PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THAN UYÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2017 - 2018
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)

Câu 1. (4,0 điểm)
�
3 �193 33 ��
11 �1931 9 �
�2
�7
A�
.
 ��
: �

.
 �
� 
�
�
193
386
17
34

| x  2017 | 2018
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = | x  2017 | 2019 .
3 8 15
n2 1
   ...  2
n
b) Chứng tỏ rằng S = 4 9 16
không là số tự nhiên với mọi n  N, n > 2.

c) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0.
Câu 4 (5,5 điểm).
Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy
điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần
lượt ở M và N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN.
b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D
thay đổi trên cạnh BC.
Câu 5 (2,5 điểm).
Trong hình bên, đường thẳng OA là đồ thị của
hàm số y = f(x) = ax.
y0  2
a) Tính tỉ số x0  4 .

b) Giả sử x0 = 5. Tính diện tích tam giác OBC

------------------------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm – SBD: ……………


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

3862
25
2 �.
�
�
�
�
�
��
a) Thực hiện phép tính:

b) Rút gọn :

a

B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)49 + (-5)50.

�
3 �193 33 � 2 193 3 193 33
�2
2
3 33
.
 �
.

.

 
� 

1
A= 1: 5= 5

(-5)B =
(-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)2016 + (-5)2017 + (-5)2018.
B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)2016 + (-5)2017.
2018
b Do đó: (-5)B – B = (-6)B = (-5) - 1
(5) 2018  1 1  52018
4
4
Vậy B =
=
Câu 2 (4,0 điểm).

0,75
0,75
0,5
0,5
0,75
0,75

12a  15b 20c  12a 15b  20c


7
9
11
a) Tìm a, b, c biết
và a + b + c = 48.

1
 0 � 20c  12a �
�
9
� 12 15 20
và a + b + c = 48
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a
b
c
a bc
48



1
1
1
1 1 1
1
 
12 15 20 12 15 20 = 5 = 24
a
b
c
 240 � a  20
 240 � b  16
 240 � c  12
1
1

18
18
Ta có: 7 6 5
(1)
3
Số đất sau đó chia cho ba đội I, II, III lần lượt là a’, b’, c’ (m ) ĐK: a’,b’,c’ > 0.
a ' b ' c ' a ' b ' c ' x
6x
5x
4x
b
  

� a' 
; b '  ; c ' 
15
15
15
15
15 (2)
Ta có: 6 5 4
So sánh (1) và (2) ta có: a < a’; b = b’ ; c > c’ nên đội I nhận nhiều hơn lúc đầu.
7x 6x
x

�
4
� x  360
90
Vì a – a’ = 6 hay 18 15 = 6


=

1

1
| x  2017 | 2019

0,5

Biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất khi | x  2017 | 2019 có giá trị nhỏ nhất

0,25

Mà | x  2017 | ≥ 0 nên | x  2017 | 2019 ≥ 2019.

0,25

2018
Dấu “=” xảy ra khi x = 2017 � C = 2019 .
2018
Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 2019 khi x = 2017.

0,25

3 8 15
n2  1
22  1 32  1 42  1
n2  1
   ...  2


0,25

1 �
�1 1 1
(n  1)  � 2  2  2  ...  2 �
n �
�2 3 4
=

� S < n – 1 (1)

1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
Nhận xét: 2 < 1.2 ; 3 < 2.3 ; 4 < 3.4 ; …; n < (n  1).n
1
1 1 1
1
1
1

� (1 + x)(1 – y) = 1
Ta có: 1 = 1.1 = (-1).(-1)
Ta có bảng:
1+x
1
-1
1–y
1
-1
x
0
-2
y
0
2

0,25
0,25
0,25

0,5

0,25

0,5

abccjh

Vậy (x;y) {(0;0);(-2;2)}
0,25

� MB = NC (cặp cạnh tương ứng)
Ta có:

0,75
0,25
0,5


0
�
�
∆MDI vuông tại D: DMI  MID  90 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
0
�
�
∆NEI vuông tại E: ENI  NIE  90 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
�
�
�
� = ENI
Mà MID  NIE (đối đỉnh) nên DMI
∆MDI = ∆NEI (g.c.g)
� IM = IN (cặp cạnh tương ứng)
Vậy BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC.
∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền.cạnh góc vuông)
�  HAC
�
� HAB
(cặp góc tương ứng)

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

y0  2
a) Tính tỉ số x0  4 .

b) Giả sử x0 = 5. Tính diện tích tam giác OBC

a

Điểm A thuộc đồ thị hàm số y = ax nên tọa độ (2;1) của A phải thỏa mãn hàm
số y = ax.
1
1
Do đó, 1 = a.2 � a = 2 . Vậy hàm số được cho bởi công thức y = 2 x.
Hai điểm A và B thuộc đồ thị hàm số nên hoành độ và tung độ của chúng tỉ
lệ thuận với nhau.
y0 1 2 y0  2
  
x
2 4 x0  4 (theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
0
Suy ra
y0  2
1
x