[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế
SĐT. 0935.785.115 Địa chỉ: 116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế

I – PHƯƠNG PHÁP
Kết quả 1: Cho tam giác OAB , trên cạnh OA chọn A ' �0 , trên cạnh OB chọn B ' �0 .

Lúc đó:

SOA ' B ' OA ' OB '

�
SOAB
OA OB

Chứng minh:
Gọi H , H ' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và A ' lên
OB

Lúc đó: S0 A ' B ' 

1
1
A ' H '.OB ' và SOAB  AH .OB
2
2

mp  SBC  .
Lúc đó:
VS. A ' B ' C ' 

1
1
A ' H '.SSB ' C ' và VS . ABC  AH .S SBC
3
3

Suy ra:
VS . A' B ' C ' A ' H ' S SB 'C ' SA ' SB ' SC '

�

� � (Định lý thales)
VS . ABC
AH S SBC
SA SB SC

II – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . Tỉ số thể tích khối AA ' B ' C ' và khối ABCC ' là
A. 1

B.

1
2


� Chọn đáp án A.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB, SD . Mặt phẳng

 AMN 

cắt SC tại E . Gọi V2 là thể tích của khối chóp S . AMEN và V1 là thể tích khối chóp S . ABCD .

Khẳng định nào sau đây là đúng?
1
A. V2  V1
3
Lời giải

1
B. V2  V1
4

1
C. V2  V1
8

1

�
2
Ta có :

VS . AMEN 2VS . AME SA SM SE 1 1 1

� �  �
VS . ABCD 2VS . ABC SA SB SC 2 3 6

1
1
� VS . AMEN  VS . ABCD hay V2  V1
6
6

� Chọn đáp án D.

uuur
uuur
Ví dụ 3 : Cho tứ diện đều ABCD . Điểm M là trung điểm AB và N trên cạnh CD sao cho CN  2 ND
. Tỉ số thể tích của khối ABCD và khối MNBC bằng
A. 3.

B.

3
1
. C.
2
3

� Chọn đáp án A.

Ví dụ 4 : Cho hình chóp S . ABC . Gọi M , N lần lượt thuộc các cạnh SB, SC sao cho
uuu
r
uuur
SM  MB, SN  2CN . Mặt phẳng  AMN  chia khối chóp thành hai phần, gọi V1  VS . AMN và

V2  VABCNM . Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. V1  V2

1
B. V1  V2
3

1
C. V1  V2
2

2
D. V1  V2
3

Lời giải
Ta có :

VS . AMN SM SN 1 2 1

�  �
VS . ABC

C. V2  V1
8

1
D. V2  V1
6

��
� Qua M dựng MK P BE . Xét tam giác BEC :
�MK P BE
�
. Suy ra E là trung điểm SK .
�
1
MK  MK
�
�
2
Vậy

SE 1

SC 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
Ta có:


1
D. V2  V1
6

Hình chóp C. A ' B ' C ' và lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có
đường cao và đáy bằng nhau nên
1
1
2
VC . A ' B 'C '  VABC . A ' B 'C ' � VC . ABB ' A '  V1  V1  V1
3
3
3

Do EF là đường trung bình của hình bình hành
ABB ' A ' � S ABFE 

1
1
S ABB ' A ' � VC . ABB ' A '  V1
2
3

1
hay V2  V1 � Chọn đáp án A.
3

Ví dụ 7: Cho hình chóp S . ABC , trên AB, BC , SC lần lượt lấy các điểm M , N , P sao cho

AM  2 MB, BN  4 NC , SP  PC . Tỉ lệ thể tích hai khối chóp S .BMN và A.CPN là:

[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
+

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

VA.CPN VC . ANP CA CN CP 1 1 1


� �  �
VS . ABC VC . ABS CA CB CS 5 2 10

�

VS .BMN
4 1 8
 � 
VA.CNP 15 10 3

� Chọn đáp án C.
Ví dụ 8: (Đề minh họa Bộ GD&ĐT) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc
với nhau; AB  6a, AC  7 a và AD  4a . Gọi M , N , P tương ứng là trung điểm các cạnh BC , CD, DB.
Tính thể tích V của tứ diện AMNP
A. V 

7 3
a
2

B. V  14a 3


4
9

B.

