Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

SỞ GIÁO DỤC – DÀO TẠO TỈNH BÌNH PHƯỚC
TRƯỜNG THPT TX PHƯỚC LONG
----*O*----

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
GIẢI BÀI CÁC TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU,CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI
KHÔNG SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ ĐẢO DẤU TAM THỨC BẬC HAI

GIÁO VIÊN : LÊ QUỐC HOÀNG
ĐƠN VỊ : TRƯỜNG THPT TX PHƯỚC LONG

NĂM HỌC : 2010 – 2011
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long

1


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

MỞ ĐẦU
1/Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đều biết các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số là một trong
những bài toán không thể thiếu trong các kì thi Tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại học.
Trong đó thường gặp nhiều bài toán “ Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu hoặc có cực trị
trong khoảng K ”. Khi giải bài toán này sẽ đưa đến vấn đề “tìm điều kiện để y’<0 (y’>0)
trên K hoặc phương trình y’= 0 có nghiệm trên K” .Đây thực chất là vấn đề so sánh


NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I.CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.Kiến thức cần nhớ
i) Phương trình bậc hai
a) Định nghĩa.

 Phương trình bậc hai đối với ẩn x ( x  R ) là phương trình có dạng:
ax 2  bx  c  0 1

 a  0

b)Cách giải.
 Tính   b 2  4ac
 Nếu   0 thì phương trình (1) vô nghiệm.
 Nếu   0 thì phương trình (1) có nghiệm kép x1  x2  

b
.
2a

 Nếu   0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
x1 

b  
b  
, x2 
2a
2a

Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

  0

 Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm   P  0 .
S  0


ii)Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
 Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng biến trên K là f '( x)  0, x  K
đồng thời f '( x)  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K.
 Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) nghịch biến trên K là f '( x)  0, x  K
đồng thời f '( x)  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K.

iii) Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị



Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0 , khi đó nếu f có đạo hàm tại x0
thì f '( x0 )  0
Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa x0 và có đạo hàm
trên các khoảng (a;x0) và (x0;b) klhi đó :
 Nếu f '( x)  0, x  (a; x0 ) và f '( x)  0, x  ( x0 ; b) thì hàm số đạt cực tiểu

tại x0.

 Nếu f '( x)  0, x  (a; x0 ) và f '( x)  0, x  ( x0 ; b) thì hàm số đạt cực đại


 a  0

   0
 a  0
 
  0
  f ( )  0

  S  2  0

y '  f ( x)  3ax 2  2bx  c
TH1: Nếu bpt: f ( x)  0  h(m)  g ( x) (i )
a)Hàm số(1) đồng biến trong khoảng (;  )
 h(m)  g ( x) , x  (;  )
 h(m)  Max g ( x)
(  ; ]

b)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )
 h(m)  g ( x) , x  ( ; )
 h(m)  Max g ( x)
[ ;  )

c) Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ;  )
 h(m)  g ( x) , x  ( ;  )
 h(m)  Max g ( x)
[ ;  ]

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long

5

 
 f ( )  0
    S  2  0
   
   0

a  0
  f ( )  0

  f (  )  0

TH2: Nếu bpt: f ( x)  0 không đưa được về
dạng (i) thì ta đặt : t = x - 
Khi đó ta có:
y '  g (t )  3at 2  2(3a  b)t  3a 2  2b  c .
a)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng (;  )
 g (t )  0, t  0.
 a  0

   0
 a  0
 
  0
S  0

  P  0

b)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )
 g (t )  0, t  0
 a  0


Lời giải đề nghị

Txđ: D = R

Txđ: D = R

(m  1) x  2(2m  1) x  3(2m  1)
a)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng
(; 1)
 f ( x)  0, x  (; 1)

(m  1) x 2  2(2m  1) x  3(2m  1)
Ta có: y '  0  f ( x)  0.
 (m  1) x 2  2(2m  1) x  3(2m  1)  0.

y '  f ( x) 
2

 a  0

  '  0
 a  0
 
 '  0
  f (1)  0

  S  2(1)  0
 m  1  0


.
x2  4 x  6
 x2  2 x  3
Đặt : g ( x)  2
.
x  4x  6
6 x 2  18
.
 g '( x)  2
( x  4 x  6) 2
a)Hàm số(1) đồng biến trong khoảng
(; 1)  y '  0, x  (1; )
 m  g ( x), x  (; 1)
 m  Max g ( x)
 m

(  ;1]

Xét : y  g ( x) , x  (; 1]
Ta có bảng biến thiên:
x
g’(x)
g(x)



-1
+
4
11

  f (1)  0

  S  2.1  0
 m  1  0

2
 2m  7m  4  0
 m 1  0
 
  2m 2  7m  4  0
 
 3m  0
 m  2
0

  m  1
1

m  2
 m0

1
0  m 

2
Kết luận : m  0 thì hàm số (1) đồng
biến trong khoảng (1; )
c)Hàm số đồng biến trong khoảng (1;1)
 f ( x)  0, x  (1;1)


 y '  0, x  (1;1)
 m  g ( x), x  (1;1)
 m  Max g ( x)
[ 1;1]

Xét : y  g ( x) , x  [1;1].
Ta có bảng biến thiên:
x

-1

0

1

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long

8


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com



 a  0
  '  0

 a  0


1
2

1
thì hàm số (1) đồng
2
biến trong khoảng (1;1)

Kết luận : m 


 m 1  0
 
  2 m 2  7 m  4  0

  2 m 2  7 m  4  0

   3m  0
    m  2
0

1
 m  1

 m
 
 11m  4  0
2

 m  0

b)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ; ) .
c)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ;  ) .
Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị

Txđ: D = R

Txđ: D = R

y '  f ( x)  3ax  2bx  c
a)Hàm số (1) nghịch biến trong
khoảng (;  )
 f ( x)  0, x  (;  )
2

 a  0

   0
 a  0
 
  0
  f ( )  0

  S  2  0

y '  f ( x)  3ax 2  2bx  c
TH1: Nếu bpt: f ( x)  0  g ( x)  h(m) (i )
a)Hàm số(1) nghịch biến trong khoảng
(;  )
 h(m)  g ( x) , x  (;  )

  S  2  0
c) Hàm số(1) nghịch biến trong
khoảng ( ;  )
 f ( x)  0, x  ( ;  )


 a  0
   0

 a  0

    f ( )  0
    S  2  0
 
 f ( )  0
    S  2  0
   
   0

a  0
  f ( )  0


  f (  )  0
*Ví dụ 2: Cho hàm số : y =

 h(m)  g ( x) , x  ( ;  )
 h(m)  Max g ( x)
[ ;  ]


1 2
m  1 x3   m  1 x 2  2 x  1 (1) (m  1)

3

Tìm các giá trị của m để hàm số (1):
a) Nghịch biến trên khoảng (; 2) .
b) Nghịch biến trên khoảng (2; ) .
Lời giải thường gặp

Lời giải đề nghị

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 11
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

Txđ : D = R
y’ = f(x) = (m 2  1) x 2  2(m  1) x  2
a)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(; 2)
 f ( x)  0, x  (; 2)

Txđ : D = R
y’ = f(x) = (m 2  1) x 2  2(m  1) x  2
Đặt t = x – 2 ta được :
y’ = g(t) =


Kết luận: Với
3
(1) nghịch biến trong khoảng (; 2)

b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(2; )  f ( x)  0, x  (2; )

(m 2  1)t 2  (4m 2  2m  6) x  4m 2  4m  10

 a  0

   0
 a  0
 g (t )  0, t  0   
  0
S  0

  P  0
 m 2  1  0
 2
 3m  2m  1  0
 2
 m  1  0
  3m 2  2m  1  0
 
 4m 2  4m  10  0

  2m  3  0
  m  1
1


   0
 a  0
 g (t )  0, t  0   
  0
S  0

  P  0

 m 2  1  0
 2
 3m  2m  1  0
 2
 m  1  0
  3m 2  2m  1  0
 
 4m 2  4m  10  0

  4m  6  0
  m  1
 1  m  1

 m 2  1  0
 2
 3m  2m  1  0
 2
 m  1  0
  3m 2  2m  1  0
 
 4m 2  4m  10  0

Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị
 e 
 e 
Txđ: D  R \  
Txđ: D  R \  
d 
d 
2
2
adx  2aex  be  dc
f ( x)
adx  2aex  be  dc
f ( x)


y'
y'
2
2
2
2
 dx  e 
 dx  e 
 dx  e 
 dx  e 
a)Hàm số (2) đồng biến trong
khoảng (;  )
 y '  0, x  (;  )
 e

 g ( x)  h(m), x  
 e
 
d
h(m)  Min g ( x)
[ ;  )

c) Hàm số (2) đồng biến trong khoảng ( ;  )

 e
   ;  
d
 g ( x)  h(m), x  ( ;  )
 e
   ;  
d
h(m)  Min g ( x)
[ ;  ]


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

b)Hàm số (2) đồng biến trong
khoảng ( ; )
 y '  0, x  ( ; )

 g (t )  0, t  0 (ii )
 a  0

   0
 a  0
(ii )   
  0
S  0

  P  0
b)Hàm số(2) đồng biến trong khoảng ( ; )
 e
 
d
 g (t )  0, t  0 (iii )
 a  0

   0
 a  0
(iii )   
  0
S  0

  P  0

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 15
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai

b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (2; ) .
c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (1; 2) .
Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

Txđ : D = R
2x2  4x  3  m
f ( x)
y'
.

2
( x  1)
( x  1) 2
a)Hàm số (2) đồng biến trên (; 1)
 y '  0, x  (; 1)
 f ( x)  0, x  1
 a  0

  '  0
 a  0
 
 '  0

Kết luận: Vậy m  3 thì hàm số (2)
đồng biến trên (2; )

Txđ : D = R
2x2  4x  3  m
f ( x)
y'
.

2
( x  1)
( x  1) 2
Ta có: f ( x)  0  m  2 x 2  4 x  3
g ( x)  2 x 2  4 x  3
Đặt :
 g '( x)  4 x  4
a)Hàm số (2) đồng biến trên (; 1)
 y '  0, x  (; 1)
 m  Min g ( x)
(  ; 1]

Ta có bảng biến thiên của hàm số:
g ( x), x  (; 1]

x

g’(x)
g(x)

-1

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 17
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

c)Hàm số (2) đồng biến trên (1; 2)
 y '  0, x  (1; 2)
 f ( x)  0, x  (1; 2)
m  1
 '  0


 m  1
  '  0
   1  m  0
    f (1)  0

    
 
2.1
0
S


   0  0




Vậy m  1 thì hàm số (2) đồng biến
trên (1; 2)
*Nhận xét: Qua bài toán này thêm một lần nữa giúp chúng ta thấy rõ đối với các bài
toán có thể ứng dụng đạo hàm để giải thì lời giải của bài toán sẽ ngắn gọn và dễ dàng
hơn rất nhiều.
ax 2  bx  c
*Bài toán 4: Cho hàm số : y 
(2), (a, d  0) .
dx  e
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên (;  ) .
b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên ( ; ) .
c)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên ( ;  ) .
Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 18
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

 e 

d 
adx 2  2aex  be  dc

y'

 dx  e 

adx 2  2aex  be  dc

Txđ: D  R \ 

Txđ: D  R \ 

2

y'

 dx  e 

2



f ( x)

 dx  e 

2

TH1: Nếu: f ( x)  0  g ( x)  h(m) (i )
a)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng (;  )
 e
 
d
 g ( x)  h(m), x  
 e
 


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

b)Hàm số (2) nghịch biến trong
khoảng ( ; )
 y '  0, x  ( ; )
 e
 
d
 f ( x)  0, x   ( I )
 ad  0

   0
 ad  0
( II )   
  0
  f ( )  0

  S  2  0

c) Hàm số (2) nghịch biến trong
khoảng ( ;  )
 y '  0, x  ( ;  )
 e
  ( ;  )
d
 f ( x)  0, x  ( ;  ) ( III )

TH2: Nếu bpt: f ( x)  0 không đưa được về



 ad  0
   0

 ad  0

    f ( )  0
    S  2  0
(III)    
 f ( )  0
    S  2  0
   
   0

ad  0
  f ( )  0

  f (  )  0

 a  0

   0
 a  0
(iii )   
  0
S  0

  P  0


Lời giải đề nghị
Txđ : D = R\{2m}
f ( x)
 x 2  4mx  m 2
y'
.

2
( x  2m)
( x  2m) 2

Đặt : t = x-1
Khi đó bpt: f ( x)  0 trở thành :
g (t )  t 2  2(1  2m)t  m 2  4m  1  0
a)Hàm số (2) nghịch biến trên (;1)
 y '  0, x  (;1)
 2m  1

 g (t )  0, t  0 (i )

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 21
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

m  0

m  0

Kết luận: Với m  2  3 thì hàm số (2)
b)Hàm số (2) nghịch biến trên (1; )
 y '  0, x  (1; )

nghịch biến trên (;1)
b)Hàm số (2) nghịch biến trên (1; )
 y '  0, x  (1; )

 2m  1
 2m  1


 f ( x)  0, x  1 ( II )
 g (t )  0, t  0 (ii )
 '  0
 '  0


 '  0
 '  0


( II )  
(ii )  
S  0
  f (1)  0


  P  0
  S  2.1  0

GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

e) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn :   x1  x2 .

Lời giải thường gặp

Txđ: D = R

Lời giải đề nghị

Txđ: D = R

y '  f ( x)  3ax  2bx  c
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
(;  )
 f ( x)  0 có nghiệm trong
khoảng (;  ) .
2

 af ( )  0

 '  0
 
 af ( )  0

  S  2  0


 af ( )  0

 '  0
 
 af ( )  0

  S  2  0
c)Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2
thõa mãn : x1    x2 .

c) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn :
x1    x2 .

 f ( x)  0 có hai nghiệm x1, x2
thõa mãn : x1    x2
 af ( )  0

 g (t )  0 có hai nghiệm t1,t2
thõa mãn : t1  0  t2
 P0

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 23
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

d) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2

thõa mãn :   x1  x2

 g (t )  0 có hai nghiệm t1,t2
thõa mãn : 0  t1  t2

 '  0

 af ( )  0
 S  2  0


 '  0

 S  0
P  0


Nhận xét: Thoạt nhìn bài toán này thể hiện rõ phải dùng kiến thức về so sánh các
nghiệm của một tam thức bậc hai với một số thực  . Nhưng với cách làm trên ta đã

đưa về bài toán quen thuộc so sánh các nghiệm với số 0. Đây là bài toán tổng
quát học sinh có thể dùng cách này để giải quyết được rất nhiều bài toán tương
tự mà không cần sử dụng các kiến thức liên quan đến định lý đảo về dấu của tam
thức bậc hai.
*Ví dụ 5: Cho hàm số : y =

1 3
x  mx 2  (m 2  m  1) x  1 (1).
3


 '  0

 
 af (1)  0

  S  2.1  0
 m 2  3m  2  0

 m  1  0
1 m  2
  2
m  3m  2  0


 2m  2  0
Kết luận: Với 1  m  2 thì hàm
số(1) có cực trị trong khoảng (;1)
b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
(1; )
 f ( x)  0 có nghiệm trong
khoảng (1; ) .

 af (1)  0

 '  0

 
 af (1)  0

  S  2.1  0

 m  3m  2  0

1 m  2

Kết luận: Với 1  m  2 thì hàm số(1) có cực trị

trong khoảng (;1)

b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng (1; )
 f ( x)  0 có nghiệm trong khoảng (1; ) .
 g (t )  0 có nghiệm: t > 0
P  0

 '  0

 
S  0

  P  0

 m 2  3m  2  0

m  1  0
  
2m  2  0


2
 m  3m  2  0