Khãa luËn tèt

Trêng §HSP Hµ Néi 2

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong Toán học nói chung và trong chương trình Toán ở nhà trường
phổ thông nói riêng, chủ đề về bất phương trình có một vị trí rất quan trọng.
Theo Ăngghen thì Toán học nghiên cứu mối quan hệ số lượng và hình học
không gian của thế giới khách quan. Quan hệ bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn giữa
hai đại lượng là một quan hệ số lượng rất cơ bản. Điều này nói lên vai trò quan
trọng của phương trình và bất phương trình trong Toán học. Kiến thức và kỹ
năng về chủ đề bất phương trình có mặt xuyên suốt trong chương trình môn
toán ở nhà trường phổ thông, đặc biệt trong các kỳ thi đại học, cao đẳng.
Trong chương trình Đại số lớp 10, các em học sinh đã được tiếp cận
với các dạng bất phương trình cơ bản cũng như cách giải những dạng bất
phương trình cơ bản đó. Tuy nhiên trong thực tế, các bài toán giải bất phương
trình rất phong phú và đa dạng đòi hỏi các em phải vận dụng những kiến thức,
kỹ năng một cách tổng hợp. Trong các đề thi đại học, cao đẳng các em học
sinh có thể gặp một lớp các bài toán về bất phương trình mà chỉ có một số ít
học sinh biết phương pháp giải nhưng trình bày còn chưa logic, chưa gọn
gàng sáng sủa, thậm chí còn mắc phải một số sai lầm không đáng có. Vì vậy,
bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về bất phương trình một cách
đầy đủ theo quy định của chương trình thì việc rèn luyện kỹ năng giải bất
phương trình cho học sinh cũng có một ý nghĩa rất quan trọng trong việc nâng
cao chất lượng dạy học môn toán ở nhà trường phổ thông.
Với mong muốn giúp các em học sinh có được những kỹ năng, kỹ xảo
cần thiết khi giải các bài toán về bất phương trình cũng như giúp bản thân có
được kiến thức, kỹ năng vững vàng hơn về việc dạy học phần bất phương
trình sau khi ra trường, với những lý do trên tôi chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ
năng giải các bài toán về bất phương trình cho học sinh lớp 10”.

cho học sinh lớp 10.


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Khái niệm
1.1.1. Bài toán
Theo G.POLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một
cách có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định
trông thấy rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay.
Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng: Bài
toán là sự đòi hỏi phải đạt tới mục đích nào đó. Như vậy bài toán có thể đồng
nhất với một số quan điểm khác nhau về bài toán: Đề toán, bài tập…
1.1.2. Các yếu tố cơ bản của bài toán
Trong định nghĩa về bài toán ở trên ta thấy có hai yếu tố chính hợp
thành của một bài toán đó là: Sự đòi hỏi của bài toán và mục đích của bài
toán.
1.1.3. Lời giải của bài toán
Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần thực
hiện để đạt tới mục đích đã đề ra.
Như vậy ta thống nhất lời giải, bài giải, cách giải, đáp án của bài toán.
Một bài toán có thể có:
Một lời giải.
Không có lời giải.
Nhiều lời giải.
Giải một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời
giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lý giải được bài
toán là không giải được trong trường hợp nó không có lời giải.



1.2.3. Ý nghĩa
Ở trường phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng cố,
hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận dụng kiến
thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn đề mới, là
hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và
khả năng vận dụng kiến thức đã học. Việc giải bài tập toán có tác dụng lớn
trong việc gây hứng thú học tập cho học sinh nhằm phát triển trí tuệ và góp
phần giáo dục, rèn luyện con người cho học sinh về nhiều mặt. Việc giải một
bài toán cụ thể không những nhằm một dụng ý đơn nhất nào đó mà thường
bao hàm ý nghĩa nhiều mặt như đã nêu ở trên.
1.3. Vị trí và chức năng của bài tập toán
1.3.1. Vị trí
Ở truờng phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học
sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các
bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không
thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư
duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động
giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở
trường phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học
có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán.
1.3.2. Các chức năng của bài tập toán học
Mỗi bài tập toán đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học
đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau.
Các chức năng đó là:
- Chức năng dạy học.
- Chức năng giáo dục.
- Chức năng phát triển.
- Chức năng kiểm tra.



1.4.2. Phân loại theo phương pháp giải bài toán
Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán: Bài toán này có
angorit giải hay chưa để chia các bài toán thành hai loại:
- Bài toán có angorit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó
theo một angorit nào đó hoặc mang tính chất angorit nào đó.
- Bài toán không có angorit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của
nó không theo một angorit nào hoặc không mang tính chất angorit nào.
1.4.3. Phân loại theo nội dung bài toán
Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát biểu theo thuật
ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành
các loại khác nhau như sau:
Bài toán số học.
Bài toán đại số.
Bài toán hình học.
1.4.4. Phân loại theo ý nghĩa giải toán
Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài toán:
Bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kỹ năng nào
đó, hay là bài toán nhằm phát triển tư duy. Ta có hai loại bài toán như sau:
- Bài toán củng cố kỹ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay
sau khi học một hoặc một vài kiến thức cũng như kỹ năng nào đó.
- Bài toán phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống
các kiến thức cũng như kỹ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tư
duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.
1.5. Phương pháp tìm lời giải của một bài toán
Trong môn toán ở trường phổ thông có nhiều bài toán chưa có hoặc
không có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất
cả các bài toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài


toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong

1.5.3. Bước 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành
một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các
bước đó.
1.5.4. Bước 4: Kiểm tra và Nghiên cứu sâu lời giải
- Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải.
- Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải
một loại bài toán nào đó.
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
1.6. Những kỹ năng thường sử dụng khi dạy học giải bài tập toán
1.6.1. Kỹ năng giải toán
Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải
các bài tập toán (bằng suy luận, chứng minh). Để thực hiện tốt môn toán ở
trong trường trung học phổ thông, một trong những yêu cầu được đặt ra là: Về
tri thức và kỹ năng, cần chú ý những tri thức, phương pháp đặc biệt là tri thức
có tính chất thuật toán và những kỹ năng tương ứng. Chẳng hạn: Tri thức và
kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, tri thức và kỹ năng chứng
minh toán học, kỹ năng hoạt động và tư duy hàm, ... Cần chú ý là tùy theo nội
dung kiến thức toán học mà có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng khác nhau.
- Kỹ năng giải toán phải dựa trên cơ sở tri thức toán học, bao gồm:
Kiến thức, kỹ năng, phương pháp.
Do đặc điểm, vai trò và vị trí của môn toán trong nhà trường phổ
thông, theo lý luận dạy học môn toán cần chú ý: Trong khi dạy học môn toán
cần quan tâm rèn luyện cho học sinh những kỹ năng trên những bình diện
khác nhau đó là:
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán.
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác.
- Kỹ năng vận dụng tri thức vào đời sống.




CHƯƠNG 2
RÈN LYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TẬP
VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10
2.1. Tầm quan trọng của chủ đề bất phương trình và mục đích yêu cầu
dạy học bất phương trình
2.1.1. Tầm quan trọng của chủ đề bất phương trình
Khái niệm phương trình và bất phương trình là một trong những khái
nệm quan trọng của toán học. Theo Ăngghen thì toán học nghiên cứu mối
quan hệ số lượng và hình học không gian của thế giới khách quan. Quan hệ
bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn giữa hai đại lượng là một quan hệ số lượng rất
cơ bản. Điều này nói lên vai trò của phương trình và bất phương trình. Đặc
biệt trong chương trình toán phổ thông nó là một trong những nội dung cơ
bản và vô cùng quan trọng, việc trình bày lý thuyết, bài tập phương trình và
bất phương trình một cách hợp lý là yêu cầu của cải cách giáo dục.
Ngay từ bậc tiểu học học sinh đã được làm quen một cách ẩn tàng với
những phương trình và bất phương trình kể cả việc giải chúng. (Chẳng hạn điền
số thích hợp vào ô trống □  3 , tìm số tự nhiên x sao cho
tổng

x  4  10 ).

Khái niệm bất phương trình được định nghĩa chính thức ở lớp 8 và
được hệ thống lại ở lớp 10. Trong sách giáo khoa Đại số 10 có nêu hai vấn đề
chính:
- Bất phương trình bậc nhất.
- Bất phương trình bậc hai.
Việc trình bày hệ thống đầy đủ hai loại bất phương trình trên có rất
nhiều ích lợi trong việc giải toán lớp 10 nói chung và là công cụ để giải toán

đơn giản với hệ số bằng số. Lên lớp 10 học sinh được tổng kết lại những kiến
thức đã học, và hoàn thiện chúng, đi tới cách phát biểu tổng quát về khái niệm


bất phương trình bậc nhất một ẩn. Học sinh được học về các phép biến đổi
tương đương bất phương trình một cách cụ thể, sâu sắc.
* Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình có dạng :
ax  b  0

(hoặc ax  b  0 ; ax  b  0 ; ax  b  0 ) trong đó x là ẩn a, b là
các số đã cho; a  0 .
* Bất phương trình tương đương
Định nghĩa:
Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng
một tập hợp nghiệm.
* Các phép biến đổi tương đương
Định lí 1:
Nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của một bất phương
trình thì được một bất phương trình mới tương đương.
Hệ quả 1:
Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một bất phương trình thì
được một bất phương trình tương đương.
Hệ quả 2:
Nếu chuyển hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu của nó thì được
một bất phương trình tương đương.
Định lí 2 :
+ Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số dương thì
được một bất phương trình tuơng đương.
+ Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số âm và đổi

trái dấu với a

0



cùng dấu với a

* Phương pháp giải bất phương trình bậc nhất 1 ẩn:
Giải và biện luận bất phương trình: ax  b  0
Phương trình được viết lại dưới dạng: ax  b
+ Nếu a  0 thì:
(1)
+ Nếu b 
0
+Nếu b  0
+ Nếu

(1)

 0  b  b  0

thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x  R .
thì bất phương trình vô nghiệm.

a  0 thì (1)  x  

b

. Vậy tập nghiệm của bất phương trình



b

;
.


a

 b

Với a  0 : Tập nghiệm của bất phương trình là T   ; .


a


Với a  0: Tập nghiệm của bất phương trình là T 

2

* Ví dụ: Giải bất phương trình sau: mx  1  m 
x

( với m là tham số )

Học sinh có thể biến đổi tương đương bình thường:
mx 1  m 2  x  mx  x  m2 1 


Bất phương trình bậc nhất hai
ẩn

x; y là bất phương trình có một trong

các dạng: ax  by  c ; ax  by  c ; ax  by  c ; ax  by (trong
c
đó

a,b,c là

những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn số).


Mỗi cặp số (x0; y0) sao cho ax0 + by0 < c gọi là một nghiệm của bất
phương trình ax + by < c.
Nghiệm của các bất phương trình dạng ax + by > c, ax + by ≤ c,
ax + by ≥ c cũng được định nghĩa tương tự.


* Ví dụ: Xét bất phương trình x  2y 1.
Khi thay x  0; y  1 vào vế trái của bất phương trình này thì vế trái
có giá trị nhỏ hơn vế phải của nó, vậy bộ hai số  x; y    0;
1

là một nghiệm

của bất phương trình này.
Dễ thấy rằng, ta có thể tìm được vô số bộ hai số là nghiệm của bất
phương trình trên, như vậy bất phương trình trên có vô số nghiệm. Tổng quát

Nếu ax0 + by0 > c thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) không chứa
điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c.
* Chú ý:
Đối với các

bất phương trình dạng ax + by ≤ c hoặc ax + by ≥ c thì

miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ.
* Ví dụ: Giải bất phương trình: x - y ≥ 1
Hướng dẫn
Bước 1: Vẽ đường thẳng x  y  1
 x  0  y  1
Cho 
 y  0  x 1
Bước 2:Lấy điểm O(0;0).
Bước 3: Thay O(0;0) vào bất phương trình ta có: 0-0

* Định lý thuận về dấu tam thức bậc hai
Định lý:
Xét tam thức bậc hai: f ( x)  ax 2  bx  c
2

Gọi   b  4ac
+ Nếu   0 ; tam thức f (x) cùng dấu với a hoặc bằng 0 với mọi giá trị
của
x

  0 : f (x) cùng dấu với a với mọi x
  0 : f (x)


cùng dấu với a với mọi
f (x)  0 khi
x;

x

b

a


+ Nếu   0, f (x)  0 có hai
nghiệm

x1; x2

a
a




x

b

2



2
b

b
2
a x 2





2a
 2a 
 2a  



+ Nếu   0 : f (x)  a  x  b 
và
 f (x) cùng dấu với a với mọi x  


2a
2a


b
x
f (x)  0
2a
khi

b2
 

+ Nếu   0 : f (x)  0  a  x 
 4a 2   0
2



2
b 





b   


x
Ta có: f (x)  a  x 


   a  x 

2a
2a


2a 

2a  
 

 f ( x)  a  x  x1  x  x2 


Xét dấu:



x

x1

x  x1

+



0

+

trái dấu a

cùng dấu a

* Phương pháp giải bất phương trình bậc hai:
Cách giải:
Theo cách giải đã nêu trong sách giáo khoa: Muốn giải bất phương
trình bậc hai:

2

ax  bx  c  0( 0)(a  0)

ta làm như sau:
2

Xét dấu tam thức bậc hai ở vế trái ax  bx  c
Chọn những giá trị x làm cho vế trái âm hay dương tùy theo chiều của
bất phương trình.
Chú ý: Có khi ta phải giải những bất phương trình dạng: ax2  bx  c  0

( 0) ta bổ sung vào tập hợp nghiệm của bất phương trình ax2  bx  c  0

  0  m  3

f (x)  0  x  
x

1

; 

1

m

2

2
6
Đến bước này có thể học sinh sẽ mắc phải một sai lầm là vội vàng đi
kết luận nghiệm của bất phương trình dẫn đến sai nghiệm.
Vì vậy giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh đi xét các khả năng lớn
hơn hay nhỏ hơn giữa hai nghiệm của tam thức bậc hai f(x) là nghiệm
1
m
x  ;  .
x
1

2

2

T   ;  
2
6 .


x x m3
Khả năng 2: Nếu 1 2
Khi đó ta có bảng xét dấu: