Xuân Đức 66
Đề số 14
Đề thi hs giỏi môn toán 9 vòng 2
Năm học: 2008-2009
Thời gian 150 phút
Bài 1: a) Cho cỏc s thc dng x; y. Chng minh rng:
yx
x
y
y
x
22
++
.
b) Cho n l s t nhiờn ln hn 1. Chng minh rng
n4
4n
+
l hp s
Bài 2 : a) Thc hin phộp tớnh:
35
126320103

+
.
b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
2008xx

.
Bài 3: a) Cho x =
( )

, lần lợt là các đờng cao tơng ứng với các cạnh, a, b, c của
ABC
CMR:
2 2 2 2 2 2
( )( ) 36
a b c
a b c h h h+ + + +
Bài 5: Cho tam giỏc ABC. P l im nm trờn ng thng BC, trờn tia i cu tia AP ly im D
sao cho
2
BC
AD =
. Gi E v F theo th t l trung im cu DB v DC. Chng minh rng ng
trũn ng kớnh EF luụn i qua mt im c nh khi P di ng trờn BC

Xu©n §øc 66
§¸p ¸n
Bµi 1: a) Với x và y đều dương, ta có
yx
x
y
y
x
22
+≥+
(1)

0)yx)(yx()yx(xyyx
233
≥−+⇔+≥+⇔

k+1
) = [( n+2
k
)
2
+ 2
2k
][(n – 2
k
)
2
+ 2
2k
]. Mỗi thừa số đều lớn
hơn hoặc bằng 2. Vậy n
4
+ 4
n
là hợp số
Bµi 2: a) Biến đổi được:
223
35
)223)(35(
+=
−
+−
b) Điều kiện
2008x
≥
4

xkhi
4
8031
=
.
Bµi 3: a) Ta có x =
( ) ( )
( )
3
3
2
10 6 3 3 1
5 1 5
+ −
+ −

=
( ) ( )
3
3
10 6 3 6 3 10
8 2
1
+ −
= =

Suy ra x
3
– 4x + 1 = 1
Suy ra P =

 ÷  ÷
 ÷  ÷
 
   
 
⇔
3
3
125
6 3 .
27
P P= −
⇔
3
5 6 0P P+ − =
⇔ (P – 1).(P
2
+ P + 6) = 0
⇔ P = 1 (vì P
2
+ P + 6 > 0). Vậy P là một số nguyên.
Bµi 4:
¸p dông B§T Cosi cho 3 sè d¬ng ta cã:

2 2 2 3 2 2 2
3 . .a b c a b c+ + ≥
(1) (V× a, b, c > 0)

2 2 2 3 2 2 2
3 . .

1
ABC
S
∆
=
(GT) (4)
Tõ (3) vµ (4) suy ra:
. . . 2
a b c
h a h b h c= = =
(2*)
Tõ (*) vµ (2*) suy ra:

2 2 2 2 2 2
( )( )
a b c
a b c h h h+ + + + ≥
3 2 2 2 3 2 2 2
9. ( . ) .( . ) ( . ) 9. 2 .2 .2 36
a b c
a h b h c h = =
VËy
2 2 2 2 2 2
( )( )
a b c
a b c h h h+ + + + ≥
36
(§PCM)
Bµi 5:
Gọi M là trung điểm cuả BC

E
D
MB C
A
P