PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THAN UYÊN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2017-2018
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm)
a) Thực hiện phép tính:
 2
3  193 33   7
11  1931 9 
A  

  : 

 
.
.
 193 386  17 34   1931 3862  25 2 

b) Rút gọn : B   5   5   5   5  ......   5   5 .
Câu 2. (4,0 điểm)
12a  15b 20c  12a 15b  20c
a) Tìm a, b, c biết
và a  b  c  48


7
9

c) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho x  xy  y  0
Câu 4. (5,5 điểm) Cho tam giác cân ABC, AB  AC . Trên cạnh BC lấy điểm D,
trên tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD  CE. Các đường thẳng vuông góc với
BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M , N . Chứng minh rằng:
a) DM  EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi
D thay đổi trên cạnh BC.
Câu 5. (2,0 điểm)
Trong hình bên, đường thẳng OA là đồ
thị của hàm số y  f ( x)  ax
y 2
a) Tính tỉ số 0
x0  4
b) Giả sử x0  5. Tính diện tích
tam giác OBC.
O


ĐÁP ÁN
Câu 1.
 2
3  193 33 
2 193
3 193 33 2
2 33
a ) 

 
.

 A  1: 5 
5
b)  5 B   5   5   5   ......   5 
1

2

3

2016

B   5   5   5   5  ......   5 
0

1

2

Do đó:  5 B  B  6 B   5

3

2018

  5 

2016

2017


7
  12a  15b  20c  1  1  1
20c  12a
 0  20c  12a 
12 15 20

9
Và a  b  c  48
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a
b
c
abc
48




 24
1
1
1
1 1
1
1
 
12 15 60 12 15 20 5
 a  20, b  16, c  12
b) Gọi tổng số đất đã phân chia cho các đội là x  m3  , DK : x  0
Số đất dự định chia cho 3 đội I , II , III lần lượt là a, b, c  m3  , DK : a, b, c  0


Ta có


7 x 6x
x

6
 4  x  360
18 15
90
Vậy tổng số đất đã phân chia cho các đội là 360m3 đất.
Câu 3.

Vì a  a '  6 hay

a)C 

x  2017  2018  x  2017  2019   1
1

1
x  2017  2019
x  2017  2019
x  2017  2019

Biểu thức C đạt giá tri nhỏ nhất khi x  2017  2019 có giá trị nhỏ nhất
Mà x  2017  0 nên x  2017  2019  2019
Dấu "  " xảy ra khi x  2017  C 


n 
2 3 4
 S  n  1 (1)

Nhận xét:



1
1 1
1 1
1
1
1

;

;

;......;

22 1.2 32 2.3 42 3.4
n2  n  1.n

1 1 1
1
1
1
1
1

 S  n  2(2)
Từ (1) và (2) suy ra n  2  S  n  1 hay S không là số nguyên
c) Ta có:


x  xy  y  0
 x 1  y   y  0
 1  y   x 1  y   1
 1  x 1  y   1  1.1  1.  1
1-x
1-y
X
y
Vậy  x; y    0;0 ;  2;2 

1
1
0
0

-1
-1
2
2

Câu 4.

A
M


AHB  AHC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)  HAB  HAC (cặp góc tương ứng)
Gọi O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I

OAB  OAC (c.g.c)  OBA  OCA (cặp góc tương ứng) (1)
 OC  OB (cặp cạnh tương ứng)
OIM  OIN (c.g.c)  OM  ON (cặp cạnh tương ứng )
OBM  OCN (c.c.c)  OBM  OCN (cặp góc tương ứng ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra OCA  OCN  900 , do đó OC  AC
Vậy điểm O cố định
Câu 5.
a) Điểm A thuộc đồ thị hàm số y  ax nên tọa độ  2;1 của A phải thỏa mãn hàm
số y  ax

1
1
Do đó, 1  a.2  a  . Vậy hàm số được cho bởi công thức y  x
2
2
Hai điểm A và B thuộc đồ thị hàm số nên hoành độ và tung độ của chúng tỉ lệ thuận
với nhau
y 1 2 y 2
(tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
 0   0
x0 2 4 x0  4
Vậy

y0  2 1

x0  4 2