NI DUNG KIN THC C BN ễN THI VO LP 10 THPT
Đinh công Hải: Giáo viên Phơng Đình -Đan Phợng Hà Nội DD 0944791341
H THNG KIN THC C BN V MT S DNG BI TP CH YU
(Phc v cho chng trỡnh lp 9 v ụn thi vo lp 10)
I.MC TIấU
II.NHNG NI DUNG KIN THC C BN
A.i s:
I.a thc: Nhõn, chia, hng ng thc, phõn tớch a thc thnh nhõn t.
II.Phõn thc i s: KX, rỳt gn, quy ng, cỏc phộp tớnh.
III.Cn bc hai: Khỏi nim, hng ng thc, KX, cỏc phộp bin i.
IV.Phng trỡnh, bt phng trỡnh bc nht mt n: Dng, phng phỏp gii.
V.Hm s bc nht, bc hai: nh ngha, tớnh cht, th, v trớ trờn mt phng ta
gia cỏc th.
VI.H phng trỡnh bc nht hai n: Nghim, cỏc phng phỏp gii.
VII.Gii bi toỏn bng cỏch lp h phng trỡnh, phng trỡnh.
VIII.Phng trỡnh bc hai: Dng, cụng thc nghim, nh lý Viet, ng dng.
B.Hỡnh hc:
I.nh lớ Pytago, h thc lng trong tam giỏc vuụng, t s lng giỏc ca gúc nhn.
II.nh lý Talet, tớnh cht ng phõn giỏc.
III.Tam giỏc bng nhau, ng dng: Khỏi nim, cỏc trng hp.
IV.ng trũn: Khỏi nim, s xỏc nh ng trũn, tớnh cht i xng, v trớ tng i
ca ng thng vi ng trũn (chỳ ý tip tuyn ca ng trũn), ng trũn vi ng
trũn.
V.Gúc v ng trũn: c im, quan h vi cung b chn, tớnh cht.
VI.T giỏc ni tip: Khỏi nim, tớnh cht, du hiu.
VII. di v din tớch hỡnh trũn.
VIII.Hỡnh hc khụng gian: Khỏi nim, cụng thc tớnh din tớch xung quanh, din tớch ton
phn, th tớch.
Đ1.A THC
A.KIN THC C BN
1.Nhõn n, a thc

( )
( )
( )
2
2 2
2 2
3
3 2 2 3
2 2 3 3
A B A 2AB B
A B A B A B
A B A 3A B 3AB B
A B A AB B A B
± = ± +
+ − = −
± = ± + ±
± + = −m
Mở rộng:
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2
2
2 2 2
A B C A B C 2 AB BC CA
A B C A B C 2 AB BC CA
+ + = + + + + +
+ − = + + + − −
4.Phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích đa thức thành nhân tử thực chất là viết đa thức đó thành tích của hai hay

3
A 2x y. x y xy . 4x
2
3x y 4x y
x y
 
= − − + −
 ÷
 
= −
= −
( ) ( )
3 2
3 2 3 2
2
B x 1 x. x 2 1
x 3x 3x 1 x 2x 4x 1
5x x
= + − − −
= + + + − + − −
= −
Ví dụ 2.Tính giá trị của biểu thức
( )
2 3 2 3 4
3
A 2x y. x y xy . 4x
2
 
= − − + −
 ÷

2
5 5 25 5 125 15 140
B 5 5
3 3 9 3 9 9 9
     
= − − − = + = + =
 ÷  ÷  ÷
     
.
Ví dụ 3.Chứng minh
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
a) a b 4ab a b
b) A n n 5 n 3 n 2 6 n Z
c) B x 2x 2 0 x.
+ − = −
= + − − + ∀ ∈
= + + > ∀
M
Giải
a) Có VT = a
2
+ 2ab + b
2
– 4ab = a
2
– 2ab + b
2

2
– 5x + 4 c) x
4
+ 4.
Giải
a) x
3
– 4x = x.(x
2
– 4) = x.(x – 2).(x + 2).
b) x
2
– 5x + 4 = (x
2
– 4x) – (x – 4) = x.(x – 4) – (x – 4) = (x – 4).(x – 1).
c) x
4
+ 4 = (x
2
)
2
+2x
2
.2 +2
2
– 4x
2
= (x
2
+2)

4.Chứng minh
a) (1 – 2a)(5a
2
+ 2a + 1) = 1 – 10a
3
.
b) (5x
3
+ 4x
2
y + 2xy
2
+ y
3
)(2x – 10y) = 10(x
4
– y
4
).
c) a
3
+ b
3
+ c
3
-3abc = 0
⇔
a = b = c hoặc a + b + c = 0.
(Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thì tam giác đó là tam giác gì?)
d)

2
– 4y + 6.
---------------------------------------------------------------------------------
§2.PHÂN THỨC
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Khái niệm
Dạng
A
B
trong đó A, B là các đa thức, B
≠
0.
2.Điều kiện xác định
Cách tìm:
-Giải B = 0.
-Kết luận: loại đi các giá trị tìm được của ẩn ở trên.
3.Rút gọn
-Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử.
-Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
A C.M C
B D.M D
= =
4.Quy đồng mẫu các phân thức
-Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử.
-Lập tích = (BCNN của các hệ số).(các nhân tử với số mũ lớn nhất).
-Tìm thừa số phụ = MTC : MR.
-Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với thừa số phụ tương ứng của nó.
5.Các phép tính
( )
A B A B

Ví dụ 1.Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau
3
2
x 1 30
a) b)
x 1 4x xy
+
− −
Giải
a) Phân thức
3
x 1
x 1
+
−
không xác định khi x – 1 = 0
⇔
x = 1.
Vậy ĐKXĐ: x
≠
1.
b) Phân thức
2
30
4x xy−
không xác định khi 4x
2
– xy = 0
⇔
x(4x – y) = 0

= = = = + ≠
 ÷
− − −
 
.
( ) ( )
( )
( )
2
2
x 5 x 4
x x 20 x 4
B ; x 5
x 5x x x 5 x
+ −
+ − −
= = = ≠ −
+ +
.
Ví dụ 3.Thực hiện phép tính
2
2 2
x 1 x 2 x 1
a) b)
x 1 1 x x 3x x 9
+ +
+ −
− − + −
Giải
( ) ( )

− = − =
+ − + − + − +
− +
− + − − − − − −
= = = =
− + − + − + −
≠ ± ≠
.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau
( )
2 2
2
3 2
x 2xy y x 2y 2x 1 7
a) b) c) d)
x y 3x x x x 1
4 x y
− + + +
− − − +
+
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh- §an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
5
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh -§an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
2.Các biểu thức sau có phụ thuộc vào giá trị của biến hay không?
2
2
2
4x 1 4xy 2y 2x 1 1 1

=
−
a)Tìm ĐKXĐ của biểu thức A.
b)Rút gọn A và tính giá trị với x = - 0,5; y = 3.
c)Tìm điều kiện của x, y để A = 1.
d)Tìm x, y để biểu thức A có giá trị âm.
------------------------------------------------------------------
§3.CĂN BẬC HAI
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Khái niệm
x là căn bậc hai của số không âm a
⇔
x
2
= a. Kí hiệu:
x a=
.
2.Điều kiện xác định của biểu thức
A
Biểu thức
A
xác định
⇔

A 0≥
.
3.Hằng đẳng thức căn bậc hai
2
A khi A 0
A A

( )
( )
2
2
m. A B
m
B 0; A B
A B
A B
= ≥ ≠
−
±
m
+)
( )
( )
n. A B
n
A 0; B 0; A B
A B
A B
= ≥ ≥ ≠
−
±
m
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh- §an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
6
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh -§an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
+)

( ) ( )
3 3 2 2 2 1
B 2 3 3 2 2 2 3 2
3 2 1
+ +
= + − − = + + − − =
+
( ) ( )
2 2
C 2 2 2 1 4 2 8 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1= − + − + + = + − + = + − − = −
(
)
( ) ( )
2 2
D. 2 2. 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1
D. 2 3 1 3 1 2 3 D 6
= + + − = + + − = + + −
⇒ = + + − = ⇒ =
VD2.Cho biểu thức
2
x x 2x x
y 1
x x 1 x
+ +
= + −
− +
a)Rút gọn y. Tìm x để y = 2.
b)Cho x > 1. Chứng minh
y y 0− =
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của y

y y 0
> ⇒ > ⇒ − > ⇒ − = −
⇒ − =
c) Có:
( ) ( )
2
2 2
1 1 1 1 1 1
y x x x x x 2. x. x
2 4 4 2 4 4
 
= − = − = − + − = + − ≥ −
 ÷
 
Vậy
1 1 1 1
Min y khi x x x
4 2 2 4
= − = ⇔ = ⇔ =
VD3.So sánh hai số sau
a 1997 1999= +
và
b 2 1998=
Giải
Có
( )
2
2 2
a 1998 1 1998 1 1998 1 1998 1
2.1998 2 1998 1 2.1998 2 1998 2 1998

12
+ −
=
( ) ( )
5 3 50 5 24
M
75 5 2
+ −
=
−
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh- §an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
8
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh -§an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
3 5 3 5
N
3 5 3 5
+ −
= +
− +
3 8 2 12 20
P
3 18 2 27 45
− +
=
− +
( )
2
2
1 5 2 5

+ + − −
3.Chứng minh
a)
1 1 1 5 1 3
12 2
3 3 2 3 6
+ + − =
b)
3 3
2 5 2 5 1+ + − =
c)
2 3 2 3
2
2 2 3 2 2 3
+ −
+ =
+ + − −
d)
1 1 1
S ...
1 2 2 3 99 100
= + + +
+ + +
là một số nguyên.
4.Cho
( )
3
x x 2x 2
2x 3 x 2
A ; B

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Định lý Pitago
ABC∆
vuông tại A
2 2 2
AB AC BC⇔ + =
2.Hệ thức lượng trong tam giác vuông
B
H
C
A
1) AB
2
= BH.BC; AC
2
= CH.BC
2) AB.AC = AH.BC
3) AH
2
= BH.HC
4)
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
Kết quả:
-Với tam giác đều cạnh là a, ta có:
2
a 3 a 3
h ; S

ABC∆
nhọn, BC = a; AC = b; AB = c khi đó:
2 2 2
ABC
1
a b c 2bc.cosA; S bcsinA
2
∆
= + − =
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh- §an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
10
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh -§an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng minh:
2
2 2 2
2 2
BC
a) AB AC 2AM
2
b) AB AC 2BC.MH
+ = +
− =
VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm.
a) Chứng minh AC vuông góc với BD.
b) Tính diện tích hình thang.
VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15;
∠
ADC=70

ABF, BFC.
c) Từ các kết quả trên, chứng minh các đẳng thức sau:
2 2
2
2tg
1) sin 2 2sin cos ; 2) cos2 =cos sin ; 3) tg2
1 tg
α
α = α α α α − α α =
− α
------------------------------------------------------------------
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh- §an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
11
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh -§an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
§5.PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
(Bậc nhất)
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Phương trình bậc nhất một ẩn
-Quy đồng khử mẫu.
-Đưa về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0)
-Nghiệm duy nhất là
b
x
a
−
=
2.Phương trình chứa ẩn ở mẫu
-Tìm ĐKXĐ của phương trình.
-Quy đồng và khử mẫu.

5.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức
A khi A 0
A
A khi A 0
≥

=

− <

6.Hệ phương trình bậc nhất
Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và thế. Chú ý phương pháp
đặt ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện các biểu thức giống nhau ở cả hai phương
trình.
7.Bất phương trình bậc nhất
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh- §an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
12
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh -§an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình bậc
nhất. Tuy nhiên cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi chiều bất
phương trình.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Giải các phương trình sau
a)
( ) ( )
2 x 3 1 2 x 1 9− + = + −
b)
( )

+ =
+ − + −
( ) ( ) ( ) ( )
13 1 6
x 3 2x 7 2x 7 x 3 x 3
⇔ + =
− + + − +
ĐKXĐ:
7
x 3; x
2
≠ ± ≠ −
( ) ( ) ( ) ( )
2
13 x 3 x 3 x 3 6 2x 7 13x 39 x 9 12x 42⇒ + + − + = + ⇔ + + − = +
( ) ( )
2
x 3 DKXD
x x 12 0 x 3 x 4 0
x 4 DKXD
= ∉

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= − ∈

Vậy phương trình có nghiệm x = - 4.
d) Lập bảng xét dấu
x 3 7
x – 3 - 0 + +

x a b x b a b a
a b ab
+ − + − −
− = (1)
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh- §an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
13
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh -§an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
b)
( )
2
2
a x 1
ax 1 2
x 1 x 1 x 1
+
−
+ =
− + −
(2)
Giải
a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
(1) b x a b a x b a b a
bx ab b ax ab a b a
b a x 2 b a b a
⇔ + − − + − = −

⇒ + + − = +
⇔ + − − + − = +
⇔ + = +
-Nếu a + 1 ≠ 0
a 1⇒ ≠ −
thì
a 3
x
a 1
+
=
+
-Nếu a + 1 = 0
a 1⇒ = −
thì phương trình vô nghiệm.
Vậy:
-Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất
a 3
x
a 1
+
=
+
-Với a = -1 hoặc a = -2 thì phương trình vô nghiệm.
VD3.Giải các hệ phương trình sau
1 1 5
x 2y 3z 2
x 5y 7
x y x y 8
a) b) c) x 3y z 5

= −

+ = = − = − =
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
− − =
− = − = = =
   

hoặc
x 5y 7 3x 15y 21 17y 17 y 1
3x 2y 4 3x 2y 4 3x 2y 4 x 2
+ = + = = =
   
⇔ ⇔ ⇔
   
− = − = − = =
   
b) ĐK:
x y≠ ±
đặt
1 1
u; v
x y x y
= =
+ −
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh- §an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
14