BÀI TOÁN VẬN DỤNG VỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

 Dạng 118. Bài toán vận dụng về diện tích

Câu 01. Trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi 40cm. Hình chữ nhật có
diện tích lớn nhất có diện tích S là bao nhiêu?
A. S  100cm2 .

B. S  400cm2 .

C. S  49cm2 .

D. S  40cm2 .

Lời giải tham khảo
2

2

�a  b� �20 �
S  ab ��
�  � �  100 .
� 2 � �2 �
Câu 02. Ông A muốn mua một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 384m2 để
xây nhà. Nhưng vợ ông muốn có khuôn viên sân vườn đẹp nên ông mua thêm
về hai phía chiều dài mỗi chiều 3m và về hai phía chiều rộng mỗi chiều 2m.
Hỏi, để ông A mua được mảnh đất có diện tích nhỏ nhất (tiết kiệm chi phí)
thì mảnh đất đó chu vi là bao nhiêu?
A. 100m.

B. 140m.

Áp dụng BĐT AM-GM : S �
x �
�
�
Dấu ‘‘=” xảy ra khi 4x 

S 600

2304
� x  24 � y  16
x
1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Vậy mảnh đất cần mua có chiều dài là: 24  6  30  m
Chiều rộng là: 16  4  20  m
Khi đó chu vi mảnh đất là 100 m.
Câu 03. Từ một bờ tường có sẵn, người ta muốn rào quanh một khu đất với
một số vật liệu cho trước là 100 m thẳng hàng rào . Vậy làm thế nào để rào
khu đất ấy theo hình chữ nhật sao cho có diện tích lớn nhất. Tính chiều dài và
chiều rộng của hình chữ nhật.
A. 50 và 25.

B. 35 và 35.

C. 75 và 25.

D. 50 và 50.

0

50


1250

0

0

f  x  f  25  1250
Dựa vào bảng biến thiên ta có max
 0;50
Vậy: Để rào khu đất ấy có diện tích lớn nhất theo hình chữ nhật có chiều rộng
bằng 25 và chiều dài bằng 50.

2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất




BÀI TẬP TỰ LUYỆN



Câu 04. Một sợi dây có chiều dài 28 m là được cắt thành hai đoạn để làm thành một
hình vuông và một hình tròn. Tính chiều dài của đoạn dây làm thành hình vuông

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................

Câu 05. Một sợi dây có chiều dài là 6 m, được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất
được uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai uốn thành hình vuông. Hỏi độ dài
của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để tổng diện tích 2 hình thu được là nhỏ
nhất?

A.


. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................


........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................

 Dạng 119. Bài toán vận dụng về chuyển động
của chất điểm


D. 6m/ s2 .

Lời giải tham khảo
�
t4
Ta có vận tốc v  t   S�
 t  3t2  6t  24 . Vận tốc triệt tiêu khi v t  0 � �t  2 L
 
�
Gia tốc a t   v�
 t   6t  6. Vậy gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là
a 4  6.4  6  18m/ s2 .
Câu 07. Một viên đá được bắn thẳng đứng lên trên với vận tốc ban đầu là
40 m/s từ một điểm cao 5 m cách mặt đất. Vận tốc của viên đá sau t giây
được cho bởi công thức v  t   40  10t m/ s. Tính độ cao lớn nhất viên đá có
5

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


thể lên tới so với mặt đất.
A. 85 m.

B. 80 m.

C. 90 m.

D. 75 m.


v  v0 10  20
v1  v0 15  20

 20s.

 0,5m/ s2 ; v2  vo  at2 � t2  2
a
0,5
t
10

6

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất




BÀI TẬP TỰ LUYỆN



Câu 09. Một chất điểm chuyển động theo qui luật s  6t2  t3 (trong đó t là khoảng
thời gian tính bằng giây mà chất điểm bắt đầu chuyển động ). Tính thời điểm t
(giây) mà tại đó vận tốc  m/ s của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.
A. t  2 .

B. t  4 .

C. t  1.

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

Câu 10. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S  t  

1 4
t  3t2  2t  4 ,
4

trong đó t tính bằng giây  s và S tính bằng mét  m . Tại thời điểm nào, vận tốc của
chuyển động đạt giá trị lớn nhất?
A. t  2 .

B. t  1.

C. t  3 .

D. t  2 .

. ..........................................................


. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

Câu 11. Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km. Vận tốc
của dòng nước là 6 km/ h . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v  km/ h thì
3
năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức: E  v  cv t .

Trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước
đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.
A. 6 km/ h .

B. 9 km/ h .

C. 12 km / h.

D. 15 km/ h.

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

Câu 12. Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được quãng đường
s t 

 km

t 3
3t1
là hàm phụ thuộc theo biến t (giây) theo quy tắc sau: s t  e  2t.e  km
2

. Hỏi vận tốc của tên lửa sau 1 giây là bao nhiêu? Biết hàm biểu thị vận tốc là đạo
hàm của hàm biểu thị quãng đường theo thời gian.
A. 5e4 (km/s).

B. 3e4 (km/s).

C. 9e4 (km/s).

D. 10e4 (km/s).
8


........................................................

 Dạng 120. Bài toán vận dụng liên quan đến
thể tích

Câu 13. Ta có một miếng tôn phẳng hình vuông với kích thước a (cm) , ta
muốn cắt đi ở 4 góc 4 hình vuông cạnh bằng x (cm) để uốn thành một hình
hộp chữ nhật không có nắp. Hỏi, phải cắt như thế nào để hình hộp có thể tích
lớn nhất?
A. x 

a
.
4

B. x 

a
.
5

C. x 

a
.
6

D. x 


a
6

a  2x

Vậy để thể tích hộp lớn nhất, cần cắt bốn góc bốn hình vuông có cạnh

a
.
6

9

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 14. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc
của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng
x  cm , rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không
nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

A. x  6 .

B. x  3 .

C. x  2 .

D. x  4 .

Lời giải tham khảo

2
Suy ra V '  x  12x  276x  1080 .

Cho V '  x  0 , suy ra được giá trị x cần tìm là x  5 .
V ''  x  24x  276 � V ''  5  156  0 . Do đó x  5 là điểm cực đại.
Câu 16. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 18 cm. Người ta cắt ở bốn góc
của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng
x  cm , rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây

để được một cái hộp
10

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
A. 3 .

B. 5 .

C. 4.

D. 2.

Lời giải tham khảo

Điều kiện: 0  x  9
V  h.B  x.(18  2x) 2  f (x)
Bấm mod 7 và tìm được x  3
Cách khác: Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm 4x; 18  2x; 18  2x

Gọi chiều sâu và chiều rộng của bể lần lượt là 3x và 2x  m
Chiều dài của bể là

12
2
 2  m
2x.3x x
11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của bể phải nhỏ nhất. Ta
có
�
2 2 � � 2 10 �
Stp  2�
2x.3x  2x. 2 . 2 � 2�
6x  �
x�
x x � �
�
5 5
6x2  �
33 150 Sxq 63 150 m2
x x

 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 6x2 

C. x  10.

D. x  9 .

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................

. ..........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................

........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................

14

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất



. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................


........................................................

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

15


Câu 21. Người ta muốn làm một cái bình thủy tinh hình lăng trụ đứng có nắp đậy,
đáy là tam giác đều để đựng 16 lít nước. Để tiết kiệm chi phí nhất (xem tấm thủy
tinh làm vỏ bình là rất mỏng) thì cạnh đáy của bình là bao nhiêu?
A. 4m.

B. 4dm.

C. 23 2 dm.

D. 23 4 m.

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................


. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

17


. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................

Câu 23. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 1m như hình vẽ dưới đây. Người ta cắt
phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy
bằng x  m , sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp. Tính
giá trị của x để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất.

A. x 

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................

19

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................


........................................................

. ..........................................................

........................................................
20

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................

21

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


 Dạng 121. Bài toán vận dụng về tính khoảng
cách

Câu 25. Một màn ảnh hình chử nhật cao 1,4m được đặt ở độ cao 1,8mso với
tầm mắt (tính đầu mép dưới của màn ảnh). Hỏi, để nhìn rõ nhất phải xác định
vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất thì vị trí đứng cách màn ảnh là bao
nhiêu?
A. x  2,4m.


�
�
�
tan BOC = tan AOC - AOB =
� tan AOB
�
AC.AB x2  5,76
1 + tan AOC
1
OA 2

(

số f  x 

)

hàm

1,4x
. Bài toán trở thành tìm x  0 để f  x đạt giá trị lớn nhất.
x  5,76
2

Ta có f '  x 

1,4x2  1,4.5,76

 x  5,76


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 2,4 m.

Câu 26. Có hai chiếc cọc cao 12m và 28m, đặt cách nhau 30m (xem hình
minh họa dưới đây). Chúng được buộc bởi hai sợi dây từ một cái chốt trên
mặt đất nằm giữa hai chân cột tới đỉnh của mỗi cột. Gọi x  m là khoảng
cách từ chốt đến chân cọc ngắn. Tìm x để tổng độ dài hai dây ngắn nhất.
A. x  9.

B. x  10.

C. x  11.

D. x  12.

Lời giải tham khảo

Kí hiệu x là khoảng cách từ chân cột thấp tới chốt buộc; y, z là độ dài hai sợi dây
như hình vẽ.
Khi đó khoảng cách từ chốt buộc tối chân cột thứ hai là 30 x .
Điều kiện 0  x  30; y, z  0. Gọi d là tổng độ dài hai sợi dây. Khi đó d  y  z
Theo Pitago, ta có x2  122  y2 � y  x2  144;  30  x  282  z2
2

 0  x  30

� y  x2  144  x2  60x  1684
Ta có d' 

x  22,5� 0;30
�
23

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


d  d 9  50 .
Lập BBT ta có min
 0;30
Câu 27. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB 5km.
Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7km. Người canh
hải đăng có thể chèo đò từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4km/ h rồi
đi bộ đến C với vận tốc 6km/ h (xem hình vẽ dưới đây). Tính độ dài đoạn BM
để người đó đến kho nhanh nhất.
A.

74
.
4

B.

29
.
12

C.

29 .

6
12

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f  x để có được thời gian ngắn nhất và từ đó xác
định được vị trí điểm M .
f '  x 

�
1 � 3x
 2�
.
�
�
�
12 � x2  25
�

f '  x  0 �

3x
x2  25

 2  0 � 3x  2 x2  25  0
� 2 x2  25  3x
�x  �2 5
5x2  100 �
�
��
��
� x  2 5.

như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118 m và
487m. Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước và mang về B. Tính độ dài
đoạn đường ngắn nhất mà người đó phải đi.
A. 569,5m.

B. 671,4m.

C. 779,8m.

D. 741,2m.

Lời giải tham khảo

B
615m
A
118
m

487m

Sông

Ta giả sử người đó đi từ A đến M để lấy nước và đi từ M về B.
Ta dễ dàng tính được BD  369, EF  492. Ta đặt EM  x, khi đó ta được:
MF  492  x, AM  x2  1182 , BM 

 492  x

2

.

 487

2

25

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất