lắc đang nằm cân bằng thì một viên bi nhỏ khối lợng m
1
, vận tốc v
1
(trị đại số)
chuyển động nằm ngang đến dính vào viên bi khối lợng m thành một vật. Viết hàm số dao động
của vật này. Mốc thời gian là lúc hai viên bi bắt đầu chạm nhau. Biết rằng dao động có biên độ
nhỏ.
A.
.sin
1
11
t
l

t
l
g
g
l
v
D.
.sin
1
11
t
l
g
g
l
mm
vm
+
1.54. Viết biểu thức cơ năng của con lắc đơn có độ dài l khối lợng m, dao động với biên độ
A nhỏ. Thế năng ở vị trí cân bằng quy ớc bằng không
A. mgA. B.
.
2A
mgl
C. mgl. D.
.
2
2
l
mgA

t
l
g
mm
Am
+
C.
.
2
sin
1
1








+
+

t
l
g
A
m
mm
D.

D.
.
l
gtg

1.57
*
. Cho hệ dao động ở hình bên. Vật treo ở ròng rọc có khối lợng m. Các phụ kiện có
khối lợng không đáng kể. Bỏ qua ma sát. Các dây không giãn. Lò xo có độ cứng k. Tính tần số
góc của dao động riêng nhỏ của m theo phơng thẳng đứng. Trong qua trình dao động thanh
ngang của khung treo vật m luôn nằm ngang.
A.
.2
m
k
B.
m
k2
C.
.4
m
k
D.
.
4
1
m
k
1.58. Tìm dao động tổng hợp của hai dao động cùng phơng:
( )





+

6
2sin10.23
2


. B.
( )
.
3
2sin10.2
2
mt






+



C.
( )



1.59. Tìm dao động tổng hợp của hai dao động cùng phơng:
( )
mtx

2sin210
2
1

=
,
( )( )
.2sin10
2
2
mtx

+=

A.
( )
mt

2sin10.3
2

. B.
( )
mt

1.60. Tìm dao động tổng hợp của ba dao động cùng phơng:
tAx

sin
1
=
,






+=
3
2
sin
2


tAx
,






=
3



+=
3
2
sin
2


tAx
,






=
3
2
sin
3


tAx
A.
.sin tA

B.
.sin3 tA


( )
.sin)2

+=
tRy
C.
( )
.cos)1

=
tRx

( )
.sin)2

=
tRy

D.
( )
.cos)1 tRx

=

( )
.sin)2 tRy

=


2ml
qE
l
g
+
1.64. Trong bộ giảm xóc của xe máy có một lò xo nối trục bánh xe với khung xe và một
píttông chuyển động trong xilanh chua dầu. Hãy nêu: 1) Công dụng của lò xo, 2) Công dụng
của píttông nằm trong xilanh.
A. 1) Để giảm tổn hao năng lợng. 2) Để duy trì dao động.
B. 1) Để giảm lực va đập giữa bánh xe và chớng ngại vật trên đờng. 2) Để duy trì dao động.
C. 1) Để giảm lực va đập giữa bánh xe và chớng ngại vật trên đờng. 2) Để dao động chóng
tắt.
D. 1) Để giảm tổn hao năng lợng. 2) Để dao động chóng tắt.
1.65. Cho dao động điều hoà của một chất điểm x=Asin(
+
t

). Hãy cho biết: 1) Chu kì
của dao động bằng bao nhiêu? 2) Chu kì tuần hoàn của động năng chất điểm bằng bao nhiêu?
A.
.)1





2
)2
. B.
.

)2
.
1.66. Hãy cho biết trong dao động sau của chất điểm x=A
1
sint+A
2
sin2
t

thì: 1) Chu kì
của dao động bằng bao nhiêu? 2) Chu kì tuần hoàn của động năng chất điểm bằng bao nhiêu?
A.
.
2
)1





2
)2
. B.
.)1





2


g
l

)2
. B.
g
l

2
1
)1

g
l

2)2
.
C.
.
2
1
)1
l
g


g
l



D.
.
2
g
R
1.70. Một lò xo vô cùng nhẹ, có độ cứng k đợc gắn thẳng đứng trên sàn. ở đầu trên của lò
xo có gắn một khối hộp khối lợng
1
m
, trên khối hộp này đặt một khối hộp khối lợng
2
m
. Nâng
hai khối hộp lên đến vị trí ứng với lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ tại thời điểm t=0. 1) Tính
các thời điểm mà lực đẩy của
1
m
lên
2
m
bằng 0. 2) Trong quá trình dao động có khi nào
2
m
tách khỏi
1
m
không?
A. 1) 0. 2) Không.
B. 1)

C. 1) Không 2) Có. D. 1) Không 2) Không
1.72. Một con lắc lò xo gồm một lò xo vô cùng nhẹ có độ cứng 100N/m và một vật nhỏ khối
lợng 1kg gắn với lò xo có thể dao động trên một mặt phẳng nghiêng không ma sát. Đầu cố định
của lò xo nằm ở phía trên, phơng dao động làm với mặt phẳng nằm ngang một góc /6. Giữ cho
lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ ở thời điểm t=0. Viết phơng trình dao động của vật nhỏ. Lấy
g=10m/s
2
. Trục toạ độ hớng xuống dới dọc theo phơng chuyển động, gốc toạ độ là vị trí cân
bằng.
A.
.
2
10sin10.
1
mt






+


. B.
.
2
10sin10.5
2
mt










1.73. Hai lò xo vô cùng nhẹ có độ cứng
mNk /50
1
=
,
mNk /50
2
=
gắn với một vật nhỏ khối
lợng m=1kg. Các đầu còn lại của các lò xo đợc giữ cố định sao cho hai lò xo nằm thẳng đứng.
Ban đầu giữ cho lò xo 1 (phía trên) bị nén 2dm, lò xo 2 (phía dới) bị giãn 4dm. Tại thời điểm t=0
thả cho vật nhỏ dao động không có vận tốc ban đầu. Hớng trục toạ độ thẳng đứng xuống dới.
Gốc toạ độ là vị trí cân bằng. Viết phơng trình dao động của vật.
A.
.
2
50sin10.2
1
mt







+


D.
.
2
10sin10.2
1
mt









1.74*. Một con lắc đơn đợc đặt trong thang máy có chu kì dao động riêng bằng T khi thang máy
đứng yên. Cho thang máy đi xuống nhanh dần đều với gia
tốc bằng
3
g
. Tính chu kì dao động riêng của con lắc trong trờng hợp này.
A.
.3T

T
D.
.
2
3
T
1.76. Một con lắc đơn đợc đặt trong thang máy, có chu kì dao động riêng bằng T khi thang
máy đứng yên. Thang máy đi lên chậm dần đều với gia tốc bằng
3
g
. Tính chu kì dao động riêng của con lắc khi đó.
A.
.3T
B.
.
3
T
C.
.
2
3
T
D.
.
2
3
T
1.77. Một con lắc đơn và một con lắc lò xo đợc treo trong một thang máy. Chu kì dao động
nhỏ của con lắc đơn bằng chu kì dao động thẳng của con lắc lò xo khi thang may đứng yên.
Liệt kê các trờng hợp khi chu kì dao động nhỏ của con lắc đơn lớn hơn chu kì dao động thẳng






+


1.79. Một con lắc đơn treo trong thang máy có chu kì dao động riêng bằng T khi thang máy
đứng yên. Thang máy rơi tự do. Tính chu kì dao động riêng của con lắc lúc đó.
A. T. B. 2T. C. T/2. D. .
1.80. Có hai lò xo nhẹ, dài bằng nhau. Gắn một vật vào lò xo 1 rồi cho vật dao động dọc
theo lò xo đợc tần số riêng
1
f
. Gắn vật đó vào lò xo 2 rồi cho vật dao động dọc theo lò xo đợc
tần số riêng
2
f
. Chập hai lò xo lại thành một lò xo mới (dài bằng mỗi lò xo cũ), gắn vật vào và
cho dao động dọc theo lò xo, tính tần số riêng.
A.
.
21
ff
+
B.
.
21
ff

B.
.
2
2
2
1
21
ff
ff
+
C.
.
21
21
ff
ff
+
D.
.
2
21
ff
+
1.82. Một con lắc đơn có chu kì dao động riêng là T. Chất điểm gắn ở cuối con lắc đơn đợc
tích điện. Khi đặt con lắc trong điện trờng đều nằm ngang, ngời ta thấy ở trạng thái cân bằng nó
bị lệch một góc /4 so với trục thẳng đứng hớng xuống. Tính chu kì dao động riêng của con lắc
trong điện trờng.
A.
.
2


D.
.10.4
2
J

1.84. Kéo từ từ lò xo bằng một lực tăng dần. Đến khi lò xo giãn 1cm thì lực đó bằng 2N.
Tính thế năng của lò xo lúc đó.
A.
.10
2
J

B.
.10.2
2
J

C.
.10.5,0
2
J

D.
.10.4
2
J

1.85. Có hai chất điểm dao động điều hoà cùng một phơng, cùng tần số f quay quanh một
điểm O. Lờy chất điểm 1 làm mốc, xét toạ độ của chất điểm 2 tơng đối với chất điểm 1. Biết

1.87
*
. Cho hệ dao động ở hình bên. Thanh vô cùng nhẹ dài l có thể quay không ma sát
quanh một đầu A cố định. Đầu còn lại của thanh đợc gắn với một chất điểm khối lợng m. ở giữa
thanh có gắn một lò xo vô cùng nhẹ có hệ số đàn hồi k vuông góc với thanh (lò xo có một đầu
gắn lên tờng). ở vị trí cân bằng thanh thẩng đứng. Tính tần số góc của dao động nhỏ của m.
A.
.
2
1
m
k
l
g
+
B.
.
l
g
C.
.
2m
k
l
g
+
D.
.
4m
k

. Cho hệ dao động ở hình bên. Thanh vô cùng nhẹ dài l có gắn chất điểm khối lợng m
ở giữa, thanh có thể quay không ma sát quanh đầu A. Một lò xo vô cùng nhẹ có hệ số đàn hồi
k đợc gắn vuông góc với thanh ở đầu di động (lò xo có một đầu gắn lên tờng). ở vị trí cân bằng
thanh thẩng đứng. Tính tần số góc của dao động nhỏ của m.
A.
.
2
m
k
l
g
+
B.
.2
m
l
l
g
+
C.
.
2m
k
l
g
+
D.
.
42
m

+
D.
.
2m
k
l
g
+
1.91. Một con lắc đơn có chu kì dao động riêng nhỏ bằng T khi đợc treo trên tờng. Tính chu
kì dao động riêng nhỏ của con lắc đơn khi nó đợc treo trong một xe chuyển động nhanh dần
đều theo phơng nằm ngang, biết rằng ở vị trí cân bằng con lắc đơn làm với phơng thẳng đứng
một góc 45
0
.
A.
.
2
T
B.
.
2
4
1
T
C.
.
2
T
D.
.2

x
+
D.
.

v
x
+
1.94. Cho hai con lắc lò xo nằm ngang, mỗi con lắc lò xo gồm một lò xo nhẹ gắn với một
chất điểm.
1) Hai con lắc lò xo giống nhau nhng biên độ dao động con lắc lò xo 2 gấp đôi biên độ dao
động con lắc lò xo 1 thì cơ năng con lắc lò xo 2 gấp mấy lần cơ năng cơ con lắc lò xo 1?
2) Hai con lắc lò xo có cùng biên độ dao động nhng độ cứng lò xo 2 gấp đôi độ cứng lò xo
1 thì cơ năng con lắc lò xo 2 gấp mấy lần cơ năng con lắc lò xo 1?
A. 1) 4. 2) 2. B. 1) 2. 2) 2. C. 1) 2. 2) 4. D. 1) 4. 2) 4.
1.95
*
. Cho một con lắc lò xo gồm một lò xo nhẹ có độ cứng k gắn với một chất điểm khối l-
ợng m, có thể dao động không ma sát trên trục x nằm ngang dọc theo lò xo. Tại thời điểm t=0
tác dụng vào chất điểm m một ngoại lực F không đổi hớng theo chiều dơng trục x. Tìm biểu
thức toạ độ x của chất điểm m theo thời gian, lấy mốc là vị trí cân bằng mới.
A. 0. B.
.
2
sin














+

t
m
k
k
F
1.96. Có hai con lắc đơn khối lợng
,
, mm
, con lắc khối lợng m dài gấp đôi con lắc khối lợng
,
m
. Chúng đợc treo trên hai dây có cùng một phơng thẳng đứng sao cho các chất điểm khối l-
ợng
,
, mm
ở đầu các con lắc tiếp xúc nhau. Kéo chất điểm m lệch khỏi vị trí cân bằng một đoạn
A nhỏ rồi thả nhẹ. Sau va chạm hai chất điểm
,
, mm
dính vào nhau. Tìm biên độ dao động của

,
m
Amm
+
1.97. Hai lò xo 1, 2 có hệ số đàn hồi tơng ứng
21
, kk
với
21
4kk
=
. Mắc hai lò xo nối tiếp với
nhau rồi kéo hai đầu tự do cho chúng giãn ra. Thế năng của lò xo nào lớn hơn và lớn gấp bao
nhiêu lần so với lò xo còn lại?
A. Thế năng lò xo 1 lớn gấp 4 lần thế năng lò xo 2.
B. Thế năng lò xo 1 lớn gấp 2 lần thế năng lò xo 2.
C. Thế năng lò xo 2 lớn gấp 2 lần thế năng lò xo 1.
D. Thế năng lò xo 2 lớn gấp 4 lần thế năng lò xo 1.
1.98
*
. Có hai lò xo nhẹ dài bằng nhau, đều có độ cứng bằng k. Một đầu của mỗi lò xo đợc
treo trên trần. Các đầu còn lại đợc gắn với một chất điểm khối lợng m. Trục các lò xo đối xứng
nhau qua đờng thẳng đứng và làm với đờng thẳng đứng góc 60
0
ở trạng thái cân bằng. Tìm tần
số góc của dao động riêng nhỏ thẳng đứng của hệ trên.
A.
.
m
k

k
C.
.
m
k
D.
.
2
3
m
k
1.100
*
. Có ba lò xo nhẹ dài bằng nhau và đều có độ cứng k. Các lò xo đợc gắn với nhau ở
một đầu của mỗi lò xo. Lò xo dới cùng thẳng đứng. Đầu dới của lò xo này đựơc gắn với một
chất điểm khối lợng m. Các đầu còn lại của hai lò xo phía trên đợc giữ cố định . Trong trạng thái
cân bằng các lò xo làm với nhau các góc 120
0
. Tìm tần số góc của dao động riêng nhỏ thẳng
đứng của hệ trên.
A.
.
3m
k
B.
.
3
m
k
C.

1.4.C.
( ) ( )
.cossin
2222
22






+
+
++
+
+=

t
BA
B
t
BA
A
BAx

Đặt

sin,cos
2222
=

2




==
T
Sau khoảng thời gian

/2
1
=
T
thì
2
x
trải qua hai chu kì nên
cũng lặp lại. Vậy sau khoảng thời gian
1
T
thì
21
, xx
lặp lại và do đó x lặp lại.
1
TT
=
là chu kì
lặp lại của x.
1.7. C. Hàm x


=
T
. Để x tuần hoàn thì nó cần có chu kì T. Sau khoảng thời gian T thì
1
x
phải lặp lại nên
11
TnT
=
(với
1
n
nguyên). Sau khoảng thời gian T thì
2
x
phải lặp
lại nên
22
TnT
=
(với
2
n
nguyên)
2
1
2
1
1

2
1
n
n
=


Chọn
21
, nn
nhỏ nhất thoả mãn hệ thức đó. Lúc
đó
2211
TnTnT
==
là chu kì của x.
1.8. B. Lực lò xo tác dụng lên m bằng kx (theo sách giáo khoa). 2) Lực m tác dụng lò xo
bằng kx (theo định luật 3 của Niutơn).
1.9. B.
( ) ( )
,sin,sin
2,,

+==+=
tAxatAx
.
2
max

Aa

2
111121
kkkxF
x
kxkF
=====
1.11. A. Ta hãy kéo lò xo mới giãn ra một đoạn x bằng một lực F. Lực kéo đặt nửa 1 là
1
F
,
lực kéo đặt vào nửa 2 là
.2;
12112
FFFFFF
=+==
Gọi độ cứng của lò xo mới, của nửa 1 là
1
,
, kk
, ta có
.,
11
,
xkFxkF
==
Từ
.222
1
,
1

1
,,
k
F
x
k
F
k
F
x
k
F
x
====
vào
biểu thức
21
xxx
+=
ta đợc

.
111
21
21
2121
kk
kk
k
kkkk

mãn điều kiện đầu
.0)0(,)0(
,
0
==
xxx
Chỉ có đáp án A thoả mãn điều kiện đầu. Cũng có thể
giải trực tiép nh sau:
Đặt
( )

+==+=
tAxmktAx cos;/);sin(
,
;
).2(0cos)0();1(sin)0(
,
0
====

AxxAx
Từ (2):
.2/

=
Với
2


=




+=






==




txtxxxA
1.15. A. Có thể dùng phơng pháp loại trừ và thấy ngay là các đáp án B, C, D không thoả
mãn điều kiện đầu
.)0(,0)0(
0
,
vxx
==
Cũng có thể giải trực tiép nh sau:
( )

+==+=
tAxmktAx cos;/);sin(
,
;

có:
( )
.sinsin;
000
t
v
t
v
x
v
A




=+==
1.16.A.
( )

+==+=
tAxmktAx cos;/);sin(
,
);2(cos);1(sin
00
vAxA
==

Chia
từng vế (1) cho (2):
;

( )
.sin
2
0
2
0
0
0
2
0
2
0
0
0
2
0
2
02


+






+=



Khi chất điểm ở trạng thái cân bằng ta có
( )
mgllk
=
0
, suy ra
( )
.//
0
llgmk
=
Do
đó
( )
./
0
llg
=

1.18. B.
1.19. B.
1.20. C.
1.22. D. 1) Gia tốc hòn bi
s
l
g
s
=
,,
( với s là li độ) không phụ thuộc m.

2/
,
,
,,
A
AA
l
g
l
g
====



1.25. B.
1.26. A.
1.27. A.
1.28. A.
1.29. A.
1.30. B. Hớng trục toạ độ thẳng đứng xuống dới. Độ giãn tại vị trí cân bằng
.
0
k
mg
x
=
Khi có li độ x so với vị trí cân bằng, tổng hợp lực vào m bằng
( )
mkxxxkmgF
==

1.35. C.
1.36. D.
1.37. B.
1.38. A. Trong thời gian dài dao động của hòn bi là dao động cỡng bức. Dao động cỡng
bức này là tổng của hai dao động điều hoà với tần số góc

=
1
và

2
2
=
hay với chu kì

/2
1
=
T
và
2/
12
TT
=
. Sau thời gian
1
T
thì dao động thứ nhất trải qua một chu kì, dao động
điều hoà thứ hai trải qua hai chu kì nên cả hai dao động điều hoà đều lặp lại. Vởy chu kì chung
./2

=
. Phơng trình dao động của m so với vị trí cân bằng: x=Asin(
+
t

). Dây không bị
trùng thì tổng hợp lực tác dụng vào M phải bằng không:
( )
0
0
=++=
TMgXxkF
, trong đó T là
lực căng của dây. Điều kiện để dây treo không bị trùng là T>0. (Điều kiện này bao gồm cả trờng
hợp
( ) ( ) ( ) ( )

+>+>++=
+
tAkgmMtgAmMTT sin0sin)0
. Điều này phải đúng cho mọi
t, do đó phải đúng với t làm cho
( ) ( )
,/1sin kgmMAt
+<=+


( )
./
min

1 tll

+=
,
( ) ( ) ( )
121202
1/11 ttltll

++=+=
;
( ) ( )( )
12122
1/12/2 tgtlglT

++==
.
1.46. B. x=Asin(
+
tmk /
). Nếu lấy A>0 thì
2/0

<<
vì trong khoảng đó
( ) ( )
00,00
,
>>
xx
. Năng lợng toàn phần bằng

gShmg
n

.
ở vị trí bất kì tổng hợp lực lên ống bằng
( )
mahhgSgShmg
nn
==
00

. Đặt
0
hhx
=
,
0
,,
,0
h
g
m
gS
x
m
gS
x
nn
===+


. Lực đàn hồi của lò xo bằng
0
2kx
bằng lực căng
T của dây. Do có hai lực căng T lớn tác dụng vào hai bên ròng rọc nên điều kiện cân bằng của
m là
k
mg
xmgkx
4
4
00
==
. Khi m lệch một đoạn m so với vị trí cân bằng, tổng hình chiếu
lên trục x của các lực căng tác dụng ròng rọc bằng
( )
0
4 xxk
+
. Ta có phơng trình
định luật 2 Niutơn:
( )
m
k
x
m
k
xmgxxkmx 20
4
4

,
11
mvmvmv
mvmvmv
+=+=
Thấy ngay nghiệm
0,
,
11
,
2
==
vvv
thoả mãn hệ
phơng trình này (nghiệm
0,
,
11
,
2
==
vvv
cũng thoả mãn hệ phơng trình nhng ứng với trờng
hợp hai con lắc cha va chạm nên bị loại). Bằng qúa trình va chạm hai con lắc trao đổi vận tốc
cho nhau. Ta hãy xét quá trình từ lúc con lắc 1 bắt đầu đi lên .Con lắc 1 đi lên và quay lại,
chuyền vận tốc cho con lắc hai rồi dừng lại, hoàn thành một nửa chu kì. Tiếp đến con lắc hai
thực hiện một nửa chu kì với việc đi lên, đi xuống rồi chuyền vận tốc cho con lắc 1. Chu kì của
con lắc 1 vẫn giống nh khi không có con lắc hai và bằng
gl /2


T
gm
xm
=
2
2
,,
2
. (với T là lực căng của dây ). Cộng từng vế hai phơng trình:
( ) ( )
.
20
,,
21
gmxxkxmm
++=+
. Khi hệ đứng yên ở vị trí cân bằng thì x=0,
kgmxx /0
20
,,
==
. Do
đó
( ) ( )
./
21
,,
21
mmkkxxmm
+==+

1
2
1
2
1
21






+=+=
g
l
TTT

1.53.A. Sau va chạm hai khối lợng dính làm một có vận tốc
0
v
,
( )
mm
vm
vvmmvm
+
=+=
1
01
00111

+
===
1.54.D.
,,cos,sin
max
,
l
g
Avt
l
g
l
g
Ast
l
g
As
=








+=




1
m
là
tAs

cos
,
1
=
. Vận tốc của
1
m
ngay trớc va chạm là

A
. Phơng trình dao
động của chất điểm khối lợng
mm
+
1
có dạng
tAs

cos
0
=
. Vận tốc của
mm
+
1

góc giao tuyến
,
MM
của mặt phẳng quỹ đạo và mặt phẳng nằm ngang do đó có hứơng không
đổi. Chính
,
P
có tác dụng gây nên dao động, đóng vai trò trọng lực hiệu dụng.

sin
,
mgP
=
;
,
P
hiệu dụng tơng ứng với gia tốc trọng
trờng hiệu dụng

sin
,
,
g
m
P
g
==
. Tần số góc của con lắc đơn bằng
.
sin