TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN TOÁN

----------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài :

TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN
TRONG CÁC KHÔNG GIAN



GVHD : Th.S Lê Hồng Đức

SVTH : Lê Thị Tuyết Nhân
MSSV : 1090101
Lớp : Sư Phạm Toán – Tin K35

Cần Thơ, 2013


LỜI CẢM TẠ
L uận văn là một công trình nghiên cứu của sinh viên với
một đề tài khoa học cụ thể. Và với những kiến thức đã tích lũy được
trong những năm đại học, em đã chọn đề tài luận văn của mình thuộc
mảng Giải tích hàm do Thạc sĩ Lê Hồng Đức hướng dẫn.

Người ta thường nói “vạn sự khởi đầu nan”, quả thật là như vậy, khi bắt

§1: Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn ................................... 8
§2: Toán tử compact và toán tử hữu hạn chiều ..........................................15
§3: Phiếm hàm tuyến tính trong không gian định chuẩn ...........................21
§4: Phổ của toán tử tuyến tính ....................................................................22
§5: Bài tập ..................................................................................................24
Chương II:
TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN TRONG
KHÔNG GIAN HILBERT
§1: Phép đẳng cấu trong không gian Hilbert .............................................36
§2: Phiếm hàm tuyến tính liên tục và song tuyến tính trong không gian
Hilbert .........................................................................................................38
§3: Toán tử bị chặn trong không gian Hilbert ............................................42
§4: Bài tập ..................................................................................................62
PHẦN KẾT LUẬN ....................................................................................85


PHẦN MỞ ĐẦU

-----1. Lý do chọn đề tài
Nếu các không gian tuyến tính đơn thuần (không gian vectơ, không gian các
ma trận…) là đối tượng nghiên cứu của Đại Số Tuyến Tính thì trong Giải Tích
Hàm, người ta chú ý đến những không gian tuyến tính nào đồng thời cũng là
không gian mêtric. Vì vậy, để có một kiến thức phong phú, mà các sự kiện kết
hợp chặt chẽ các khái niệm đại số với các khái niệm mêtric, người ta đưa ra một
lớp không gian vừa mêtric vừa tuyến tính, đó là không gian định chuẩn; hơn nữa
khi đưa tích vô hướng vào không gian định chuẩn thì ta được một không gian
mới – không gian Hilbert. Do đó, nội dung kiến thức về không gian định chuẩn
và không gian Hilbert là hai vấn đề trọng tâm của lý thuyết Giải tích hàm.
Khi nghiên cứu về hai không gian trên, người ta có đưa ra mảng kiến thức về
toán tử tuyến tính bị chặn. Vậy toán tử tuyến tính bị chặn trong các không gian

chương này, đa số các định lý không được chứng minh vì các định lý này được
trình bày chi tiết trong các tài liệu giải tích hàm.

Chương II: Chương này thể hiện những đặc trưng của toán tử tuyến tính bị
chặn trong không gian định chuẩn. Đầu tiên là trình bày định nghĩa toán tử tuyến
tính làm cơ sở để trình bày các định nghĩa, định lý và tính chất của toán tử bị
chặn, toán tử ngược, toán tử song tuyến tính, toán tử liên hợp, toán tử compact,
toán tử hữu hạn chiều …Đồng thời, chương này cũng đề cập đến phiếm hàm
tuyến tính và phổ của tuyến tính trong không gian định chuẩn. Hơn nữa, ở cuối
chương có đưa ra một số bài tập liên quan đến toán tử tuyến tính bị chặn trong
không gian định chuẩn nhằm củng cố lại các kiến thức đã trình bày trong
chương.

Chương III: Chương này thể hiện cụ thể sự ảnh hưởng của tích vô hướng đến
toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert. Sự ảnh hưởng này được thể
hiện chi tiết qua phép đẳng cấu, phiếm hàm tuyến tính liên tục và toán tử liên
hợp trong không gian Hilbert. Đồng thời, chương này còn cho ta thấy những tính
chất đặc trưng mà chỉ có toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert mới
có. Ngoài ra, ở cuối chương có trình bày một số bài tập liên quan đến toán tử bị
chặn trong không gian Hilbert với mục đích là củng cố lý thuyết. Đồng thời,
thông qua các bài tập ta sẽ thấy rõ hơn sự ảnh hưởng của tích vô hướng đối với
toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert.


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

PHẦN NỘI DUNG



(a) R là không gian định chuẩn với chuẩn x  ( | x | ) với
n

i 1

x  ( x1 , x2 ,..., xn )  R .
n

(b) Ta định nghĩa B(T )  {x : T  K | với x là hàm số, sup x (t )  
tT

}

B(T) là không gian định chuẩn với chuẩn x  sup | x (t ) | .
tT







(c) Gọi l2   x  1 , 2 ,...,n ,..., n  N , n  K :  n    . l2 là không gian định


n 1





-1-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

1

 
2 2
+ x    n   0
 n 1



x   n   l2

x  0   n  0  n  0  x  0
2

n 1

1

1


k 1

n


k 1

2
k

2



n


k 1

x  X ,   K

k

2

n

  k
k 1



2

Cho n   , ta được: x  y  x  y x, y  l2 . Như vậy:

2
x    n 
 n 1



1
2

x   n   l2 là một chuẩn trên l2 .

Vậy l2 là một không gian định chuẩn.
1.2.

SỰ HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
1.2.1. Định nghĩa
Dãy x n  trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ đến x  X nếu :
lim xn  x  0 .
n 

1.2.2. Các tính chất
a. Nếu x n  x0 thì xn  x0 , nói cách khác chuẩn x là một hàm liên tục của
x.
b. Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, tức là nếu dãy x n  hội tụ thì M sao cho
xn  M

1.3.2. Ví dụ
a) Mọi dãy Cauchy trong R n đều hội tụ nên R n là không gian Banach.
b) B(T) là không gian Banach. Thật vậy:
 B(T) đã là không gian định chuẩn.
 Lấy dãy Cauchy x n  của B(T), khi đó:
  0, N 0  0, n, m  N 0  xn  xm    sup xn t   xm t   
tT

 xn (t )  xm (t )   , t  T

Vậy với mỗi t  T ,dãy xn (t ) là một dãy Cauchy trong K , vì K là không gian đầy
nên dãy xn (t ) hội tụ trong K .
Đặt x0 (t )  lim xn (t ) , ta có x0 (t ) là một hàm số từ T vào K .
n

Hơn nữa, lim xn (t )  xm (t )    xn (t )  x0 (t )   , t  T
m

nên sup ( x n  x0 )(t )   .
tT

Vậy hàm số ( xn  x0 ) thuộc B(T ) , do đó: x0  xn  ( xn  x0 ) thuộc B(T ) .
Mặt khác: lim sup xn (t )  x0 (t )  0 nên lim xn  x0  0 .
n   tT

n 

Vậy B(T) là không gian Banach.
CHUỖI TRONG KHÔNG GIAN BANACH
1.4.1. Định nghĩa


S.

1.4.2. Định lý
Cho X là không gian Banach. Nếu




n 1

xn hội tụ thì



x
n 1

n

hội tụ.

1.5.

KHÔNG GIAN CON
1.5.1. Định nghĩa
Giả sử X , .  là một không gian định chuẩn và L là không gian con của X .
Ta thấy hàm số .

L


n

1.6.2. Ví dụ
là không gian định chuẩn n – chiều với cơ sở {e1 ,...,en } trong đó

R
e1  (1,0,...,0); e2  (0,1,0...,0);....;en  (0,...,0,1)

---******---

§2: KHÔNG GIAN HILBERT
2.1. KHÔNG GIAN HILBERT
2.1.1. Định nghĩa tích vô hƣớng
Giả sử X là không gian tuyến tính trên trường số K ( K là trường số thực R hoặc
trường số phức C ). Tích vô hướng xác định trên X là ánh xạ:
< .,. > : X  X  K
( x, y )  x, y 

thỏa các điều kiện sau:

a)  x  y, z  x, z    y, z 
b)  x, y    x, y 

x, y, z  X
x, y  X ,   K

c )  y , x   x, y 
x, y  X
x  X



 x, y    nn với x  (1 ,...,n ,...), y  (1 ,...,n ,...) l2
n 1

b. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarts và đẳng thức hình bình hành
Cho X là không gian tiền Hilbert. Khi đó, ta có:
 Bất đẳng thức Cauchy-Schwart :
x, y  X

 x, y   x . y

 Đẳng thức hình bình hành :
x y  x y
2

2



2 x  y
2

2



x, y  X

Nhận xét :

- Nếu x  y thì y  x . Ta có x  x khi và chỉ khi x  0 . Vectơ 0 trực giao với mọi
vectơ.
- Nếu x  y1 , y 2 ,..., y n thì x  1 y1   2 y2  ...   n y n
- Nếu x  y n , yn  y

(n  ) thì x  y .

- Nếu tập M trù mật trong X thì M  gồm một phần tử duy nhất là 0 , nghĩa là
x  M  x  0.
c. Định lý
Giả sử S là hệ trực giao gồm các vectơ khác vectơ không. Khi đó, S là hệ độc lập
tuyến tính và ta có đẳng thức Pytago:
x1  ...  xn

2

 x1  ...  xn
2

2

x1 ,...,xn  S 

2.2.2. Hình chiếu trực giao
a. Định lý
Cho X là không gian Hilbert, M  X . Khi đó, M   x  X : x  M  là không gian
con đóng của X .
b. Định nghĩa
Giả sử X là không gian Hilbert, M là không gian con đóng của X . Khi đó, không
gian con đóng M  được gọi là phần bù trực giao của M .

b. Định lý

Giả sử en : n  N  là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert
x  X chuỗi




n 1

x, en en luôn luôn hội tụ và




n 1

x, en

2

X . Khi đó,

 x . Bất đẳng thức này
2

gọi là bất đẳng thức Bessel.
2.2.4. Cơ sở trực chuẩn
a. Định nghĩa
Hệ trực chuẩn en : n  N  của không gian Hilbert X được gọi là một cơ sở trực

c. Ví dụ
Trong không gian Hilbert l2 , xét hệ en : n  N  với en  0,...,1n ,0,...
1, i  j

+ Vì ei , e j   ij  
nên en : n  N  là một hệ trực chuẩn trong l2 .
0, i  j
n  N
+ Mặt khác, với x  n   l2 ta có x, en  n
Đặt x n  1 , 2 ,....,n ,0,...  l2
Ta có x  x n 
n



 k  0 khi n   ( do
2

k  n 1
n




n 1

2
n

  )

TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
§1: TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH TRONG
KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
Cho X , Y là hai không gian định chuẩn.
1.1. TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
1.1.1. Định nghĩa
Ánh xạ A : X  Y được gọi là toán tử tuyến tính nếu:
a) Ax1  x2   Ax1  Ax2
x1 , x2  X
b) Ax   Ax
x  X ,   K
Chú ý
Điều kiện a) và b) tương đương với
A1 x1  ...   k xk   1 x1  ...   k Axk
x1 ,...,xk  X , 1 ,..., k  K
1.1.2. Ví dụ
a) Toán tử biến mỗi phần tử x  X thành phần tử 0 (toán tử không) và toán tử
biến phần tử x  X thành chính nó (toán tử đồng nhất) là những toán tử
tuyến tính.
b) Trong không gian định chuẩn R n , ánh xạ A : Rn  Rn
x  Ax  x

trong đó   0 là một toán tử tuyến tính.
TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
1.2.1. Định nghĩa
Toán tử tuyến tính A : X  Y được gọi là liên tục nếu lim xn  x0  0 thì:
1.2.

n


1.2.3. Định lý
Toán tử tuyến tính A : X  Y liên tục tại một điểm x0  X thì nó liên tục trên toàn
không gian X .
Chứng minh
x

X
+ Lấy bất kỳ
ta sẽ chứng minh A liên tục tại x .
Thật vậy:
Giả sử xn   X và xn  x  xn  x   0
 xn  x   x0  x0

Do A liên tục tại x0  X nên lim Axn  x  x0   Ax0
n 

 lim Axn  Ax  Ax0  Ax0
n 

 lim Axn  Ax
n 

Do đó A liên tục tại x . Vậy A liên tục trên X .
1.2.4. Các tính chất của toán tử tuyến tính liên tục
 Định lý Banach
Giả sử X và Y là các không gian Banach, A là song ánh tuyến tính liên tục từ X
vào Y . Khi đó, A1 liên tục.
 Định lý đồ thị đóng
Cho X và Y là các không gian Banach, A : X  Y là một toán tử tuyến tính. Toán
tử tuyến tính A liên tục khi và chỉ khi đồ thị GrA  x, Ax : x  X  là một tập đóng

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp




x

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

Ax  1

 Ax 

Đặt M 

1



x

1

, ta được: Ax  M x

+ Với x  0 ta có Ax  A0  M 0


x 1

x 0

Ax
x

x  X

Chứng minh
a) Từ định nghĩa A  inf M : x  X , Ax  M x 
 M n  0 sao cho lim M n  A và Ax  M n x
n 

 lim Ax  lim M n x
n 

n 



 Ax  A . x

b) Từ bất đẳng thức trong câu a) ta suy ra :
(1.1)
Ax  A , x  X mà x  1 (hoặc x  1 )
Mặt khác từ định nghĩa chuẩn của toán tử ta suy ra rằng với một số dương  bất
kỳ, u  X sao cho : Au   A    u

-10-


x 0

x

x 0

x

KHÔNG GIAN CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
1.4.1. Định nghĩa
Tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y được ký hiệu là L X ,Y  .
Vậy L X , Y   { f : X  Y f là toán tử tuyến tính liên tục }.
1.4.

Chú ý:
+ Nếu Y  X thì tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X được ký hiệu
là L X  .
+ Nếu Y  K thì tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào K được ký hiệu
là X * được gọi là phiếm hàm tuyến tính liên tục từ X vào K . Khi đó, X * được gọi
là không gian liên hợp hay không gian đối ngẫu của X (sẽ được nghiên cứu trong
§3 ).
+ Sự hội tụ trong không gian định chuẩn L X ,Y  gọi là sự hội tụ đều của dãy toán
tử liên tục.
+ Dãy An   L X ,Y  gọi là hội tụ từng điểm tới toán tử A  L X ,Y  , nếu với mỗi
x  X , lim An x  Ax  0 trong không gian Y .
n

+ Một dãy toán tử An   L X ,Y  hội tụ đều tới toán tử A  L X ,Y  thì dãy An  hội
tụ từng điểm tới toán tử A trong không gian Y .

Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

b) Dãy toán tử An   L X ,Y  được gọi là hội tụ đơn giản hay hội tụ từng điểm
đến toán tử A  L X ,Y  nếu x  X thì lim An x  Ax .
n 

Nhận xét:
An  hội tụ theo chuẩn  An  hội tụ đơn giản nhưng chiều ngược lại không
đúng.
Ví dụ:
An : l1  l1
Xét
x  1 ,...,n , n 1 ,...  An x   1 ,...,n ,0,...

n  1, 
- Dễ thấy An  Ll1 
I : l1  l1
- Xét
x  1 ,...,n , n 1 ,...  I x   x
+ x  l1 ta có lim An x  x  Ix  An hội tụ đơn giản đến I .
n 

+ Tuy nhiên, ta có:  An  I x  0,...,0,n 1 ,n  2 ,...
  An  I x  sup  i  sup  i  1. x
n 1i  

1i  



Luận văn tốt nghiệp

1.6.

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

TOÁN TỬ NGƢỢC

Nếu X , Y là hai không gian định chuẩn và A : X  Y là song tuyến tính liên tục thì
tồn tại toán tử tuyến tính A1 : Y  X , nhưng A1 có thể không liên tục.
1.6.1. Định lý
Giả sử A là một song ánh tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian
định chuẩn Y . Khi đó :
x  X
A1 liên tục  M  0 : Ax  M . x
1.6.2. Định nghĩa
Cho A là một song ánh tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X vào không
gian định chuẩn Y . Nếu toán tử tuyến tính A1 : Y  X liên tục thì A1 được gọi là
toán tử ngược của A .
Ví dụ:
Ánh xạ A : Rn  Rn
x  Ax  x
  0
Theo ví dụ ở mục 1.2.2 thì A là toán tử tuyến tính liên tục.
Dễ dàng chứng minh được A là một song ánh.
Vậy A là song ánh tuyến tính liên tục nên tồn tại :
A1 : Rn  Rn
x  A1 x 


1
y nên A1 liên tục.
m

1.6.4. Định nghĩa
Nếu A là một song ánh tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X vào không
gian định chuẩn Y và tồn tại toán tử ngược A1 của A thì A được gọi là phép đồng
phôi tuyến tính từ X lên Y . Khi đó, X và Y được gọi là hai không gian đồng phôi
tuyến tính với nhau.
Ví dụ:
Ánh xạ A : Rn  Rn

x  Ax  x

  0 là một phép đồng phôi tuyến tính.

-13-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

TOÁN TỬ TRÊN KHÔNG GIAN KHẢ TÍCH
1.7.1. Định nghĩa
Cho hai không gian tuyến tính X , Y , nếu trên tích trực tiếp X  Y của hai tập X , Y
ta xét hai phép toán :
1.7.

mọi x  X : A1 x   Ax,0  A . x,0  A . x
Do đó, A1 bị chặn  A1 liên tục.
Tương tự, ta có A2 liên tục.
+ Ngược lại, nếu cả A1 và A2 đều liên tục thì ta có với mọi x, y   X  Y :

Ax, y   A1 x   A2  y   A1 . x  A2 . y  max A1 , A2   x, y 

Vậy A liên tục.

-14-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

TOÁN TỬ LIÊN HỢP
1.8.1. Định nghĩa
Cho A là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X vào không gian
định chuẩn Y . Toán tử liên hợp của A là một toán tử tuyến tính liên tục
A : Y   X  được xác định bởi công thức:
1.8.

A f x   f  Ax


x  X , f  Y *



Nhận xét:
A là toán tử compact thì A liên tục.
2.2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TOÁN TỬ COMPACT
2.2.1. Định lý
Cho X , Y là hai không gian định chuẩn, A : X  Y . Nếu A compact thì A ánh xạ
mọi dãy hội tụ yếu trong X thành dãy hội tụ (mạnh) trong Y .
Chứng minh

-15-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

y eu
yeu
x0 trong X . Vì A liên tục nên Axn 
Ax0 trong Y hay
Giả sử xn 
yeu
yn  Axn  Ax0  y0 .
Mặt khác, xn  hội tụ yếu  xn  bị chặn  Axn  compact tương đối (do A
compact).
Ta chứng minh yn  Axn  y0  Ax0 .
Thật vậy:
Phản chứng: Giả sử yn 

X phản xạ nên BX compact yếu theo dãy  xn  xn  hội tụ yếu
 Axn  hội tụ mạnh (theo giả thiết) (mâu thuẫn)
Vậy A compact.
k

k

2.2.3. Định lý
Giả sử X , Y là hai không gian Banach. A : X  Y là toán tử compact. Khi đó, Im A
là không gian khả ly của Y .
Chứng minh
Gọi BX là hình cầu đơn vị trong X . Do ABX  compact, khả ly nên :
AnBX   nABX  khả ly với mọi n  1 .


Vì vậy, Im A   AnBX  là khả ly.
n 1

-16-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

2.2.4. Định lý
Cho X , Y là hai không gian định chuẩn, A, D : X  Y là toán tử compact. Khi đó,
với mọi số  ,  toán tử A  D là compact.

Do đó với mọi k , dãy Ak xnn  hội tụ.

Với   0, n0 sao cho : An  A 
0

3

Từ đó, ta có: n, m  n1

-17-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

Axnn  Axmm  Axnn  An0 xnn  An0 xnn  An0 xmm  An0 xmm  Axmm
 A  An0 . xnn  An0 xnn  An0 xmm  An0  A . xmm 

 Axnn  là dãy Cauchy trong Y .

 Axnn  hội tụ (vì Y là không gian Banach)


3





*

f  y   f  Ax  f . A . x  A

x  BX .

Vì ABX  trù mật trong AB X  và f liên tục nên:
f  y   A , y  ABX 
 tất cả các hàm f  BY * bị chặn trên AB X  bởi cùng một số A .

Hơn nữa, y1 , y2  ABX   Y :

f  y1   f  y2   f . y1  y2  y1  y2

 các hàm f  BY * đồng liên tục đều trên AB X  .





 BY * là tập compact tương đối trong không gian C ABX  gồm các hàm liên tục

trên A BX  .
Bây giờ lấy dãy A* f n  A* BY  . Ta có:
*

 f n   BY

 tồn tại dãy con

X

X

-18-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

 A f ni  là dãy Cauchy trong X  .

 A f ni  là dãy hội tụ (vì X  đầy đủ).

 

 A BY * compact tương đối.


 A là toán tử compact.

b) Giả sử X là không gian định chuẩn, Y là không gian Banach, A : Y   X  là
toán tử compact.
 A : X   Y  là toán tử compact (theo câu a).
 A BX  compact tương đối trong Y  .




 AS 0,1 compact tương đối.
 A là toán tử compact.

2.4. MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ TÍNH ĐỒNG PHÔI TUYẾN TÍNH GIỮA
CÁC KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU
2.4.1. Định nghĩa
Cho hai không gian định chuẩn X , Y . Nếu toán tử tuyến tính liên tục A : X  Y có
toán tử ngược A1 liên tục thì A được gọi là phép đồng phôi tuyến tính từ không
gian X lên không gian Y .

-19-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.S Lê Hồng Đức

2.4.2. Định nghĩa
Hai không gian định chuẩn được gọi là đồng phôi tuyến tính, nếu tồn tại phép đồng
phôi tuyến tính từ không gian này lên không gian kia.
2.4.3. Định lý
Mọi không gian định chuẩn n -chiều đều đồng phôi tuyến tính với không gian K n .
2.5. TOÁN TỬ TÍCH PHÂN
2.5.1. Định nghĩa
Cho không gian Banach C a, b các hàm liên tục trên a, b với chuẩn supremum :
x  supxt  : a  t  b, x  Ca, b . Giả sử K t , s  là hàm liên tục trên hình vuông
Q  t, s  : a  t  b, a  s  b. Toán tử


a

Do đó AB  liên tục. Vậy A compact.

---******---

-20-

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân