TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

TRỊNH THỊ NHƯ QUỲNH

BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI
TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học

Người hướng dẫn khoa học
TH.S DƯƠNG THỊ HÀ

HÀ NỘI, 2013


Khãa luËn tèt

Trêng §HSP Hµ Néi 2
LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình
của cô giáo, thạc sĩ Dương Thị Hà, khóa luận của tôi đến nay đã hoàn thành.
Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc của mình tới cô Dương Thị Hà,
người đã trực tiếp hướng dẫn chỉ bảo cho tôi nhiều kinh nghiệm quý báu trong
thời gian tôi thực hiện khóa luận này. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn ban
giám hiệu, các thầy cô trong khoa toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã
tạo điều kiện tốt nhất giúp tôi hoàn thành khóa luận đúng thời hạn.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa
do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên mặc dù đã có nhiều cố
gắng song không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự đóng
góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của tôi

1.1.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị.........................................................3
1.1.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị...........................................................4
1.1.4. Quy tắc tìm cực trị...................................................................................5
1.2. Các dạng toán cực trị trong chương trình toán phổ thông...........................7
1.2.1. Cực trị của hàm số đa thức và hữu tỉ........................................................7
1.2.2. Cực trị của hàm số vô tỉ.........................................................................11
1.2.3. Cực trị của hàm siêu việt và lượng giác.................................................13
1.2.4. Các bài toán cực trị trong hình học........................................................16
1.3. Các sai lầm học sinh thường gặp khi giải toán về cực trị của hàm số.......20
1.3.1. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt................................................20
1.3.2. Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan.............................................20
1.3.3. Sai lầm liên quan đến sử dụng định lí....................................................22
Kết luận chương 1............................................................................................26
Chương 2: Một số dạng toán về cực trị của hàm số trong các kì thi tuyển sinh
đại học, cao đẳng.............................................................................................27
2.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba y  ax3  bx2  cx  d (a  0)................27
2.1.1. Các bài toán về sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị.........................28
2.1.2. Tìm điều kiện để cực đại, cực tiểu thỏa mãn một hệ thức cho trước......30
2.1.3. Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu..............32
2.1.4. Luyện tập...............................................................................................35


4

2

2.2. Cực trị của hàm số trùng phương y  ax  bx  c (a  0).....................41

2.2.1. Các bài toán về sự tồn tại cực trị.......................
2.2.2. Tìm điều kiện để hàm số có cực

cực tiểu...................................................

2.3.4. Luyện tập................................................
Kết

luận

chương

2…………………………………
………………………...59

Kết

luận
chung……………………………
………………………………….6
0
TrÞnh ThÞ Nh

Tài

liệu
Líp K35E

tham


khảo………………………………
…………………………...61

Với những lí do trên, cùng với sự đam mê của bản thân và sự hướng dẫn
nhiệt tình của cô giáo Dương Thị Hà, tôi lựa chọn đề tài: “Bài toán về cực trị
của hàm số trong đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng”.

TrÞnh ThÞ Nh

7

Líp K35E


TrÞnh ThÞ Nh

8

Líp K35E


2. Mục đích nghiên cứu
+ Nghiên cứu lí luận về nội dung cực trị của hàm số trong môn Toán ở
trường trung học phổ thông.
+ Hệ thống hóa các dạng bài tập về cực trị của hàm số trong chương
trình toán trung học phổ thông và trong kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng. Từ
đó phát triển kĩ năng giải toán cực trị của học sinh, góp phần nâng cao chất
lượng dạy học toán phổ thông.
3. Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán về cực trị của hàm số trong các kì thi tuyển sinh đại học,
cao đẳng.
4. Phạm vi nghiên cứu
Sách giáo khoa lớp 12, Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng và một số

Ta thừa nhận định lí sau:
Định lí 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại
x0 thì f (x0) = 0.
Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần vì có thể đạo hàm của hàm số bằng 0
tại điểm x0 nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm x0.
Ví dụ:
Xét hàm số

3

y  f (x)  x ,
có

f  (x)  3x

2

và f (0)  0 . Tuy nhiên hàm

số f không đạt cực trị tại điểm x = 0. Thật vậy, vì f  (x)  3x2  0 với mọi
x  0 nên hàm số luôn đồng biến trên □ .


Xét hàm số y  f (x)  x
f (x) 
0

là hàm số xác định trên □ có f (0)  0 và

với mọi x  0. Nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 0. Nhưng hàm số


a

b
+



f(x0) (cực tiểu)


x
f (x)

a

x0

b




f(x0) (cực đại)

f(x)

Định lí 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a ; b) chứa điểm
x0, f (x) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
a) Nếu f (x) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.

f  (x)  0  x  1.
Hàm số liên tục tại x  0 nhưng không có đạo hàm tại x  0 .
Sau đây là bảng biến thiên :
x

f (x)

+

1
0
1

0

+
+



+

f(x)
0



Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x  1, f (1)  1

và hàm số đạt cực



Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm x   n, f
 n  1 và


4
4


 

hàm số đạt cực tiểu tại x   (2n  1) , f
 (2n  1)
 5 .


2
4
2  4
Chú ý: Nếu f (x0 )  và f  (x )  0 thì ta không tìm được cực trị của hàm số
0
0
yf
(x)

theo quy tắc 2. Khi đó ta phải tìm cực trị của hàm số theo quy tắc 1

chứ không được kết luận hàm số không có cực trị.
Quy tắc 2 thường tìm cực trị của hàm số mà việc xét dấu đạo hàm cấp 1


+

y

0
0
0



3

2

2

2

5

.

