PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRIỆU SƠN

KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 7

Đề chính thức

Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày 14 tháng 4 năm 2015
(Đề có 01 trang, gồm 05 câu)

Năm học 2014 - 2015

Số báo danh
.....................................

Câu 1: (4,0 điểm)
7

3

3

 2 7 9  3 
  .5    :  
1. Thực hiện phép tính:
5
4
16
A    7 2    .


2. Cho đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Biết rằng,
p(x) M5 với mọi x nguyên. Chứng minh rằng a, b, c, d đều chia hết cho 5.
3. Gọi a, b,c là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
a
b
c


 2.
bc ca a b

Câu 4: (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D (D khác B, C). Trên tia đối của
tia CB, lấy điểm E sao cho CE = BD. Đường vuông góc với BC kẻ từ D cắt AB tại M.
Đường vuông góc với BC kẻ từ E cắt đường thẳng AC tại N, MN cắt BC tại I.
1. Chứng minh DM = EN.
2. Chứng minh IM = IN, BC < MN.
3. Gọi O là giao của đường phân giác góc A và đường thẳng vuông góc với MN tại I.
Chứng minh rằng BMO  CNO . Từ đó suy ra điểm O cố định.
Câu 5: (2,0 điểm)
Cho các số thực dương a và b thỏa mãn: a100  b100 a 101  b101 a 102  b102
Hãy tính giá trị của biểu thức: P a 2014  b 2015 .
---------------- Hết --------------Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

1



2  9 3 
  .5    :  
 .5    : 
7
3
2 6 2  33
1
5
4   16 


 5   4 16   2  12
A


 .
7 2
7 2
7 2
7 2
7 2
7
2
2
2
2 .5  512
2 .5  2 .2
2 .5  2 .2
2 5 2


25
18 y  25

 y  25 32  y 57.
Do đó, ta có:
9
16
18 z  9

 z  9 50  z 41.
9
25
Vậy B  x  y  z 2  57  41 100.

Suy ra:



0,25
0,5
0,5
0,25

1. Trừ từng vế hai đẳng thức đã cho ta được:
3  3
9
 3
2
x x  y   y  x  y     
   x  y  x  y     x  y    

1
 x – 3 và x + cùng dương � x – 3 > 0 � x > 3.
2
1
1
1
 x – 3 và x + cùng âm � x + < 0 � x < - .
2
2
2
1
Vậy x > 3 hoặc x < - .
2

3

7n  8

2 7 n  8

7 2n  3  5

7

5
lớn nhất.
2 2n  3

Từ đó suy ra: n 2.
Vậy giá trị lớn nhất của phân số đã cho bằng 6 khi n 2.

0,25

2


2. Vì p(x) M5 với mọi x nguyên nên p(0) = d M5.
p(1) = a + b + c + d M5 (1)
p(- 1) = - a + b - c + d M5 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2(b + d) M5 và 2(a + c) M5 .
Vì 2(b + d) M5, mà (2, 5) = 1 nên b + d M5 suy ra b M5.
p(2) = 8a + 4b + 2c + d M5 mà d M5; b M5 nên 8a + 2c M5.
Kết hợp với 2(a + c) M5  6a M5  a M5 vì (6, 5) = 1. Từ đó suy ra c M5.
Vậy a, b, c, d đều chia hết cho 5.
a
a
aa
1�

.
(1)
bc
bc bca
b
b
bb
1�

.
Tương tự, ta có:
(2)

Tam giác ABC cân tại A nên �
ABC  �
ACB; NCE
ACB; (đối đỉnh)
Do đó: MDB  NEC ( g.c.g ) � DM  EN .
2. Ta có MDI  NEI ( g .c.g ) � MI  NI
Vì BD = CE nên BC = DE .
Lại có DI < MI, IE < IN nên DE = DI + IE < MI + IN = MN
Suy ra BC < MN.

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

0,75
0,75
0,5
0,75
0,25


(2,0đ)

Ta có đẳng thức: a 102  b102  a101  b101  a  b   ab a100  b100  với mọi a, b.
Kết hợp với: a 100  b100 a101  b101 a 102  b102
Suy ra: 1  a  b   ab   a  1 b  1 0.
 a 1  1  b100 1  b101 1  b102  b 1
 
100
101
102
b 1  1  a 1  a 1  a  a 1
Do đó P a 2014  b 2015 12014  12015 2.

0,5
0,5
0,5
0,5

Chú ý:
1. Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa.
2. Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình.

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

4