Tuyển tập tuyển sinh 10 THPT chuyên các tỉnh thành 2013-2014
SỞ GD & ĐT HOÀ BÌNH

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2013 – 2014
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ

ĐỀ THI MÔN TOÁN
(Dành cho các chuyên Nga, Pháp, Trung)
Ngày thi: 29 tháng 6 năm 2013
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm có 01 trang

Đề chính thức

Bài 1: (2 điểm)
a/ Tính giá trị biểu thức: M = ( 8 − 3 2 + 10)( 2 + 10) : 3 −64
b/ Không dùng máy tính hãy so sánh: A = 10 + 13 với B = 11 + 12
Bài 2: (2 điểm)
Cho phương trình x 2 − 2(m − 3) x + 4 = 0
a/ Tìm m để phương trình nhận x = −3 làm nghiệm.
2
2
b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = 28 .

Bài 3: (2 điểm)
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước thì sau 3 giờ 36 phút đầy bể. Nếu để chảy
một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 3 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một
mình đầy bể.
Bài 4: (3 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M nằm trên nửa đường tròn ( M ≠ A, M ≠ B
·


1 (2đ)

a
b

2(2 đ)

a

b

3(2đ)

a

b

0,5 đ

M = (− 2 + 10)( 2 + 10) : 3 −64
M = 8 : (−4) = −2

0,5 đ
0,25 đ

A2 = 23 + 2 10.13 = 23 + 2 130
B 2 = 23 + 2 11.12 = 23 + 2 132
⇒ B 2 > A2 , mà A > 0, B > 0 . Vậy B > A
Thay x = −3 vào pt ⇒ 9 + 6(m − 3) + 4 = 0

x+3
18
1
1
5
=
Đổi 3 giờ 36 phút = giờ. Ta có pt +
5
x x + 3 18
Giải ra được x = 6 và KL…

0,25 đ

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ

0,25 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ
0,5 đ

4 (3đ)
I
F

0,5 đ

Vì BE là đường trung trực của AF nên ta có KA = KF , HA = HF (1)
Mặt khác trong tam giác AHK có AE vừa là đường cao vừa là đường
phân giác nên tam giác AHK cân tại A ⇒ AH = AK (2)

0,5 đ
0,25 đ

Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác AKFH là hình thoi.

0,25 đ

0,5 đ

0,5đ


5 (1)

1
1
27
1
1 35
) + (x + ) =
( x + )2 + ( x + ) =
2
x
x

1 7
7
4
x+ =

+/ Vi t =
. KL
x 2
2

7 33
x =

4
2
K: x 0 . Ta cú pt ( x +

0,25
0,25

0,25

0,25

Chú ý: Mọi lời giải đúng khác đều đợc cho điểm tơng đơng

S GD & T HO BèNH
chớnh thc

K THI TUYN SINH VO LP 10 NM HC 2013 2014

Bai 3: (2 im)
Trờn quóng ng AB di 60 km, ngi th nht i xe mỏy t A n B, ngi th hai i xe p
t B n A. H khi hnh cựng mt lỳc v gp nhau ti C sau khi khi hnh c 1 gi 20 phỳt. T C
ngi th nht i tip n B v ngi th hai i tip n A. Kt qu ngi th nht n ni sm hn
ngi th hai l 2 gi. Tớnh vn tc ca mi ngi, bit rng trờn sut quóng ng c hai ngi u i
vi vn tc khụng i.
Bai 4: (3 im)
Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú ng chộo AC > BD . K CH AD, CK AB .
a/ Chng minh CKH ng dng BCA
ã
b/ Chng minh HK = AC.sin BAD


·
c/ Tính diện tích tứ giác AKCH biết BAD
= 600 , AB = 6cm, AD = 8cm.
Bài 5: (1 điểm)
2
Cho x > 0 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x − x +

1
+ 2013
x

---------------------------- Hết -----------------------------Họ và tên thí sinh: ............................................. SBD: ................................ Phòng thi: …..............
Giám thị 1 (họ và tên, chữ ký): ........................................................................................................
Giám thị 2 (họ và tên, chữ ký): ........................................................................................................

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN - 2013
(Dành cho chuyên Tin)

= −x + x
2
( x + 1) 2 ( x − 1)
2
Ta có M = x + 1 +
x −1
M nhận giá trị nguyên ⇔ x − 1 là ước của 2
x = 0

 x − 1 = ±1  x = 2
⇒
⇒
. KL…
 x − 1 = ±2  x = 3

 x = −1
Đường thẳng (b) : y = 2 x − 4 cắt trục hoành tại điểm A(2;0)
Ycbt ⇔ đường thẳng (a ) : y = x + 2m đi qua A, từ đó tìm được
m = −1
Ta có ∆ ' = m 2 + 12 > 0, ∀m
PT luôn có hai nghiệm phân biệt, gọi hai nghiệm đó là x1 và x2
 x1 + x2 = −2(m + 1)
Theo định lý vi-et ta có 
 x1 x2 = 2m − 11
Ycbt ⇔ ( x1 − 1)( x2 − 1) < 0 ⇔ x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1 < 0
⇔m0)

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ


4 (3)

K

C

B

A

a

b

c

Bai 5
(1 iờm)

D

H

Vỡ ãAKC = ãAHC = 900 nờn t giỏc AKCH ni tip
ã

ã

= sin BAD
HK = AC.sin BAD
AC

0,25

ã
Trong tam giỏc KBC vuụng ti K cú KBC
= 600 v BC = 8 cm
nờn KC = 4 3 cm, BK = 4cm.
ã
Trong tam giỏc CHD vuụng ti H cú CDH
= 600 v DC = 6 cm

0,25

nờn CH = 3 3 cm, HD = 3cm.
1
SACK = AK .CK = 20 3(cm 2 ) ,
2
1
33 3
SACH = AH .CH =
(cm 2 )
2
2
73 3
Vy S AKCH =

chớnh thc

K THI TUYN SINH VO LP 10 NM HC 2013 2014
TRNG THPT CHUYấN HONG VN TH

THI MễN TON CHUYấN
Ngay thi: 29 thang 6 nm 2013
Thi gian lm bi: 150 phỳt (khụng k thi gian giao )
thi gm cú 01 trang

Bai 1 (2 im)
1
1
3
2 = 23, tớnh giỏ tr ca biu thc A = x + 3 .
x
x
2) Phõn tớch thnh nhõn t biu thc sau:
x4 2y4 x2y2 + x2 + y2.
Bai 2 ( 3 im)
3
ã
1) Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, ABC
= 600. Trung tuyn CD = cm. Tớnh din tớch tam giỏc
4
ABC.
2) Trong h trc ta Oxy, cho ng thng d: y = (m + 1)x m, m l tham s. Tỡm m ng
thng d ct parabol (P): y = x2 ti hai im phõn bit A, B sao cho OA vuụng gúc vi OB.
Bai 3 (2 im)
1) Cho x, y l 2 s dng tha món x + y = 1, tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc

Do ú A = (-5)3 3.(-5) = - 110
2) x4 2y4 x2y2 + x2 + y2 = (x4 y4) (y4 + x2y2) + (x2 + y2)
= (x2 + y2)(x2 - y2 y2 + 1) = (x2 + y2)(x2 - 2y2 + 1)
Bi 2
1)
A
ã
t BC = 2x (x > 0) . Vỡ ABC
= 600
à = 300 => AB = x => AD = 1 x;
=> C
\
2
D
AC = 3 x
3
Tam giỏc ADC vuụng ti A =>
cm
\
CD2 = AD2 + AC2 ( /l Pi tago)
4

B

600

C


=>

1) ĐK: xy ≠ 0 ; Từ giả thiết => x2 + y2 = 1− 2xy
2
(x2 − 1)(y2 − 1) x2y2 − (x2 + y2 ) + 1 x2y2 − 1+ 2xy + 1 x2y2 + 2xy
=
=
=
Ta có P =
=1 +
.
2 2
2 2
2 2
2 2
xy
xy
xy
xy
xy
Mặt khác ta có (x – y)2 ≥ 0 => x2 + y2 ≥ 2xy  (x + y)2 ≥ 4xy  1 ≥ 4xy
1
1
2
≥ 2⇔
≥ 8 => P ≥ 1 + 8 = 9
=> ≥ xy ⇔
4
xy
xy
1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = . Thỏa ĐK


M

V OKI đồng dạng với V OHO (g.g)

O'

P

’

K
O

I

H
Q

*) Dự đoán điểm cố định là giao điểm I của OA
và PQ.
*) Chứng minh: G/s (O’) đi qua O và A => O’
nằm trên đường trung trực của AO, gọi giao
điểm của đường trung trực đó với AO là H, giao
điểm của OA với PQ là I, giao của OO’ với PQ
là K, OO’ cắt đường tròn (O’) ở M.
Ta có OO’ là đường trung trực của PQ => OO’
⊥ PQ

A

Vậy đường thẳng PQ đi qua 1 điểm cố định.
Bài 5. Không thể lát sân mà không phải cắt gạch vì nếu gọi số gạch lát theo chiều dài và chiều rộng của viên gạch
là x, y thì hệ PT sau phải có nghiệm nguyên:
100x = 350
nhưng hệ vô nghiệm nguyên.

25y = 350
'

V


SỞ GD&ĐT HÒA BÌNH
Đề chính thức

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH
ĐỀ THI MÔN TOÁN
Ngày thi: 28/ 6/ 2013
Thời gian: 120 phút.
PHẤN I. TRẮC NGHIỆM(2 điểm) ( thí sinh không cần giải thích và không phải chép lại đề bài, hãy
viết kết quả các bài toán sau vào tờ giấy thi)
·
1. Tam giác ABC vuông tại A, có cạnh BC bằng 7 cm, ABC
= 300, Cạnh AB = …
1
2. Giá trị của m để đường thẳng y = - 3x + m cắt đường thẳng y= x tại 1 điểm có hoành độ bằng
2
là…
3. Biểu thức A = 22 − 12 2 có giá trị rút gọn là…

2. m = 2
3. 3 2 - 2
4. x = 1 và x = - 2
PHẦN II. TỰ LUẬN:
Bài 1.
a) Với m = 1 ta có PT: x2 – ( 2. 1 + 1)x – 12 + 1 – 1 = 0  x2 – 3x – 1 = 0 Giải PT ta có
x1,2 =

3± 13
2
2

1 3

b) Vì a = 1 > 0 và c = -  m− ÷ − < 0 với mọi giá trị của m nên PT đã cho luôn có 2 nghiệm trái dấu
2 4

với mọi m.
Bài 2. Gọi số dân của tỉnh A và B năm 2013 lần lượt là x và y ( triệu người) ĐK: x,y nguyên dương
x+ y = 5
x+ y = 5
 x = 2,2

⇔
⇔
Thì ta có hệ phương trình :  102x 101y
x, y thỏa ĐK
 100 + 100 = 5,072 102x + 101y = 507,2  y = 2,8
102
101


·
·
KBH
= KAH
 Tứ giác BAKH nội tiếp
c) KH // BC vì cùng
vuông góc với BC.

D

H

KA

F

E
Bài 4.

B

D

C


+) Chứng minh điều kiện cần: Cho Tam giác ABC đều, AD, BE và CF là các đường phân giác trong
2
SDEF  1  1

DB c
DB
c
DB
c
ac
·
= ⇒
=
⇒
=
⇒ DB =
Vì AD là phân giác BAC
nên ta có
DC b DB + DC c + b
a c+ b
c+ b
ac
ab
=
 DC = a – DB = a −
c+ b c+ b
ab
bc
bc
ca
Chứng minh tương tự ta có: EC =
; EA =
; FA =
; FB =

V

V

V

V

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1. (2,0 điểm)
Cho biểu thức M =

2 a

(

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC: 2013 – 2014
Môn: Toán (Chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

)

(

)

a + 2a - 3b + 3b 2 a - 3b - 2a a

thẳng d.
MD
HA 2
d) Chứng minh
=
MC
HC 2
Bài 5. (1,0 điểm)
Cho ba số thực a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 2013.
a
b
c
+
+
≤ 1.
Chứng minh
a + 2013a + bc b + 2013b + ca c + 2013c + ab
Dấu đẳng thức sảy ra khi nào?
HẾT
Họ tên thí sinh:…………………………………….Số báo danh:……………………….………….…….
Chữ ký của giám thị số 1:………………….….....Chữ ký của giám thị số 2:…………………………..
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM

Câu
a) M =

2 a

(

a 2 + 3ab

0,25
0,25

2a − 3b
( 2a + 3b )( 2a − 3b )
2a − 3b
=
=
a 2 + 3ab
a ( 2a + 3b )
a

0, 5

3b
11 8
với a = 1 + 3 2 , b = 10 +
a
3

0,25

3b 30 + 22 2 (30 + 22 2)(3 2 − 1) 102 + 68 2
=
=
=
a
17


(2,0 đ)

x = 2
x = 2
⇔ ( x − 2 ) ( x 2 − 3 x + 2m − 1) = 0 ⇔  2
Nếu  2
trừ
 x − 3x + 2m − 1 = 0(*)
 x − 3 x + 2m − 1 = 0
0,25 điểm
Để (1) có ba nghiệm phân biệt thì pt (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2
∆ > 0
13 − 8m > 0
3
13
⇔
⇔ ≠m

0,5

0,25

n

2



= 4.111....1.999....9
1 2 3 14 2 43 + B = 4.111....1.9.111....1
123
1 2 3 + B =  6.111....1
123 ÷ +B
n
n
n
n
n


2

Câu 3
(1,0 đ)

0,25

2

2

2

0,25

0,25

2

3
 
 

+ 2 ÷ =  3.222....2
+ 2 ÷ =  666....68
=  .888....8
÷
1
4
2
4
3
1
4
2
4
3
1
4


a) MA, MB là các iếp tuyến của (O)
·
·
⇒ MAO
= MBO
= 900
·
I là trung điểm của CD ⇒ OI ⊥ CD ⇒ MIO
= 900
⇒ A, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO
⇒ Tứ giác MAIB nội tiếp đường tròn đường kính MO.
b) MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

0,25
0,25
0,25
0,25


OA = OB
⇒ MO là đường trung trực của AB
⇒ MO ⊥ AB
⇒ MH.MO = MB2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)
1 »
·
·
MBC
= MBD
= sđ BC


MO OQ
=
OI OH
(R là bán kính (O) không đổi)
⇒
2
2
MO.OH OA
R
⇒ OQ =
=
=
OI
OI
OI
⇒
O, I cố định
độ dài OI không đổi
⇒ lại có Q thuộc tia OI cố định
⇒ Q là điểm cố định ⇒ đpcm.
·
1800 − COD
·
·
d) ·AHC = 900 + MHC
( ∆COD cân tại O)
= 900 + ODC
= 900 +
2

MD MB BD
⇒
=
=
MB MC BC
(6)
2
MD MB MD
 BD 
⇒
.
=
÷ =
MB MC MC
 BC 

a
a+ a

Chứng minh tương tự được

(

b+ c

)

2

0,25

a+ b+ c

)

=

a
a + b + c (1)

0,25
0,25

0,25
0,25


b
b
c
≤
≤
(2) và
b + 2013b + ca
a+ b+ c
c + 2013c + ba
a+
Cộng từng vế của (1); (2); (3) ta được
a
b
c


2n

n −1
n−2
B = 2.888...8
1 2 3 = 16.111...1
1 2 3 = 16(10 + 10 + ... + 1)
n

2 n −1

n

2n−2

+ ... + 1) + 16(10n −1 + 10n −2 + ... + 1) +4
Từ đó suy ra D=A+2B+4= 4(10 + 10
9D = 4(10 − 1)(102 n −1 + 102 n − 2 + ... + 1) + 16(10 − 1)(10n −1 + 10n −2 + ... + 1) + 36
4(102 n − 1) + 16(10n − 1) + 36
2n
n
9D= = 4(10 + 4.10 + 4)
2
=  2 ( 10n + 2 ) 


Suy ra đpcm.

a

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2013 – 2014

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN (Dành cho lớp chuyên)
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm có 1 trang, 5 câu

Câu 1 (2 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – m + 1 và parabol (P):
2
y=-x .

0,25


a. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2);
b. Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2).
Tìm m để (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 25.
Câu 2 (2 điểm)
2y
 3x
 x −1 − y +1 = 2

a. Giải hệ phương trình 
;

Hướng dẫn chấm gồm có 2 trang

Chú ý:

- Học sinh có thể giải theo những cách khác nhau, nếu đúng thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa ứng với
phần đó;
- Đối với bài hình học: Nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai hẳn, không cho điểm;
- Điểm của bài thi không làm tròn, để lẻ đến 0,25 điểm.

Câu

Câu 1

Ý
a

2 điểm
b

Nội dung trình bày

Điểm

Đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2) <=> 2 = 2.1 – m + 1

0,5

Vậy: m = 1

0,5


0,25

 3u − 2v = 2
 9u − 6v = 6
u = 2
⇔
⇔
Khi đó có hệ: 
 2u + 3v = 10
4u + 6v = 20
v = 2
Từ:

b

0,25

x
y
= 2 ⇒ x = 2;
= 2 ⇒ y = −2
x −1
y +1

0,25

Vậy hệ có nghiệm (2; -2)

0,25


0,25
·
·
·
Do: ADM
= AEM
= DAE
= 900 nên ADME là hình 0,25
chữ nhật
Nên : DE = AM
0,25
DE nhỏ nhất <=> AM nhỏ nhất <=> AM ⊥ BC
0,25
Vì vậy : M là chân đường cao hạ từ A
0,25

Câu 3
a
2 điểm

3x + 4
⇔ A(x 2 + 1) = 3x + 4 ⇔ Ax 2 − 3x + A − 4 = 0 , (*) có nghiệm x
2
x +1
Nếu A = 0 từ (*) có : x = -4/3

A=

b

0,25
0,25

Câu 4
Do AD, CE là các đường phân giác nên :
» = DB,
»
» = EA
»
DC
EB

3 điểm

» + EA
» = DB
» + EB
»
Do đó: DC
·
·
Suy ra: AIE
= IAE
Vậy: tam giác EAI cân tại E

b

·
·
Ta có: AIE

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


p dng h thc lng trong tam giỏc vuụng ACB v BCF cú:
BC2 = AB2 AC2 = BF2 CF2 hay: x2 b2 = 2a2 (x b)2 <=> x2 - bx - a2 = 0

Cõu 5
1 im

2
2
2
2
2
2
Cú: x = b b + 4a (loi), x = b + b + 4a . Vy AB = b + b + 4a
2
2
2
Ta xột 2014 s khỏc nhau cú dng 201420142014 = an, cú n b 2014. n N*
Trong 2014 s ny cú ớt nht hai s khi chia cho 2013 cú cựng s d.
Gi s 2 s ú l ai , aj (j > i). Khi ú aj ai M2013
20142014...2014 20142014...2014 = 20142014....2014 0000...0000M2013
hay: 1 4 4 2 4 4 3 1 4 4 2 4 4 3 1 4 44 2 4 4 43 1 4 2 4 3

kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
năm học 2013 - 2014

Khoỏ ngy 26 - 06 - 2013
Mụn : TON (CHUYên)
Thi gian lm bi : 150 phỳt (khụng kờ thi gian giao )

thi gm cú 01 trang
Cõu 1 (2,0 iờm): Rỳt gn cỏc biu thc sau:

(

a) A = 5 + 21
b) B =

)(

5+2+
2

)

5 21



5 +1

14 6
5 2

a) Chng minh nm im B, C, D, H, O nm trờn mt ng trũn.
b) Chng minh ng thng AM l tip tuyn ca ng trũn (O).
c) Chng minh tớch HB.HC khụng i khi ng thng d quay quanh im A.


Câu 5 (1,0 điểm): Chứng minh N = 20124 n + 20134 n + 20144 n + 20154 n không phải là số
chính phương với mọi n là số nguyên dương.
------------------------- HÕT--------------------------


HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: TOÁN CHUYÊN
Khóa ngày 26 - 06 - 2013
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi câu. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận
lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết, rõ ràng.
* Trong mỗi câu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải
sau có liên quan.
* Điểm thành phần của mỗi câu nói chung phân chia đến 0.25 điểm. Đối với điểm thành phần là
0.5 điểm thì tùy tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0.25 điểm.
* Học sinh không vẽ hình đối với Câu 4 thì cho điểm 0 đối với Câu 4. Trường hợp học sinh có vẽ
hình, nếu vẽ sai ở ý nào thì cho điểm 0 ở ý đó.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tùy theo mức điểm của từng
câu.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các câu.
Câu
Nội dung
Điểm
1
2,0 điểm

14 − 6

2

7−
7−

5+2+
2

2

5 −2 
5 +2+ 5 −2+2
÷ =
÷
2


5 + 2.

5 + 21 5 − 21

0,5
0,25
5−2

2( 5 + 1)
= 5+1
2

2

0,25

(

)

x

(

(

4− x +2
x+4+2

)

) = −2 x

x+4+2 =0


4− x +2+2

(

0,25



2
2
 x − x = −1
 x − x + 1 = 0
⇔ 2
(vô nghiệm)
 2
y
−
2
y
=
20
y
−
2
y
−
20
=
0


2
 x − x = 20
 x 2 − x − 20 = 0
a = 20
⇔ 2
TH2: 

y + 3z
x 2 y + 3z 1
Ta có:
+
≥ 2.
= x
y + 3z
16
y + 3z 16
2

4

0,5

y2
z + 3x 1
z2
x + 3y 1
+
≥ y;
+
≥ z
z + 3x
16
2
x + 3y
16
2
y + 3z + z + 3x + x + 3 y x + y + z

0,5

B

A

4a

H

O

·
·
Ta có: DBO
= DCO
= 900 (DB, DC là tiếp tuyến)
·
DHO
= 900 ( DH ⊥ AO)

Vậy ba điểm B, C, H nằm trên đường tròn đường kính DO hay năm điểm
B, C, D, O, H nằm trên một đường tròn.
4b

Ta có DO ⊥ BC tại I. Hai tam giác vuông OIA và OHD đồng dạng (có
·AOD chung).

0,25
0,25

0,25

tròn (O).

» , DC
» bằng nhau)
·
·
Ta có BHM
(chắn hai cung DB
= MHC

0,25

·
·
·
·
·
·
BMH
= MBD
+ MDB
= MCB
+ HCB
= MCH

4c

0,25

2015

4n

0,25

0,25

có chữ số tận cùng bằng 5.

Do đó, N = 20124 n + 20134 n + 20144 n + 20154 n có chữ số tận cùng
bằng 8.

0,25

Mặt khác, không có số chính phương nào có chữ số tận cùng bằng 8. Vậy
N không phải là số chính phương.

0,25

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013- 2014
Môn thi: TOÁN (chung)
Thời gian làm bài: 120 phút
Ngày thi 19 tháng 6 năm 2013


điểm của BC, E là giao điểm của MN và BC, H là giao điểm của đường thẳng OI và đường thẳng MN.
1) Chứng minh bốn điểm M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh OI.OH = R2.
3) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Câu V: (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Tìm giá trị
a
4b
9c
+
+
nhỏ nhất của biểu thức S =
.
b+c−a c+ a−b a +b−c
------- Hết -------

Họ và tên thí sinh : ................................................ Số báo danh .....................................
Chữ ký của giám thị 1: ....................................Chữ ký của giám thị 2: ............................

Hướng dẫn câu III:
2) Phương trình có hai nghiệm x1; x2 nên
 x12 − 2(m − 1)x1 + 2m − 5 = 0
 x12 − 2mx1 + 2m − 1 = 4 − 2x1
⇒
 2
 2
 x 2 − 2(m − 1)x 2 + 2m − 5 = 0  x 2 − 2mx 2 + 2m − 1 = 4 − 2x 2

 x1 + x 2 = 2m − 2
 x1.x 2 = 2m − 5

A ⇒ AM = AB.AC
AC AM
AM AE
=
⇒ AM 2 = AI.AE
+ ∆AME ∽ ∆AIM (g-g) ⇒
AI
AM
⇒ AB.AC = AI.AE (*)
+ ∆AMB ∽ ∆ACM (g-g) ⇒

O

N


Do A, B, C c nh nờn trung im I ca BC c nh
nờn t (*) suy ra E c nh.
Vy ng thng MN luụn i qua im E c nh

Hng dn gii cõu V:
Vi a, b, c l di ba cnh ca tam giỏc cú chu vi bng 2 nờn a + b + c = 2 .
t b + c a = x; c + a b = y; a + b c = z do a, b, c l di ba cnh ca tam giỏc nờn
x, y,z > 0 .

y+z
x+z
x+y
.
;b=

y 4x y
x
Ta cú: +
=
2
ữ +22
x y x
y
2

z 9x z
x
+
=
3
ữ +66
x z x
z
2

4z 9y z
y
+
= 2
3
ữ + 12 12
y
z y
z
1

2
Khi ú: a = b + c ABC vuụng
5
2
1
Vy Smin = 11 ABC vuụng a = ; b = ; c = .
6
3
2
Sở giáo dục và đào tạo
Hải dơng
Đề thi chính thức

Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên
nguyễn trãi - Năm học 2009-2010
Môn thi : toán

Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 08 tháng 7 năm 2009
(Đề thi gồm: 01 trang)


Câu I (2.5 điểm):
1) Giải hệ phơng trình:

x2 + y2 + xy = 3

2
xy + 3x = 4
2) Tìm m nguyên để phơng trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên:


Câu IV (2.0 điểm):
Cho tam giác MNP có ba góc nhọn và các điểm A, B, C lần l ợt là hình chiếu
vuông góc của M, N, P trên NP, MP, MN. Trên các đoạn thẳng AC, AB lần lợt lấy D, E
ã
ã
sao cho DE song song với NP. Trên tia AB lấy điểm K sao cho DMK
. Chứng
= NMP
minh rằng:
1) MD = ME
2) Tứ giác MDEK nội tiếp. Từ đó suy ra điểm M là tâm của đờng tròn bàng
tiếp góc DAK của tam giác DAK.
Câu V (1.0 điểm):
Trên đờng tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt. Tìm vị trí của
các điểm B và D thuộc đờng tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất.
-----------------------Hết----------------------Họ và tên thí sinh : ......................................................Số báo danh :.......................
Chữ kí của giám thị 1 : .............................Chữ kí của giám thị
2:...........................

Hớng dẫn chấm
Câu

Phần

câu I

1)

2,5

x2 +
+
x.
=3
ữ
x
x


4
2
7x 23x + 16 = 0

0.25
0.25