CHƯƠNG III – DÃY SỐ

BÀI 1: DÃY SỐ
Câu 1.

n
.Khẳng định nào sau đây là đúng?
n 1
1  2  3  5  5
.
A. Năm số hạng đầu của dãy là : ;
;
;
;
2 3 4 5 6

[1D3-1] Cho dãy số Un với Un 

B. 5 số số hạng đầu của dãy là :

1  2  3  4  5
;
;
;
;
2 3 4 5 6 .

C. Là dãy số tăng.
D. Bị chặn trên bởi số 1.
Hướng dẫn giải
Chọn B.

1

 n  1   n  1
2



1
1
1
2



 0 với
n  n  n  1 n  2  n  n  1 n  n  1 n  2 
2

n  1.
Do đó  un  là dãy giảm.
Câu 3.

1
.Khẳng định nào sau đây là sai?
n
1 1 1 1
A. Năm số hạng đầu của dãy là :  1; ; ; ;
2 3 4 5 .

[1D3-2] Cho dãy số  un  với un 

Ta có un 1  un  a.3n 1  a.3n  a.3n  3  1  2a.3n .

Câu 5.

Cho dãy số  un  với un 

A. Dãy số có un 1 

a 1
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
n2

a 1
.
n2  1

B. Dãy số có : un 1 

C. Là dãy số tăng.

a 1

 n  1

2

.

D. Là dãy số tăng.
Hướng dẫn giải

2
 n  1 n 2

2n  1

 n  1

2

n2

.

D. Dãy số tăng khi a  1 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.


 1
1 
2n  1
2n  1
Ta có un 1  un   a  1 . 
.
 2    a  1 . 2
 1  a  . 2
2
2
2

.
n 1

2

2

C. un 1 

a.n 2  1
.
n 1

D. un1 

an 2
.
n2

Hướng dẫn giải

Chọn A.

a.  n  1
a  n  1
.
Ta có un 1 

 n  1  1  n  2 2
2

Hướng dẫn giải

Chọn C.
Chọn a  0 thì un  0 ,dãy  un  không tăng, không giảm.
Câu 9.

[1D3-1] Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15; 20; 25;... Số hạng tổng quát của dãy số này
là:
A. un  5(n  1) .

B. un  5n .

C. un  5  n .

Hướng dẫn giải

Chọn B.
Ta có:

5  5.1
10  5.2

15  5.3
20  5.4
25  5.5
Suy ra số hạng tổng quát un  5n .

D. un  5.n  1 .




B. un 

n
.
n 1

C. un 

Hướng dẫn giải

Chọn B.
Ta có:
0

0
0 1

1
1

2 11
2
2

3 2 1
3
3

4 3 1


n chöõ soá 0

B. u n 

1
0
,00
01 . C. u n  n 1 .

...

10
n1 chöõ soá 0

D. u n 

1
.
10 n 1

Hướng dẫn giải

Chọn A.
Ta có:
Số hạng thứ 1 có 1 chữ số 0
Số hạng thứ 2 có 2 chữ số 0
Số hạng thứ 3 có 3 chữ số 0
…………………………….
Suy ra un có n chữ số 0 .

n

Câu 14. [1D3-1] Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2;0; 2; 4;6;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có

dạng?
A. u n  2n .

B. u n   2   n .

C. u n   2 (n  1) .

D. un   2   2  n  1 .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

 2 

Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là

nên

un   2   2.  n  1 .
Câu 15. [1D3-1] Cho dãy số có các số hạng đầu là:

1 1 1 1 1
; ; ; ; ; ….Số hạng tổng quát của dãy số
3 3 2 33 3 4 35




Chọn C.
5 số hạng đầu là

1 1 1 1 1
1
; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;... nên un  n .
31 3 3 3 3
3

k
( k : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?
3n
k
k
A. Số hạng thứ 5 của dãy số là 5 .
B. Số hạng thứ n của dãy số là n 1 .
3
3

Câu 16. [1D3-1] Cho dãy số  un  với un 

C. Là dãy số giảm khi k  0 .

D. Là dãy số tăng khi k  0 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.
Số hạng thứ n của dãy là un 

A. 5 số hạng đầu của dãy là: 0;1; 2 ; 3; 5 .

B. Số hạng un 1  n .

C.Là dãy số tăng.

