TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM VẬT LÝ

HÀM BESSEL VÀ ỨNG DỤNG
TRONG VẬT LÝ
Tóm tắt Luận văn Tốt nghiệp
Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ

Giáo viên hướng dẫn:
Th.S GVC Trần Minh Quý

Sinh viên thực hiện:
Lý Thị Yạ
Lớp: SP Vật Lý 02 – K34
Mã số sinh viên: 1080259

Cần Thơ, năm 2012


]

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Trần Minh Quý
đã tận tình hướng dẫn tôi để tôi hoàn thành tốt luận
văn này.
Tôi cũng xin cảm ơn thầy Dương Quốc Chánh Tín
và cô Nguyễn Thị Thúy Hằng đã đóng góp ý kiến để
luận văn được hoàn thiện hơn.
Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn đến cô Trịnh Thị
Ngọc Gia đã nhiệt tình giúp đở và cho tôi mượn sách
trong quá trình tôi làm luận văn.

2.3.2. Tính chất truy hồi của hàm Bessel loại 2 ......................................................16
2.4. Tính chất trực giao của hàm Bessel....................................................................17
2.5. Tính chất trực giao thứ hai của hàm Bessel .......................................................21
2.6. Khai triển một hàm tùy ý vào hàm Bessel..........................................................23
2.7. Công thức tiệm cận của hàm Bessel...................................................................24
2.8. Hàm sinh của hàm Bessel...................................................................................29
2.9. Hàm Bessel hạng bán nguyên ............................................................................34
2.10. Hàm Bessel ảo ..................................................................................................37
CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG
3.1. Bài toán dao động ...............................................................................................39
3.1.1. Dao động của màng tròn................................................................................39
3.1.2. Dao động với biên độ nhỏ của một sợi chỉ treo một đầu ..............................49
3.1.3. Dao động của quả cầu có biên gắn chặt ........................................................54
3.2. Bài toán truyền nhiệt ..........................................................................................57
3.2.1. Truyền nhiệt trong thanh hình trụ..................................................................57
3.2.2. Truyền nhiệt trong quả cầu có bề mặt duy trì nhiệt độ không ......................61
3.3. Bài toán điện thế trong tọa độ trụ .......................................................................63
3.4. Nhiễu xạ ánh sáng ..............................................................................................67
3.4.1. Nhiễu xạ Fraunhofer......................................................................................72
3.4.2. Nhiễu xạ Fresnel............................................................................................74
3.4.3. Nhiễu xạ qua đĩa tròn chắn sáng ...................................................................80


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Vật lý được coi là một môn khoa học cơ bản nhất của khoa học tự nhiên. Vật lý



 y  0


Hàm Bessel thường được ứng dụng để giải các bài toán về rung động, điện trường,
sự dẫn nhiệt và dòng chất lỏng, nhiễu xạ ánh sáng,…đặc biệt là những bài toán có đối
xứng trụ. Hàm Bessel và ứng dụng của nó được rất nhiều tài liệu trình bày nhưng
trình bày ngắn gọn và rời rạc (trừ tài liệu nước ngoài).
Chính vì vậy, tôi quyết định chọn đề tài “Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật lý”
để nghiên cứu kỹ về cách thiết lập phương trình, đặc điểm, tính chất cũng như ứng
dụng của hàm đặc biệt này trong Vật lý.

GVHD: Th.s Trần Minh Quý

Trang 1

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý

2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI
- Tìm hiểu cách thiết lập phương trình Bessel.
- Tìm hiểu đặc điểm, tính chất của hàm Bessel.
- Nghiên cứu một số ứng dụng của hàm Bessel trong Vật lý.
3. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
- Xây dựng phương trình Bessel thông qua bài toán dao động của màng tròn, tìm


5. GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI
- Chỉ tìm hiểu kỹ những đặc điểm, tính chất của hàm Bessel loại I.
- Chỉ tìm hiểu những ứng dụng của hàm Bessel loại I trong các bài toán cơ, nhiệt,
điện, quang đơn giản. Cụ thể là:
+ Phần cơ: Khảo sát bài toán dao động của màng tròn, của quả cầu có biên gắn
chặt, của sợi chỉ trong trường hợp dao động với biên độ nhỏ.
+ Phần nhiệt: Khảo sát bài toán truyền nhiệt trong thanh hình trụ và trong quả cầu
có bề mặt duy trì nhiệt độ không.
+ Phần điện: Khảo sát sự phân bố điện thế và ở đây chỉ khảo sát trong tọa độ trụ.
+ Phần quang: Khảo sát sự nhiễu xạ ánh sáng.

GVHD: Th.s Trần Minh Quý

Trang 3

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BESSEL
1.1. PHƯƠNG TRÌNH BESSEL
Xét dao động của một màng tròn. Giả sử màng chiếm một hình tròn D bán kính q
trên mặt phẳng x, y có tâm ở gốc tọa độ. Nếu ta dùng tọa độ cực thì phương trình
của đường tròn của màng sẽ là r  q .
y

Do đó, phương trình dao động của màng trong tọa độ cực có dạng:

u"tt a 2 u"xx u" yy   0


hay

 2u
1  2u 
2  1   u 

a
r

 r r  r  r 2  2   0
t 2





1
1

'
u"tt  a 2  ru 'r   2 u"   0
r
r



Thay vào phương trình (1.2) ta được:
'
1
1

RT "  a 2  rR 'T  2 R"T   0
r
r






Chia hai vế phương trình (1.4) cho RT , ta được:

1

'

rR '

T"
1 "
 a2  r
 2 0
T
r 
 R


T
R
r 



vào r,  và t. Ta có thể đặt:
T"
 v 2 a 2
T
1
rR'' 1 "
r
 2
 v 2
và
(1.5)
R
r 
trong đó v là hằng số.

GVHD: Th.s Trần Minh Quý

Trang 5

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp


 r 2  r
 v 2   const

 R



Đặt hằng số là  , ta có:

 "   0

(1.6)

1

rR''


 r 2  r
 v2   
(1.7)
 R



Ta sẽ giải phương trình (1.6) với điều kiện tuần hoàn là:
   2     
(1.8)
Phương trình (1.6) chỉ có nghiệm không đồng nhất bằng không với một giá trị
đặc biệt của  . Thật vậy, phương trình đặc tính của phương trình (1.6) là:

    C1 cosk   C2 sink 
Vì hàm cos và sin tuần hoàn với chu kỳ là 2 nên nghiệm này thỏa điều kiện
tuần hoàn.
Vậy, phương trình (1.6) có nghiệm không đồng nhất bằng không là:

    C1 cosk   C2 sink 
trong đó C1 và C2 là các hằng số tùy ý và    k 2
Thành thử đối với hàm R(r), ta có phương trình:
1

'


rR
'


 r2  r
 v 2   k 2
 R



hay
 2 k2 
1
R" R' v  2  R  0
r
r 


J k x cosk   J k x 

k
Yn x   lim
k n

sink 
k


cosk  J k x   J k x sin k   J k x 
k
k
 lim
k n
 cosk 

1

k 
J k x    1
J k x 

k n  k
k



 lim



 1k  x 

2k n

2
k!k  n !

  k  1  k  n  1 
 k  1  k  n  1 



SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý

0.6

Y0  x 

Y1  x 

0.4

Y2  x  Y  x 
3


7

8

9

10

Đồ thị hàm Bessel loại II Yk x 
2.3. CÁC TÍNH CHẤT TRUY HỒI CỦA HÀM BESSEL
2.3.1 Các tính chất truy hồi của hàm Bessel loại I
Hàm Bessel loại I J k  x  có các tính chất truy hồi sau:
d k
x J k  x   x k J k 1  x 

dx
hay ta có thể viết dưới dạng khác:
k
J k 1  x   J k  x   J ' k  x 
x
2 mk
 x
 

m
2
Chứng minh: Ta có biểu thức: J k  x     1
m!m  k  1
m 0






 x
 
d 
x 2 m2 k
m
2
   1 2 m k
m! m  k  1 dx m0
2
m! m  k  1
2 m  k 1



m

   1
m 0


x 2 m 2 k 1
k
 1m

x

2
 x k J k 1  x 
m! m  k 







(2.15)

(2.16)

2 m k

d k
d  k
m
x J k x  
x  1

dx
dx m0





 x






 x

k

  1

m 0

m

x 2 m k 1
2 2 m k 1 m!m  k  1  1

  x k J k 1 x 
Công thức (2.15) đã được chứng minh.
Ta lại có:

GVHD: Th.s Trần Minh Quý

Trang 15

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp





(2.17)

hay ta có thể viết dưới dạng khác:
k
Yk 1  x   Yk  x   Y 'k  x 
(2.18)
x
Chứng minh:
Để chứng minh công thức (2.17), ta thay k bởi -k vào (2.15), ta được:
d k
x J k  x    x k J k 1  x 
(2.19)
dx
1
Nhân (2.13) với cot gk và (2.19) với
rồi trừ kết quả cho nhau, ta sẽ có:
sin k
d  k J k  x  cos k  J  k  x  
k J k 1  x  cos k  J  k 1  x 
x

x

dx 
sin k
sin k

Thay vào (2.17), ta suy ra:

GVHD: Th.s Trần Minh Quý

Trang 16

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý

kx k 1Yk  x   x k Y ' k  x   x k Yk 1  x 
k
 Yk 1  x   Yk  x   Y ' k  x 
x
Đây chính là công thức (2.18).
d k
x Yk  x    x k Yk 1  x 

dx
hay
k
Yk  x   Yk 1  x   Y 'k  x 
x
Chứng minh:
Ta thay k bởi -k vào (2.13) ta thu được:
d k
x J k  x   x k J k 1  x 

sin k
sin k



J  x cosk  1  J k 1  x 
  x k k 1
sin k  1
Do đó, ta suy ra:
d k
x Yk  x    x k Yk 1  x 
dx
Vậy (2.20) đã được chứng minh.
Ta cũng có:
d k
x Yk  x    kx k 1Yk  x   x k Y 'k  x 
dx
Thay vào (2.20), ta suy ra:
k
Yk  x   Yk 1  x   Y 'k  x 
x
Ngoài ra, nếu lấy (2.18) trừ (2.21), ta thu được:









i
i

2
2
Trong đó L là hằng số dương nào đó.
L





i  j 
i  j 


 x 
Tức là ta chứng minh rằng hàm  x J k   i , i  1,2,3... lập thành một họ trực
 L 

 x
giao trên đoạn 0, L  . Hay nói cách khác, các hàm J k  i  lập thành một họ trực
 L
giao với trọng số x trên đoạn 0, L  .
Xét phương trình:
d2y
dy
x2 2  x  p2 x2  k 2 y  0
(2.23)
dx




d  dJ k  px    2
k2 


x
 p x   J k  px   0
dx 
dx  
x 

(2.25)

Từ phương trình (2.25), ta lấy hai giá trị p1 và p2 , ta sẽ có hai phương trình tương
ứng là:
d  dJ k  p1 x    2
k2 
x
  p1 x   J k  p1 x   0
(2.26)
dx 
dx  
x 
d  dJ k  p2 x    2
k2 
x
  p2 x   J k  p2 x   0
dx 


ta

thu

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý

d  dJ k  p1 x  
d  dJ k  p 2 x  
2
2
x
J k  p2 x 
x
J k  p1 x   p1  p 2 xJ k  p1 x J k  p 2 x   0




dx 
dx 
dx 
dx 
d  dJ k  p1 x  
d  dJ k  p 2 x  

2



 p 2  p1 xJ k  p1 x J k  p 2 x  

dJ  p x 
d  dJ k  p1 x 

x
J k  p 2 x   x k 2 J k  p1 x 

dx 
dx
dx


Lấy tích phân từ 0 đến L phương trình trên, ta thu được:
L

p

2
2

 p1

2

 

k
1
2
 k 2

0 k 1 k 2
d  p1 x 
d  p2 x 
 
o



L

 L p1 J k  p2 L J 'k  p1 L   p2 J k  p1 L J 'k  p2 L 
Chú ý rằng nếu k  -1 , hàm J k x  có tất cả các nghiệm thực. Vì ta có:

(2.28)

2 m k

x
 

m
2
J k  x     1
m!m  k  1
m 0


 xJ  
k

0

Vì



i

x 
x
 J k   j dx   i J k  j J 'k  i    j J k  i J 'k  j   0
L  L





i 2   j 2
p 2  p1 
0
L2
2

2

L


Trong (2.28), thay p1  p, cho p 2  p và coi p2 là biến số, ta có:

p

L

2
2

p

2

 xJ  px J  p x dx  L pJ  p L J '
k

k

k

2

2

k

 pL   p2 J k  pL J 'k  p2 L 

0






L2 pJ ' k  p 2 L J ' k  pL  L2
2
 lim

J ' k  pL 
p2  p
2 p2
2
L

L2
2
0 xJ k  px dx  2 J 'k  pL 
2

Vậy:
L

hay

L2
 x
2
0 xJ k   L dx  2 J 'k  
2

 x
2
2
0 xJ k   L dx  2 J 'k    2 J k 1  
2

Như vậy, ta đã chứng minh được công thức trực giao:

0

 x  x
0 xJ k  i L  J k   j L dx   L2 J '  2  L2 J  2
k
i
k 1
i

2
2
L

i  j 
i  j 

Với i ,  j là 2 nghiệm dương của phương trình J k x   0
2.5. TÍNH CHẤT TRỰC GIAO THỨ HAI CỦA HÀM BESSEL
Nếu cho điều kiện:
 J k x    xJ 'k x   0, k  1

(2.30)


p1 J 'k  p1LJ k  p2 L  p2 J 'k  p2 LJ k  p1L  0
* Khi i  j :
L

 xJ  p x J  p x dx  L p J '  p L J  p L   p J '  p L J  p L   0
k

1

k

2

1

k

1

k

2

2

k

2



SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Giả sử k 

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý


, trong đó  là nghiệm của phương trình (2.30), theo công thức
L

(2.31), ta đặt p1  p, cho p 2  p và coi p2 là biến số, ta có:
L pJ k  p2 L J 'k    p2 J k  J 'k  p2 L 
L

 xJ  px J  p x dx 
k

k

2

2

p2  p 2

0


Nhân phương trình trên với J k   , ta được:
 k2 
J k  J k     J k  J ' k      1  2  J 2 k  
  

Như vậy, công thức (2.32) có dạng:
L


x
L2  2
k2  2 
2 



xJ

dx

J
'


1

 k
o k  L 
  2  J k  