Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG

VẤN ĐỀ 7: TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.
1. Phương pháp giải.
Để xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng ta dựa vào nhận xét sau:
�x = x0 + at
, t �R ( hoặc D : x - x0 = y - y0 ) có dạng
 Điểm A thuộc đường thẳng D : �
�
�
a
b
�y = y0 + bt
A ( x0 + at; y0 + bt )
� - at - c �
�
t;
�
 Điểm A thuộc đường thẳng D : ax + by + c = 0 (ĐK: a2 + b2 � 0) có dạng A �
�
�với
�
b �
�
�
- bt - c �
;t �
�
b � 0 hoặc A �
�


Thay lần lượt tọa độ của các điểm A, B, C , D thấy chỉ có D  3; 2  thỏa mãn.  Chọn D.
Câu 2:

Câu 3:

Tọa độ giao điểm của đường thẳng 5 x  2 y  10  0 và trục hoành là:
A.  2;0  .
B.  0;5  .
C.  2;0  .

D.  0; 2  .

Hướng dẫn giải
Thay y  0 vào phương trình đường thẳng ta có: 5 x  2.0  10  0 � x  2
 Chọn A .
Giao điểm của hai đường thẳng 7 x  3 y  16  0 và x  10  0 là điểm có tọa độ
A.  10; 18  .
B.  10;18  .
C.  10;18  .
D.  10; 18  .
Hướng dẫn giải

Ta có: x  10 thay vào phương trình đường thẳng ta có: 7.  10   3 y  16  0 � y  18
 Chọn A .
Câu 4:

Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng  d1  :
A.  2; 1 .


�y  1
 Chọn D .
Câu 5:

�x  12  5t
Cho đường thẳng d : �
. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d ?
�y  3  6t

24 | H H 1 0 - C 3

BÀI TẬP


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG

A.  13;33 .

B.  20;9  .

C.  7;5  .

D.  12; 0  .

Hướng dẫn giải
 Chọn A.
Câu 6:

�x  3  4t

,  d 2 : 2 x  3 y  19  0
y

55

5
t
�

Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng d1 : �
A.  2;5  .

B.  10; 25  .

C.  1;7  .

D.  2;5  .

Hướng dẫn giải
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d1 và d 2 là nghiệm của hệ phương trình:
�x  22  2t
�
� 2.  22  2t   3  55  5t   19  0 � t  10
�y  55  5t
�
2x  3y  19  0
�
Suy ra toạ độ giao điểm là  2;5  .
Câu 8:


�y  5
��
Giải hệ: �
.
�x  0
�x  0
Vậy tọa độ giao điểm của  :15 x  2 y  10  0 và trục tung Oy là  0; 5  .

 Chọn C.

Câu 10: Khoảng cách từ điểm M (1 ; 1) đến đường thẳng  :   3 x  4 y  17  0 là:
A.

2
.
5

B.

10
.
5

C. 2.

D. 

18
.
5

C.  0;2  .
D.  0; – 2  .
Hướng dẫn giải
uuur
r
Đường thẳng AB đi qua điểm A  –2;0  và có vtcp AB   3; 4  , vtpt n   4;  3
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AB : 4 x  3 y  8  0 .
r
r
Đường thẳng d . đi qua điểm M  0; 2  và có vtcp u   1;  1 , vtpt p   1;  1
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d : x  y  2  0 .
Gọi K là giao điểm của đường thẳng d và AB .
�4 x  3 y  8  0
�x  2
��
� K  2;0  �A
Tọa độ điểm K thỏa hệ phương trình �
�x  y  2  0
�y  0
 Chọn B.

�x  1  2t
. Tìm một điểm M trên d và cách A một khoảng
�y  t

Câu 12: Cho điểm A(0;1) và đường thẳng d : �
bằng 10 ?
A.



A.  2; 1 .

B.  2; 1 .

C.  2;1 .

D.  2;1 .

Hướng dẫn giải
M � � M (t;1  t ).
�
t  2 � M  2; 1
2
2
2
Ta có : MN  5 :  1  t   (2  t )  25 � 2t  6t  20  0 � �
t  5 � M  5;6 
�
 Chọn A
Câu 14: Cho đường thẳng  :  21x  11 y  10  0 . Trong các điểm M (21 ; 3), N  0 ; 4  , P  19 ; 2  ,

Q  1 ; 5  điểm nào cách xa đường thẳng  nhất ?
A. N .
B. M .
C. P .
Hướng dẫn giải

26 | H H 1 0 - C 3

D. Q .


562
431
562

212   11

; d ( N ; ) 

2

21.1  11.5  10
212   11

2





54
562
44
562

Vậy điểm M cách xa đường thẳng  nhất.
 Chọn B.
Câu 15: Cho 4 điểm A(0 ; 2), B ( 1 ; 0), C (0 ; 4), D (2 ; 0) . Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường
thẳng AB và CD



D. ( 2  ; 0).

Hướng dẫn giải

Ta có : M �Ox � M  x;0 

d ( M ; 1 )  d ( M ;  2 ) �

C.  1 ; 0  .

3x  6
13



3 x  6  3 x  3(vn)
�
��
1
�
3 x  6  3x  3 � x 
13
�
2

3x  3

�1 �
Vậy M � ;0 �.

0;  �.  Chọn A.
4
� 4�

Câu 18: Tam giác ABC đều có A(1; 3) và đường cao BB�
: 5 x  3 y  15  0 . Tọa độ đỉnh C là:
128 36 �
128 36 � C. �
128 36 �D.
� 128 36 �
A. C �
B. C �
.

; �
.
C � ; �
.
C�

; �
.
� ; �
�
17 �
�17 17 �
� 17 17 �
�17
� 17 17 �
Hướng dẫn giải

�
;
�
A. A1 ( 4;0)
B. A2 �
�
�
�
�25 25 �

Suy ra C (

�
- 28 - 96�
�
;
�
C. A1 ( 4;0) và A2 �
�
�
�
�25 25 �

D. A1 ( 0;- 3)

b) Tìm điểm B thuộc D và cách đều hai điểm E ( 5;0) , F ( 3;- 2)
�
- 28 - 96�
�
;

�
A. H ( 4;0)
B. H ( 0;- 3)
C. H �
D.
�
�
�
�
�
�
25 25�
�25 25 �
�
Lời giải
r
a) Dễ thấy M ( 0;- 3) thuộc đường thẳng D và u ( 4;3) là một vectơ chỉ phương của D nên có phương
� x = 4t
trình tham số là �
.
�
�
�y = - 3 + 3t
Điểm A thuộc D nên tọa độ của điểm A có dạng A ( 4t;- 3 + 3t ) suy ra
�t = 1
�
2
2
2
OA = 4 � ( 4t ) + ( - 3 + 3t ) = 4 � 25t - 18t - 7 = 0 � � - 7

�
�
�
7�
�7

6
7

c) Gọi H là hình chiếu của M lên D khi đó H �D nên H ( 4t;- 3 + 3t )
r
uuuu
r
Ta có u ( 4;3) là vectơ chỉ phương của D và vuông góc với HM ( 4t - 1;3t - 5) nên
uuuu
rr
19
HM .u = 0 � 4( 4t - 1) + 3( 3t - 5) = 0 � t =
25

28 | H H 1 0 - C 3

BÀI TẬP


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG

�76 18�
�

�
a  4
�

 Chọn A
VẬN DỤNG THẤP
Câu 21: Cho đường thẳng d : 2 x – 3 y  3  0  và M  8; 2  . Tọa độ của điểm M �đối xứng với M qua
d là:
A. (4;8) .
B. ( 4; 8) .
C. (4;8) .
D. (4; 8) .
Hướng dẫn giải
Ta thấy hoành độ và tung độ của điểm M �chỉ nhận một trong 2 giá trị nên ta có thể làm như
sau:
r
uuuuur
Đường thẳng d có 1 VTPT n(2; 3) , Gọi M '( x; y ) thì MM '( x  2; y  3)
uuuuur
r
M �đối xứng với M qua d nên MM '( x  2; y  3) và n(2; 3) cùng phương khi và chỉ khi
x2 y3
28  2 y

�x
2
3
3
Thay y  8 vào ta được x  4



Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG

d ( M ; AB )  1 �

� 7
�7 �
x  � M � ;0 �
4x  9  5 �
�
2
1� �
�2 �.
4 x  9  5 �
�
42  32
�
x  1 � M  1;0 
�

4x  9

 Chọn A.

Câu 23: Cho đường thẳng đi qua 2 điểm A  1; 2  , B  4;6  , tìm tọa độ điểm M thuộc Oy sao cho diện
tích MAB bằng 1 .
� 4�
0; �
. C.  0; 2  .

3

 Chọn B.

Câu 24: Toạ độ hình chiếu của M  4;1 trên đường thẳng () : x – 2 y  4  0 là :
14 17 �
�
� 14 17 �
 ; �.
C. � ; �.
D. �
�5 5 �
� 5 5�
Hướng dẫn giải
r
Đường thẳng () có 1 VTPT n(1; 2) , Gọi H (2t  4; t ) là hình chiếu của M  4;1 trên đường
uuuu
r
thẳng () thì MH (2t  8; t  1)
uuuur
r
H (2t  4; t ) là hình chiếu của M  4;1 trên đường thẳng () nên MH (2t  8; t  1) và n(2; 3)

A. (14; 19 ) .

B. (2;3 ) .

cùng phương khi và chỉ khi

2t  8 t  1

� 8 5 � �52 50 �
, B � ; �hoặc A �
 ; �
, B � ; �.
B. A � ; �
12 12 �
�11 11 � � 11 11 �
� 12 12 � �
�52 50 � � 8 5 �
� 8 5 � �52 50 �
, B � ; �hoặc A �
 ; �
, B � ; �.
C. A � ; �
�13 13 � � 11 11 �
� 11 11 � �13 13 �
�52 50 � � 8 5 �
� 8 5 � �52 50 �
, B � ; �hoặc A �
 ; �
, B � ; �.
D. A � ; �
�11 11 � � 11 11 �
� 11 11 � �11 11 �
Lời giải
30 | H H 1 0 - C 3

BÀI TẬP




2

  3  6t   5 2t  1 và d  C ;   
2

3.  2   4.5  4
5



22
5

1
1
22
AB.d  C ;    .5 2t  1 .  11 2t  1
2
2
5

15
13
2
Diện tích tam giác ABC bằng 15 � 11 2t  1  15 � 2t  1  � � t 
hoặc t   .
12
11
11

2
MB
d sao cho
là nhỏ nhất.
�

1�

A. M �1;  �
� 2�

B. M  0; 1

C. M  2;0

�
�
16 3�
; �
D. M �
�
�
�
�5 5 �

Lời giải
uuur
uuur
M �d � M ( 2t + 2;t ) , MA ( - 2t - 2;1 - t ) , MB ( 1- 2t;4 - t ) do đó
uuur

�5 5�
�
5
Câu 27: Cho tam giác ABC vuông ở A. Biết A ( - 1;4) , B ( 1;- 4) , đường thẳng BC đi qua điểm
�7 �
K�
;2�
�
�. Tìm toạ độ đỉnh C.
�
�3 �
A. C ( - 2;4)

31 | H H 1 0 - C 3

B. C ( 3;5)

C. C ( - 2;5)
Lời giải

D. C ( - 3;4)

BÀI TẬP


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG

uuur �4 �
r

=
0
D
'
:
Câu 28: Cho hai đường thẳng
và
.
�
�
� y =t
a) Xác định tọa độ điểm đối xứng với điểm A ( - 1;0) qua đường thẳng D
A. A '( - 2;4)

B. A '( - 3;5)

C. A '( - 2;5)

D. A '( - 3;4)

b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với D ' qua D
�x = - 1 + t
�x = - 3 + 2t
�x = - 3 + 5t
�x = - 3 + t
�
�
�
A. �
B. �

�
�
�yA ' = 2yH - yA
�yA ' = 4
Vậy điểm cần tìm là A '( - 3;4)
�x = - 1 - t
5
b) Thay �
vào phương trình D ta được - 1 - t - 2t + 6 = 0 � t = suy ra giao điểm của
�
�
y
=
t
3
�
� 8 5�
- ; �
�
D và D ' là K �
�
�
�
� 3 3�
Dễ thấy điểm A thuộc đường thẳng D ' do đó đường thẳng đối xứng với D ' qua D đi qua điểm A ' và
uuuur �1 7 � 1
�x = - 3 + t
;- �
�= ( 1;- 7) nên có phương trình là �
điểm K do đó nhận A 'K = �

�
A.
43 27 .
�
C ( ;  )
� 11 11

C (2;3)
�
�
B.
43 27 .
�
C ( ;  )
� 11 11

C (7; 3)
�
�
C.
43 27 .
�
C ( ;  )
� 11 11

C (7;3)
�
�
D.
43 27 .

