B

GIÁO D
O
I H C DÂN L P H I PHÒNG
-----------------------------

TR N M NH HÙNG

ÁP D NG TH A S

LARGRANGE GI I BÀI TOÁN K T

C U DÀN PH

U KI

B

CT
NT

DO

H UH N

Chuyên ngành: K thu t Xây d ng Công trình Dân d ng & Công nghi p
Mã s : 60.58.02.08

LU


ii


L IC
Tác gi lu

ng bày t lòng bi

Ti n s Ph

t vì nh

s cv

c nh

ng khoa h

iv i

ng ch b o sâu

phân tích n i l c, chuy n v bài toán tuy n tính k t

c u dàn ch u t i tr

a

Ti n s . Ti n s


i h c Dân l p H i phòng,
tác gi trong quá trình

nghiên c u và hoàn thành lu

Tác gi lu

Tr n M nh Hùng

iii


M CL C
L

............................................................................................. i
.................................................................................................iii

L IC

M C L C....................................................................................................... iv
M

U .......................................................................................................... 1

1. Tính c p thi t c
2. M

tài ............................................................................. 1
u.................................................................................. 2

1.2.1 Khi biên có thành ph n chuy n v

[1,7] ................. 9

1.2.2 Khi biên có thành ph n chuy n v

c m t giá tr [1,7] ........ 10

1.2.3 Khi biên là g
u ki

i [1]...................................................... 11
c t do .................................................. 11

1.3. M t s nh n xét..................................................................................... 14

iv


NT

H UH NS

D NG TH A S

GI I BÀI TOÁN K T C U DÀN PH
KI

U



n t h u h n............................................. 51

2.4 S d ng ph n m
ki

u ki

t

u

c t do. ................................................................................. 57
M TS

VÍ D

U KI

PHÂN TÍCH K T C U DÀN PH NG CÓ

CT

DO........................................................... 61

3.1 Ví d phân tích k t c u dàn ph

u ki

c t do .... 61

tài
n, vi c gi i các bài toán

có s

n l n là m t v

r

công trình khi xây d
gi

tc u
ng ph

t s gi thuy t nh

gi m n s . Trong nh

công ngh

c phát tri n c a

n t nên vi c gi i các bài toán ph c t p, có

nhi u n s không còn là m t v
tích k t c

ph c t p. D


bài toán k t c u có
h n.

ng d y cho các sinh viên,

u ki

u ki

ng

gi i thi u cách gi i

c t do b
c t do

c hi

b c t do theo chuy n v th ng trong h tr c t
biên nào

n

nt h u
u ki n biên làm các
t ng th c a k t c u t i

c nhau.

Nh m có m

t ng th t

c nhau.

3. Ph m vi nghiên c u
tài nghiên c u vi c áp d
d ng hàm s Largrange

n t h u h n và s

gi i bài toán tuy n tính k t c u dàn ph ng

ki n biên làm các b c t do theo chuy n v th ng trong h t
c nhau khi ch u t i tr

u

t ng th t i

t li u làm vi c trong giai

i.
u
Áp d

nt h uh nk th pv

Largrange

pháp th a s

2


bài toán
gi i bài toán k t c u có

u ki

c t do

pháp ph n t h u h n.
ki

M t s ví d phân tích k t c u dàn ph ng, khung ph ng có

u

c t do:
kt

c u dàn ph ng, khung ph ng có
.

3


: T NG QUAN V PHÂN TÍCH K T C U DÀN
1.1. M t s

i l c và chuy n v cho bài toán k t

xây d ng
r t nguy hi m, vì các công

trình xây d ng m i d a vào kinh nghi
ch c ch

i xây d ng không

c các công trình này có t n t i không, ho c các b ph n c a
mb

d ng và trong th c

t r t nhi u công trình có th b phá ho i ngay trong quá trình xây d ng. Mãi
n gi a th k

i ta m

u l c c a v t li

n nghiên c

n kh

làm các b ph n c a công trình và yêu c u

c các c u ki n c a các công trình này h p lý nh
xây d ng là nh nh

chi phí


t tách t ng nút ra kh i dàn b ng nh ng m t c t bao quanh nút.
4


- Thay th tác d ng c a các thanh b c t b ng l c d
khi thay th t i m i nút ta có m t h l

ng quy.

- Kh o sát s cân b ng c a t ng nút chúng ta s xây d
h

cm t

ng các nút mà n s c a các h này là l c d c trong các

thanh dàn.
- Cu i cùng ta ch vi c gi i h s

c l c d c trong các thanh dàn.
s d ng tính toán

Ph m vi áp d
c.
tc t
N

tc


un il

ng theo chi u gi

c l i n u k t qu mang d u âm thì chi u n i l
chi u gi

ng. Khi

nh, t c
c

nh, t c là nén.

Ph m vi áp d

tc

n ch dùng

5


t c t ph i h p
N
t c t ph i h

c áp d

cm tc t

th

c ngay hai n i l

n v y:

- Hai m t c t cùng ph

n tìm n i l c và m i m t c t

ch có th

n tìm n i l c.

- Trong m i m t c t, thi t l p m

ng sao cho các l c

n tìm không tham gia.
t c t ph i h p ch dùng

Ph m vi áp d

- Gi

Maxwell - Cremona

N
a



hai n i l

t tr s

ã bi

cn il c

c a t t c các thanh dàn.
ch dùng tính toán cho

Ph m vi áp d

c
N
c áp d ng trong vi c tính toán h dàn siêu
tính toán h

c ti p trên h

h thay th khác cho phép d
h

t

nh n i l c. H thay th này suy ra t

ng cách lo i b t các liên k t th a g i là h
nc a

v iv

nh.
nb

t các l c X1, X2

ng

n

a các liên k t b lo i b . Nh ng l c này liên k t gi vai

trò là n. Thi t l

u ki n chuy n v trong h

ng v i v trí và

a các liên k t b lo i b b ng không.
ng áp d

Ph m vi áp d

gi i

nv
N
nv
trong h


n n là chuy n v c a các nút c a h .

Chính vì l

cg

n v (còn g i

nd
chuy n v t

n v t i các nút, t c là

u thanh ta s

c n i l c.
nv

tính h

c hi n tính toán trên h
b o cho h

ng ta không tính trên h

ng th i b

u ki


n là h

ng có n liên k
Z

t thêm vào h

ng v i b c th
t thêm, l

Zn v i Zk là chuy n v

t ký hi u các chuy n

ng b c t i liên k t th

Các chuy n v này gi vai trò là n s c
nv
ng.

1.1.7

[1,7,12]
Khi gi i bài toán b
nh t i m t s h u h

c mô t theo m t t p h p s

t vào h .



là

c chia

thành 2 nhóm chính: Nhóm r i r c hóa v m t toán h c
phân h u h n); Nhóm r i r c hóa v mô hình v t th nghiên c u
pháp ph n t h u h

n t

n

chuy
1.2. Các cách x

u ki n biên c a k t c u khi gi i b

ph n t h u h n
n t h u h n là cu

gi

h c:
( 1.1)
mt

u ki

nh


chung có d ng:

F*

(1.2)
ng g

u ki n biên sau:

- Biên làm m t ho c nhi u thành ph n chuy n v b ng 0.
- Biên làm m t ho c nhi u thành ph n chuy n v có m t giá tr
- Biên là g

nh.

i.

- Biên làm m t s thành ph n chuy n v ràng bu c nhau (

u ki n biên

c t do).
1.2.1 Khi biên có thành ph n chuy n v
Thành ph n chuy n v t i m t nút c a ph n t
các thành ph n chuy n v này là các liên k t v

ng 0 [1,7]
b



c m t giá tr [1,7]

Khi thành ph n chuy n v t i m
nh, thí d
m

m

= a (hay liên k

ch u chuy n v

c m t giá tr xác
ng v i các thành ph n chuy n v nút

ng b c có giá tr b ng a). Lúc này ta có th gi i quy t

bài toán này theo 2 cách:
mã c a b c t do (các thành ph n chuy n v ) t ng

Cách 1:

th k t c u thì thành ph n chuy n v t i nút có chuy n v b ng a ta v
ng ch ng h n mã là m. Sau khi l
th

c ma tr

i tr ng nút t ng th

cho toàn b h
chuy n v
khi tính

ng

c

i tr ng tác d ng nút
nv

ng b

ng b c. Lúc này ta coi

t d ng t i tr ng tác d ng lên k t c u, vì v y

i tr ng tác d ng nút lên toàn b h ph i k thêm ph n t i

10


tr ng tác d ng nút do chuy n v
là do chuy n v
tr

ng b

ng b c các liên k t t
}e c a m i ph n t

c b ng ph n l c liên k t nút
c l i.

i [1]

Khi biên có g i lò xo, thì lúc nà
ch u kéo (nén) v i giá tr

EA
trong ma tr
l

c thay b ng giá tr
t ng th

t ph n t thanh
c ng c a ph n t thanh ch u

c ng c a lò xo k. Ti

nh các ma tr n

mã

c

i tr ng tác d ng

có thêm thanh ch u kéo (nén).
1.2.4 Khi có


D(5,6)

y'

y'

3m

5

C

D

2

1

3m

x'

1.1:

B(1,2)

B

A

ràng bu c v i nhau cho b

:
tan 300. '3

y biên C

'4

(1.3)

0

c g i là biên có

tr c t

c l p v i nhau mà

u ki

c t do trong h

.

Ví d 1.2: Cho k t c u dàn và ch n h tr c t
B

chung c a h



nv

i biên A có ba b c t do và

th
t

. Tuy nhiên, hai b c ( '1 , '2 )

nhau mà ràng bu c v i nhau cho b

cl pv i

:

'1 0, 75. '2

(1.4)

0

c g i là biên có

u ki

c t do trong h

tr c t
(4,5,6)

(0,0,0)

(13,14,0)

4m

4m
K

3m

Hình 1.4 S hi u b c t do và ph n t

12


Ta th y t i g i H (biên H) trong h tr c t
chuy n v th ng theo c

chung (x

không có

t c t ngang t i H không xoay
c t do trong h t

chung l

t là:


(1.5)
u ki

c t do trong h

tr c t
Khi gi i bài toán k t c u có
pháp ph n t h u h
khi x lý các

u ki

u ki

c t do b

ng là m t trong nh ng v

n nay

c t do này, các nhà khoa h

u

n chính ph

(Master Slave

có m t s
Method) [14,15];


n phân tích b ng tay, không áp d ng

c các bài toán có nhi u biên ph c t p t ng quát [15].
-

r ng s b t l

r ng s b t l i k t

qu c a bài toán s ph thu c r t l n vào vi c ch n giá tr c a tr ng s w.

13


Trong m t s

u ki n biên không quá ph c t p thì vi c ch n tr ng

s này có th theo quy t c

t s bài toán ph c t p thì

i ph i th c hi n b
khi v

d n s r t m t th i gian và nhi u
c k t qu phù h p do sai l ch c a s t h p nghi m.

c bi t trong bài toán có nhi u

cc n

n tính, vì v y yêu c u
toán h c nh

Các tài li u v

nh.

nt h uh

thì h

c xu t b n t i Vi t Nam

u nào gi i thi u chi ti t v

Largrange

x lý

u ki

pháp th a s

c t do khi gi i bài toán k t c u b ng

n t h u h n. T

xu


d ng c a toàn h trong h t
ki

u m t ho c

c

i tr ng tác

chung khi h k t c u có m t ho c nhi u

u

c t do.
- D a trên các lý thuy

s k t c u dàn ph ng ch u t i tr

lu

s ti n hành phân tích m t
u ki

c t do b ng

áp ph n t h u h n k t h p v i s d ng hàm s Largrange .

14


m trên biên ph n t ) g i là

y vi c tính toán k t c
ph n t c a k t c

nh

tính toán trên các

t n i các ph n t này l i v

cl i

gi i c a m t k t c u công trình hoàn ch
phân h u h n
thái chuy n v

n nh (ph n t ) và các tr ng
ng chuy n v ), n i l c ( ng su

nh t i

m nút sai phân. S khác bi t gi

u h n và

n t h u h

ai phân h u h



ph n t khi bi t các thông s

i nút ph n t .

15


iv

c v t r n bi n d ng, tu theo cách ch n n s c a

hàm x p x là chuy n v , ng su t mà có th khi phân tích bài toán chia thành
các lo i mô hình sau:
: Khi phân tích k t c u xem các thành ph n
chuy n v t i các nút c a ph n t
di n g

ng c n tìm và hàm n i suy bi u

ng phân b c a chuy n v trong ph n t .

