Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

Chuyên đề

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

4

SỐ PHỨC

§ 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC & CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC


1. Định nghĩa
— Đơn vị ảo: Số i mà i 2  1 được gọi là đơn vị ảo.
— Số phức z  a  bi với a, b  . Gọi a là phần thực, b là phần ảo của số phức z.
— Tập số phức   {a  bi | a, b  ; i 2  1}. Tập số thực   .
Ví dụ. Số phức z  3  2i có phần thực là ………… phần ảo là …………
Đặc biệt:

 Khi phần ảo b  0  z  a    z là số thực.
 Khi phần thực a  0  z  bi  z là số thuần ảo.
 Số 0  0  0i vừa là số thực, vừa là số ảo.
2. Hai số phức bằng nhau
Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
a  c
a  bi  c  di  
với a, b, c, d  .
b  d

Ví dụ. Tìm các số thực x, y, biết rằng (2x  1)  (3y  2)i  (x  2)  (y  4)i.

-3

-2

-1

Điểm B biểu diễn cho số phức: ………………

1
-1

Điểm C biểu diễn cho số phức: ………………

-2
-3

C

Điểm D biểu diễn cho số phức: ………………

x

O
1

2

3

B

a



Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 1 -


Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

Ví dụ. Tìm mơđun của các số phức sau:

 z  3  2i  z  3  2i  .......................  ...........

 z  1  i 3  z  1  i 3  ....................  ...........
5. Số phức liên hợp
— Định nghĩa. Cho số phức z  a  bi, (a, b  ). Ta gọi a  bi là số phức liên hợp của z
y
và được kí hiệu là z  a  bi.
b
z = a + bi
Ví dụ. Cho z  3  2i  z  ......................

O

Cho z  4  3i  z  ........................


 Phép trừ: z1  z 2  (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i.
Số phức đối của số phức z  a  bi là z  a  bi. Do đó z  (z )  (z )  z  0.
Ví dụ. Cho hai số phức là z1  5  2i và z 2  3  7i. Tìm phần thực, phần ảo và mơđun
của số phức w  z1  z 2 và số phức w  z 2  z1 ...................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
— Phép nhân số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức, rồi thay i 2  1 trong kết
quả nhận được. Cụ thể z1.z 2  (ab  bd )  (ad  bc )i.
Ví dụ. Cho hai số phức: z1  5  2i và z 2  4  3i. Hãy tính:

 w  z1.z 2  ................................................................................................................................
 r

z1
z2

 ....................................................................................................................................

 z1.z 2  ........................................................................................................................................
— Phép chia:

z1
z2



z 1.z 2
z 2 .z 2



Page - 2 -


Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

Bài tập vận dụng
BT 1.

Tìm các số thực x và y thỏa các điều kiện sau (nhóm sử dụng 2 số phức bằng nhau)
a) 2x  1  (1  2y )i  2(2  i)  yi  x .
Lời giải tham khảo
Từ điều kiện  (2x  1)  (1  2y )i  4  2i  yi  x

2x  1  4  x
x  1
 (2x  1)  (1  2y )i  (4  x )  (y  2)i  
 

1  2y  y  2
y  1


Nhận xét: Ở trên đã sử dụng kết quả của hai số phức bằng nhau nếu phần thực và
phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
b) (1  2i)x  (1  2y)i  1  i.

ĐS: x  1, y  1.


BT 2.

Nhóm bài tốn tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và mơđun của z , w (loại 1)
a) Cho z thỏa (2  i )z 

1i
 5  i. Tìm các thuộc tính của w  1  2z  z 2 .
1i
Lời giải tham khảo

Từ điều kiện có (2  i )z 

 (2  i )z 

(1  i )2
1  2i  i 2
 5  i  (2  i )z 
 5i
(1  i )(1  i )
1  i2

2i
5
5(2  i)
 5  i  (2  i )z  5  z 
z 
2
2i
(2  i)(2  i )


1  i (1  i )(1  i )
 Nếu sử dụng casio, ta chuyển về chế độ CMPLX (mode 2) (i tương ứng ENG).

1i
1  i sẽ được kết quả 2  i, nghĩa là tìm được
Chuyển vế tìm z và nhập
2 i
số phức z  2  i. Các phép tốn còn lại thao tác tương tự trên casio.
5 i 

b) z  (2  4i)  2i(1  3i).

ĐS: z  8  6i.

..........................................................................................................................................................
c) (1  i )z  14  2i.

ĐS: z  6  8i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
d) (1  i)z  (2  i)  4  5i.

ĐS: z  3  i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
e) w  z1  2z2 biết rằng z1  1  2i, z1  2  3i.


ĐS: z  1  3i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
h) (1  i )2 (2  i )z  8  i  (1  2i )z .

ĐS: z  2  3i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
BT 3.

Nhóm bài tốn tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và mơđun của z (loại 2)
a) Cho số phức z thỏa mãn (2  3i)z  (1  2i)z  7  i. Tìm mơđun của z.
Lời giải tham khảo
Gọi z  a  bi  z  a  bi (a, b  ).
Ta có (2  3i )z  (1  2i)z  7  i  (2  3i)(a  bi)  (1  2i)(a  bi)  7  i

 2a  2bi  3ai  3bi 2  a  bi  2ai  2bi 2  7  i  (a  5b )  (a  3b)i  7  i
a  5b  7
a  2


 
 z  2  i  z  2  i  22  (1)2  5.
a  3b  1

..........................................................................................................................................................
d) 2z  3(1  i )z  1  9i.

ĐS: z  2  3i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
e) (3z  z )(1  i )  5z  8i  1.

ĐS: z  3  2i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
f) (2  3i )z  (4  i )z  (1  3i )2 .

ĐS: z  2  5i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
g) (3  2i )z  5(1  i )z  1  5i.

ĐS: z  1  i.


..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
j)

z 2  z  0.

ĐS: z  0; z  i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
k) z  (z  3)i  1.

ĐS: z  3  4i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
l)

z  z  10 và z  13.

ĐS: z  5  12i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
2

o) z  2z .z  z

2

 8 và z  z  2.

ĐS: z  1  i, z  1  i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
p) w  1  iz  z 2 với z  (2  i ).z  5  i.

ĐS: w  3i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
q) w  z  2z với (1  i )z  2iz  5  3i.


Gọi z  a  bi (a, b  ).
Ta có (z  1)2  z 2  2z  1  (a  bi )2  2(a  bi )  1

 (z  1)2  a 2  2abi  b 2i 2  2a  2bi  1  (a 2  b 2  2a  1)  (2ab  2b)i
Vì (z  1)2 là số thuần ảo nên phần thực của nó bằng 0, nghĩa là có:

a 2  b 2  2a  1  0  (a  1)2  b 2  0

(1)

Ta có z  2  i  2 2  a  bi  2  i  2 2  (a  2)  (b  1)i  2 2

 (a  2)2  (b  1)2  2 2  (a  2)2  (b  1)2  8

(2)

b  a  1

(a  2)2  (b  1)2  8
b 2  (a  1)2

Từ (1),(2)  hệ phương trình 
 
2
2
(a  2)  (b  1)  8
b  1  a


(a  2)2  (b  1)2  8

b  2  3


Có ba số phức thỏa mãn u cầu bài tốn là z  i, z  1  3  (2  3)i.

Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 9 -


Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

Nhận xét: Số phức z  a  bi được gọi là số phức thuần ảo  phần thực a  0 và z
là số thực  phần ảo b  0.
b) z  5 và phần thực bằng 2 lần phần ảo.

ĐS: z  3  i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
c)

z  2 và z 2 là số thuần ảo.

z  1  i
ĐS: 


Page - 10 -


Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
f) (z  1)(z  2i ) là số thực và z  1 

5.

ĐS: z  2i, z  2  2i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
g) z  z  6 và z 2  2z  8i là số thực.

ĐS: z  3  2i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................


T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

Nhóm bài tốn lấy mơđun hai vế của đẳng thức số phức (đề cần tính |z| hoặc P(|z|)
a) Cho số phức z thỏa mãn z  4  (1  i ) z  (4  3z )i. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. 0  z  1.

B. 1  z  3.

C. 3  z  10.

D. 10  z  50.

Lời giải tham khảo



 



Từ giả thiết, ta có z  4  z  i z  4i  3iz  (1  3i )z  z  4  z  4 i



 



Lấy mơđun hai vế, được (1  3i )z  z  4  z  4 i

a  bi
a  bi
 ci  d hoặc
 ci  d với a, b, c, d  .
z
z
2

Ta thường sử dụng các tính chất z  z , z .z  z  z

2

và z 1 .z 2  z 1 . z 2 .

b) Tìm mơđun của số phức z thỏa mãn 2z  2  (1  i ) z  (2  z 2)i.
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
c) Cho số phức z  0 thỏa mãn z (2  3i ) z  3  2i   26  0. Tính giá trị của z .


..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
f) Cho số phức z  0 thỏa mãn (2  3i ) z 

26
 3  2i. Tính giá trị của z .
z

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
g) Cho số phức z  0 thỏa mãn (1  3i) z 

4 10
 3  i. Tính P  z
z

4

2

z .

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

a 2  b 2  1
a 2  b 2  1
 z 1  z 2  1
 a b  1



Có 






 2
 z 1  z 2  1
 (1  a )  bi  1
(1  a )2  b 2  1
a  2a  1  b 2  1






a  1
1
3
1
3

 z 2  
 z 1  




b) Cho hai số phức z1  0, z 2  0 thỏa mãn z 1  z 2  5 z 1  z 2 . Gọi a, b lần lượt là
phần thực và phần ảo của số phức w  z1z 2 . Tính a 2  b 2 .
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
c) Cho các số phức z1, z 2 thỏa mãn z1z 2  1 và z 1  z 2  1. Tìm phần ảo của số
phức w 

z1  z 2
1  z1z 2



..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 14 -


Vì số phức z  a  bi được biểu diễn bởi điểm M (a ;b) trên mặt phẳng tọa độ. Do đó ta

có thể xem véctơ OM  (a ;b) cũng biểu diễn cho số phức z. Nghĩa là có thể sử dụng bất
đẳng thức véctơ trong phép tốn max – min của số phức.



Cho ba véctơ u  (a;b), v  (x ; y ), w  (m; n ) và khi đó:


a b
 

 
x
y
 u  v  u  v . Dấu "  " xảy ra  u, v cùng chiều   hay  
x
y
a b

a b

 
 
x
y
 u  v  u  v . Dấu "  " xảy ra  u, v cùng chiều   hay  
x
y


 Với a, b, c  0 thì:

a b c 3
 abc . Dấu "  " xảy ra  a  b  c  0.
3

 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiacơpxki):
Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 15 -


Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

 Với a, b  0 và x, y bất kỳ ta ln có
Dấu "  " xảy ra 

x 2 y 2 (x  y )2


(Dạng cộng mẫu số).
a
b
a b

a
b



 a.x  b.y  c.z  (a 2  b 2  c 2 )(x 2  y 2  z 2 )

Dấu "  " xảy ra 

a
b
c
x
y z
  hay   
x
y
z
a
b
c

Lưu ý:
 Ta có thể sử dụng phương pháp hàm số (hoặc tam thức) để tìm max – min.
 Ngồi ra còn sử dụng phương pháp hình học (sẽ tìm hiểu kỹ ở bài học 2).
a) Cho số phức z thỏa z  3  4i  4. Tìm giá trị lớn nhất Pmax của P  z .
Bài giải tham khảo

 

Cách giải 1. Áp dụng bất đẳng thức u  v  u  v , hay z 1  z 2  z 1  z 2 .



 4 


 cos 

 4
x  4 sin   3
 
 Khi đó P  z  x 2  y 2  (4 sin   3)2  (4 cos   4)2
y  4 cos   4

 41  24 sin   32 cos   41  24 2  322 sin(   )  41  40 sin(   )

24

2

2

 cos ,

32

 sin .
24  32
24  322
Vì 1  sin(   )  1  40  40 sin(   )  40  1  41  40 sin(  )  81
với

2

là tọa độ hai điểm M1, M 2 cũng là tọa độ giao điểm của
đường thẳng OI và đường tròn.


Đường thẳng OI qua O(0; 0) và có VTCP là OI  (3; 4)
 3 4   27 36 
x
y
4
 y   x  (x ; y )   ;  ;  ;   
có dạng 



3 4
3
5 
 5 5   5
Nhận xét: Cách 2 và 3 tổng qt hơn, có thể tìm Pmax và Pmin cùng một lúc. Tùy vào u
cầu của bài tốn mà ta chọn phương pháp cho phù hợp cho trắc nghiệm hoặc tự luận.
b) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz  4  3i  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của z .
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 18 -


Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................




1
1
11

x 2 y 2 (x  y )2



a
b
a b

42
 2 2.
2

 2 2 và dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x  y  2  z  2  2i.

Cách giải 3. Sử dụng hình học
Tập hợp biểu diễn số phức z là đường d : x  y  4  0.
Số phức có mơđun nhỏ nhất  z

min

 OH và số phức cần

tìm chính là tọa độ điểm H là hình chiếu của điểm O lên d.

..........................................................................................................................................................
f) Trong các số phức thỏa mãn iz  3  z  2  i , tìm số phức có mơđun nhỏ nhất ?
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
g) Trong các số phức thỏa (z  1)(z  2i) là số thực, tìm số phức có mơđun nhỏ nhất ?
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
h) Trong các số phức thỏa mãn z  1  z  i , tìm mơđun nhỏ nhất w

min

của số phức

w  2z  2  i.
..........................................................................................................................................................

Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 20 -


Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán



2

3

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
k) Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  8. Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất z . Tìm M  m.
A. 4  7.

B. 4  7.

C. 7.

D. 4  5.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 21 -


Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

2(1  x )

, x  (1;1). Cho f (x )  0  x  

4
 (1;1).
5

 4
Tính f (1)  6, f (1)  2, f    2 10. Suy ra max P  2 10.
 5 
Dấu "  " xảy ra  x  

4
3
4 3
 y    z    i.
5
5
5 5

Cách khác: Sử dụng bất đẳng thức ax  by  (a 2  b 2 )(x 2  y 2 ).

P  1. (x  1)2  y 2  3 (1  x )2  y 2
 P  (12  32 ) (x  1)2  y 2  (1  x )2  y 2   20(x 2  y 2  1)  2 10.


Lưu ý: Ta có thể sử dụng phương pháp hình học sẽ ngắn hơn (bài học 2).
BT 8.


1
1
2
   Tính 1 
z1  z 2
z1 z 2
z2

 2 3.

D.

z1
z2



2
3



..........................................................................................................................................................
Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 22 -


Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán



A. min P  2.

B. min P  1.

C. min P  3.

D. min P  4.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
BT 11. Cho số phức z  x  2yi, (x , y  ) thay đổi thỏa mãn z  1. Tính tổng S của giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  y ?
A. S   5.

B. S  0.

C. S 

5.

D. S  2 5.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................


B. x  1, y  1.

C. x  1, y  1. D. x  1, y  1.

Tìm tất cả các cặp số thực (x; y ) thỏa điều kiện 3x  yi  2y  1  (2  x )i.
A. (1;1).

Câu 5.

B. P  3.

Tìm các số thực x, y thỏa mãn điều kiện (1  2i)x  (1  2y)i  1  i.
A. x  1, y  1.

Câu 4.

D. x  2, y  2.

Trên tập số phức, cho 2x  y  (2y  x )i  x  2y  3  (y  2x  1)i với x, y  .
Tính giá trị của biểu thức P  2x  3y.
A. P  7.

Câu 3.

C. x  0, y  2.

B. (1;1), (0; 1).

C. (1;0), (1; 1). D. (1; 1).


Câu 9.

(Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm 2 năm 2017) Tìm phần thực và phần ảo của số
phức z  i.
A. Phần thực là 0 và phần ảo là i.

B. Phần thực là 1 và phần ảo là i.

C. Phần thực là i và phần ảo là 0.

D. Phần thực là 0 và phần ảo là 1.

(Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm 2 năm 2017) Tìm phần thực và phần ảo của số
phức liên hợp z của số phức z  i(4i  3).
A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3.

B. Phần thực là 4 và phần ảo là 3.

C. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i.

D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i.

Câu 10. Cho các số phức z  1  2i và w  2  i. Hỏi số phức u  z .w có đặc điểm nào ?
A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3.

B. Phần thực là 0 và phần ảo là 3.

C. Phần thực là 0 và phần ảo là 3i.


D. z  1  i.

Câu 13. Cho số phức z thoả mãn z (1  2i)  4  3i. Tìm số phức liên hợp z của z.

2 11
A. z    i.
5
5

B. z 

2 11
 i.
5
5

C. z 

2 11
 i.
5
5

D. z  

2 11
 i.
5
5



B. 10  5i.

Câu 16. Cho số phức z thoả mãn
A. z  5  i.

C. 10  5i.

D. 14  5i.

z
 1  i. Tìm số phức liên hợp z .
3  2i

B. z  1  5i.

C. z  5  i.

D. z  1  5i.

Câu 17. Cho số phức z thoả mãn (1  i)z  14  2i. Giả sử số phức liên hợp của z có dạng
z  a  bi. Tìm a  b.
A. a  b  4.

B. a  b  14.

C. a  b  4.

Câu 18. Xác định số phức liên hợp z của số phức z , biết
A. z  

A. z  15  5i.
Câu 20.

B. z  1  3i.

C. z  5  15i.

D. z  5  15i.

(Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 Mã đề 104 câu 4) Cho số phức z  2  i. Tìm z .
A. z  3.

B. z  5.

C. z  2.

D. z  5.

Câu 21. (Đề thử nghiệm lần 3 – Bộ GD & ĐT năm 2017) Tính mơđun của số phức z thỏa mãn

z (2  i)  13i  1.

5 34

3

34

3
Câu 22. (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm 2 năm 2017) Tính mơđun của số phức z thỏa