4
7

C.

5
7

D.

3
7

Lời giải
Do S ABD  S A ' B 'D' � S MND ' C ' B '  S B ' C ' D '  SMND ' B '
 S ABD  S MND ' B '

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
Mặt khác ta có:

S A ' MN 1
3

1
d  A ';  ABCD   .S ABD
3

1
d  O;  A ' B ' C ' D '   .S MND 'C ' B '
3

4
� Chọn đáp án B.
7

Ví dụ 10: Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt đáy, SA  a, ABC đều cạnh 2a . Gọi M , N
uuu
r
uuur
lần lượt thuộc các cạnh SB, SC sao cho SM  MB, SN  2CN . Tính thể tích khối AMNCB.
A.

2 3a 3
9

B.

3a 3
9

C.

4 3a 3


1
2
2 3a 3
 VS . ABC � VABCNM  VS . ABC 
3
3
9

� Chọn đáp án A.
Ví dụ 11: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm cạnh SA .Mặt phẳng



qua M và song song với  ABCD  , cắt các cạnh SB, SC , SD lần lượt tại N , P, Q . Gọi V1  VS . ABCD

và V2  VS . MNPQ . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. V1  8V2

B. V1  6V2

C. V1  16V2

D. V1  4V2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]


AM và song song với BD , cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại N , P . Gọi V1  VS . ANMP và

V2  VABCDPMN .Khẳng định nào sau đây đúng?
A. V2  3V1

3
B. V2  V1
2

C. V2  2V1

7
D. V2  V1
2

Lời giải
Gọi BD �AC   O ; AM �SO   I  là
trọng tâm SAC và SBD . Qua I dựng

PN PBD � Thiết diện là tứ giác ANMP .
Ta có:

V1
VS . ABCD



2VS . ANM SN SM 2 1 1

�  �

16

B.

2a 3
48

C.

2a 3
16

D.

2a 3
32

Lời giải
Ta có

VS .MNP SM SN SP 1 2 3 1

� �  �� 
VS . ABC
SA SB SC 2 3 4 4

1
1
� VS .MNP  VS . ABC  VS . ABCD
4

Chọn đáp án D.
�

16 6
32

Ví dụ 14: Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . Gọi V1  VA. A' B ' C ' và V2  VABC . A ' B 'C ' . Khẳng định nào sau đây
đúng?
3
A. V1  V2
4
Lời giải

1
B. V1  V2
2

1
C. V1  V2
3

2
D. V1  V2
3

1
Ta có: VA. A' B ' C '  d  A;  A ' B ' C '   .S A ' B 'C '
3

Và VABC . A ' B 'C '  d  A;  A ' B ' C '  .S A ' B 'C '

3

Do AA ' P BCC ' B '  � VM . BCC ' B '  VA.BCC ' B '
1
2
Ta có : VA. A' B 'C '  VABC . A' B ' C ' � VA. BCC ' B '  VABC. A' B ' C '
3
3

Suy ra:

V1 2
 � Chọn đáp án D.
V2 3

Nhận xét: Điểm M có vẻ như có thể nằm bất kì trên đường thẳng AA ' ? Kết quả tỉ số thể tích trên vẫn
đúng!
Ví dụ 16: Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' .Gọi V1  VBACB ' và V2  VABCD. A ' B ' C ' D ' . Khẳng định nào sau đây
đúng?
5
A. V1  V2
9
Lời giải

1
B. V1  V2
6

1
C. V1  V2


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
A. V1 

5
1
V2 B. V1  V2
12
6

C. V1 

Luyện thi THPT Quốc gia 2018
1
V2
12

2
D. V1  V2
3

Lời giải
Ta có:
1
1 1
1
VMBCB '  VABCB '  �VABCD. A ' B 'C ' D '  VABCD. A ' B 'C ' D '

S ADE AD AE 2 2 4

�  �
S ABC AB AC 3 3 9

Mặt khác:
1
1
4
VA ' ADE  d  A ';  ADE   .S ADE  d  A ';  ABC   � S ABC
3
3
9


4
4
d  A ';  ABC   .S ABC  VABC . A ' B ' C '
27
27

� VA ' B 'C 'CEDB 

23
VA ' ADE
4
VABC . A ' B 'C ' �

27
VA ' B 'C ' CEDB 23

4
5

Lời giải
Đặt

SC '
 x;  0  x  1
SC

Ta có :
VS . AD 'C ' SD ' SC '
x2

�  x 2 � VS . AD ' C '  x 2VS . ADC  VS . ABCD .
VS . ADC
SD SC
2
Và

VS . ABC ' SC '
x

 x � VS . ABC '  xVS . ABC  VS . ABCD .
VS . ABC
SC
2

� VS . ABC ' D '  VS . ABC '  VS . AC ' D ' 



2V
3V
D.
3
4

Lời giải
Hình hộp đã cho là hợp của khối chóp đang xét với 4
khối chóp A '. AB ' D '; B. AB ' C; C '.B ' CD '; D. ACD ' ; 4
khối cuối này cùng có thể tích bằng

cần tìm bằng V 

V
nên thể tích
6

4V V
� Chọn đáp án A.

6
3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

B.

1
6

C.

1
4

V1
�
V2

D.

1
2

Lời giải
Ta có:
S ABM 

1
AD 1
1
�
AB �  �
S ABCD � VS . ABM  VS . ABCD .
2

3

Lời giải
Thể tích khối bát diện đã cho là
1
V  2VA ' B 'C ' BC  2.4VA '.SBC  8 �.SG.SSBC .
3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

�  600 .
Ta có:  SA;  ABC    SAG
�  SG � SG  SA.tan SAG
� a .
Xét SGA vuông tại G : tan SAG
SA
1
1
3a 2 2 3a 3
Vậy V  8 ��
SG.S ABC  8 ���
a

3
3

A. V1  V2
4

1
B. V1  V2
2

1
C. V1  V2
3

2
D. V1  V2
3

Câu 3. Cho tứ diện ABCD . Gọi B ' và C ' lần lượt là trung điểm của AB và AC . Khi đó tỉ số thể tích
của khối tứ diện AB ' C ' D và khối tứ diện ABCD bằng
A.

1
2

B.

1
4

C.

1


Câu 6. Cho hình chóp S . ABC có A ' và B ' lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB . Tỉ số thể tích
VS . ABC
bằng:
VS . A ' B ' C '

A.

1
2

B.

1
4

C. 4

D.2

Câu 7. Cho hình chóp S . ABC . Gọi A ' và B ' lần lượt là trung điểm của SA và SASB . Khi đó tỉ số thể
tích của hai khối chóp S . A ' B ' C và S . ABC bằng:
A.

1
2

B.

1


1
16

Câu 9. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB ' D ' và khối hộp
ABCD. A ' B ' C ' D ' bằng:

A.

1
2

B.

1
4

C.

1
4

D.

1
6

Câu 10. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , gọi O là giao điểm của AC và BD . Tỉ số thể tích của khối
chóp O. A ' B ' C 'D' và khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' bằng:
A.

1
2

B.

1
4

C.

1
6

D.

1
8

Câu 12. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông tâm O . Khi đó, tỉ số

A.

1
2

B.

1
4



A.

VA. ABC
bằng
VS . ABCD

VS .OAB
bằng
VS . ABC

1
8

Câu 14. Cho tứ diện SABC . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , AC . Gọi
V1  VS . ABC , V2  VS .MNP .Lựa chọn kết luận đúng trong các kết luận sau:
A. V1  2V2

B. V1  8V2

C. V1  4V2

D. V1  6V2

Câu 15. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
SA và SB . Tính tỉ số thể tích

A.

1

D.12

Câu 17. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a . Tính thể tích khối tứ diện ACD ' B ' .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
A.

a3
2a 3
B.
3
3

C.

a3
4

D.

Luyện thi THPT Quốc gia 2018
6a 3
4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất