Vấn đề 5. CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Câu 111. Cho hình chóp S.ABC có SA = a , SB = a 2 , SC = a 3 . Tính thể tích
lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
a3 6
a3 6
a3 6
C. Vmax =
D. Vmax =
.
.
.
3
6
2
Câu 112. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C ' D ' có độ dài đường chéo
AC ' = 18. Gọi S là diện tích toàn phần của hình hộp đã cho. Tìm giá trị lớn
nhất Smax của S.
A. Vmax = a3 6.

B. Vmax =

A. Smax = 36 3. B. Smax = 18 3.
C. Smax = 18.
D. Smax = 36.
Câu 113. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 4 ,
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) và SC = 6 . Tính thể tích
lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
40
80
20
.

250
.
.
.
.
A. Vmax =
B. Vmax =
C. Vmax =
D. Vmax =
3
3
3
3
Câu 116. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh bằng
1; SO vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) và SC = 1 . Tính thể tích lớn nhất
Vmax của khối chóp đã cho.
2 3
2 3
2 3
4 3
C. Vmax =
D. Vmax =
. B. Vmax =
.
.
.
9
3
27
27

12
Câu 119. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C,
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABC ) . Biết SC = 1, tính thể tích
lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất


2 3
3
3
2
B. Vmax =
C. Vmax =
D. Vmax =
.
.
.
.
27
27
12
12
Câu 120. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và
AB = 1. Các cạnh bên SA = SB = SC = 2. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối
chóp đã cho.
5
2
4

8
24
Câu 122. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB = 4, SC = 6 và mặt bên ( SAD) là tam giác cân tại S và nằm trong mặt
A. Vmax =

phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
40
80
A. Vmax = .
B. Vmax = 40.
C. Vmax = 80.
D. Vmax = .
3
3

(

)

Câu 123. Cho hình chóp S.ABC có SA = x 0 < x < 3 , tất cả các cạnh còn lại
đều bằng 1. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
1
1
1
1
B.
C.
D.
Vmax = .

B.

Vmax =

a3
.
8

C.

Vmax =

a3
.
24

D.

Vmax =

a3
.
32

Câu 126. Cho tứ diện SABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc với nhau, độ
dài các cạnh BC = a, SB = b, SC = c . Tính thể tích lớn nhất Vmax khối tứ diện đã
cho.
abc 2
abc 2 B.
C.

nhất


a3
a3
a3 6
a3 3
.
B. Vmax =
C. Vmax =
D. Vmax = .
.
.
6
48
72
24
Câu 128. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C ' D ' có đáy ABCD là một hình
vuông. Biết tổng diện tích tất cả các mặt của khối hộp bằng 32. Tính thể tích
lớn nhất Vmax của khối hộp đã cho.
A. Vmax =

56 3
80 3
70 3
64 3
C. Vmax =
D. Vmax =
. B. Vmax =
.

.
.
.
.
3
2
2
2
Câu 131. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình chóp S.ABC có đáy
ABC là tam giác vuông cân tại A , SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A
đến mặt phẳng ( SBC ) bằng 3 . Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và

( ABC ) , tính cosa khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất.
1
2
3
2
A. cosa = .
B. cosa =
C. cosa =
D. cosa = .
.
.
3
3
3
2
Câu 132. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B. Khoảng
� = SCB
� = 900. Xác định độ dài

phẳng ( ABC ) sao cho AM .AN = 1. Tính thể tích nhỏ nhất Vmin của khối tứ diện
MNBC .
1
1
2
1
A. Vmin = .
B. Vmin = .
C. Vmin = .
D. Vmin = .
3
6
3
12
Câu 135. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C,
SA = AB = 2. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABC ) . Gọi H , K lần
lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC . Tính thể tích lớn nhất Vmax
của khối chóp S.AHK .
A. Vmax =

2
.
6

B. Vmax =

3
.
6


.
.
.
.
5
5
2
2
Câu 137. Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài
đường chéo bằng 6. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối hộp chữ nhật đã cho.
A. Vmax = 16 2. B. Vmax = 12.

C. Vmax = 8 2.

D. Vmax = 6 6.
Câu 138*. Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b, c . Dựng một hình
lập phương có cạnh bằng tổng ba kích thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết
rằng thể tích hình lập phương luôn gấp 32 lần thể tích hình hộp chữ nhật. Gọi
S là tỉ số giữa diện tích toàn phần hình lập phương và diện tích toàn phần
hình hộp chữ nhật. Tìm giá trị lớn nhất Smax của S.
1
16
32
48
.
B. Smax = .
C. Smax = .
D. Smax = .
10
5

V
2V
V
3V
.
A. Vmax = .
B. Vmax = .
C. Vmax =
D. Vmax =
.
3
3
2
4

Vấn đề 5. CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
� AH ^ ( SBC ) .
Câu 111. Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng ( SBC ) ��
Ta có
A
� AH �AS .
Dấu '' = '' xảy ra khi AS ^ ( SBC ) .
1
� �1 SB.SC .
� SD SBC = SB.SC.sin BSC
2
2
Dấu '' = '' xảy ra khi SB ^ SC .

B

. Chọn D.
6
6
Câu 112. Gọi a, b, c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.
Khi đó Stp = 2( ab+ bc + ca) .
Theo giả thiết ta có a2 + b2 + c2 = AC '2 = 18.
Từ bất đẳng thức a2 + b2 + c2 �ab+ bc+ ca , suy ra Stp = 2( ab+ bc + ca) �2.18 = 36.
Dấu '' = '' xảy ra � a = b = c = 6. Chọn D.
Câu 113. Đặt cạnh BC = x > 0.
Tam giác vuông ABC, có AC 2 = 16+ x2.
SAC,
Tam
giác
vuông
2

2

S
có

2

SA = SC - AC = 20- x .
Diện tích hình chữ nhật SABCD = AB.BC = 4x.
1
4
Thể tích khối chóp VS.ABCD = SABCD .SA = x 20- x2 .
3
3


D

.

4
40
� .10 = .
3
3

Dấu " = " xảy ra � x = 20- x2 � x = 10 . Vậy Vmax =

40
. Chọn A.
3

4
x 20- x2 trên 0;2 5 .
3
Câu 114. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Vì S.ABC là
hình chóp đều � SO ^ ( ABC ) .

(

Cách 2. Xét hàm số f ( x) =

)

x2 3

Xét hàm f ( x) = .x2 3- x2 trên 0; 3 , ta được max f ( x) = f
( 0; 3)
12
A.

(

)

S

C
O

M

B

( 2) = 16.

Chọn

3
�
x2 + x2 + 6- 2x2 �
�
�
�
= 2.
�

6

AC 2
128- x2
SO = SA2 - AO2 = SA2 =
.
4
2
1
1
128- x2
Khi đó VS.ABCD = SABCD .SO = .4x.
3
3
2
1
1
128
= . 2x 128- x2 � .( x2 +128- x2 ) =
.
3
3
3

(

)

x



SABCD = OA.BD = 2x 1- x2 .
Tam giác vuông SOC, có

A

B

SO = SC 2 - OC 2 = 1- x2 .
1
Thể tích khối chóp VS.ABCD = SABCD .SO
3
1
2
= .2x 1- x2 . 1- x2 = x( 1- x2 ) .
3
3

x

O
C

1

D

�1 �
� 2
2

�
�
2x2 +1- x2 +1- x2 �
4 3
�
�
=
.
�
�
�
�
3
�
� 27

Câu 117. Do SA = SB = SC = SD = a 6 nên hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng ( ABCD ) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy, do đó tứ giác
ABCD là hình chữ nhật. Gọi H = AC �BD , suy ra SH ^ ( ABCD ) .
Đặt AB = x > 0. Ta có
S
AC = AD 2 + AB2 = x2 +16a2 .
Tam giác vuông SHA, có
AC 2
8a2 - x2
=
.
4
2
1

3
3
Câu 118. Đặt AC = x > 0.
S
2
2
2
Suy ra CB = AB - CA = 4- x .
Diện
tích
tam
giác

(

)

1
x 4- x2
AC.CB =
.
2
2
1
1
Khi đó VS.ABC = SDABC .SA = x 4- x2
3
6
2
2

1
Diện tích tam giác SDABC = CA.CB = x2.
2
2
1
1 2
Khi đó VS.ABC = SD ABC .SA = x 1- x2 .
3
6
1
Xét hàm f ( x) = x2 1- x2
6
Cách 2. Ta có x

2

Chọn A.

1

A

B
x

x

C
� 2�
� 3

2

1

2

2

2

1

� I là tâm đường
Câu 120. Gọi I là trung điểm của BC. Suy ra IA = IB = IC ��
tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Theo giả thiết, ta có SA = SB = SC suy ra I là
� SI ^ ( ABC ) .
hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ABC ) ��
Đặt AC = x > 0. Suy ra BC = AB2 + AC 2 = x2 +1.
SBI ,
Tam
giác
vuông
có
SI = SB2 - BI 2 =

S

15- x2
.
2

2
8

(

A

)

Câu 121. Từ x2 + y2 = a2 � y = a2 - x2 .
Diện
tích
mặt
�
�
�
�
BC + AM �
a+ x�
SABCM = �
.AB = �
a.
�
�
�
�
�
�
�
� 2


a
a

M
D

B

C

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất


��
a� 3 3a2
Xét hàm f ( x) = ( a+ x) a2 - x2 trên ( 0;a) , ta được max f ( x) = f �
.
�=
�
�
( 0;a)
��
2�
4
a3 3
. Chọn B.
8
Câu 122. Gọi H là trung điểm của AD � SH ^ AD.


2

2

B

H
C

D

1
x2 1
1
80
= .4.x 20= 2x 80- x2 � ( x2 + 80- x2 ) = . Chọn D.
3
4
3
3
3
Câu 123. Ta có tam giác ABC và SBC là những tam giác đều cạnh bằng 1.
( 1)
Gọi N là trung điểm BC . Trong tam giác SAN , kẻ SH ^ AN .
Ta có
3
● SN là đường cao của tam giác đều SBC ��
� SN =
.

4

1
Khi đó VS.ABC = SDABC .SH
3
1
1 3 3 1
� SDABC .SN = . .
= .
3
3 4 2
8
Dấu '' = '' xảy ra � H �N . Chọn B.
Câu 124. Hình vẽ.
Cách làm tương tự như bài trên.
BCD
Tam
giác
đều
cạnh
bằng
2 3 � BN = 3.
VABCD lớn nhất H � N . Khi đó ANB vuông.
Trong tam giác vuông cân ANB , có
AB = BN 2 = 3. 2.
Chọn A.

C

A

6
6
6 �

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất


a
Dấu '' = '' xảy ra � b = c = . Chọn C.
2
�x2 + y2 = a2
�
�
2
2
�2
AB
=
x
,
AC
=
y
,
AS
=
z
.
Câu 126. Đặt

=
��
�V �
.
288
288
24
x
a
� a = b = c. Chọn D.
Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = z ��
B
Câu 127. Thể tích khối chóp S.ABD là
S
3
a
VS.ABD = .
6
M
VS.AMN
SM SN
N
=
.
= mn
Ta có
VS.ABD
SB SD
��
�VS.AMN = mnV

. Suy ra VS.AMN �a 6 . Chọn B.
Dấu '' = '' xảy ra � �
� 2
2
�
2
6
2m + 3n = 1
72
�
Câu 128. Đặt a là độ dài cạnh của hình vuông đáy, b là chiều cao của khối
hộp với a, b> 0.
Theo
giả
thiết
ta
có
�
�
1
16
2a2 + 4ab = 32 � 2a( a+ 2b) = 32 � a( a+ 2b) = 16 � b = �
.
�
� - a�
�
�a
�
2�
16

2
Chọn D.
Câu 129. Gọi h> 0 là chiều cao lăng trụ; a> 0 là độ dài cạnh đáy.
Mặt khác mn =

�

Theo giả thiết ta có V = Sday .h =

=

a2 3
4V
.
.h ��
�h= 2
4
a 3

Diện tích toàn phần của lăng trụ: Stp = S2 day + Sxung quanh =
Áp dụng BĐT Côsi, ta có Stoan phan =
=

a2 3
4V
.
+ 3a. 2
2
a 3


a
a
( 1)
Câu 130. Gọi O là tâm của hình thoi ABCD � OA = OC .
Dấu '' = '' xảy ra khi �

( 2)

Theo bài ra, ta có D SBD = D CBD � OS = OC.
Từ ( 1) và ( 2) , ta có OS = OA = OC =

1
AC � D SAC vuông tại S � AC = x2 +1 .
2

2
2
Suy ra OA = x +1 và OB = AB2 - OA2 = 3- x .
2
2

S

A

B
H

O
D


2

.

x
x2 +1

=

1
1�
x2 + 3- x2 �
1
�
�
x 3- x2 � .�
= .
�
�
�
6
6�
2
�
� 4

1
6
Suy ra VS.ABCD � . Dấu '' = '' xảy ra � x = 3- x2 � x =

.
Diện tích tam giác SDABC = BC.AM = AM = 2 =
2
sin a 1- cos2 a
1
9
.
Khi đó V = 3SD ABC .SA =
2
B
1
cos
a ) .cosa
(

C
M

2
2
. Suy ra V �27 3 .
Xét hàm f ( x) = ( 1- cos x) .cos x , ta được f ( x) �
3 3
2

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất


3

.
6
2

3
.
3
Câu 132. Gọi D là điểm sao cho ABCD là hình vuông.
�AB ^ AD
��
� AB ^ ( SAD) ��
� AB ^ SD .
Ta có �
��
�
SAB = 900 � AB ^ SA
�
Tương tự, ta cũng có BC ^ SD . Từ đó suy ra SD ^ ( ABDC ) .
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x = y = 3 3 ��
� cosa =

SC ( H SC )
Kẻ DH ^ξ��^

DH

( SBC ) .

S



Suy ra SD =

ax 2
x2 - 2a2

H

)

.

C

D
A

B

1
1 ax3 2
a 2
x3
=
.
.
Thể tích khối chóp VS.ABC = VS.ABCD = . 2
2
6 x - 2a2
6

M
� AF ^ ( MOB) � AF ^ MB.
Ta có �
�
�
�AF ^ MO
Mặt khác, MB ^ AE .
Suy ra MB ^ ( AEF ) � MB ^ EF .
Suy ra D OBM ∽ D ONF nên
OB ON
OB.OF
a2
.
=
� ON =
=
OM
OF
OM
2x
Ta có VABMN =VABOM +VABON
1
a2 3 �
a2 � a3 6
�
�
= SD OAB ( OM +ON ) =
x+ �
�
�

AC
M
= 2.
Tam giác vuông ABC, có AB = BC =
2
AB2
Diện tích tam giác vuông SDABC =
= 1.
2
1
Ta có VMNBC =VM .ABC +VN .ABC = SDABC .( AM + AN )
A
3
1
1
2
Cosi
= ( x + y) ���
� � .2 xy = .
3
3
3
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1. Chọn
N
D.
Câu 135. Đặt AC = x ( 0 < x < 2) .
S
ABC,
Tam
giác

VS.ABC
SB SC 2 x + 4 x + 4
��
� VS.AHK =

C

B

K
H

A

C

B

�
2
2 �
1
2 x 4- x2
�
�
.
V
=
.
S

�
� 3� 6

A ).
Câu 136. Vì ABCD.A ����
B C D là hình hộp chữ nhật suy ra BC ^ ( ABB��
A ).
Khi đó A �
C trên mặt phẳng ( ABB��
B là hình chiếu của A �
�
��
�
Suy ra 300 = A
C, ABB ��
A =�
A�
C, A �
B = CA
B.

(

) (

)

= h ( h > 0) .
Đặt BB �
D'

B
x + h2

.SABCD = 3xh.
Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A ����
B C D là V = BB�

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất


�
x2 + h2 �
27 81
81
�
�
= 3. = � Vmax = .
�
Áp dụng BĐT Côsi, ta có 3xh �3�
�
�
�
2
2
2
� 2 �
�x = h > 0
27
3 6

�
� a +b +c = 6
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của V = abc.
2

 Ta có ( a + b+ c) = a2 + b2 + c2 + 2( ab+ bc + ca) = 72 � a + b+ c = 6 2.

(

)

2

(

)

4�
18 a 6 2 a �
0 a 4 2.
�
�
�
�
18- a( b+ c) �
= a�
18- a 6 2 - a �
= a3 - 6 2a2 +18a
Khi đó V = abc = a �
�


2.

Chọn C.
3

�
�
a + b+ c�
Nhận xét. Nếu sử dụng V = abc ��
�= 16 2 thì sai vì dấu '' = '' không xảy
�
�
� 3 �
�
ra.
Câu hỏi tương tự. Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả ác cạnh bằng
32 và độ dài đường chéo bằng 2 6. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối hộp
chữ nhật đã cho. ĐS: Vmax = 16.
Câu 138*. Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương bằng a + b+ c .
● Hình hộp chữ nhật có: V = abc và Stp = 2( ab+ ac+ bc) .
3

2

● Hình lập phương có: V ' = ( a+ b+ c) và S 'tp = 6( a + b+ c) .
2

Suy ra S =


�
�= 32�
�.
�
�
�
a2
a a �
a a�

�b
�
3
=x
�
( x + y +1)
�a
3
��
�( x + y +1) = 32xy � xy =
.
Đặt �
�
�
c
32
�
=
y
�

� t3 �8( t - 1) ��
� t3 - 8t2 +16t - 8 �0��
� 2 �t �3+ 5 .

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất


Xét hàm f ( t) =

1
t2
2;3+ 5�
trên đoạn �
, ta được �max�f ( t) = f ( 4) = .
�
3
�
2;3+ 5�
10
�
t + 32t - 32
�
�

Chọn D.

uur 1 uur uur uur
� SG = SA + SB + SC
Câu 139*. Do G là trọng tâm D ABC ��

SN +
SP �
� SI = �
SM +
SN +
SP �
.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
SI
3�
SM
SN
SP
6�
SM
SN
SP
�
1�SA SB SC �
SA SB SC
+ �
= 1�

�
+
+
�
�
(
) �
�
�
�
�
�
�
�
SM SN SP �
SM 2 SN 2 SP 2 �

(

)

36
18
=
Suy ra T � 2
. Chọn C.
2
2
7
SA + SB + SC

a b c
a
b
c
�
�
1
1
1
1
1
1
1
1
1
; ; �
�++=
.
.
1.
( a)
( a) : .
�
Vì I �
�
�
�
�
6 3 2�
6 a 3 b 2 c

�
�
�
�
6 a 3 b 2 c� �
6
3
2 ��
a
b
c �
SK
Câu 140*. Gọi a =
( 0 �a �1) .
SC
Vì mặt phẳng ( a ) di động đi qua các điểm M , N và cắt các cạnh SC, SD lần
lượt tại hai điểm phân biệt K , Q nên ta có đẳng thức

SA SC
SB SD
+
=
+
SM SK
SN SQ

1 3 SD
SQ
2a
��

4a
2 �
2a
1
�
�
= �
.
+
.
.
= �
= .
�
�
� .
� �
�
�
�
2�SA SB SC SA SC SD � 2�3 a + 2�
3 a+ 2

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất


Xét hàm f ( a) =

2a