Phương trình đường thẳng AB : x  3 y  8  0
Điểm C � � C  2t  8; t 
t  10
�
5t  16
1
1
�
10.
 17 �
Diện tích tam giác ABC : AB.d  C ; AB   17 �
18 � C  12;10 
�
2
2
t
10
5
�

Chọn B.
VẬN DỤNG CAO
�7 5�
� 3�
�
; �
CD
,
D
3; �

�
Cách 1: Điểm I là trung điểm của CD nên �
�
�
7
�
�
�
2�
�
y
=
2
x
y
=
�
C
I
D
�
2
Vì A �D nên tọa độ điểm A có dạng A ( a;a + 1)
uuu
r uuur
Mặt khác ABCD là hình bình hành tương đương với DA, DC không cùng phương và
uuur
uuur
AB = DC


=
a
+
3
B
�

3
uuu
r uuur
a + 111
DA, DC không cùng phương khi và chỉ khi a - 3
2
�۹
a
1
2
2
r
�
Đường thẳng D là phân giác góc BAC
nhận vectơ u = ( 1;1) làm vec tơ chỉ phương nên
uuur r
uuur r
uuur r
uuur r
AB .u
AC .u
cos AB ;u = cos AC ;u � uuur r = uuur r (*)
AB u


=

13
- 2a
2
� 2a2 - 13a + 11 = 0 �
2
�
�
2
5
- a�
�
( 4 - a) + �
�
�
�
2
�
�

�a = 1
�
� 11
�
a = (l )
�
� 2


�
13
�
x=
�
�
13 17 �
�
4 �H�
; �
�
�
�
�
�
�
17
4
4�
�
�
y=
�
�
4

Gọi C ' là điểm đối xứng với C qua D thì khi đó C ' thuộc đường thẳng chứa cạnh AB và H là
�
5
�xC ' = 2xH - xC

2
�
�
y
=
5
+ 2t
�
34 | H H 1 0 - C 3

BÀI TẬP


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG

Thay x, y từ phương trình đường thẳng chứa cạnh AB vào phương trình đường thẳng D ta được
5
3
suy ra A ( 1;2)
+ t - 5 - 2t + 1 = 0 � t = 2
2
uuur
uuur
ABCD là hình bình hành nên AB = DC �

�xB - 1 = 1
�
�
�

C. A  1; 1 hoặc A  4; 5  .

D. A  1; 1 hoặc A  4;5  .
Hướng dẫn giải.

A

P

B

Q
H

D

C

N

Gọi H là giao điểm của AN và BD . Kẻ đường thẳng qua H và song song với AB , cắt AD
và BC lần lượt tại P và Q .
Đặt HP  x . Suy ra PD  x, AP  3x và HQ  3 x .
Ta có QC  x , nên MQ  x . Do đó AHP  HMQ , suy ra AH  HM .
Hơn nữa, ta cũng có AH  HM .
Do đó AM  2MH  2d  M , AN  

3 10
2


7
A. M (9; 32), M ( ; 2)
3
7
C. M (9; 32), M ( ; 2)
3

7
3

B. M (9; 32), M ( ; 2)

7
3

D. M (9;32), M ( ; 2)

Hướng dẫn giải
Viết phương trình đường AB: 4 x  3 y  4  0 và AB  5
Viết phương trình đường CD: x  4 y  17  0 và CD  17
Điểm M thuộc  có toạ độ dạng: M  (t ;3t  5) Ta tính được:

d ( M , AB ) 

13t  19
11t  37
; d ( M , CD ) 
5
17


2



có

khoảng

cách:

2.4
� t  3 �t  1
2

hay A  3; 7  �A  1;5  .Mặt khác A,C nằm về 2 phía của đường thẳng DM nên chỉ có A  1;5 
thoả mãn.

uuur

uuur

Gọi D  m; m  2  �DM thì AD   m  1;m  7  ,CD   m  3;m  1

uuur uuur
m  5 �m  1
�
�
DA.DC  0
�
��

D. D(-3;-2

Hướng dẫn giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên CD

 ABM   HBC � BM  BC � BNC  BMN
� BH  d  B, d   2 2 � BD  4
D �BD � D  m; 2  :BD  4 �  d  1  4 � d  1(L) V d  3
2

Vậy : D(3;2)

Câu 36: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đường cao AH, phân giác trong BD và trung
tuyến CM . Biết

17 �
�
H (4;1); M � ;12 �và phương trình đường thẳng BD: x + y – 5 = 0. Tìm tọa độ
�5
�

đỉnh A của tam giác ABC.

