PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾt
Dạng toán 1: Phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình: sin x = m (1)
* Nếu: m > 1 ⇒ Phương trình vô nghiệm
 π π
* Nếu: m ≤ 1 ⇒ ∃α ∈  − ;  sin α = m
 2 2
 x = α + k2π

⇒ (1) ⇔ sin x = sin α ⇔ 

 x = π − α + k2π

( k∈ ¢ ).

 π
π
− ≤ α ≤
Chú ý : * Nếu α thỏa mãn  2
2 thì ta viết α = arcsin m.
sin α = m
*Các trường hợp đặc biệt:
1. sin x = 1⇔ x =

π
+ k2π
2

2 sin x = −1 ⇔ x = −


+ kπ
2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


3. Phương trình : tan x = m (3)
 π π
Với ∀m⇒ ∃α ∈  − ; ÷: tan α = m
 2 2
⇒ (3) ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ .
 π
π
− < α


Ghi chú:
u = v + k2π
* sin u = sin v ⇔ 
u = π − v + k2π

(k∈ ¢ )

* cosu = cos v ⇔ u = ± v + k2π

(k∈ ¢ )

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


u = v + kπ

tan
u
=
tan
v
⇔
*

π
u, v ≠ 2 + nπ
u = v + kπ
* cot u = cot v ⇔ 
u, v ≠ nπ

(2).

Chú ý:
• (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm ⇔ a2 + b2 ≥ c2 .
1

3
π
• sin x ± 3cos x = 2 sin x −
cos x = 2sin(x − )
2
3

 2
•

 3

1
π
3sin x ± cos x = 2
sin x ± cos x = 2sin(x ± )
2
6
 2


 1

1

 sin u(x) 


cosu(x)

t
=
Cách giải: Đặt
ta có phương trình : at2 + bt + c = 0
 tan u(x)


 cot u(x) 
Giải phương trình này ta tìm được t , từ đó tìm được x

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


 sin u(x) 
Khi đặt t = 
 , ta co điều kiện: t∈ −1;1
 cosu(x)
Dạng 4. Phương trình đẳng cấp
Là phương trình có dạng f (sin x,cos x) = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx
cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cosk x ≠ 0 (k là số mũ cao nhất) ta được
phương trình ẩn là tan x .
Dạng 5. Phương trình đối xứng (phản đối xứng) đối với sinx và cosx
Là phương trình có dạng: a(sin x + cos x) + bsin x cos x + c = 0 (3)
Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ

1. sin x − cos2x = 0
3. 2sin(2x− 350 ) = 3

2. cos2 x − sin2x = 0
4. sin(2x + 1) + cos(3x − 1) = 0
Lời giải:

π
1. Phương trình ⇔ cos2x = sin x = cos( − x)
2
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất



π
2π

π
x = 6 + k 3
 2x = 2 − x + k2π
⇔
⇔
, k∈ ¢ .
 x = − π + k2π
 2x = − π + x + k2π


2
2
2. Phương trình cos2 x − 2sin x cos x = 0

x
=
+ k.1800

 2x − 35 = 60 + k360
2
.
⇔
⇔
0
0
0
0
0
155

 2x − 35 = 180 − 60 + k360
0
 x = 2 + k.180
0

0

0

π

4. Phương trình ⇔ cos(3x − 1) = sin(−2x − 1) = cos + 2x + 1÷
2



7. cos2 3x cos2x − cos2 x = 0

Lời giải:
1. Phương trình ⇔ cos x − 4sin x cos x = 0 ⇔ cos x(1− 4sin x) = 0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất



π
cos x = 0  x = + kπ
2
⇔
⇔
sin x = 1 
1
1

4  x = arcsin + k2π, x = π − arcsin + k2π

4
4
2. Ta có sin3 x =

3sin x − sin3x
cos3x + 3cos x
;cos3 x =
4
4

⇔
⇔
7
7

 4x = −π + 3x + k2π
 x = −π + k2π
4. Phương trình ⇔

1
1
sin5x − sin x = sin11x − sin x

2
2

⇔ sin5x = sin11x ⇔ x = k

π
π
π
+k
hoặc x =
6
16
8

5. Phương trình ⇔ (sin x + sin3x) + sin2x = (cos x + cos3x) + cos2x
⇔ 2sin2x cos x + sin2x = 2cos2xcos x + cos2x


2

⇔ cos6x + cos8x = cos10x + cos12x

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất



π
 x = 2 + kπ
 cos x = 0
.
⇔ 2cos7x cos x = 2cos11x cos x ⇔ 
⇔
π
π
cos11
x
=
cos7
x
x = k ; x = k


2
9
7. Phương trình ⇔ (1+ cos6x)cos2x − 1− cos2x = 0
⇔ cos6x.cos2x − 1 = 0 ⇔ cos8x + cos4x − 2 = 0

π

π 1
π
2. Phương trình ⇔ 2sin(2x + ) = 1 ⇔ sin(2x + ) = = sin
3
3 2
6

π
 2x + 3 =
⇔
 2x + π =

3

π

π
+ k2π
x = − + kπ

6
12
⇔
, k∈ ¢ .
5π
π

+ k2π
x = + kπ


2 3

5. Phương trình ⇔ sin7x + 3cos7x = 3sin 2x + cos2x

π
π

π
π
7x − = x − + k2π
x= − + k


π
π
6
3
36
3 , k∈ ¢ .
⇔ cos(7x − ) = cos(x − ) ⇔ 
⇔
6
3
7x − π = − x + π + k2π
x = π + k π


6
3
16


3
1
3
1
sin x + sin 3x + 3cos3x = 2cos4x + sin x − sin3x
2
2
2
2


π
x = − + k2π

π
6
.
⇔ sin3x + 3cos3x = 2cos4x ⇔ cos(3x − ) = cos4x ⇔ 
3
 x = π + k 2π

42
7

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
π

2. tan  ( sin x + 1)  = 1
4

+ mπ , m∈ ¢
2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


• Xét phương trình sin x =

n
. Ta có các giá trị của n là: n = ±2,n = ±1,n = 0
2

Từ đó ta tìm được các nghiệm là: x =

π
π
+ lπ , x = lπ , x = ± + lπ , l ∈ ¢
2
6

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = mπ, x =
2. Phương trình ⇔

π
π
+ mπ, x = ± + mπ m∈ ¢ .
2
6

π

 2 4

2
3. 5sin x − 2 = 3( 1− sin x) tan x

Lời giải:
1. Phương trình ⇔ 3sin x + cos x + 3cos x − sin x = 2 2sin2x
π
π
7π
⇔ sin(x + ) + cos(x + ) = 2sin2x ⇔ sin(x + ) = sin2x
6
6
12

7π

7π
 x = 12 + k2π
 2x = x + 12 + k2π
.
⇔
⇔
 x = 5π + k 2π
 2x = π − x − 7π + k2π


36
3
12


sin2 x
1− sin2 x

sin2 x
⇔ (5sin x − 2)(1+ sin x) = 3sin2 x
1+ sin x


x =
1
π
2
⇔
sin
x
=
=
sin
⇔

⇔ 2sin x + 3sin x − 2 = 0
2
6
x =

4. Điều kiện : cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

π
+ k2π

⇔
.
π
 tan x = 1  x = + kπ

4

Ví dụ 6. Giải các phương trình sau:
1. sin3 x + cos3 x = sin x − cos x

2. 2cos3 x = sin3x

2
3. sin x + 3tan x = cos x( 4sin x − cos x)

Lời giải:
1. Phương trình ⇔ sin3 x + cos3 x = (sin x − cos x)(sin2 x + cos2 x)
⇔ 2cos3 x − sin x cos2 x + cos x.sin2 x = 0

(

)

⇔ cos x sin2 x − sin x cos x + 2cos2 x = 0
⇔ cos x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ (Do sin2 x − sin x cos x + 2cos2 x > 0 ∀x ∈ ¡ )
2


4. sin3 x + cos3 x = sin x − cos x

Lời giải:
1. Nhận thấy cos x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của
phương trình cho cos2 x ta được:

π
 tan x = −1  x = − + kπ
tan x − 5tan x − 6 = 0 ⇒ 
⇔
.
4

 tan x = 6
 x = arctan6 + kπ
t= tan x

2

2. Phương trình ⇔ sin2 x − 3sin x.cos x = −(sin2 x + cos2 x)
⇔ 2sin2 x − 3cos x sin x + cos2 x = 0
Do cos x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho
cos2 x ta được:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất



π
 tan x = 1

5

5
t= tan x

4. Phương trình ⇔ sin3 x + cos3 x = (sin x − cos x)(sin2 x + cos2 x)
⇔ 2cos3 x − sin x cos2 x + cos x.sin2 x = 0

(

)

⇔ cos x sin2 x − sin x cos x + 2cos2 x = 0
⇔ cos x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ
2
2


1
 7
(Do sin x − sin x cos x + 2cos x =  sin x − cos x÷ + cos2 x > 0 ).
2

 4
2

2

Ta có: 2t3 + t2 − 2t − 1 = 0 ⇔ (t2 − 1)(2t + 1) = 0 ⇔ t = ±1,t = − .
2
* t = ±1 ⇔ cos x = ±1 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


* t=−

1
1
2π
2π
⇔ cos x = − = cos ⇔ x = ±
+ k2π .
2
2
3
3

Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên theo cách sau
phương trình ⇔ cos3x − cos x − (1− cos2x) = 0
⇔ −2sin2x sin x − 2sin2 x = 0 ⇔ sin2 x(2cos x + 1) = 0
 x = kπ
sin x = 0

⇔
⇔
.
cos x = − 1  x = ± 2π + k2π


π

π
) = sin (x + ) − 2π  = sin(x + ) = cos x
2
2
2



7π

π 
π
1
− x) = sin  2π − (x + ) = − sin(x + ) = −
( sin x + cos x)
4
4
4
2


Phương trình ⇔

1
1
+
= −2 2(sin x + cos x)
sin x cos x

⇔ (2cos x + 1)(sin2x − 1) = 0 ⇔ 
.
 x = ± 2π + k2π

3
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:

(

)

(

)

3
3
4
4
1. 4 cos3xcos x + sin 3xsin x + 3sin6x = 1+ 3 cos x − sin x

(

)

4
4
2. 4 sin x + cos x + sin 4x

(

9
3

cos2x ≠ 0  x ≠
⇔
2. Điều kiện 
cos x ≠ 0
x ≠


(

π
π
+k
4
2
.
π
+ kπ
2

)

4
4
2
Ta có : 4 sin x + cos x = 4 − 2sin 2x = 3+ cos4x

1+ tan2x tan x = 1+

5π kπ
+ kπ; x =
+
.
12
36 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


Ví dụ 10. Chứng minh rằng hàm số sau chỉ nhận giá trị dương :
y = sin2 x − 14sin x.cos x − 5cos2 x + 3.3 33
Lời giải:
• Nếu cos x = 0 ⇒ y = 1+ 3.3 33 > 0
2
3
3
• Với cos x ≠ 0 ta có: y = (1+ 3 33)tan x − 14tan x + 3 33 − 5
cos2 x

Vì ∆ = 72 − (1+ 3.3 33)(3.3 33 − 5) < 0
Suy ra (1+ 33 33)tan2 x − 14tan x + 33 33 − 5 > 0 ∀x ∈ ¡ .
Suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 11.
1. Cho tan α ,tan β là hai nghiệm của phương trình x2 − 6x − 2 = 0 . Tính giá trị của
biểu thức sau P = sin2(α + β) − 5sin(2α + 2β) − 2.cos2(α + β)
2. Cho tan α ,tan β là hai nghiệm của phương trình x2 + bx + c = 0 ( c ≠ 1). Tính giá
trị của biểu thức P = a.sin2(α + β) + bsin(2α + 2β) + c.cos2(α + β) theo a, b, c
Lời giải:

.
1− tan α.tan β 1− c

2
Ta có: P(1+ tan (α + β)) =

P
cos (α + β)
2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


= atan2(α + β) + 2btan(α + β) + c

⇒P=

atan2(α + β) + 2btan(α + β) + c
=
1+ tan2(α + β)

a.

b2
2b2
−
+c
(1− c)2 1− c
b2
1+



π
+ kπ
4
, k∈ ¢
5π
+ kπ
12


π
 x = 4 + kπ
C. 
 x = π + kπ

12


π
π
x = − 4 + k 2
D. 
, k∈ ¢
x = π + k π

12
2
Lời giải:



3
2

 x = 250 + k.1200
A. 
, k∈ ¢
0
0
 x = −15 + k.120

 x = 50 + k.1200
B. 
, k∈ ¢
0
0
 x = 15 + k.120

 x = 250 + k.1200
C. 
. k∈ ¢
0
0
 x = 15 + k.120

 x = 50 + k.1200
D. 
, k∈ ¢
0
0


4
2

B.


1 1
1
π
 x = − 8 − 4 arcsin 3 + k 2

, k∈ ¢
 x = π − 1 − 1 arcsin 1 + k π

4 8 4
3
2

1 1
1
π
 x = 8 − 4 arcsin 3 + k 2
C. 
, k∈ ¢
 x = π − 1 − 1 arcsin 1 + k π

4 8 4
3
2

, k∈ ¢
 x = π − 1 − 1 arcsin 1 + k π

4 8 4
3
2
Bài 4. Giải phương trình sin(2x + 1) = cos(2 − x)

x =
A. 
x =


π
− 2 + k2π
2
, k∈ ¢
π 1 k2π
+ +
6 3 3


x =
B. 
x =


π
− 3+ k2π
2

+ +
6 3 3

Lời giải:
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


π
Phương trình ⇔ sin(2x + 1) = sin( − 2+ x)
2

 2x + 1 =
⇔
 2x + 1 =



π
− 2 + x + k2π
x =
2
⇔
π
x =
+ 2 − x + k2π
2


π
− 3+ k2π


Lời giải:
Phương trình ⇔ cos x =

2
π
π
= cos ⇔ x = ± + k2π , (k∈ ¢ )
2
4
4

Bài 6. Giải phương trình

2cot

2x
3

=

3

A. x =

5
3 3
arccot
+ kπ (k∈ ¢ )
2

Phương trình ⇔ cot

⇔ x=

2x
3
2x
3
=
⇔
= arccot
+ kπ
3
2
3
2

3
3 3
arccot
+ kπ (k∈ ¢ ) .
2
2 2

π 1
Bài 7. Giải phương trình sin(4x − ) =
3 2
A. x =

π

π
π
= − + kπ ⇔ x = kπ , k∈ ¢
3
3

0
Bài 8. Giải phương trình cot(4x− 20 ) =

1
3

A. x = 300 + k.450 , k∈ ¢

B. x = 200 + k.900 , k∈ ¢

C. x = 350 + k.900 , k∈ ¢

D. x = 200 + k.450 , k∈ ¢
Lời giải:

Phương trình ⇔ cot(4x − 20 ) = cot60
0

0

⇔ 4x − 200 = 600 + k.1800 ⇔ x = 200 + k.450 , k∈ ¢
Bài 9. Giải phương trình sin 2x − 2cos2x = 0
1
kπ

⇔ 2x = arctan2 + kπ ⇔ x = arctan2 +
, k∈ ¢
2
2
Bài 10. Giải phương trình tan2x = tan x
A. x =

1
π
+ kπ, k∈ ¢ B. x = k , k∈ ¢
2
2

C. x =

π
+ kπ , k∈ ¢ D. x = kπ , k∈ ¢
3

Lời giải:


2x = x + kπ
 x = kπ


π
π



C. x =

π
+ kπ
6

(k∈ ¢ )
(k∈ ¢ )

3tan 2x − 3 = 0

B. x =

π
+ 2kπ
3

(k∈ ¢ )
D. x =

π
+ kπ
2

(k∈ ¢ )

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


Lời giải:



π
 x = 2 + kπ
C. 
( k∈ ¢ )
 x = arctan 1 + kπ

5


π
 x = 2 + kπ
D. 
( k∈ ¢ )
 x = arctan 1 + kπ

2
Lời giải:

Phương trình cos2 x − 2sin x cos x = 0

π
cos x = 0
 x = 2 + kπ
 cos x = 0
.
⇔ cos x(cos x − 2sin x) = 0 ⇔ 
⇔
1⇔

B. 
( k∈ ¢ )
 x = − π + k 2π

10
5


π
 x = 2 + 3+ k2π
C. 
( k∈ ¢ )
 x = − π + k 2π

10
5


π
 x = 2 + 6 + k2π
D. 
( k∈ ¢ )
 x = π + k 2π

10
5
Lời giải:

π


A. 
( k∈ ¢ )
 x = π + kπ

24

B.


7π kπ
 x = 72 + 3

( k∈ ¢ )
 x = 11π + 2kπ

24

7π kπ
 x = 72 + 3
C. 
( k∈ ¢ )
 x = 11π + kπ

4

D.


7π kπ
 x = 72 + 3

3
72
3
⇔
2π
 x = 11π + kπ
+ 2x + k2π

3
24

π
Bài 15. Giải phương trình cos7x + sin(2x − ) = 0
5

π k2π
 x = 50 + 5
A. 
( k∈ ¢ )
 x = − π + kπ

20 5


3π k2π
 x = − 50 + 5
B. 
( k∈ ¢ )
 x = − π + kπ



+ 2x÷
Phương trình ⇔ cos7x = sin  − 2x÷ = cos
5

 10

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất



3π

3π k2π
7x = 10 + 2x + k2π
 x = 50 + 5
⇔
⇔
7x = − 3π − 2x + k2π
 x = − π + kπ


10
20 5

π
Bài 16. Giải phương trình sin2 2x = cos2(x − )
4

x =

C.


π
 x = 4 + kπ
D. 
( k∈ ¢ )
 x = π + kπ

12 3
Lời giải:


π
1+ cos 2x − ÷
Phương trình
2
1− cos4x

⇔
=
⇔ cos4x = sin(−2x)
2
2

π
x = + kπ

π


(
)
kπ
25


x =
C. 
x =


kπ
3 k∈ ¢
(
)
kπ
5


x =
D. 
x =


kπ
33 k∈ ¢
(
)
kπ
35


kπ
x = 2
B. 
( k∈ ¢ )
 x = ± 5 arccos − 1  + kπ
 6÷

2





kπ
x = 2
C. 
( k∈ ¢ )
 x = ± 7 arccos − 1  + kπ
 6÷

2





kπ
x = 2
D. 

4
( k∈ ¢ )
1
 3  kπ
arccos − ÷+
4
 5 2


kπ
x = 4
B. 
( k∈ ¢ )
 x = ± 1 arccos − 3  + kπ
 5÷ 2

3





kπ
 x = 1+ 4
C. 
( k∈ ¢ )
 x = ± 1 arccos − 3  + kπ
 5÷ 2

4

Bài 20. Giải phương trình
A. x =

x=

cos2x
=0
1− sin2x

π
+ kπ ,( k∈ ¢ )
4

3π
+ 2kπ,( k∈ ¢ )
4

B. x =

D. x =

3π
+ kπ,( k∈ ¢ )
14

C.

3π
+ kπ ,( k∈ ¢ )
4



x =

x =



x =
B. 
x =


π
π
+k
4
2 k∈ ¢
(
)
2kπ
3

π
+ kπ
4
( k∈ ¢ )
kπ
3



kπ
2


cot2x = 0  x =
⇔
Phương trình ⇔ 
sin3x = 0  x =


π
π
+k
4
2
kπ
3

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x =

π
π
mπ
+ k ,x =
với m≠ 3n
4
2
3


Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình x = mπ .
Bài 23. Giải phương trình cot5x.cot8x = 1
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


A. x =

π mπ
+
, m ≠ 13n + 5,( m,n∈ ¢ )
26 13

B. x =

π mπ
+
, m≠ 13n + 6,( m,n∈ ¢ )
26 15

C. x =

π mπ
+
, m ≠ 13n + 7,( m,n∈ ¢ )
26 13

D. x =

π mπ
+


Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình x =
Bài 24. Số nghiệm của phương trình
A. 4

B. 3

π mπ
+
, m ≠ 13n + 6 .
26 13

4 − x2 sin2x = 0
C. 2

D. 5

Lời giải:
Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2
 x = ±2
 x = ±2

⇔
⇔
Phương trình
kπ

sin2x = 0  x =

2

Bài 26. Giải phương trình tan2 x + cot2 x = 1+ cos2(3x + )
4
A. x =

π
+ 2kπ
4

B. x =

π
π
+k
4
2

C. x =

π
π
+k
4
3

D. x =

π
+ kπ
4