Buổi 1.

CHỦ ĐỀ 1+2. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
A. Tính đơn điệu của hàm số
1. Định nghĩa:  Cho  hàm  số  y  f ( x) xác  định  trên  K ,  với  K   là  một  khoảng,  nửa  khoảng  hoặc  một 
đoạn. 
 Hàm số  y  f ( x) đồng biến (tăng) trên  K  nếu  x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  . 
 Hàm số  y  f ( x) nghịch biến (giảm) trên  K  nếu  x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  . 
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số  y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng  K . 
 Nếu hàm số đồng biến trên khoảng  K  thì  f   x   0, x  K . 
 Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng  K  thì  f   x   0, x  K . 
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số  y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng  K . 
 Nếu  f   x   0, x  K thì hàm số đồng biến trên khoảng  K . 
 Nếu   f   x   0, x  K thì hàm số nghịch biến trên khoảng  K . 
 Nếu   f   x   0, x  K thì hàm số không đổi trên khoảng  K . 
 Chú ý.
 Nếu  K  là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số  y  f ( x)  liên tục trên 
đoạn  hoặc  nửa  khoảng  đó”.  Chẳng  hạn:  Nếu  hàm  số  y  f ( x) liên tục  trên  đoạn   a; b  và có  đạo 
hàm  f   x   0, x  K trên khoảng   a; b  thì hàm số đồng biến trên đoạn   a; b . 
 Nếu  f   x   0, x  K ( hoặc  f   x   0, x  K ) và  f   x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của  K  
thì hàm số đồng biến trên khoảng  K  ( hoặc nghịch biến trên khoảng  K ). 
4. Kĩ năng cơ bản
4.1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức P ( x )
Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức  P ( x) , hoặc giá trị của x làm biểu thức  P ( x ) không xác định.  
Bước 2. Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. 
Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của  P ( x)  trên từng khoảng của bảng xét dấu. 
4.2 . Xét tính đơn điệu của hàm số y  f ( x ) trên tập xác định
Bước 1. Tìm tập xác định D. 
Bước 2. Tính đạo hàm  y  f ( x ) . 
Bước 3. Tìm nghiệm của  f ( x)  hoặc những giá trị x làm cho  f ( x)  không xác định. 

  0

a  0
b) g ( x )  0, x  ¡  
 
  0
a  0
d) g ( x )  0, x  ¡  
 
  0

 Chú ý: Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng  (a; b) : 
 Bước 1:  Đưa bất phương trình  f ( x )  0  (hoặc f ( x )  0 ),  x  (a; b)  về dạng  g ( x)  h(m)  (hoặc 

g ( x)  h(m) ),  x  (a; b) . 
 Bước 2:  Lập bảng biến thiên của hàm số  g ( x)  trên  (a; b) .  
 Bước 3:  Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m. 

B. Cực trị của hàm số
1. Định nghĩa: Cho hàm số  y  f ( x) xác định và liên tục trên khoảng  (a; b)  (có thể  a  là   ;  b  là   ) 
và điểm  x0  (a; b) . 
 Nếu tồn tại số  h  0  sao cho  f  x   f  x0   với mọi  x  ( x0  h; x0  h)  và  x  x0  thì ta nói hàm số 
f ( x)  đạt cực đại tại  x0 . 

 Nếu tồn tại số  h  0  sao cho  f  x   f  x0   với mọi  x  ( x0  h; x0  h)  và  x  x0  thì ta nói hàm số 
f ( x)  đạt cực tiểu tại  x0 . 

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số  y  f ( x)  liên tục trên  K  ( x0  h; x0  h) và có đạo 
hàm trên  K  hoặc trên  K \{x0 } , với  h  0 . 
 Nếu  f '  x   0  trên khoảng  ( x0  h; x0 )   và  f '( x)  0  trên  ( x0 ; x0  h)   thì  x0   là một điểm cực đại 


 

f ( x)

f ( x)

fCT

 Chú ý.

 

 

2


 Nếu hàm số y  f ( x)  đạt cực đại (cực tiểu) tại  x0  thì  x0  được gọi là điểm cực đại (điểm cực
tiểu) của  hàm  số;  f ( x0 )  được  gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của  hàm số, kí hiệu là 
fCÑ ( fCT ) , còn điểm  M ( x0 ; f ( x0 ))  được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số. 

 Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) 
còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số. 
3. Kĩ năng cơ bản
3.1.Quy tắc tìm cực trị của hàm số
 Quy tắc 1:
Bước 1.  Tìm tập xác định của hàm số. 
Bước 2.  Tính f   x  . Tìm các điểm tại đó  f   x  bằng 0 hoặc f   x   không xác định. 
Bước 3.  Lập bảng biến thiên. 

 
9a
a
3.3. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.
Cho hàm số:  y  ax 4  bx 2  c  a  0   có đồ thị là   C  . 
AB 

x  0
3


 
y  4ax  2bx; y  0   2
x   b
2a


 C  có ba điểm cực trị  y  0 có 3 nghiệm phân biệt  

b
 0 . 
2a



b
 
b
 
Khi đó ba điểm cực trị là:  A  0; c  , B    ;   , C   ;    với    b 2  4ac  

b4
b
b  b3
b3
 2




0


1

0

1  0  



2
2
a
2a  8a 
8a
 16a 2a  16a 2a

 ABC  đều   BC 2  AB 2  



3
·    , ta có:  cos   b  8a  tan    8a  
 BAC
b3  8a
2
b3

 SABC 

b2
4a



b
 
2a

 Bán kính đường tròn ngoại tiếp  ABC  là  R 

 Bán kính đường tròn nội tiếp  ABC  là  r 

b3  8a
 
8ab

b2
4a



A. Tính đơn điệu của hàm số
Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
1/  y  x 4  8 x 2  5 ;
3/  y 

2/   y 

2x  3
4 x

x2  x 1
 ;                                                     4/  y  25  x 2  
x2
1
3

Bài 2: Cho hàm số  y  (m  1) x3  mx2  (3m  2) x  (1) 
 

 

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. 
HD giải. Tập xác định: D = R. y  (m  1) x2  2mx  3m  2 .
(1) đồng biến trên R  y  0, x  m  2

Bài 3: Cho hàm số  y  x3  3x2  mx  4   
(1) 
 
 
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng  (;0) . 

 1 2
 m  1
(
x
;
x
)

(
m
;
0)
0  m  1
 1 2

 

B. Cực trị của hàm số
Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số:
1
  1) y =  x 3  4 x  
3
 
 

x 2  3x
 
x 1
x2  2 x  2
5)  y 

x2  2 x  m
 đạt cực tiểu tại x = 2  
x 1
4)  y  mx3  3x 2  5 x  m  đạt cực tiểu tại x = 2   
3)  y 

5)  y 

1 3
mx  (m  2) x 2  (2  m) x  2 đạt cực đại tại x = –1 
3

Bài 3: Cho hàm số  y  2x2  3(m  1) x2  6mx  m3 . 
 
 Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho  AB  2 . 
HD giải. Ta có: y  6( x  1)( x  m) . Hàm số có CĐ, CT  y  0 có 2 nghiệm phân biệt  m  1 .
Khi đó các điểm cực trị là A(1; m3  3m  1), B(m;3m2 ) .
AB  2  (m  1)2  (3m2  m3  3m  1)  2  m  0; m  2 (thoả điều kiện).

Bài 4: Cho hàm số  y  x3  3(m  1) x2  9x  m , với  m  là tham số thực. 
 

 Xác định  m  để hàm số đã cho đạt cực trị tại  x1, x2  sao cho  x1  x2  2 . 

HD giải. Ta có y '  3x2  6(m  1) x  9.
+ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2  PT y'  0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2
 

5


Câu 2.

Cho hàm số  y   x3  3 x 2  3x  2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 
A. Hàm số luôn nghịch biến trên  ¡ . 
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng   ;1  và  1;   . 
C. Hàm số đồng biến trên khoảng   ;1  và nghịch biến trên khoảng  1;   . 
D. Hàm số luôn đồng biến trên  ¡ . 

Câu 3.

Cho hàm số  y   x 4  4 x 2  10  và các khoảng sau: 





(I):    ;  2 ;   



Hàm số đồng biến trên các khoảng nào?
A. Chỉ (I). 
B. (I) và (II).   
Câu 4.



(II):     2;0 ; 



4
C.  f ( x)   x5  x3  x . 
5
3

D.  k ( x)  x3  10 x  cos 2 x . 

x 2  3x  5
 nghịch biến trên các khoảng nào ? 
x 1
A.  (; 4) và  (2; ) . 
B.   4; 2  . 
Hàm số  y 

6


C.   ; 1  và   1;   . 
Câu 7.

Câu 8.

D.   4; 1  và   1; 2  . 

3 5
x  3x 4  4 x3  2  đồng biến trên khoảng nào? 
5
A.  (;0) . 
B.  ¡ . 
C.  (0; 2) . 

Cho hàm số  y  x3  3 x 2  9 x  15 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? 
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng   3;1 .   
B. Hàm số đồng biến trên  ¡ . 
C. Hàm số đồng biến trên   9; 5  . 

 

D. Hàm số đồng biến trên khoảng   5;   . 
Câu 10. Tìm điều kiện để hàm số  y  ax 4  bx 2  c   (a  0)  có 3 điểm cực trị . 
A.  ab  0.  

B.  ab  0.  

C.  b  0.  

Câu 11. Cho hàm số  y  f ( x)  có bảng biến thiên: 
x   
 
2 
0 
y  
 
 
3 
y
  

 
 
 

 

Câu 13. Cho hàm số  y  x 4  2 x 2  3 . Khẳng định nào sau đây là đúng? 
A. Hàm số có ba điểm cực trị. 
B. Hàm số chỉ có đúng 2 điểm cực trị. 
C. Hàm số không có cực trị. 
D. Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị. 
Câu 14. Biết đồ thị hàm số  y  x 3  3 x  1  có hai điểm cực trị  A, B . Viết phương trình đường  
thẳng  AB . 
A.  y  x  2.  
B.  y  2 x  1.   
C.  y  2 x  1.  

 

D.  y   x  2.  

7


Câu 15. Gọi  M , n  lần lượt là giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số  y 

x 2  3x  3
. Tính giá 
x2

trị của biểu thức  M 2  2n  ? 
A.  M 2  2n  8.   

B.  M 2  2n  7.  

C.  y  4 x 2  12 x  8.  

D.  yCD  2.   

3
 ? 
2

B.  y   x 2  3 x  2.   
D.  y 

x 1
.   
x2

Câu 19. Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ có cực đại mà không có cực tiểu? 
A.  y  10 x 4  5 x 2  7.   
B.  y  17 x 3  2 x 2  x  5.   
C.  y 

x2
. 
x 1

D.  y 

x2  x  1
.   
x 1


C.  y  2 x  1  . 

B.  y  2 x3  3 x 2 . 

 

B.  y  x 3  x 2  2 x  1 .  
D.  y 

x 1
.
2x 1

Câu 24. Tìm các giá trị của tham số m  để đồ thị hàm số:  y  x 4   3m  1 x 2  2m  1  có ba điểm 
cực  trị.  Đồng  thời ba điểm cực  trị  đó cùng  với  điểm  D  7;3   nội tiếp được  một  đường 
tròn. 
A. m  3.                         B. m  1.   
 

C. m  1.                   D. Không tồn tại m. 
8


Câu 25. Tìm tất cả các giá trị của tham số m  để đồ thị hàm số:  y  x 4  2mx 2  m  1  có ba điểm 
cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn 
ngoại tiếp bằng 1. 
m  1
m  1
1  5



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.1 Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng bảng biến thiên
 Bước 1. Tính đạo hàm  f ( x) . 
 Bước 2. Tìm các nghiệm của  f ( x)  và các điểm  f ( x) trên K. 
 Bước 3. Lập bảng biến thiên của  f ( x)  trên K. 
 Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận  min f ( x), max f ( x)  
K

K

2.2 Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không sử dụng bảng biến
thiên 
 Trường hợp 1. Tập K là đoạn  [a; b]  
 Bước 1. Tính đạo hàm  f ( x) . 
 

9


 Bước 2.   Tìm tất cả các nghiệm  xi  [a; b]  của phương trình  f ( x)  0  và tất cả các 
điểm   i  [a; b]  làm cho  f ( x)  không xác định. 
 Bước 3.   Tính  f (a ) ,  f (b) ,  f ( xi ) ,  f ( i ) . 
 Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận  M  max f ( x) ,  m  min f ( x ) . 
 a ;b 

 a ;b 

 Trường hợp 2. Tập K là khoảng  (a; b)  
 Bước 1. Tính đạo hàm  f ( x) . 
 Bước 2.   Tìm tất cả các nghiệm  xi  (a; b)  của phương trình  f ( x )  0  và tất cả các 
điểm   i  (a; b)  làm cho  f ( x)  không xác định. 

2. Đường tiệm cận đứng 
 Đường thẳng x  x0 là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số
y  f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

lim f ( x)  , lim f ( x)  , lim f ( x)  , lim f ( x)   .

x  x0

x  x0

x  x0

x  x0

Ngoài ra cần nhớ các kiến thức về giới hạn sau:
3) Quy tắc tìm giới hạn vô cực
Quy tắc tìm giới hạn của tích f ( x).g ( x) : Nếu lim f ( x)  L  0 và lim g ( x)   (hoặc  ) thì
x  x0

x  x0

lim f ( x) g ( x) được tính theo quy tắc cho trong bảng sau

x  x0

lim f ( x)

x  x0

L0

x  x0

 

10


Dấu của g ( x)

f ( x)
g ( x)
0
Tùy ý
0

+
L0



0
+
L0



       (Dấu của  g ( x)  xét trên một khoảng  K  nào đó đang tính giới hạn, với  x  x0 ) 

lim f ( x)


d/   y = f (x ) = 2x 3 - 6x 2 + 1 trên đoạn  éê- 1;1ù
ú. 
ë
û

 

HD giải. a/  Tìm max – min của hàm số:  y = f (x ) = 3x 3 - x 2 - 7x + 1 trên   éê0;2ù
. 
ë ú
û
 Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn éê0;2ù
ú. 
ë û
éx = 1 Î é0;2ù      (N )
êë ú
ê
û
2
2
 Ta có:  y ' = f ' (x ) = 9x - 2x - 7 Þ y ' = 0 Û 9x - 2x - 7 = 0 Û ê
 
7
êx = - Ï é0;2ù  (L )
ê
ú
êë
9 ë û
 Tính  
f (0) = 1; f (2) = - 9; f (1) = - 6

 
é1; 3ù  (N )
ú
ëê û

 Tính:  

 

11


ổ4 ử 13
f (1) = 0; f (3) = - 6; f ỗỗ ữ
ữ=
ữ
ố3 ứ
27
ỡù
13
4
ùù max f (x ) =
khix =
27
3
ị ùớ [1;3]
ùù min f (x ) = - 6 khix = 3
ùùợ [1;3]

c/Tỡmmaxmincahms: y = f (x ) = - 2x 4 + 4x 2 + 3 trờn ộờ0;2ự

ỳ
ởờ ỷ
ị ùớ
ùù min f (x ) = - 13 khix = 2
ùù ộ0;2ự
ùợ ởờ ỷỳ
d/Tỡmmaxmincahms: y = f (x ) = 2x 3 - 6x 2 + 1trờn ộởờ- 1;1ự
ỳ.
ỷ
Hmsócholiờntcvxỏcnhtrờnon ộờ- 1;1ự
.
ỳ
ở
ỷ
ộx = 0 ẻ ộ- 1;1ự (N )
ỳ
ởờ
ỷ
Tacú: y ' = f ' (x ) = 6x 2 - 12x ị y ' = 0 6x 2 - 12x = 0 ờờ
.
ộ
ự (L )
x
=
2
ẽ
1;1
ờở
ờở
ỳ

1
, x ẻ (0;2ự
ỳ.
ỷ
x





d/ y =

x + 1 + 9x 2
, (x > 0).
8x 2 + 1

HD gii. a/Tỡmmaxmincahms: y = x +

2

4
, (x > 0)
x


*Hmsóchoxỏcnhvliờntctrờn (0;+ Ơ
4
x2 - 4
=
, " x ẻ (0; + Ơ

                                           4  
 Dựa vào bảng biến thiên Þ min f (x ) = 4  khi x = 2  và hàm số không có giá trị lớn nhất. 
(0;+ ¥ )

x- 1
   
x - x+1
 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D = ¡ . 

b/  Tìm max – min của hàm số:  y =

 Ta có:  y ' =

éx = 0
 
Þ y ' = 0 Û - x 2 + 2x = 0 Û êê
êëx = 2

- x 2 + 2x

(x

2

2

)

- x+1


 Ta có:  y ' = 1 - 2 =
, " x Î (0;2ù
ú
2
û. 
x
x
 Cho  y ' = 0 Û x 2 - 1 = 0 Û x = ± 1 . 
 Bảng biến thiên: 
 
x   - ¥       - 1        0                                   1                              2           + ¥  
+ 
y '         +       0                        -                  0                +  
 
 
 
y 
 

                                                                    
 
3
    
 
2
 
                            0   

 Dựa vào bảng biến thiên:  min f (x ) = 0  khi x = 1 . 
(0;2ùúû


. 

2

9x + 1 - x

 Hàm số y = f (x )đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0, + ¥

g (x ) =

)khi và chỉ khi hàm số: 
x  đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0, + ¥ ). 

9x 2 + 1 -

 Ta có g ' (x ) =

9x
9x 2 + 1

 Vậy:  min g(x ) =
(0;+ ¥ )

- 1 Þ g ' (x ) = 0 Û

ìï x > 0     
1
. 
9x 2 + 1 = 9x Û ïí

còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất. 
b/  Cho Parabol  (P ) : y = x 2  và điểm  A (- 3;0). Xác định điểm  M Î (P )  sao cho khoảng 
cách  A M  là ngắn nhất. Tìm khoảng cách đó. 
HD giải. a/  Gọi độ dài cạnh thứ nhất của tam giác là x (cm ), cạnh thứ hai có độ dài là y (cm ) và 
cạnh thứ ba là 6 (cm ). 
ìï x > 0,  y > 0                                
 Theo đề bài ta có:  ïí
Þ
ïï Chu  vi  D = 2p = x + y + 6 = 16
î
 Công thức tính diện tích Δ theo Hêrông: 
S D (x ) =

p (p - x )(p - y )(p - 6) =

 Ta có:   S D' = 4.
S D' = 0 Û 4.

(5 - x )
- x 2 + 10x - 16

(5 - x )

- x 2 + 10x - 16
 Bảng biến thiên: 

ìï y = 10 - x ;  " x Î (0;10)
ïí
 
ïï p = 16                           

 

( )

 Dựa vào bảng biến thiên:  MaxS D = 12 cm 2 khi mỗi cạnh còn lại 
dài 5 (cm ); (khi  x = y = 5). 

(

)

b/Gọi  M (x o ; yo ) Î (P ) Þ M x o ; x o2 . 
 

14


 Khoảng cách:  A M = d (x o ) =

(x

2

o

2x o3 + x o + 3

 Ta có:  d ' (x o ) =

4

+ ¥                                                                                            + ¥  
A M = d (x o )   
                                                    5  
 
Dựa vào bảng biến thiên:  A M min =

5 khi điểm M (- 1;1) Î (P ) : y = x 2 . 

II. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
1) Tìm giới hạn theo quy tắc
Ví dụ 1. Tìm  lim ( x 3  2 x) . 
x 

2 
2 


Giải. Ta có  lim ( x3  2 x )  lim x 3 1  2     (vì  lim x3    và  lim  1  2   1  0 ). 
x 
x 
x 
x 
x 
x 


2 x3  5x 2  1
. 
x 
x2  x  1



5 1

 2  x  x2
lim 
x 
 1  1  1
x x2




  2  0 ) 


2x  3
Ví dụ 3. Tìm  lim
. 
x 1
x 1
x  1)  0 ,  x  1  0 x  1  và  lim(2
x  3)  1  0 . Do đó  lim
Giải. Ta có  lim(


x 1

Ví dụ 4. Tìm  lim
x 1

x a

trị của x rất gần a .
a) Giới hạn của hàm số tại một điểm 
lim f ( x) thì nhập f ( x) và tính giá trị tại x  a  10 9 .

xa

 

15


lim f ( x) thì nhập f ( x) và tính giá trị tại x  a  109 .

xa

lim f ( x) thì nhập f ( x) và tính giá trị tại x  a  109 hoặc x  a  109 .
x a

b) Giới hạn của hàm số tại vô cực 
lim f ( x) thì nhập f ( x) và tính giá trị tại x  1010 .

x 

lim f ( x) thì nhập f ( x) và tính giá trị tại x  1010 .

x 

Ví dụ 1. Tìm giới hạn lim

2x  3
Máy hiện số -999999998. Vậy  lim
  . 
x 1 x  1
Ví dụ 2. Tìm giới hạn lim
x 1

2x2  2x  3
. 
x 
x2  1
2x2  2x  3
= 
CALC 
Giải. Nhập biểu thức 
. Ấn tổ hợp phím:                                        . Máy hiện số 2. 
1010
2
x 1
2x2  2x  3
Vậy lim
 2 . 
x 
x2  1
3) Dạng toán thường gặp: Tìm các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y  f ( x ) . 
Phương pháp:
- Tìm TXĐ của hàm số.

Ví dụ 3. Tìm giới hạn lim

Q ( x0 )  0

 

ii) Tiệm cận ngang 
 
Nếu  bậc  của  P ( x)   bé  hơn  bậc  của  Q ( x)   thì  đường  thẳng  y  0   (trục  hoành)  là  tiệm  cận 
ngang của đồ thị hàm số. 

A
 là tiệm cận ngang của đồ thị 
B
hàm số  P ( x)  trong đó  A, B  lần lượt là hệ số của số hạng có số mũ lớn nhất của  P ( x)  và  Q ( x) . 
 

Nếu bậc của  P ( x)  bằng bậc của  Q ( x)  thì đường thẳng  y 

 

Nếu bậc của  P ( x)  lớn hơn bậc của  Q ( x)  thì đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. 

Đặc biệt, mọi hàm phân thức hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất  y 
Tiệm cận đứng  x 

ax  b
 đồ thị đều có hai tiệm cận 
cx  d

d
a

. 

Giải. TXĐ:  D  (; 12 14)  (12 14; ) . Ta có  
           lim y  1  và  lim y  1  nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là  y  1  và  y  1 .  
x 

x 

x 1
.  
x 2

Ví dụ 3. Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số  y 
Giải. TXĐ:  D  [0; 4)  (4; ) . Ta có 

lim y  lim y  1  nên đồ thị nhận đường thẳng  y  1  làm tiệm cận ngang. 

x 

x 

lim y  , lim y    nên đồ thị nhận đường thẳng  x  4  làm tiệm cận đứng. 

x  4

x4

III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.


. 
3

17


Câu 2.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số  y 
13
.  
12
47
C. Giá trị lớn nhất bằng    . 
60

A. Giá trị lớn nhất bằng 

Câu 3.

1
1
1
trên đoạn   5; 3 . 


x x 1 x  2
11
B. Giá trị lớn nhất bằng . 
 

1
               A.  N  2; M  1 .      B.  N  0; M  2         C.  N  ; M  1 .      D.  N  0; M  1 .  
2

Câu 6.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số  y  sin 4 x  cos 4 x  . 
A.  0 . 

Câu 7.


4

.

D. Không tồn tại. 

B. x 


6

.

C. x  0 và x 


2



 3
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  x 3  3 x  3  trên   1;   . 
 2
A.  maxy  5 .               B.  maxy  3 .              C.  maxy  4 . 
 3
x 1; 
 2

 3
x 1; 
 2

      D.  maxy  6  

 3
x 1; 
 2

 3
x 1; 
 2

Câu 10. Hàm số  y  x3  2 x 2  7 x  5  có giá trị nhỏ nhất là m và giá trị lớn nhất là M trên  1;3 . 
Tính tổng m + M. 
338
A.  m  M  
. 
27
C.  m  M  10 . 

      B. 101.250.000. 
C. 100.000.000.                                                D. 100.250.000. 
Câu 13. Doanh nghiêp Hồng Anh cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng 
hai máy A và B. Máy A làm việc trong x ngày và cho số tiền lãi là  x3  2 x  ( triệu đồng ), 
máy B làm việc trong y ngày và cho số tiền lãi là  326 y  27 y 2  ( triệu đồng ). Hỏi doanh 
nghiệp Hồng Anh cần sử dụng máy A làm việc trong bao nhiêu ngày sao cho số tiền lãi là 
nhiều nhất? (Biết rằng hai máy A và B không đồng thời làm việc, máy B làm việc không 
quá 6 ngày). 
A. 6.                              B. 5.                                C. 4.                                   D. 7. 
Câu 14. Một người thợ xây cần xây một bể chứa 108 m3 nước có dạng hình hộp chữ nhật với đáy 
là  hình  vuông  và  không  có  nắp.  Hỏi  chiều  cao  của  lòng  bể  bằng  bao  nhiêu  để  số  viên 
gạch dùng  xây bể  là  ít  nhất.  Biết  thành  bể  và  đáy  bể  đều  được  xây  bằng  gạch,  độ  dày 
thành bể và đáy bể là như nhau, các viên gạch có kích thước như nhau và số viên gạch 
trên một đơn vị diện tích là bằng nhau. 
A. 9m.                              B. 6m.                                C. 3m.                                   D. 2m. 
Câu 15. Kỳ thi THPT Quốc gia năm 2016 vừa kết thúc, Nam đỗ vào trường đại học kinh tế quốc 
dân Hà Nội. Kỳ I của năm thứ nhất gần qua, kỳ II sắp đến. Hoàn cảnh không được tốt nên 
gia đình rất lo lắng về việc đóng học phí cho Nam, kỳ I đã khó khăn, kỳ II càng khó khăn 
hơn. Gia đình đã quyết định bán một phần mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 50m, lấy tiền 
lo cho việc học của Nam cũng như tương lai của em. Mảnh đất còn lại sau khi bán là một 
hình vuông cạnh bằng chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu. Tìm số  tiền lớn 
nhất mà gia đình Nam nhận được khi bán đất, biết giá tiền 1m2 đất khi bán là 1500.000 
VN đồng. 
                 A. 112687500VN đồng.                       B. 114187500VN đồng.                      
                 C. 115687500VN đồng.                       D. 117187500VN đồng.               
Câu 16. Đồ thị hàm số  y  x 4  2x 2  5 có bao nhiêu đường tiệm cận ? 
A. 0. 
        B. 1. 
    C. 2.                        D. 3. 
Câu 17. Đồ thị hàm số nào sau đây nhận đường thẳng  y  2 là một đường tiệm cận ? 

2x  1

. 
x 1
A. y  1 .                    B. y  1 .                         C. y  2 .                   D. y  2 . 

Câu 20. Tìm tất cả các giá trị của tham số  m  để các đường tiệm cận của đồ thị hàm số  y 

2x  m

 

xm
tạo với 2 trục tọa độ một hình vuông. 
A. m  2 .                 B. m  2 .                      C. A và B sai.                  D. A và B đều đúng. 
Câu 21. Tìm tất cả các giá trị của tham số  m  để khoảng cách từ giao điểm của 2 đường tiệm cận 
mx  2

 tới gốc tọa độ O bằng 5 . 
x 1
A. m  4 .               B. m  2 .                     C. A và B sai.                   D. A và B đều đúng. 

của đồ thị hàm số  y 

Câu 22. Cho hàm số  y 

2  3x

. Tìm tất cả các giá trị của tham số  m  để tiệm cận đứng của đồ thị 
3x  m


1
A. m  2 .                  B. m   .                    C. m  4 .                           D. m  4 . 
2
IV. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20 
C  C  B  B  C  B  C  D  A  A  A  B  A  C  D  A  C  D  D  D 
21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40 
A  B  C  D  D   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

20


Buổi 3.
CHỦ ĐỀ 5. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

phân biệt 

 

Phương trình  

a0 

   

 

 

   
 

y’ = 0 

 

có nghiệm kép 

 

   

 
   
Phương trình  

 
O 

a 
trái a đơn vị.
+ Hàm số  y  f ( x  a )  có đồ thị  (C ')  bằng cách tịnh tiến đồ thị  (C )  theo phương  Ox  sang 
phải  a  đơn vị. 
+ Hàm số y   f ( x) có đồ thị (C ') là đối xứng của đồ thị (C ) qua trục Ox .
+ Hàm số y  f ( x) có đồ thị (C ') là đối xứng của đồ thị (C ) qua trục Oy .
 f ( x) khi  x  0
+ Hàm số y  f  x   
có đồ thị (C ') suy từ đồ thị (C ) bằng cách:
 f ( x) khi  x  0
Giữ nguyên phần đồ thị (C ) nằm bên phải trục Oy và bỏ phần đồ thị (C ) nằm bên trái Oy .
Lấy đối xứng phần đồ thị (C ) nằm bên phải Oy qua Oy .
 f ( x) khi  f ( x)  0
+ Hàm số y  f ( x)  
có đồ thị (C ') suy từ đồ thị (C ) bằng cách:
 f ( x) khi  f ( x)  0
Giữ nguy ên phần đồ thị (C ) nằm phía trên trục Ox .
Lấy đối xứng phần đồ thị (C ) nằm bên phía dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị (C ) nằm dưới

Ox .
II. LUYỆN TẬP (KĨ NĂNG CƠ BẢN)
Dạng 1. Nhận dạng đồ thị hàm số
Ví dụ 1. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
4

2

A.  y  x  2 x  2.  
3

B.  y  x  3 x  1.  

D.  y  x  3x  1.  
 
Hướng dẫn giải
Ta thấy đường cong là đồ thị của hàm bậc ba,  lim y    . Vậy đáp án là D. 
x 

 

23


Ví dụ 3. Hàm số  y 
A. Hình 1. 

x 1

 có đồ thị là hình vẽ nào dưới đây?
x2
B. Hình 2.  
C. Hình 3. 

 

D. Hình 4.  

 

 

 

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số  m  sao cho phương trình  f  x   m có ba nghiệm 
thực phân biệt. 
A.   2; 4.  

C.  2; 4.  

B.  2; 4  .  

D.  ; 4.  

Hướng dẫn giải
Phương trình có 3 nghiệm khi và chỉ khi đồ thị hàm số  y  f  x   cắt đường thẳng  d : y  m  tại 3 
điểm phân biệt. Từ bảng biến thiên suy ra  2  m  4  m   2; 4  . Chọn B.
Ví dụ 5. Cho hàm số  y  f  x   xác định, liên tục trên  ¡  và có bảng biến thiên: 

x                  1                   0                     1                     
y '                        0                  0                                
y   

4
                                 

0

3

                  

 



2

Ví dụ 6. Xét hàm số  y  x  3 x  2  có đồ thị (C) được cho ở hình bên. Tìm tất cả các giá trị của 
3

2

tham số thực m sao cho phương trình  x  3 x  2  m  có 2 nghiệm thực phân biệt .
A.  2  m  2.                 
B.  m  2 hoặc  m  2   
C.  m  2  hoặc m  2                        
D.  m  2  hoặc  m  2.
 

Ví dụ 7. Cho hàm số  y  f  x   xác định, liên tục trên  ¡  và có bảng biến thiên :
x  - 
y’ 
+ 
y 

-1 
0 

- 

1 
0 

+ 


– 

y '     
y

+ 
 

 

0 

 

2                        + 

– 

0 

+ 

0 

 

–