�4
�5

�
�

 ; 25 �

HH '  BD � ptHH ' : x  y  c  0
H (4;1) �HH ' � c  5
Vậy pt HH’: x –y + 5 = 0
Gọi K là giao điểm của HH’ và BD , tọa độ K thỏa hệ:

�x  y  5
� K (0;5)
�
�x  y  5
K là trung điểm HH’ � H '(4;9)

uuuur �3
�3
MH '  � ; 3 �  1; 5 
�5
�5
�
quaH '  4;9 
�
AB : �
r
VTPT
n
  5;1
�
Pt AB: 5x + y – 29 = 0

5 x  y  29
�
� B(6; 1)

D. A(2;3), B(2;3), C (2;1), D( 2; 1).
Hướng dẫn giải.
Gọi N là trung điểm CD và H là tâm hình chữ nhật AMND. Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp hình chữ
nhật AMND. Từ giả thiết, suy ra NJ//DI, do đó NJ vuông góc với AC, hay J thuộc (C) (vì AN là đường
kính của (C)). Mà MD cũng là đường kính của (C) nên JM vuông góc với JD. (1)

uuu
r
uuur
 nên D(t ; t  1) � JD(t  1; t  1), JM ( 1;3). Theo (1)
uuu
r uuur
JD.JM  0 � t  1  3t  3  0 � t  2 � D(2; 1) .

D thuộc

Gọi a là cạnh hình vuông ABCD. Dễ thấy

a2
DM  2 5  a 
� a  4.
4
2

�x  2; y  3
2
2
�AM  2 �x  ( y  3)  4
�
��


B. B(–5; –4).

C. B(5; –4).
Hướng dẫn giải

D. B(5; 4).

Gọi D ' là điểm trên cạnh BC sao cho CD '  MN .
Ta có MNCD ' là hình bình hành

38 | H H 1 0 - C 3

BÀI TẬP


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG

� MD '  CN  AM � AMD ' cân tại M .

  MD'A =  MAD' = D'AC
 AD' là phân giác của góc A  D' trùng D. CA qua C và song song MD
uuuu
r

 CA có vectơ chỉ phương là MD = (4; –1)
�x  5 4t
.
�y  2 t

�
�y  4

Do đó B: �

Câu 39: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh
11 1 �
�
BC , N là điểm trên cạnh CD sao cho CN  2 ND . Giả sử M � ; �và đường thẳng AN
�2 2 �
có phương trình là 2 x – y – 3  0 . Tìm tọa độ điểm A .
A. A  1; –1 hoặc A  4; 5  .
B. A  1; –1 hoặc A  4; 5  .
C. A  1; –1 hoặc A  4; 5  .

D. A  1; –1 hoặc A  4; 5  .
Hướng dẫn giải

Gọi H là giao điểm của AN và BD . Kẻ đường thẳng qua H và song song với AB , cắt AD và BC
lần lượt tại P và Q . Đặt HP  x . Suy ra PD  x, AP  3x và HQ  3 x . Ta có QC  x , nên
MQ  x . Do đó AHP  HMQ , suy ra AH vuông góc với HM .
đồng thời ta cũng có AH  HM .

� AM  MH 2  d ( M , AN ). 2 

3 10
2

A thuộc AN : 2 x – y – 3  0 suy ra A  t ; 2t – 3
2

B. D  4;1 hoặc D  –8;7 
C. D  4;1 hoặc D  –8;7 

D. D  4;1 hoặc D  –8;7 
Hướng dẫn giải
r

Đường thẳng AC đi qua điểm H  –3; 2  và vuông góc với BD : x  2 y – 6  0 , nhận nAC  2; –1
làm vector pháp tuyến. Suy ra AC có phương trình 2  x  3 – y  2  0 hay 2 x – y  8  0 .
Tọa độ của I thỏa mãn: x  2 y – 6  0 và 2 x – y  8  0 .

� x  –2 và y  4 � I  –2; 4  .
Mặt khác IB  IC và IB vuông góc với IC � IBC vuông cân tại I .
mà BH vuông góc với AD nên BH vuông góc với BC .
Suy ra BCH vuông cân tại B . Khi đó IC  IH  IB .

I là trung điểm HC � C  –1; 6  .
IH  IB  IC  5 ; mà

IC IB BC 1


 � ID  3.IB  3 5 .
IA ID AD 3

vì D thuộc BD nên D  6 – 2t; t  .
Do đó ID ²  45 �  8 – 2t  ²   t – 4  ²  45 � t ² – 8t  7  0 � t  1 hoặc t  7 .

Vậy D  4;1 hoặc D  –8; 7  .