3
5

+

3



108
 3125

x

3

, giá trị cực đại của hàm số là
5
. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1, giá trị cực tiểu của hàm số là

yCT  0 .
4

3

2

Ví dụ 2. Cho hàm số f(x) = x + 8mx + 3(1 + 2m) x  4 (m là tham số). Tìm
m để đồ thị hàm số chỉ có một cực tiểu mà không có cực đại.
Giải: Hàm số đã cho xác định trên □ .
3

2

2


Ta có f  (x)  4x  24mx  6(1 2m)x  2x  2x


sang dương qua điểm x = 0. Suy ra hàm số chỉ có một cực tiểu tại x = 0 mà
không có cực đại.
Vậy với mọi m 1  7 1
;

6
 6

7



thỏa mãn điều kiện bài toán.

+ Trường hợp 2: t(x) có hai nghiệm phân biệt đều khác 0. Khi đó
phương trình f (x) = 0 có ba nghiệm phân biệt mà f (x) là đa thức bậc ba nên
nó đổi dấu liên tiếp qua ba nghiệm đó.
Vì vậy hàm số có cực tiểu và cực đại nên không thỏa mãn điều kiện bài toán.
+ Trường hợp 3: t(x) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm
1
bằng 0. Ta có t(0) = 0 hay 3(1 + 2m) = 0  m   .
2


2

Khi đó f (x) = 4x (x  3), f  (x)  0  x  0; x  3 .
Bảng biến thiên:
x

 
;

 

6
6
2


 
một cực tiểu mà không có cực đại.

thì hàm số đã cho chỉ có

1.2.1.2. Cực trị của hàm số hữu tỉ
Khi giải các bài toán đối với hàm số hữu tỉ ta cần chú ý các đặc điểm sau:
2

 Hàm số: y 

ax  bx  c
ax  b

(ax  b  0, a  0) có cực đại, cực tiểu 

phương trình: y= 0 có hai nghiệm phân biệt.
 Nếu hàm hữu tỉ:

P(x) ( Q(x)  0) đạt cực trị tại x0 thì giá trị cực

; y  0    x  0
Ta có: y  3x (x 1)  2x 
2
2
2
2
x  
(x 1)
(x  1)

3

; y không xác

định tại x  1.
3 tại đó đạo hàm bị

Từ đó ta thấy hàm số có 5 điểm là: x = 0, x  
triệt tiêu và x  1 tại đó đạo hàm không tồn tại.
Ta có bảng biến thiên:
x 
y

 3

+

0




Từ bảng biến thiên ta có:
Hàm số đạt cực đại tại x   3 , giá trị cực
đại:

3
x  2x  a
2

Ví dụ 2. Cho hàm số y 

2

x  2x  2

+

+



Hàm số đạt cực tiểu tại x 

+

, giá trị cực tiểu:

y

y

2

y  0  4x  2(2  a)x  2(2  a)  0

2
  a  4a  20  0,a

(*)

 Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân

Vậy hàm số luôn có cực đại và cực tiểu. Gọi x1, x2 là nghiệm của (*),

khi đó A(x1 ; y1), B(x2 ; y2) là các điểm cực trị của hàm số.
TrÞnh ThÞ Nh

17

Líp K35E


2

Ta lại có giá trị cực trị là: y 

(x  2x  a)
2

(x  2x  2)



2

  . Ta thấy: x 
y
4  x 
2

2

Vì y(

D  2; 2 .

; y  0  4  2x

2x x  6

2

yx 4x .

2

2; x   2 .

0 x

2; x   2 thuộc tập xác định của hàm số.


a(x  2)
;
2
x  4x  5

y

a
.
(x2  4x  5)3


y (x )  0

 x 2  4x
 a(x 0  2)
0
0 5 a
2

2
 2 (1)


 x  4x  5
 
x 2
0
0
0


x2

0

Ta có: f (x )0 

x 02  4x 0 5

 1; lim f (x )  lim
0



1

x2

 

x 2



0

 0 , x (;
2) .
0


b) Hàm số có cực đại.

2

mx  4x  1 
Giải: Điều kiện xác định của hàm số là:
0
Ta có: y 

(1)
2

mx  2 mx  4x 1


; y  0  mx  2 
0

(*)


a) Hàm số không có cực trị  (*) vô nghiệm hoặc (*) có nghiệm không
thỏa mãn (1).





 m  0
 


 0  m  4
  1  0
0


 m
m
  m 
Vậy với 0  m  4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
 m 

b) Hàm số có cực đại  (*) có nghiệm thỏa mãn điều kiện (1) và y đổi dấu từ
dương sang âm.
m  0

m0

 m  0 

m4



  m 2  2 8
    10
m
m
  


Bảng biến thiên:
x




y
y

+

0
+

+

0
1

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 1.


ln x
y x .
Giải: Tập xác định của hàm số là: D  (0; ) .
1 ln x
, y  0  1  ln x  0  x  e
Ta có: y 
Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số:



.

CĐ

e
Nhận xét: Để tìm cực trị của hàm số siêu việt sau khi tính y nên giải bất
phương trình y  0 (y  0)  giải bất phương trình mũ hoặc logarit từ
nghiệm của bất phương trình đó suy ra điểm cực trị của hàm số siêu việt.
1.2.3.2. Cực trị của hàm số lượng gác
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số sau: y  cos x 

1
2

cos 2x 1.

Giải: Tập xác định của hàm số là: D  □ . Ta có:

y '   sin x  sin 2x   sin x(1  2 cos x) , y  0  

x1  k
 x2  


2
3

 2k