TÓM TẮT SÁNG KIẾN
1. Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến.
Trong môn toán lớp 7 nói chung, nội dung phần tỉ lệ thức nói riêng thường làm
cho các em lúng túng, thường khó xác định được hướng giải để làm công cụ tổng
quát, đặc biệt là khi gặp các bài toán khó. Lí do là học sinh mới được tiếp cận với
dạng toán đó, mặt khác SGK và các sách tham khảo khác cũng ít đề cập cụ thể đến
các dạng toán này. Học sinh cũng ít được định hướng, khai thác sâu và không được
củng cố nhiều về dạng toán này.
Trong đó, chứng minh tỉ lệ thức là nội dung quan trọng để rèn luyện tư duy học
sinh và gợi hướng mở để giải các bài toán liên quan về số học, đại số, hình học.
Không những áp dụng trong chương trình toán 7 mà còn áp dụng cho toán 8, toán
9 ( THCS ) khi các em học. Có nhiều sách có bài tập về “ Chứng minh tỉ lệ thức”,
song vẫn chưa có một trình tự, một hệ thống về phương pháp để giúp học sinh có
một công cụ , một hướng tư duy đúng và nhanh nhạy khi gặp dạng toán này. Để
đáp ứng một phần đòi hỏi thực tế đặt ra, tôi đã nghiên cứu và mạnh dạn trình bày
kinh nghiệm: “ Một số kĩ thuật chứng minh tỉ lệ thức”.
2. Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến. Áp dụng dạy cho học sinh
lớp 7 và học sinh lớp 8,9 thuộc nội dung có liên quan Đối tượng là học sinh đại trà
và Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7
3. Nội dung sáng kiến: Trên cơ sở thực tế đòi hỏi cần có biện pháp để hướng
dẫn học sinh chứng minh các bài toán về tỉ lệ thức. Tôi đã viết sáng kiến " Một số
kĩ thuật chứng minh tỉ lệ thức" và đã nhận được nhiều ý kiến đóng góp quí báu
của BGH, các đồng chí đồng nghiệp, các em học sinh nhiệt thành vận dụng. Đã có
nhiều ý kiến động viên, tán thành. Mặt khác một thực tế hiện nay học sinh chưa
xây dựng được thói quen tư duy có căn cứ, xây dựng được mối liên hệ giữa các
yếu tố đã học, kiến thức đã học, nhằm giải quyết các tình huống đặt ra, một nội
dung yêu cầu của bài toán. Do vậy việc xây dựng nội dung kiến thức và phương
pháp cụ thể , có hệ thống, có liên hệ chặt chẽ với nhau, nhằm củng cố kiến thức đã
học, giúp học sinh định hướng, nắm bắt nhanh nội dung một kiến thức cụ thể là hết
sức quan trọng và cần thiết.
Do vậy, tôi nhận thấy rằng chuyên đề này cần được bổ sung và phát triển thêm.

thức. Học sinh trong đội tuyển, học sinh khá, giỏi còn tiếp tục khai thác các bài
toán không nằm trong phạm vi giới hạn của đề tài. Nhưng có tính chất tương tự
hay lấy đó làm công cụ để giải các bài toán nâng cao hơn, có liên quan đến tỉ lệ
thức. Học sinh chủ động, hứng thú khi giải quyết các bài tập, hiểu rõ nội dung, bản
chất yêu cầu của bài toán. Nâng cao khả năng suy luận logic, tinh thần tích cực học
hỏi, tìm tòi sáng tạo, biểu hiện một cách rõ nét.
Sau một thời gian áp dụng tại trường trên cả hai đối tượng: Học sinh đại trà và
học sinh khá, giỏi. Tôi nhận thấy các em có kĩ năng tốt hơn khi trình bày, chứng
minh được nhiều bài toán cơ bản và khó của chuyên đề tỉ lệ thức - Toán 7. Biểu
hiện ổn định và rõ nét khi tôi chấm kết quả do tôi trực tiếp khảo sát.
5. Khuyến nghị, đề xuất.
- Ở đây, vì thời gian có hạn nên tôi mới chỉ trình bày được một số dạng bài, một
số phương pháp cơ bản để minh hoạ và giúp học sinh có công cụ giải các bài toán
chứng minh tỉ lệ thức. Đồng thời dã đưa ra bài tập tự giải để cho giáo viên và các
em học sinh luyên tập, để làm tư liệu, củng cố kiến thức về phương pháp.
- Nếu có điều kiện, nên đưa ra những bài toán có chứa giá trị tuyệt đối, chứa
hằng số, số vô tỉ...Không chỉ áp dụng cho số mà còn mở rộng cho biểu thức đại số
mà các em đã học ở kì II - lớp 7. Không chỉ dừng lại ở bài toán chứng minh tỉ lệ
thức đơn thuần mà còn đi sâu vào các bài toán: tính giá trị, chứng minh, tìm biến...
2


mà thông qua chứng minh tỉ lệ thức có thể suy ra được điều đó hay đó là bước
ngoặt của bài toán.
MÔ TẢ SÁNG KIẾN
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I - LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học là môn học chiếm vị trí quan trọng trong trường THCS. Dạy toán là
dạy phương pháp suy luận khoa học. Học toán là rèn luyện khả năng tư duy lôgíc.
Giải các bài toán là biện pháp tốt để học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy

3
ab
a3 − b3
 a − b
 a + b
a) 
b) 
÷ =
÷ = 3
cd
c − d3
 c− d
 c+ d

Bài 1: (6 điểm).

Cho

Bài 2: (4 điểm).

Cho

b2 = ac, c2 = bd, (b, c, d ≠ 0, b + c ≠ d, b3 + c3 ≠ d3)
3


3

 a3 + b3 − c3   a + b − c 
=


8 → 10 đ
SL
%
2
10

5 → 10 đ
SL
%
10
50

Qua kiểm tra tôi thấy đa số học sinh không làm được bài 2. Có thể nói học sinh
chưa có phương pháp chứng minh tỉ lệ thức một cách rõ ràng, lời giải thường
không chặt chẽ, thiếu sự định hướng. Cũng với những bài toán như trên, nếu có sự
định hướng, nắm rõ những phương pháp cơ bản về chứng minh tỉ lệ thức thì khi
học sinh giải toán hiệu quả sẽ nhanh chóng và chính xác hơn.
III - CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP
Trên cơ sở thực tế đòi hỏi cần có biện pháp để hướng dẫn học sinh chứng
minh các bài toán về tỉ lệ thức. Tôi đã viết sáng kiến " Một số kĩ thuật chứng
minh tỉ lệ thức" và đã nhận được nhiều ý kiến đóng góp quí báu của BGH, các
đồng chí đồng nghiệp, các em học sinh nhiệt thành vận dụng. Đã có nhiều ý kiến
động viên, tán thành. Mặt khác một thực tế hiện nay học sinh chưa xây dựng được
thói quen tư duy có căn cứ, xây dựng được mối liên hệ giữa các yếu tố đã học, kiến
thức đã học, nhằm giải quyết các tình huống đặt ra, một nội dung yêu cầu của bài
toán. Do vậy việc xây dựng nội dung kiến thức và phương pháp cụ thể , có hệ
thống, có liên hệ chặt chẽ với nhau, nhằm củng cố kiến thức đã học, giúp học sinh
định hướng, nắm bắt nhanh nội dung một kiến thức cụ thể là hết sức quan trọng và
cần thiết.

V - MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI
- Khắc sâu cho học sinh những kiến thức cơ bản về tỉ lệ thức. Hình thành
một số phương pháp cơ bản chứng minh tỉ lệ thức. Ngoài ra hiểu và vận dụng tốt
tính chất của tỉ lệ thức của dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh các bài toán về tỉ lệ
thức (trong chương trình toán 7).
- Củng cố khắc sâu kiến thức cơ bản cho học sinh đại trà; khai thác, nâng
cao kiến thức cho học sinh khá, giỏi về chuyên đề tỉ lệ thức.
- Giáo dục tinh thần tích cực học hỏi, tìm tòi sáng tạo của học sinh, tăng
niềm hứng thú say mê trong lao động học tập. Giáo dục cho học sinh thấy vẻ đẹp
muôn màu của toán học.
VI - PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Đọc tài liệu: SGK, sách tham khảo, các tạp chí toán học...
2. Tập hợp, phân tích, khai thác vấn đề.
3. Tổng hợp vấn đề
4. Chọn lọc, hình thành nội dung mới, nội dung cần diễn đạt.
B . NỘI DUNG
I - NHỮNG KIẾN THỨC CẦN SỬ DỤNG
1. Tỉ lệ thức
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số. Dạng tổng quát:

a c
= hoặc a : b = c : d
b d

Các số hạng: a và d gọi là ngoại tỉ; b và c gọi là trung tỉ.
2. Tính chất
a) Tính chất cơ bản:

a c
= ⇔ ad = bc (b, d ≠ 0)

=
= ... = k
b d f
b+ d + f b− d + f b− d − f

Nếu

( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
3. Chú ý
Các số x; y; z tỉ lệ với các số a; b; c ta còn viết

x y z
= = hay x : y : z = a : b : c
a b c

4. Một số tính chất nâng cao

a c e
= = = k thì
b d f
ma + nc + pe ma − nc + pe ma − nc − pe
=
=
= ... = k
mb + nd + pf mb − nd + pf mb − nd − pf
a c
b) Nếu = thì
b d
a) Nếu


a c
= ≠ 1, abcd ≠ 0.
b d

Bài giải:
6

CMR:

a
c
=
a− b c − d


a c
= = k ⇒ a = kb; c=kd ( k ≠ 1)
b d
a
kb
kb
k
=
=
=
(1)
Ta có:
a − b kb − b (k − 1)b k − 1
c
kd

b d
Vì k ≠ 1 ⇒ kb - b ≠ 0, kd - d ≠ 0
a + b kb + b b(k + 1) k + 1
=
=
=
(1)
a − b kb − b b(k − 1) k − 1
Ta có:
c + d kd + d d(k + 1) k + 1
=
=
=
(2)
c − d kd − d d(k − 1) k − 1
a+ b c + d
=
Từ (1) và (2), suy ra:
a− b c − d
Ta đặt

Nhận xét: Điều ngược lại có đúng không ?
Ví dụ 3:

Cho

a+ b c+ d
=
≠ 1 và b, d ≠ 0
a− b c − d

a)

a c
= .
b d

pa + qb pc + qd
=
a
c

CMR:

b)

pa + qb pc + qd
=
pa − qb pc − qd

( p, q ∈ R và các tỉ số trên đều có nghĩa)
Bài Tập 2:

Cho

a c
= . CMR:
b d

a2 + b2 (a + b)2
pak + qbk pck + dbk


a
c
≠ 1,
≠ 1 ⇒ a ≠ b, c ≠ d hay a - b ≠ 0 và c - d ≠ 0
b
d

Biến đổi và áp dụng tính chất của tỉ lệ thức, ta có:

a c
a b a a− b
a
c
= ⇒ = ⇒ =
⇒
=
b d c d c c− d a− b c− d
a c
a− b c − d
=
Ví dụ 2: CMR: Từ tỉ lệ thức = ≠ −1 có thể suy ra tỉ lệ thức
b d
a+ b c + d
Bài giải:
Theo bài:

a c
a b a
c


CMR:

a c
=
b d

a+ b c+ d
=
. Hoán vị giữa hai trung tỉ và áp dụng tính chất của dãy tỉ
a− b c− d
số bằng nhau, ta có:

Từ tỉ lệ thức

a + b c + d a + b a − b a + b + a − b 2a a
=
⇒
=
=
=
=
a − b c − d c + d c − d c + d + c − d 2c c
a + b a − b a + b − (a − b) 2b b
a c
=
=
=
=
Tương tự:

(n∈ N )

b) CMR: Từ tỉ lệ thức
2k

a2k + b2k a2k − b
2k =
c2k − d2k
c2k + d

(k∈ N ) ta có thể suy ra được:

a
c
=±
b
d

(giả sử các tỉ số trên đều có nghĩa)
3 - Phương pháp: Xét tích trung tỉ và ngoại tỉ
* Cách làm:

Để chứng minh tỉ lệ thức

A C
= , ta chứng minh A.D = B.C
B D

* Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1:

a
c
=
= ⇒ ad = bc . Từ đó, ta có: a(c - d) = c(a - b) ⇒
a− b c − d
b d
a c
Lời giải 2: Theo bài: = ⇒ ad = bc ⇒ ac - ad = ac - bc
b d
Theo bài:

9


⇒ a(c - d) = c(a - b). Do
Ta có:

a c
= ≠ 1 ⇒ a - b ≠ 0 và c - d ≠ 0.
b d

a
c
=
a− b c− d

* Nhận xét:
- Đây là phương pháp áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức. Học
sinh có thể vận dụng dễ dàng.
- Chỉ áp dụng với biểu thức không phức tạp, không cồng kềnh. Nên

Từ (*) và (**), suy ra:
c− d c+ d a+ b c+ d
Từ (1) ⇒ ad - bd = bc - bd ⇒ d(a - b) = b(c - d)

⇒

( Vì theo giả thiết , ta có: a + b ≠ 0 và c + d ≠ 0)
Lời giải 2:
Xét tích: (a - b).(c + d) và (a + b).(c - d)
Ta có: (a - b).(c + d) = ac + ad - bc - bd = (ac - bd) + (ad - bc)
(a + b).(c - d) = ac - ad + bc - bd = (ac - bd) + (- ad + bc)
Theo bài:

a c
a− b c− d
=
= ⇒ ad = bc ⇒ (a - b).(c + d) = (a + b).(c - d) ⇒
a+ b c+ d
b d
( Vì theo giả thiết , ta có: a + b ≠ 0 và c + d ≠ 0)

Ví dụ 3:

Cho

a+ b c+ d
=
≠ 1 và b, d ≠ 0
a− b c − d


7a + 21b 7c + 21d
3a − 7b 3c − 7d
=
=
CMR: a)
b)
3a + 7b 3c + 7d
21a − 7b 21c − 7d
a c
Bài tập 2: Cho = . CMR:
b d
7a2 − 3ab 7c2 − 3cd
ma − nb mc − nd
=
=
a)
,
b)
ma + nb mc + nd
11a2 + 4b2 11c2 + 4d2
(giả sử các tỉ số trên đều có nghĩa)
Bài tập 1: Cho

4 - Phương pháp: Biến đổi tỉ số một vế thành tỉ số của vế còn lại
* Cách làm:
- Thường dùng các tính chất: Hoán vị, kết hợp, tính chất của đẳng thức, tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau, để biến đổi vế này thành vế kia.
- Chọn một vế để biến đổi, vận dụng giả thiết của bài toán, cùng nhứng tính
chất phù hợp để tạo ra một biểu thức mới, chính là biểu thức của vế còn lại.
* Các ví dụ minh hoạ:

bc
bc
c
=
=
=
=
=
a − b d(a − b) ad − bd bc − bd b(c − d) c − d
Lời giải 2:
Theo bài:

a c
= ⇒ ad = bc (abcd ≠ 0) và a ≠ b, c ≠ d . Do đó , ta có:
b d

c
bc
bc
ad
ad
a
=
=
=
=
=
c − d b(c − d) bc − bd ad − bd d(a − b) a − b
Ví dụ 2: CMR: Từ tỉ lệ thức


=
=
Do đó:
c + d ab(c + d) abc
. + ad.b a.bc + bc.b bc(a + b) a + b
Lời giải 2:

Theo bài:

Ví dụ 3: Cho

ax + by cx + dy
a c
=
= . CMR:
( x, y ∈ R)
ax − by cx − dy
b d
(giả sử các tỉ số trên đều có nghĩa)

Bài giải:
Lời giải 1:
Theo bài, ta có:

a c
= ⇒ ad = bc (các tỉ số đều có nghĩa)
b d

12


a c
= , b + d ≠ 0.
b d

( a + c)
b)
( b + d)

a2 + c2 ac
= ,
CMR: a) 2
b + d2 bd
Bài tập 2:

2
2

=

ac
bd

a c
= , c ≠ 0, c + d ≠ 0.
b d
a2 + b2 ab
a2 ac
= ,
b) 2 =
CMR: a) 2



a c
= . Áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức và áp dụng tính chất của
b d
a c
a c a+ c
= ⇒ = =
dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
b d b d b+ d
Theo bài:

2

2

2

a2 + c2
 a  c   a+ c 
⇒ ÷ = ÷ =
÷ = 2
2
 b  d   b+ d  b + d
Ví dụ 2:

Cho

a c
=

2a + 3b 2kb + 3b b(2k + 3) 2k + 3

2c − 3d 2kd − 3d d(2k − 3) 2k − 3
=
=
=
(2)
2c + 3d 2kd + 3d d(2k + 3) 2k + 3
2a − 3b 2c − 3d
=
Từ (1) và (2), ta có:
2a + 3b 2c + 3d
Cách 2: ( Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)

a c
a b 2a 3b 2a + 3b 2a − 3b
= ⇒ = =
=
=
=
b d c d 2c 3d 2c + 3d 2c − 3d
2a − 3b 2c − 3d
⇒
=
(Với a, b, c, d > 0 )
2a + 3b 2c + 3d

Theo bài:

Cách 3: ( Xét tích trung tỉ và ngoại tỉ)

a c a b a2 b2 ab 3a2 10b2 17ab 3a2 + 10b2 − 17ab
=
=
=
=
b) = ⇒ = ⇒ 2 = 2 =
b d c d c d cd 3c2 10d2 17cd 3c2 + 10d2 − 17cd
Mặt khác , ta lại có:

a2 b2 5ab 7a2 7a2 + b2 + 5ab
=
=
=
=
.
c2 d2 5cd 7c2 7c2 + d2 + 5cd
Từ đó , suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 3:

Cho n số khác 0 , thoả mãn:

a22 = a1a3, a32 = a2a4, a42 = a3a5, ......, an2−1 = an−2an
n

CMR:
Bài giải:

a1n + a2n + a3n + ........ + ann−1  a1 + a2 + a3 + .......... + an−1 
=
÷


(1)

Mặt khác: theo giả thiết, ta lại có:

ann−1 a1n + a2n + a3n + ...... + ann−1 a1.a2.a3.....an−1 a1
a1n a2n a3n
= = = .... = n = n n n
=
=
(2)
a2n a3n a4n
an
a2 + a3 + a4 + ....... + ann a2.a3.a4......an an
15


Từ (1) và (2), suy ra:
n

a1n + a2n + a3n + ........ + ann−1  a1 + a2 + a2 + .......... + an−1 
=
÷
a2n + a3n + a4n + ........ + ann  a2 + a3 + a4 + .......... + an 
(điều phải chứng minh)
* Bài tập áp dụng: (dành cho học sinh khá, giỏi)
a c
=
Bài tập 1: :
Cho

,
, m,
,
ma
+ n,bn + k,ab mc
+ n,dn + kcd

Bài tập 2: Cho

(giả sử các tỉ số trên đều có nghĩa)
III - BÀI TOÁN LUYỆN TẬP ( có lời giải)
Bài toán 1:

Cho bốn số khác 0: a1, a2, a3, a4

thoả mãn điều kiện:

a22 = aa
, a32 = a2a4 .
1 2
a13 + a23 + a33 a1
CMR : 3 3 3 =
a2 + a3 + a4 a4
(giả sử các tỉ số trên đều có nghĩa)
Bài giải:
Theo bài:

a22 = aa
⇒
1 2

a23 a33 a43 a23 + a33 + a43
16

(2)


a13 + a23 + a33 a1
CMR : 3 3 3 =
a2 + a3 + a4 a4

Từ (3) và (4), suy ra:

Lời giải 2: ( áp dụng phương pháp giá trị chung)
Gọi giá trị chung của:

a1 a2 a3
= = =k
a2 a3 a4

⇒ a1 = ka2; a2 = ka3; a3 = ka4
a1 k3a4
=
= k3 (1)
⇒
a4
a4

⇒ a1 = k. ka3 = k .ka4 = k a4
2


x1
Chứng minh rằng:  1
÷ =
x6
 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 
Bài giải:
Theo bài:

x22 = x1x2 ⇒

x1 x2
=
x2 x3

(1)

x32 = x2 x4 ⇒

x2 x3
=
x3 x4

(2)

x42 = x3 x5 ⇒

x3 x4
=
x4 x5




5

 x + x2 + x3 + x4 + x5 
x1
Hay:  1
=
÷
x6
 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 
Lời giải 2: ( áp dụng phương pháp giá trị chung)
Gọi giá trị chung của:

x1 x2 x3 x4 x5
= = = = =k
x2 x3 x4 x5 x6
5

 x + x2 + x3 + x4 + x5 
x
⇒ 1 = k5 =  1
÷
x6
 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 
Bài toán 3:
số

Giả sử k1, k2, k3 là ba số nguyên dương, k1 + k2 + k3 là số lẻ, các


=
(1)
k1 + k2 + k3
k1 + k2 + k3
x1 − x2 + x2 − x3 x1 − x3
=
(2)
và: k =
k1 + k2
k1 + k2
2(x1 − x3 ) x1 − x3
=
(3)
Từ (1) và (2), ta có:
k1 + k2 + k3 k1 + k2
k=

+ Nếu x1 ≠ x3 ⇒ (3) ⇔ 2(k1 + k2) = k1 + k2 + k3. Điều này vô lí, vì theo bài
k1 + k2 + k3 là số lẻ, mà 2(k1 + k2) là số chẵn, (k1, k2, k3 là ba số nguyên dương).
Chứng tỏ: x1 = x3 ⇒ x1 = x2 = x3 (đpcm)
Nhận xét: Nhiều học sinh nhầm lẫn

x1 − x2 + x2 − x3 + x3 − x1 = (x1 − x2 ) + (x2 − x3 ) + (x3 − x1 ) = 0
⇒ x1 = x2 = x3
Bài toán 4:

Có một bài toán như sau:
18



; c=
k
k
k
x2 − yz y2 − zx z2 − xy
−
.
2
x3 + y3 + z3 − 3xyz
Dẫn đến: a − bc
k
k
k
=
=
x
x
k2
b2 − ca c2 − ab x3 + y3 + z3 − 3xyz
=
=
⇒ (đpcm)
Tương tự ta có:
2
y
z
k
Bạn Sơn giải như sau:

a

b2 − ac
⇒ 2
=
=
(x − yz)2 − (y2 − zx)(z2 − xy) (y2 − zx)2 − (x2 − yz)(z2 − xy)
c2 − ab
= 2
(z − xy)2 − (x2 − yz)(y2 − zx)
a2 − bc
b2 − ac
c2 − ab
⇒
=
=
x(x3 + y3 + z3 − 3xyz) y(x3 + y3 + z3 − 3xyz) z(x3 + y3 + z3 − 3xyz)
3
3
3
Nhân các vế lần lượt cùng đa từng đa thức: x + y + z − 3xyz, ta suy ra điều phải
Từ giả thiết ta suy ra:

2

chứng minh.
? Các bạn có nhận xét gì về đề bài, lời giải của hai bạn Giang và Sơn ở trên.
IV - CÁC BÀI TOÁN TỰ GIẢI ( dành cho học sinh khá, giỏi)
Bài 1: Cho các số: a, b, c, x, y, z, thoả mãn điều kiện
19

x y z

a
b
c
d
CMR: aa = bc = cd = da
Bài 4: Giả sử k1, k2,..........., kn là các số nguyên, có tổng k1+ k2 + .........+ kn là
một số lẻ và các số x1, x2,..........., xn thoả mãn điều kiện:

x1 − x2
x −x
x −x
x −x
= 2 3 = ........ = n−1 n = n 1
k1
k2
kn−1
kn
CMR: x1 = x2 =..........= xn
a c
=
Bài 5:
Cho
( a, b, c, d > 0 ). CMR:
b d

nak − mbk nck − mdk
=
a)
nak + mbk nck + mdk


trong thời gian 30 phút, với nội dung đề như sau:

a c
= , chứng minh rằng:
b d
a ma + nc
a) =
, với m, n ∈ R, m ≠ 0, n ≠ 0;
b mb + nd

Câu 1: (5điểm). Cho

Câu 2: (5điểm).

Cho

2

 a + b  ab
b) 
÷ =
 c + d  cd

a c
= ≠ −1, chứng minh rằng:
b d

a2 + b2 (a + b)4
=
a) 2

3
15
6
30
10
50
19
95
VII - ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG
- Đề tài có thể áp dụng cho học sinh, giáo viên khi bắt đầu học nội dung tỉ lệ
thức ( trong chương trình toán 7). Áp dụng cho cả bồi dưỡng đại trà và bồi dưỡng
học sinh giỏi. Tuỳ theo đối tượng mà học sinh có thể chọn và vận dụng khác nhau,
giáo viên có thể yêu cầu với mức độ khác nhau.
- Đề tài trình bày hệ thống lí thuyết, các bài tập cơ bản áp dụng, các bài tập tương
tự ( tự giải), các bài toán nâng cao, với mức độ khai thác cao dần. Rất phù hợp cho
cả bồi dưỡng đại trà và bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tỉ lệ thức. Hay có thể áp
dụng để giáo viên dạy các tiếp luyện tập về chứng minh tỉ lệ thức. Sau này là các
bài toán liên quan, thông qua chứng minh tỉ lệ thức để giải toán.
VIII - NHỮNG HẠN CHẾ
- Nhiều bài toán có thể có thêm nhiều cách giải hay, ngắn gọn. Nhưng chưa
phù hợp với lớp 7, nên chưa đưa vào nội dung trình bày.
- Nhiều bài toán có thể thêm nhiều yếu tố gây nhiễu như: Cho thêm hệ số vô
tỉ, thêm các số có căn bậc hai, luỹ thừa...Nhưng do hạn chế của đề tài nên tác giả
chưa có dịp đưa vào nội dung trình bày, chưa có điều kiện khai thác sâu.
- Có thể phức hợp hay tổng quát hoá một số bài toán thành một hệ thống
logic có tính tư duy cao hơn phục vụ cho bồi dưỡng học sinh giỏi, nhưng chưa có
điều kiện khai thác.
21



ngoặt của bài toán.
- Khi mọi người áp dụng, có thể nhìn nhận theo nhiều góc độ. Có thể tự chọn
những ví dụ sao cho phù hợp với trình độ học sinh. Phương pháp này chỉ là những
định hướng cơ bản, là “kim chỉ nam” giúp các em có cách nhìn tổng thể khi đứng
trước bài toán chứng minh tỉ lệ thức. Với những phương pháp như vậy, sẽ giúp các
em có niềm say mê học tập, tự tin khi học toán, tăng niềm hứng thú, sáng tạo của
các em học sinh. Đó chính là bài học kinh nghiệm mà tôi rút ra từ đề tài này.

22


C - KẾT LUẬN
Sau một quá trình nghiên cứu, học hỏi. Tôi đã viết và hoàn thành sáng
kiến: “ Một số kĩ thuật chứng minh tỉ lệ thức” - Toán 7. Mang đặc trưng của toán
học, có thể áp dụng rộng với nhiều đối tượng học sinh và giáo viên tham khảo.
Trong đó có phần kiến thức cơ bản, cách giải của từng phương pháp, có hướng dẫn
gợi mở cho từng ví dụ. Chú ý khai thác nhiều đến các cách giải, mở rộng bài toán,
phát triển bài toán. Có nhiều bài tập gây cho học sinh hứng thú tìm hiểu, nhiều bài
tập cho học sinh tự giải, tự vận dụng để chứng minh.
Thiết nghĩ, nội dung này sẽ góp phần nhỏ bé trong quá trình dạy và học.
Giúp các em học sinh rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy tích cực, đặc biệt là công
tác bồi dưỡng học sinh giỏi cho huyện nhà hiện nay.
Tuy vậy, do trình độ còn hạn chế. Rất kính mong các cấp lãnh đạo, các đồng
chí chuyên viên và các bạn đồng nghiệp đóng góp, xây dựng và bổ sung ý kiến để
đề tài này hoàn chỉnh hơn, có tính hiệu quả cao hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

23



VII. Điều kiện áp dụng
VIII. Những hạn chế
IX. Bài học kinh nghiệm
X.
Hướng đề xuất
C. Kết luận

24

Trang
2
3-4
5
5
5
5
6
6
7
7
7
7
8
8
10
11
13
15
18
21