D. Bị chặn dưới bởi số 0 .
Hướng dẫn giải

Chọn A.
5 số hạng đầu của dãy là 0;1; 2; 3; 4 .
Câu 19. [1D3-2] Cho dãy số  un  có un   n 2  n  1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 5 số hạng đầu của dãy là: 1;1;5; 5; 11; 19 .
B. u n 1   n 2  n  2 .
C. u n 1  u n  1 .
D. Là một dãy số giảm.

.


Hướng dẫn giải

Chọn D.
Ta có :
2
un 1  un     n  1  n  1  1   n 2  n  1  n 2  2n  1  n  2  n 2  n  1  2n  0 n  1


Do đó  un  là một dãy giảm.


n  n  1
.
2

u1  1
Câu 21. [1D3-3] Cho dãy số  un  với 
2 n . Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng
un 1  un   1
nào dưới đây?
A. un  1  n .

C. un  1   1 .
2n

B. un  1  n .

D. un  n .

Lời giải
Chọn D.
un 1  un   1  un  1  u2  2; u3  3; u4  4;...
2n

Ta có:

Dễ dàng dự đoán được un  n .

Thật vậy, ta chứng minh được un  n * bằng phương pháp quy nạp như sau:
+ Với n  1  u1  1 . Vậy * đúng với n  1
+ Giả sử * đúng với mọi n  k  k  *  , ta có: uk  k . Ta đi chứng minh * cũng đúng với

n  n  1 2n  2 
A. un  1 
B. un  1 
.
.
6
6

C. un  1 

n  n  1 2n  1
.
6

D. un  1 

n  n  1 2n  2 
.
6

Lời giải
Chọn C.

Ta

u1  1

2
u2  u1  1


với un 1  un  2n  1 . Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng

nào dưới đây?
A. un  2   n  1 .
2

B. un  2  n 2 .

C. un  2   n  1 .
2

Lời giải
Chọn A.

D. un  2   n  1 .
2


u1  2
u  u  1
1
 2
2
. Cộng hai vế ta được un  2  1  3  5  ...   2n  3  2   n  1
Ta có: u3  u2  3
...

un  un 1  2n  3
u1  2


2
3
4
n
1

u 
Câu 26. [1D3-3] Cho dãy số  un  với  1 2
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
un 1  un  2
1
1
1
1
A. un   2  n  1 .
B. un   2  n  1 . C. un   2n .
D. un   2n .
2
2
2
2

Lời giải
Chọn B.
1

u1  2

u2  u1  2
1

1
C. un   
2

Lời giải
Chọn D.

n 1

.

1
D. un   1 .  
2

n 1

.


Ta

u1  1

u2  u1
2


u2
.

ta

n 1

n 1 lan

u1  2
Câu 28. [1D3-3] Cho dãy số  un  với 
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này :
un 1  2un
A. un  n n 1 .

C. un  2 n 1 .

B. un  2n .

D. un  2 .

Lời giải
Chọn B.
u1  2
u  2u
1
 2
Ta có: u3  2u2 . Nhân hai vế ta được u1.u2 .u3 ...un  2.2n 1.u1.u2 ...un 1  un  2n
...

un  2un 1
1


Câu 30. [1D3-3] Cho dãy số  un  với un 
A. un 1 

1

 n  1

2

1

.

1
. Khẳng định nào sau đây là sai?
n 1
2

B. un  un 1 .

được


C. Đây là một dãy số tăng.

D. Bị chặn dưới.
Lời giải

Chọn B.
Câu 31. [1D3-2] Cho dãy số  un  với un  sin

2 2 2
d  1

2
1

u 
1 1 1
 1 2
B. Dãy số ; 2 ; 3 ;..... là một cấp số cộng: 
.
2 2 2
d  1 ; n  3

2

u  2
C. Dãy số : – 2; – 2; – 2; – 2;  là cấp số cộng  1
.
d  0
D. Dãy số: 0,1; 0, 01; 0,001; 0,0001;  không phải là một cấp số cộng.
Lời giải
Chọn B.

1

u1 

1 1 1




Lời giải
Chọn D.
Câu 34. [1D3-3] Cho một cấp số cộng có u1  3; u6  27 . Tìm d ?
A. d  5 .

B. d  7 .

C. d  6 .

D. d  8 .

Lời giải
Chọn C.

Ta có: u6  27  u1  5d  27  3  5d  27  d  6

1
Câu 35. [1D3-3] Cho một cấp số cộng có u1  ; u8  26 Tìm d ?
3
11
3
10
A. d  .
B. d  .
C. d  .
3
11
3

2

Câu 37. [1D3-2] Cho cấp số cộng  un  có: u1  0,1; d  1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 0,6.

B. Cấp số cộng này không có hai số 0,5 và 0,6.

C. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng này là: 0,5

.D. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,9.

Lời giải
Chọn B.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng  un  là: un  0,1   n  1 .1  n 
Giả sử tồn tại k * sao cho uk  0,5  k 

11
.
10

11
8
 0,5  k  (loại). Tương tự số 0,6
10
5

Câu 38. [1D3-2] Cho cấp số cộng  un  có: u1  0,3; u8  8 . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng này là: 1,4.


u1  2

Khi đó 
 22  u1  4d  d  5  u3  7  5  12
u5  22
u  12  5  17
 4

1
16
và
để được cấp số cộng có 6 số hạng.
3
3
4 7 10 13
4 7 11 14
3 7 11 15
B. ; ; ; .
C. ; ; ; .
D. ; ; ; .
3 3 3 3
3 3 3 3
4 4 4 4

Câu 40. [1D3-3] Viết 4 số hạng xen giữa các số
A.

4 5 6 7
; ; ; .
3 3 3 3

[1D3-1] Cho dãy số u n  với : un  7  2n . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. 3 số hạng đầu của dãy: u 1  5; u2  3; u3  1 .

B. Số hạng thứ n + 1: un 1  8  2n .

C. Là cấp số cộng có d = – 2.

D. Số hạng thứ 4: u4  1 .
Lời giải

Chọn B.

Thay n  1; 2;3; 4 đáp án A, D đúng

un 1  7  2  n  1  5  2n  7  2n  (2)  un  (2)n  * . suy ra đáp án B sai
Câu 42. [1D3-1] Cho dãy số  un  với : un 

1
n  1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
2

A. Dãy số này không phải là cấp số cộng.

B. Số hạng thứ n + 1: un 1 

1
n.
2



D. Tổng của 4 số hạng đầu tiên là: S 4  40
Lời giải

Chọn A.

Phương pháp loại trừ: A hoặc B sai.
Thật vậy un 1  2  n  1  5  2n  5  2  un +2 n  *  đáp án A sai.
Câu 44. [1D3-1] Cho dãy số  un  có: u1  3; d 
A. un  3 

1
 n  1 .
2

C. un  3 

1
 n  1 .
2

1
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
2
1
B. un  3  n  1 .
2

1



4
5

Lời giải.
Chọn C.

n  2u1   n  1 d  n  u1  un 

, n  *
Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên: Sn  
2
2
Tính được: S5  

5
4


Câu 46. [1D3-2] Cho dãy số  un  có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ?
A. u1  16

C. u1 

B. u1  16

1
16

D. u1  



10
.
3

D. u1  0,3.

Lời giải
Chọn D.

un  u1   n  1 d
u5  u1  4.0,1


 u1  0,3 . Suy ra chọn đáp án D.
Ta có : u  u  2 S n
u5  u1  0, 25
 n 1
n

Câu 48. [1D3-2] Cho dãy số  un  có u1  1; d  2; S n  483. Tính số các số hạng của cấp số cộng?
A. n  20 .

B. n  21 .

C. n  22 .

D. n  23 .

Lời giải

Câu 50. [1D3-1] Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công sai d, n  2. ?
A. un  u1  d .

B. un  u1   n  1 d

C. un  u1   n  1 d

D. un  u1   n  1 d .

Lời giải
Chọn D.
Công thức số hạng tổng quát : un  u1   n  1 d , n  2 .
Câu 51. [1D3-2] Xác định x để 3 số : 1  x; x 2 ;1  x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. Không có giá trị nào của x .

B. x  2 .

C. x  1 .

D. x  0 .
Lời giải :

Chọn C.

Ba số : 1  x; x 2 ;1  x lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi x 2  1  x   1  x  x 2
 2 x 2  2  x  1 suy ra chọn đáp án C.

Câu 52. [1D3-2] Xác định x để 3 số : 1  2 x; 2 x 2  1; 2 x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. x  3 .



C. a  1

D. a   2 .
Lời giải


Chọn A.

Ba số : 1  3a; a 2  5;1  a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
a 2  5  1  3a   1  a   a 2  5 
 a 2  3a  4   a 2  a  4  a 2  a  4  0 . PT vô nghiệm

Suy ra chọn đáp án A.
Câu 54. [1D3-2] Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. a 2  c 2  2ab  2bc .
B. a 2  c 2  2ab  2bc .
C. a 2  c 2  2 ab  2bc .

D. a 2  c 2  ab  bc .
Lời giải

Chọn B.

a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:
b  a  c  b   b  a    c  b   a 2  c 2  2ab  2bc .
2

2



Lời giải
Chọn B.

Ta có a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi a  c  2b

 2  b  c   2.2a   2b    2c   2  2a 

D. 2b,  a ,  c .


 2b, 2a, 2c lập thành một cấp số cộng

Câu 57. [1D3-2] Cho cấp số cộng  un  có u4  12; u14  18 . Tìm u1, d của cấp số cộng?
A. u1  20, d  3 .

B. u1  22, d  3 .

C. u1  21, d  3 .

D. u1  21, d  3 .

Lời giải
Chọn C.

u4  u1  3d
u  3d  12 d  3
 1

Ta có : 

C. u1  35, d  5

D. u1  35, d  5 .

Lời giải
Chọn B.

u5  u1  4d
u1  4d  15 d  5


Ta có : 
. Suy ra chọn B.
u1  35
u1  19d  60
u20  u1  19d
Câu 60. [1D3-2] Cho cấp số cộng  un  có u5  15; u20  60 . Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số

cộng là:
A. S20 = 200

B. S20 = –200

C. S20 = 250

D. S20 = –25

Lời giải
Chọn C.



C. d  3;S20  610 .

D. d  3;S20  610 .

Lời giải

Chọn B.
Ta có 5  2  ( 3); 8  5  ( 3); 11  8  ( 3); 14  11  ( 3);.... nên d  3 .
Áp dụng công thức S n  nu1 

n(n  1)
d , ta có S 20  610 .
2

Câu 63. [1D3-3] Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc
bằng 25o . Tìm 2 góc còn lại?
A. 65o ; 90o.
B. 75o ; 80o.
C. 60o ; 95o.
D. 60o ; 90o.
Lời giải

Chọn D.
Ta có : u1  u2  u3  180  25  25  d  25  2d  180  d  35 .
Vâỵ u2  60; u3  90.
Câu 64. [1D3-3] Cho tứ giác ABCD biết 4 góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc A bằng
30o. Tìm các góc còn lại?
A. 75o ; 120o; 165o.
B. 72o ; 114o; 156o.

2
2
2
2
công sai d  1 .

Ta có 

Ta có u20  u1  19d  18,5 .
2n  1
. Khẳng định nào sau đây đúng?
3
1
2
1
2
A. (un) là cấp số cộng có u1 = ; d   .
B. (un) là cấp số cộng có u1 = ; d  .
3
3
3
3

Câu 66. [1D3-2] Cho dãy số  un  có un 

C. (un) không phải là cấp số cộng.

D. (un) là dãy số giảm và bị chặn.

Lời giải


Chọn C.
1
1
1
Ta có u1  ; u 2  ; u 3  . u2  u1  u3  u2 nên dãy số không phải là cấp số cộng.
3
4
5

Câu 68. [1D3-3] Cho dãy số  un  (un) có u n 
1
2
A. Là cấp số cộng có u1  ; d  ;
3
3

C. Hiệu u n 1  u n 

2(2n  1)
3

2n 2  1
. Khẳng định nào sau đây sai?
3

B. Số hạng thứ n+1: un 1 

2(n  1) 2  1
3

Câu 70. [1D3-1] Cho dãy số : 1; ; ; ; ; ... . Khẳng định nào sau đây là sai?
2 4 8 16
1
1
A. Dãy số này là cấp số nhân có u1= 1, q = . B. Số hạng tổng quát un = n1 .
2
2

C. Số hạng tổng quát un =

1
2n

D. Dãy số này là dãy số giảm.

.

Lời giải

Chọn C.
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1. ;  . ;  . ;
 . ;.... Vậy daỹ số trên là cấp số nhân với
2
2 4 2 2 8 4 2 16 8 2
1
u1  1; q= .
2


1
Câu 72. [1D3-2] Cho dãy số :  1; ;  ; ;  . Khẳng định nào sau đây là sai?
3 9 27 81
A. Dãy số không phải là một cấp số nhân.
1
B. Dãy số này là cấp số nhân có u1  1; q=  .
3

C. Số hạng tổng quát. un   1 .
n

1
3n 1

D. Là dãy số không tăng, không giảm.


Lời giải

Chọn A.
Ta có:

1
1
1  1 1
1  1
 1
 1.    ;    .    ;
  .    ;....... Vậy dãy số trên là cấp số nhân
3


1
.
3n 1

D. q  1 .

Lời giải

Chọn B.
Áp

dụng

công

thức

số

hạng
tổng
q  2
.
un  u1q n 1  u7  u1.q 6  q 6  64  
 q  2

quát

cấp

Chọn D.
Ta có u2  u1.q   2  .  5  10; u 3  u2 .q  10.  5  50; u 4  u3 .q  50.  5  250 .
Số hạng tổng quát un  u1.q n 1   2  .  5 

n 1

.

Câu 75. [1D3-2] Cho cấp số nhân  un  với u1  4; q  4 . Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát
un ?
A. 16; 64;  256;   4  .

B. 16; 64;  256;  4  .

C. 16; 64;  256; 4  4  .

D. 16; 64;  256; 4n .

n

n

Lời giải

Chọn C.

n


Ta có u2  u1.q  4.  4   16; u 3  u2 .q  16.  4   64; u 4  u3 .q  64.  4   256 .


(1) n
1
; un 
10
10n1

Lời giải

Chọn D.
Ta có u6  u1.q 5  0, 00001  1.q 5  q  

 1
Số hạng tổng quát un  u1.q n 1  1.   
 10 

1
.
10

n 1



 1

n

10n 1



 n  1  103  n  104 .

Câu 78. [1D3-3] Cho cấp số nhân  un  với u1  3; q=  2 . Số 192 là số hạng thứ mấy của  un  ?
A. Số hạng thứ 5.

B. Số hạng thứ 6.

C. Số hạng thứ 7.

D. Không là số hạng của cấp số đã cho.

Lời giải

Chọn C.
Ta có un  u1.q n 1  192  3.  2 

n 1

  2 

n 1

Câu 79. [1D3-3] Cho cấp số nhân  un  với u1  3; q 
A. Số hạng thứ 11
C. Số hạng thứ 9

 64  n  1  6  n  7 .

1


A. b  1 .

B. b  1 .

C. b  2 .

D. Không có giá trị nào của b.

Lời giải
Chọn D.
b  0

Dãy số đã cho lập thành cấp số nhân khi 
.
1
b   2 . 2  1


Vậy không có giá trị nào của b.

1
1
. Giá trị của a là:
; a;
5
125
1
1
C. a   .

1
1


u1 
u1 
2
B. 
C. un  n 2  1
A. 
2
u  u 2
u
n
 n 1
 n1   2 . u n

u  1; u2  2
D.  1
un 1  un 1.un

Hướng dẫn giải
Chọn B.
u
Do n 1   2 ( không đổi) nên dãy số  un  :
un

1

u1 


D. u n  n 2 

1
4

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: un 

1
4

n2

 un 1 

1
4

n 3

. Suy ra

un
1
1
 ( Không đổi). Vậy  un  : u n  n2 là một cấp
un 1 4
4

un 1 4

Câu 86. [1D3-2] Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. Cấp số nhân với
1
3
A. u n  n là dãy số giảm.
B. u n  n là dãy số giảm.
10
10
C. un  10 n là dãy số giảm.

D. un   10  là dãy số giảm.
n

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có: un  0, với mọi n và

un 10n 1 1

  1 nên  un  là dãy số giảm.
un 1 10n 10

Câu 87. [1D3-1] Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:
5

 1
A. Cấp số nhân: 2;  2, 3;  2,9; ... có u6   2     .
 3