2. Mô hình cân b ng: Khi phân tích k t c u xem các thành ph n ng su t
(n i l c) t i các nút c a ph n t là n s c a bài toán. Hàm n i suy bi u di n
g

ng phân b c a ng su t hay n i l c trong ph n t .
3. Mô hình h n h p: Khi phân tích k t c

và ng su t là 2 y u t

n t h u h n có th

c mô t
B

c 1: R i r c hóa k t c u: K t c u c

c r i r c hóa thành

các ph n t liên k t v i nhau t i các nút c a ph n t . Các phân t
s mã theo th t t
t

n t ng s nút (ho c the
t

B

n t ng s ph n t , các nút c a ph n t
c t do c a k t c

n t ng s b c t do c a k t c u theo h t

c

chung.

c 2: Ch n hàm x p x : Hàm x p x (hàm n i suy) là hàm mô t

chuy n v bên trong ph n t , sao cho n u bi

n (ho c m t s nguyên lý bi

h c) s xây d
t

ng cho m i ph n t trong h tr c

riêng c a ph n t :

ó:

- là ma tr

c ng c a ph n t trong h t

tr ng tác d ng c a nút c a ph n t trong h t
c a ph n t trong h t

riêng;

,

,

: là ma tr

chuy n v nút c a ph n t trong h t
B

nh ma tr

c chi thành hai thành ph n:

i tr ng tác d ng t i nút c a các ph n t
trên các ph n t chuy n v

riêng v h tr c t

i tr ng tác d ng
i tr ng tác d ng

trên các ph n t chuy n v nút ph i chuy

B

riêng;

riêng.

ng trình cân b ng cho ph n t trong h tr c t

t

c ch n sao cho

h tr c t

chung.

nh các thành ph n chuy n v t i các nút c a ph n t : Sau
c ma tr

m) trên k t c u.

2.1.2 R i r c hóa k t c u
n t h u h n khi phân tích k t c u s

c r i r c hóa

thành h u h n các ph n t liên k t v i nhau t i các nút c a ph n t .
2.1.2.1 Phân lo i ph n t h u h n
Khi chia k t c u thành các ph n t thì v t li u trong ph n t
coi

ng ph i

ng nh t. D a vào hình dáng c a ph n t có th chia ph n t thành

m t s d ng sau: Ph n t thanh th ng; Ph n t thanh cong; Ph n t t m ch
nh t; Ph n t t m tam giác; Ph n t hình chóp; Ph n t hình h p (hình 2.1,
hình 2.2, hình 2.3, hình 2
K

c hình h c và s

ng ph n t ph thu c vào hình d ng hình

h c, tính ch t ch u l c c a k t c u (bài toán ph ng hay không gian, h thanh
hay h t m, v v.v...) và yêu c u v
càng l
ns




v trí nút và s

ng các nút trên biên c a ph n t mà phân bi t ph n t h u

h n thành:
- Ph n t h a h n b c 1 còn g i là ph n t h u h n tuy n tính là ph n t
ch

t

nh c a ph n t (hình 2.1).

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Hình 2.1 Ph n t h a h n b c 1

a)


nh c a ph n t (hình 2.3).
c)

d)

Hình 2.3 Ph n t h a h n b c 3
Hi

nt h uh

quan tâm và phát tri n m nh m
nt h uh
v ph n t h u h n khác n

c r t nhi u nhà khoa h c

phân tích các k t c u khác nhau. Vì v y
c chia thành nhi

ng nghiên c u

nt h uh

ng tham

19


s



d) Phần tử khối lục diện

Hỡnh 2.4 M t s lo i ph n t
2.1.2.2 B c t do -

8 nút

ng tham s

n v nỳt c a ph n t v c a ton h k t c u

* B c t do:
B c t do c a nỳt l cỏc chuy n v th ng v gúc xoay t i nỳt (khỏc
khụng). B c t do c

c g i l cỏc thnh ph n c

nỳt. T p h p b c t do cỏc nỳt c a ph n t

cg

c a ph n t , t p h p b c t do cỏc nỳt c a ton b k t c
chuy n v nỳt c a c a ton h ký hi u

s

n v nỳt
cg
. Cỏc b c t do