ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG TUẤN DOANH

PHƯƠNG PHÁP GRADIENT TĂNG CƯỜNG
CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT,
BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ BÀI TOÁN BẤT
ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Trương Minh Tuyên

Thái Nguyên – 2017


ii

Lời cảm ơn
Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Trương Minh Tuyên. Tác giả
xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa
học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn
và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận
văn.
Trong quá trình hoàn thiện luận văn, tác giả cũng đã học tập được rất nhiều
kiến thức chuyên ngành bổ ích phục vụ cho công tác và nghiên cứu của bản thân.

1

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

16
18

20
20

25
36
41
46
49


iv

Một số ký hiệu và viết tắt

H

không gian Hilbert

., .

tích vô hướng trên H

.

chuẩn trên H

∪


xn

dãy {xn } hội tụ yếu về x0

x0


1

Mở đầu
Bài toán cân bằng có vị trí quan trọng trong lĩnh vực giải tích phi tuyến, nó
có mối liên hệ mật thiết, qua lại (theo nghĩa bài toán này có thể đưa về bài toán
kia và ngược lại) với một số bài toán quan trọng khác như bài toán tối ưu, bài
toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, bài toán minimax, bài toán điểm bất
động ... Việc nghiên cứu các phương pháp giải bài toán điểm bất động, bài toán
bất đẳng thức biến phân hay bài toán cân bằng (hỗn hợp tổng quát) có nhiều
ý nghĩa thực tiễn trong các lĩnh vực kinh tế, tài chính, cơ khí và khoa học kỹ
thuật ...
Trong những năm gần đây vấn đề nghiên cứu các phương pháp tìm nghiệm
chung của mô hình bao gồm nhiều bài toán khác nhau đã thu hút được nhiều
người làm toán trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Một trong những bài
toán được quan tâm nhiều là bài toán tìm một nghiệm chung của bài toán cân
bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất
động của ánh xạ không giãn.
Mục đích của luận văn này là trình bày lại chi tiết kết quả của các tác giả J.
W. Peng và J. C. Yao trong tài liệu [12] về sự kết hợp giữa phương pháp gradient
tăng cường, phương pháp lặp Mann và phương pháp lai chiếu cho bài toán tìm
một nghiệm chung của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán bất đẳng
thức biến phân và bài toán điểm bất động trong không gian Hilbert.


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này gồm 4 mục. Mục 1.1 trình bày về một số tính chất của không
gian Hilbert. Mục 1.2 giới thiệu về bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không
giãn. Mục 1.3 trình bày về bài toán bất đẳng thức biến phân cùng với hai phương
pháp cơ bản để giải lớp bài toán này (phương pháp gradient và phương pháp
gradient tăng cường). Mục 1.4 tập trung trình bày về bài toán cân bằng cùng
với các bài toán liên quan (bài toán tối ưu, bài toán điểm yên ngựa, bài toán
điểm bất động, bài toán tối ưu hàm lồi khả vi, bài toán bất đẳng thức biến
phân), bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và một số phương pháp giải bài
toán cân bằng. Nội dung của chương này phần lớn được tham khảo từ các tài liệu
[1] và [2].

1.1.

Một số tính chất của không gian Hilbert

Ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng được kí hiệu
là ., . và chuẩn được kí hiệu là . .
Mệnh đề 1.1. Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳng thức sau
x−y

2

+ x−z

2

= y−z


=λ x

2

+ (1 − λ) y

2

− λ(1 − λ) x − y 2 .

(1.1)

Chứng minh. Ta có
λx + (1 − λ)y

2

= λ2 x

2

+ 2λ(1 − λ) x, y + (1 − λ)2 y
2

2

=λ x

2


= λ2 y

2

− 2λ x, y + x 2 ,

với mọi λ ∈ R. Ta thấy rằng nếu y = 0, thì hiển nhiên x và y là phụ thuộc tuyến
x, y
tính. Giả sử y = 0, khi đó với λ =
, thì bất đẳng thức trên trở thành
y 2
| x, y | < x . y ,
điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy x và y là phụ thuộc tuyến tính.
Mệnh đề được chứng minh.
Nhắc lại rằng, dãy {xn } trong không gian Hilbert H được gọi là hội tụ yếu
về phần tử x ∈ H, nếu
lim xn , y = x, y ,
n→∞


5

với mọi y ∈ H. Từ tính liên tục của tích vô hướng, suy ra nếu xn → x, thì
xn
x. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Chẳng hạn xét không gian
∞
2
2
2

bất kỳ thỏa mãn điều kiện xn
x, khi n → ∞. Khi đó, với mọi y ∈ H và y = x,
ta có
lim inf xn − x < lim inf xn − y .
(1.2)
n→∞

Chứng minh. Vì xn
Ta có
xn − y

n→∞

x, nên {xn } bị chặn.

2

= xn − x

2

+ x−y

2

> xn − x

2

+ 2 xn − x, x − y .

Mệnh đề 1.5. Mọi không gian Hilbert thực H đều có tính chất Kadec-Klee, tức
là nếu {xn } ⊂ H là một dãy bất kỳ trong H thỏa mãn các điều kiện xn
x và
xn → x , thì xn → x, khi n → ∞.
Chứng minh. Ta có
xn − x

2

= xn

2

− 2 xn , x + x

2

→ 0, n → ∞.
Suy ra xn → x, khi n → ∞. Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.6. Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert thực
H. Khi đó, với mỗi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử PC x ∈ C sao cho
x − PC x ≤ x − y với mọi y ∈ C.
Chứng minh. Thật vậy, đặt d = inf x − u . Khi đó, tồn tại {un } ⊂ C sao cho
u∈C

x − un −→ d, n −→ ∞. Từ đó ta có
un − um

2



2

= (x − u) − (x − v)
= 2( x − u

2

2
2

+ x−v )−4 x−

u+v
2

2

≤ 0.
Suy ra u = v. Vậy tồn tại duy nhất một phần tử PC x ∈ C sao cho
x − PC x = inf u∈C x − u .
Định nghĩa 1.1. Phép cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ H một phần tử PC x ∈ C
xác định như trên được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C.
Ví dụ 1.1. Cho C = {x ∈ H : x, u = y}, với u = 0. Khi đó
PC x = x +

y − x, u
u

2