TRUNG TÂM BDKT VÀ LTĐH – 36/ ki
ệt 73 NGUYỄN HOÀNG
TRUNG TÂM GS Đ
ỈNH CAO VÀ CHẤT L
ƯỢNG
SĐT: 01234332133 – 0978421673. TP HU
Ế
CHUYÊN Đ
Ề HÀM SỐ
LUY
ỆN
THI
T
ỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Hueá, thaùng 7/2012
* Tính đơn đi
ệu của hàm số
* Ứng dụng tính
đơn điệu hàm số chứng minh bất
đ
ẳng thức
*
Ứng dụng hàm số vào giải và biện luận ph
ương
trình, b
ất phương t
rình, h
ệ phương trình
* C
ực trị hàm số
* M
x
1
, x
2
K, x
1
< x
2
f(x
1
) < f(x
2
)
Hàm s
ố f nghịch biến (giảm) trên
K
x
1
, x
2
K, x
1
< x
2
(x)
0,
x
K
3. Đi
ều kiện đủ
đ
ể hàm số đơn điệu
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K.
a) N
ếu
f
(x)
0,
x
K (f
(x) = 0 t
ại một số hữu hạn
điểm) thì f đồng biến
trên K.
b) N
ếu
n
ửa khoảng
thì f ph
ải
liên t
ục
trên đó.
www.VNMATH.com
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
2
N
ếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x)>0 trên khoảng (a;b)
thì hàm s
ố f(x)
đồng biến trên [a;b]
N
ếu hàm f liên tục trên đoạn [a
;b] và có đ
ạo hàm f’(x)<0 trên khoảng (a;b)
thì hàm s
ố f(x) nghịch biến trên [a;b]
II. QUY T
ẮC XÉT TÍNH
ĐƠN ĐI
ạn: Trần Đình Cư
3
B. PHƯƠNG PHÁP GI
ẢI BÀI TẬP:
BÀI TẬP MẪU:
Bài 1. Xét chi
ều biến thiên của hàm số sau:
3 2 3 2 3 2
) 3 24 26; ) 3 2; ) 3 3 2a y x x x b y x x c y x x x
Hư
ớng dẫn:
a) Hàm đ
ồng biến trên (
-4;2) và ngh
ịch biến trên các khoảng
; 4 và 2;
b) Hàm nghịch biến trên (0;2) và nghịch biến trên các khoảng
;0 và 2;
2
)y'=3 1 , y'=0 x=-1 và y'>0 với mọi x -1
Vì hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng ; 1 1; nên hàm
số đồng biến trên
c x
và
ự
a vào quy t
ắc xét tính đơn điệu của hàm số
www.VNMATH.com
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
4
b) Hàm đ
ồng biến trên
0;
và ngh
ịch biến trên
;0
c) Hàm đ
ồng biến trên khoảng
2;
và ngh
ịch biến trên
;2
Nh
ận xét:
; 1 vaø 1;
b) Hàm ngh
ịch biến trên
;1 vaø 1;
c) Hàm đ
ồng biến trên
5; 2 vaø 2;1
,
Hàm ngh
ịch biến trên
; 5 vaø 1;
d) Hàm đ
ồng biến trên
; 2 vaø 2;
,
Nh
ận xét:
Đ
ối với hàm số
ax
. 0
b
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
5
2
2
2 3 khi 1 3
2 3 khi 1 3
2 2 khi 1 3
' ' 0 1
2 2 khi 1 3
3, 0: ' 0 2. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 và x=3
b
x x
x x
x x
x x y x
Dựa vào bảng biến thiên: Hàm đồng biến trên khoảng 0;2 , nghòch biến
trên ;0 và 2;3
Bài 5. Tìm các kho
ảng đơn điệu của hàm số
siny x
trên kho
ảng
0;2
Hư
ớng dẫn:
Ta có:
3
' 0, 0;2 ,
2 2
y x x x
3 3 2
4 2 2
4 2
) 2 3 1; ) 6 9
3 3
) 2 5; ) 2
a y x x b y x x x
c y x x d y x x
Hư
ớng dẫn:
)Trình bày tương tự bài mẫu 1c); d)Trình bày tương tự bài mẫu 2b)c
Bài 3. Ch
ứng minh rằng
2
3
) 4 nghòch biến trên đoạn 0;2
) cos 4 đồng biến trên
c) cos2 2 3 nghòch biến trên
a y x
b y x x x
y x x
Hướng dẫn:
) '( ) 2 sin2 1 0, và '( ) 0 ,
4
Hàm số nghòch biến trên mỗi đoạn ; 1 ,
4 4
Do đó hàm số nghòch biến trên
x
c f x x x f x x k k
k k k
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
7
Bài 4.
a) Cho hàm s
ố
2
sin cosy x x
. Ch
ứng minh rằng hàm
) Hàm số liên tục trên đoạn 0; và có '( ) sin 2cos 1 , 0;
1
Vì 0; sin 0 nên trong khoảng 0; : '( ) 0 cos
2 3
* ' 0, 0; nên hàm số đồng biến trên 0;
3 3
* '
a f x x x x
x x f x x x
y x
y
5
tục m 1;1 1; , nên tồn tại số thực c ;
4 3
sao cho y(c)=0.
2
Số c là nghiệm của phương trình sin cos và vì hàm số nghòch
biến trên ; ,nên trên đoạn này phương trình có nghiệm duy nhất.
3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất trên 0;
x x m
BTTT: Cho hàm s
ố
b) Ch
ứng minh rằng với mọi
1;1m
phương tr
ình
2 2
sin cosx x m
BÀI T
ẬP TỰ GIẢI:
Bài 1. Xét s
ự đồng biến và nghịch biến của hàm số:
3 2 3 2
2
4 2 5 4 3
. y = 2 3 2 b. y = x 3 3 1
1 1
c. y = x 2 1 . y = 2 1
5 4 2
a x x x x
x
x d x x x x
Bài 2. Xét s
ự biến thiên của các hàm số sau:
2
) sin6 treân 0; ) cot treân ;0 0;
6 2
x
a y x b y vaø
Bài 5 Xét chi
ều biến thiên của hàm số sau:
a)
2
2
1
1
x x
y
x x
; b)
3 2 2y x x
; c)
2 1 3y x x
d)
2
2y x x
e)
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
9
Bài 7.
a) Ch
ứng minh hàm số
2
y= x -9
đ
ồng biến trên nửa khoảng [3; +
).
b) Hàm số
4
y x
x
nghịch biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2]
Bài 8. Ch
ứng minh rằng
a) Hàm s
ố
3
2 1
x
ồng biến trên R
Bài 10. Cho hàm s
ố
2
( ) 2 2f x x x
a) Ch
ứng minh rằng hàm số
f đ
ồng biến trên nửa khoảng
2;
b) Ch
ứng minh rằng phương trình
2
2 2 11x x
có m
ột nghiệm duy
nh
ất
www.VNMATH.com
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
ố
( , )y f x m
, m là tham s
ố, có tập xác định
Hàm s
ố f đồng biến trên
f
(x)
0,
x
. D
ấu “=” xảy ra tại hữu
h
ạn điểm
Hàm s
ố f nghịch biến trên
f
0,
0
0
' 0,
0
0
a b
c
y x R
a
= 0 thì g(x) ln cùng d
ấu với a
(tr
ừ x =
2
b
a
)
N
ếu
> 0 thì g(x) có hai nghi
ệm x
1
, x
2
và trong kho
ảng hai nghiệm thì g(x)
khác d
ấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.
3) So sánh các nghi
ệm x
1
, x
2
c
ủa tam thức bậc hai
0 0
0
x x P
S
1 2
0 0x x P
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
11
2
5
*m=- thì y'=- 2 0, , ' 0 chỉ tại điểm x=2. Do đó hàm số nghòch
2
biến trên
5
*m<- thì y'< 0, . Do đó hàm số nghòch biến trên
2
' 4 2 1 0,
2
0
5
Vậy hàm số nghòch biến trên khi và chỉ khi m -
2
a
y x x m x m
Nh
ận xét:
L
ời giải trên xem ra có vẻ đúng và hợp lý. Tuy nhiên về mặt lý
lu
ận thì trình bày như trên chưa thỏa đáng, hơi tự nhiên. Do đó mất đi
tính trong sáng và ch
ặt chẻ trong tốn học
Bài 2.Tìm a
để hàm số
3 2
1
4 3
3
y x ax x
ln tăng (đ
ồng
bi
ến) trên
Hư
1 2 1 2
1 2 1 2
* 2hoặc 2 thì y'=0 có 2 nghiệm phân biệt , . Hàm số nghòch
biến trên khoảng ; , đồng biến trên mỗi khoảng ; và ; .
Trườnghợp này không thỏa mãn vậy hàm số
a a x x x x
x x x x
đồng biến trên khi và chỉ khi
-2 a 2
Bài 3. Tìm m
để hàm số
cosy x m x
ln tăng (đ
ồng biến) trên
Hư
ớng dẫn:
Cách 1:
1 0
miny'=min 1 ;1 0 1 1
1 0
m
m m m
m
Chú ý:
Phương pháp:
Hàm s
ố f(x,m) tăng trên
'
' 0, min 0,y x y x
Hàm số f(x,m) giảm trên
'
' 0, ax 0,y x m y x
BÀI T
ẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Tìm m
đ
ể hàm số
3
2 2
2 2 8 1
3
m y m x m x m m
B
ảng xét dấu của
'
:
1 2 1 2
1 2
m<-2: ' 0, hàm nghòch biến trên
2 : ' 0 có hai nghiệm x ,x trường hợp này hàm đồng biến
trên khoảng ; nên trường hợp này không thỏa mãn
Vậy m -2 là những gia
y x
m y x x
x x
ù trò cần tìm
Bài 2. Tìm m đ
ể hàm số ln nghịch biến (giảm) trên tập xác định
* m=-1:trường hợp này thỏa mãn yêu cầu bài toán
Trường hợp 1: m 1 0, lu
y m x m x
m
2
ùc đó: '=- 2m m
B
ảng xét dấu
'
:
www.VNMATH.com
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
14
) '
1 1
Dấu của y' là dấu của g(x),x -1
Hàm y đồng biến trên ; 1 và 1; '( ) 0, 1
* 1: trường hợp này thỏa mãn yêu cầu bài toán
* m 1: 1 2 thỏa mãn
m x m x
g x
b y
x x
g x x
m
m
yêu cầu bài toán
Vậy khi 1 m 2 thì hàm đồng biến trên
Bài 3. Tìm m
đ
ể hàm số
2
3 2
( )
2 1
x mx
f x
x
ngh
2
1 1
' 0, 6 6 4 0,
2 2
y x x x m x
' 33 6m
B
ảng x
ét d
ấu
'
:
m
11
2
'
+ 0 -
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
15
* N
ếu
1
2 1
2
3 33 6
6
3 33 6
6
m
x
x x
m
x
và rõ ràng
1 2
1
2
x x
B
ảng biến thiên:
x
2
x
nên ta lo
ại trường hợp này
K
ết luận:
11
2
m
BÀI T
ẬP TỰ GIẢI:
Bài 1. Ch
ứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác địn
h
(ho
ặc tập xác định) của nó:
a)
3
5 13y x x
b)
3
2
3 9 1
3
x
y x x
c)
2
2 1x mx
y
x m
Bài 2. Ch
ứng minh rằng các h
àm s
ố sau ln nghịch biến trên từng khoảng xác định
(ho
ặc tập xác định) của nó:
a)
5 cot( 1)y x x
b)
cosy x x
c)
sin cos 2 2y x x x
Bài 3. Tìm m
để các hàm số sau ln đồng biến trên tập xác định (hoặc từng kh
o
ảng
xác đ
ịnh) của nó:
a)
3 2
3 ( 2)y x mx m x m
b)
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
Bài 4. Tìm giá tr
ị của tham số
m đ
ể hàm
s
ố
3 2
( ) -3x 1f x x mx
đ
ồng
bi
ến trên R.
Bài 5. V
ới giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
2
2 2 3 1
) 2 )
2
1 2
2 1
) ' 1
1
1
* ' 0, 1, Hàm số nghòch biến trên mỗi khoảng ;1 và 1;
2
1
* : phương trình y'=0 có hai nghiệm x 1
2
m
b y
x
m y x
m x
Bài tốn này đư
ợc mở rộng như
sau:
ới giá trị nào của m, hàm số:
3 2
3 2 3y mx x m x
ngh
ịch
bi
ến trên R.
Bài 7. Tìm
đi
ều kiện của tham số a để hàm số
sin -cos
2 2
x x
y ax
đ
ồng
bi
ến trên R
Hư
ớng dẫn:
Hàm s
ố đã cho xác định trên
Ta có:
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
18
BÀI TẬP MẪU:
Bài 1. Tìm giá tr
ị của m
để hàm số
3 2
4
1) luôn nghòch biến trên khoảng ;1
2) 3 1 4 nghòch biến trên khoảng 1;1
mx
y
x m
y x x m x m
Hư
ớng dẫn:
1. Sai l
ầm th
ường gặp:
ải đúng
2
2
2
Hàm số đã cho xác đònh trên \{-m}
x m
đ
ồng biến trên
2;
2. Cách 1:
Hàm s
ố xác định trên
Ta có:
2
' 3 6 1y x x m
D
ẠNG 3: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN TẬP CON CỦA
Phương pháp:
Hàm s
ố
( , ) tăng x I y' 0, x I miny' 0, x Iy f x m
Hàm s
ố
( , ) giảm x I y' 0, x I max y' 0, x Iy f x m
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
Trư
ờng hợp này
lo
ại
vì yêu c
ầu bài toán nghịc
h bi
ến trên (
-1;1)
TH 2: N
ếu
'
' 0 2
y
m
thì y’=0 có hai nghi
ệm phân biệt
1 2
,x x
(gi
ả sử
là
1 2
)x x
.
x
1
x x x x
x x
Áp d
ụng định lí Vi
-et đ
ể giải hệ (I) ta được
10m
Hư
ớng 2:
Phương tr
ình y’=0 có hai nghiệm là
1
1 2
2
3 6 3
3
Cách 2:
www.VNMATH.com
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
20
2
2
2
m -10
@ Bài tốn trên ta có th
ể mở rộng như sau:
Tìm m
để hàm số
Đ
ồng biến trên [2;
)
Đ
ồng biến trên
;0
Bài 2. Tìm m
để c
ác hàm s
ố sau:
3 2
3 2
3 2
) 2 2 1 đồng biến trên khoảng 1;
) 3 2 đồng biến trên khoảng 3;0
1
) 2 1 1 đồng biến trên khoảng 2;
3
a y x x mx
m
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
21
TH 1: N
ếu
'
2
' 0
3
y
m
thì
' 0,y x
hàm đ
ồng biến trên
hàm đ
ồng biến trên
1;
. Trư
ờng hợp này ta nhận
y’ ta th
ấy hàm số
đ
ồng biến trên (1;
) thì
điều kiện là
2
1x
2 4 6
1
6
m
2m
k
ết hợp điều kiện (*) thì
2
2
3
m
H
ợp hai trường hợp
2
3
m
và
2
2
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
22
2
2
2
3 0
) ' 0, 3;0 3 2 3 0, 3;0
2 3
, 3;0
3
2 3
Hàm số g(x) liên tục trên 3;0 . Ta có: g'(x)<0, 3;0
3
1
g(x) nghòch biếntrên khoảng 3;0 và lim ( ) ,lim ( )
9
Bả
x x
b ycbt y x mx x x
x
m x
4 1
4 1
Hàm số g(x) liên tục trên 2; . Ta có: g'(x)<0, 2;
4 1
g(x) nghòch biến trên khoảng 2; và
c ycbt y x mx m x m x
x
x x m x x m x
x x
x
x
x x
2
9
lim ( ) , lim ( ) 0
13
Bảng biến thiên.
x
x
g x g x
Do đó m > 0
* Nêu
4
' 0 1
3
m
(*)thì hàm
đ
ồng biến trên R nên
đồng biến trên
2;
* N
ếu
0
1
4
3
m
m
(I) thì y'=0 có hai nghi
ệm phân biệt
2;
9 4
;1 ;
13 3
m
(**)
Kết hợp (*) và (**) ta được
9
m
13
Cách 3:
Các trư
ờng hợp khác tương tự trên. Bây giờ ta xét trường hợp
0
Xét phương tr
ình:
' 0y
có hai nghi
ệm phân biệt
1 2
x x
, khi đó đ
ể hàm số
. Gi
ải 3 điều kiện trên và kết hợp với kết quả
4
1
3
m
ta có đư
ợc kết quả cuối cùng:
9
13
m
Bài 3. Tìm m
để hàm số
3 2
( ) 3 2 1 12 5 2f x x m x m x
đ
ồng biến trên
kho
ảng
'( ) 0, ; 1 3 6 2 1 12 5 0, ; 1
3 6 5 12 1 , 2;
3 6 5 12 1 , ; 1
3 6 5
( ) 12 , 2;
1
( )
f x x x m x m x
ycbt
f x x x m x m x
x x m x x
x x m x x
x x
g x m x
x
g x
max ( ) 12
6
1 2
3
x
x
x x
m x
x
x
g x m
Ta c
g x m
x
2
2
min ( ) 12
max ( ) 12
x
x
g x m
g x m
(2) 5 12
7 5
12 12
( 1) 7 12
g m
m
g m
Nguyên nhân sai l
ầm:
Cách gi
ải trên chỉ phù hợp với f(x) đồng biến trên
Copyright: Tài liệu đại học ©