SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THỪA THIÊN HUẾ
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VINH XUÂN
------------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MÔN: TOÁN HỌC

Đề tài:
“TÌM TỌA ĐỘ TIẾP ĐIỂM, BIẾT TIẾP TUYẾN TẠI
ĐIỂM ĐÓ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC”

Họ và tên: ĐỖ VĂN SƠN
Tổ Toán

Chức vụ: Phó bí thư Đoàn Trường
Đơn vị : Trường THPT Vinh Xuân

Vinh Xuân, tháng 3 năm 2014
MỤC LỤC
Trang
Phần A -

MỞ ĐẦU……………………………………........……......……....... 2

1. Lý do chọn đề tài
trang 1


2. Mục đích nghiên cứu đề tài
3. Phạm vi nghiên cứu đề tài
4. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số thỏa mãn một điều kiện nào đó cho trước”, mà
không biết tọa độ tiếp điểm hoặc hệ số góc k... Do đó muốn lập phương trình tiếp
tuyến thì phải tìm tọa độ tiếp điểm dựa vào điều kiện của tiếp tuyến tại điểm đó.
2. Mục đích nghiên cứu đề tài
Đề tài “Bài toán “Tìm tọa độ tiếp điểm, biết tiếp tuyến tại điểm đó thỏa mãn
điều kiện cho trước”, là bài toán ngược của bài toán viết phương trình tiếp tuyến tại
điểm cho trước.
Bài toán này là cơ sở để lập phương trình tiếp tuyến một cách dễ dàng khi biết
tiếp điểm của nó. Nhằm khắc sâu và nắm chắt lý thuyết về vấn đề tiếp tuyến cho học
sinh và giúp cho học sinh khối 12 thi vào các trường đại học cao đẳng khi gặp bài
toán này.
3. Phạm vi nghiên cứu đề tài
-

Chương trình toán trung học phổ thông

-

Các bài toán thi đại học của các năm trước.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Chuyên đề “Tìm tọa độ tiếp điểm, biết tiếp tuyến tại điểm đó thỏa mãn điều kiện cho
trước”, cung cấp cho học sinh về phương pháp, kỹ năng và hệ thống các bài tập để
chuẩn bị kỷ về kiến thức lập phương trình tiếp tuyến.
5. Phương pháp nghiên cứu đề tài
Đề tài được nghiên cứu bằng phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết.
trang 3


PHẦN B . NỘI DUNG


1.2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Định lí:
Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C)
tại điểm M(x0; f(x0)).

(Đại số&Giải tích 11, trang 151, nxb GD 2007)

1.3Phương trình tiếp tuyến
Định lí:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y=f(x) tại điểm M(x0; f(x0)
là y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) trong đó y0= f(x0)
(Đại số&Giải tích 11, trang 152, nxb GD 2007)
Lưu ý:
Nếu tiếp tuyến M0T cắt hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A và B thì hệ số góc của tiếp
tuyến M0T là k = tan ϕ .Với ϕ là góc tạo bởi trục Ox và tiếp tuyến M0T theo chiều dương.

trang 4

x


2. MỘT SỐ BÀI TOÁN “ TÌM TỌA ĐỘ TIẾP ĐIỂM, BIẾT TIẾP TUYẾN TẠI
ĐIỂM ĐÓ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC”
Cho hàm số y = f ( x ) ( y = f ( x ) là hàm số bậc ba hoặc hàm nhất biến ) có đồ thị (C).
Tìm tọa độ tiếp điểm M của đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến tại M thỏa mãn một trong các
điều kiện sau:
2.1 - Cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại hai điểm A và B sao cho OB = nOA , n ∈ ¡ + .
2.2 - Cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB vuông
cân.

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k = f '( x0 ) = 3x0 − 6 x0

Cách 1: Vì tiếp tuyến tại M cắt trục Ox, Oy tại A và B sao cho OB = 9OA ⇒

OB
=9
OA

nên hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k = 9 hoặc k = −9
3 x02 − 6 x0 = 9
3 x02 − 6 x0 − 9 = 0
⇔ 2
ta có  2
3
x
−
6
x
=
−
9
0
 0
3 x0 − 6 x0 + 9 = 0

 x = −1 ⇒ y = −2
⇔
vô nghiêm
x = 3 ⇒ y = 2


k = 9
9
⇔
Với 1 − = 0 ⇔ k = 9 ⇔ 
k
=
−
9
k


3 x02 − 6 x0 = 9
 2
3 x0 − 6 x0 = −9

3 x02 − 6 x0 − 9 = 0
⇔ 2
3 x0 − 6 x0 + 9 = 0

 x = −1 ⇒ y = −2
⇔
vô nghiêm
x = 3 ⇒ y = 2

Vậy có hai tọa độ tiếp điểm M (−1; −2) hoặc M (3;2)
trang 6


Ví dụ 2: Cho hàm số y =



−1
1
2 < 0 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = −
( x0 − 1)
4

5

x
=
3
⇒
y
=

−1
1
2
2
=
−
⇔
x
−
1
=
4
⇔
(

k
k

 kx0 − y0 = 0
1

⇔ kx0 − y0 . − 4 ÷ = 0 ⇔  1
 −4=0
k

 k
Với kx0 − y0 = 0 ⇔ y0 = kx0 ⇒ phương trình tiếp tuyến d : y = kx loại vì A,B phân biệt

trang 7


1

k =−

1
1
4
−4=0⇔ k = ⇔ 
Với
k
4
k = 1

4

Vậy có hai tọa độ tiếp điểm M  3; ÷hoặc M  −1; ÷
2
 2

Ví dụ 3: Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y =

x+2
, biết tiếp tuyến
2x + 3

của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB
cân tại gốc tọa độ O.
x0 + 2
 3
Giải: Ta có TXĐ: D=Ρ\ −  , Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C) nên y0 =
2 x0 + 3
 2
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k = y '( x0 ) =

−1
2
( 2 x0 + 3)

Vì tiếp tuyến tại M cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A và B sao cho tam giác
OAB vuông cân tại gốc tọa độ O suy ra OA = OB nên hệ số góc tiếp tuyến k = 1

hoặc k = −1 , nhưng y '( x0 ) =
Ta có phương trình

−1

2x 
Giải: TXĐ: D=Ρ\ { −1} , Gọi M  x0 ; 0 ÷∈ (C).
 x 0 +1 
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k = y '( x0 ) =

2

( x0 + 1)

2

2
2 x02
Phương trình tiếp tuyến tại M là d : y =
2 x+
2
( x0 + 1)
( x0 + 1)

2 x02 
2
B
0;
A
−
x
;0
Mà d cắt trục Ox tại ( 0 ) và cắt trục Oy tại 
2 ÷
÷

2 x04
2 x04

> 0 nên hệ số góc của tiếp tuyến k =

2

( x0 + 1)

2

=

1
2 x04

1
2
1
2
⇔
= 4 ⇔ 4 x04 = ( x0 + 1)
2
4
2 x0
( x0 + 1) 2 x0

 x0 = 1 ⇒ y0 = 1
 2 x02 − x0 − 1 = 0
⇔ 2

= ⇔ 4 x04 = ( x0 + 1)
⇔ OA.OB = ⇔ x0 .
2
2
( x0 + 1) 2
 2 x02 − x0 − 1 = 0
⇔ 2
 2 x0 + x0 + 1 = 0 vô nghiêm

 x0 = 1, y ( 1) = 1

⇔
−1  1 
x0 = , y  − ÷ = −2

2
 2

 1

Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là M (1;1); M  − ; −2 ÷.
 2

Ví dụ 5: Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y =

2x −1
, biết tiếp tuyến
x −1

của (C) tại M tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.

−1
2 x0 − 1
2 ( x − x0 ) +
x0 − 1
( x0 − 1)

 2 x0 
Ta có d cắt tiệm cận đứng x = 1 tại A  1;
÷ và cắt tiệm cận ngang y = 2 tại
 x 0 −1 
B ( 2 x 0 −1;2 ) , giao điểm của hai tiệm cận I ( 1;2 )
2

và IA = x − 1 , IB = 2 x0 − 1 ⇒ IA.IB = 4
0
Chu vi của tam giác IAB là p = AB + IA + IB = IA2 + IB 2 + IA + IB ≥ 2 2 + 4
 x0 = 2
 x0 = 0

2
Để chu vi nhỏ nhất là p = 2 2 + 4 đạt được khi IA = IB ⇔ ( x0 − 1) = 1 ⇔ 

Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là M ( 2;3) ; M (0;1)
trang 10


Ví dụ 6: Cho điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) của hàm số y =

2x − 3
, biết tiếp tuyến

y = 2 tại B ( 2 x 0 −2;2 ) , giao điểm của hai tiệm cận I ( 2;2 ) .
 x A + xB 2 + 2 x0 − 2
= x0 = xM
 2 =
2
Ta có  y + y 2 x − 3
suy ra M là trung điểm AB
B
 A
= 0
= y0 = y M
x 0 −2
 2

Mặt khác ∆IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có tâm là M và
bán kính IM, nên diện tích đường tròn ngoại tếp tam giác IAB là
2



 2 x0 − 3
 
1
2
2
S = π IM = π ( x0 − 2 ) + 
− 2 ÷  = π ( x0 − 2 ) +
≥ 2π
2



tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A và B sao cho AB ngắn nhất.
Giải: Ta có TXĐ: D=Ρ\ { 2}
−1
 x0 − 1 
Gọi M  x0 ;
÷∈ (C), hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k = y '( x0 ) = x − 2 2
( 0 )
 x 0 −2 

Phương trình tiếp tuyến tại M là ∆ : y =

−1
x0 − 1
2 ( x − x0 ) +
x0 − 2
( x0 − 2 )


x0 
Tiếp tuyến ∆ cắt tiệm cận đứng x = 2 tại A  2;
÷ và cắt tiệm cận ngang y = 1
 x 0 −2 

tại B ( 2 x 0 −2;1) , ta có AB = ( 2 x0 − 4 ) +
2

4

( x0 − 2 )


2

 x0 = 1 ⇒ y0 = 0
4
⇒ ( x0 − 2 ) = 1 ⇔ 
 x0 = 3 ⇒ y0 = 2

Vậy có hai tọa độ điểm M cần tìm là M ( 1;0 ) ; M (3;2)
1 3
2
Ví dụ 8: Cho hàm số y = f ( x) = − x + 2 x − 5 x + 1 có đồ thị (C). Tìm trên (C) những
3
điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) tạo với đường thẳng d : y = 3 x + 1 một góc bằng
450 .
1 3
2
Giải: Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C), với y0 = − x0 + 2 x0 − 5 x0 + 1
3
2
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là f '( x0 ) = − x0 + 4 x0 − 5

Phương trình tiếp tuyến tại M là ∆ : y = k ( x − x0 ) + y0 ⇔ kx − y + y0 − x0 k = 0
Góc hợp bởi ∆ và đường thẳng d một góc 450
0
ta có cos45 =

3.k + 1
10. k 2 + 1


 x0 = 3 ⇒ y0 = −5
2
0

k=

2
0

1
1
⇔ − x02 + 4 x0 − 5 = ⇔ 2 x02 − 8 x0 + 11 = 0 vô nghiệm
2
2

7

Vây có hai tọa độ điểm M thảo mãn là M 1; − ÷; M ( 3; −5 )
3


Ví dụ 9: Cho hàm số y =

x +1
có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp
x −1

tuyến tại M của (C) tạo với đường thẳng d : y = 3 x + 1 một góc bằng 450 .
Giải: Ta có TXĐ: D=Ρ\ { 1} , Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C), với y0 =
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k = y '( x0 ) =

 k = −2
⇔ 2k + 3k − 2 = 0 ⇔ 
1
k =
(loai vì k < 0)

2
2

Với k = −2 ⇔

 x0 = 2 ⇒ y0 = 3
−2
2
=
−
2
⇔
x
−
1
=
1
⇔
(
)
2
0
 x = 0 ⇒ y = −1
( x0 − 1)

Khi đó tiếp tuyến tại M có dạng y − y0 = y ' ( x0 ) ( x − x0 )
ur

⇔ y ' ( x0 ) x − y + y0 − y ' ( x0 ) .x0 = 0 có vec-tơ pháp tuyến n1 = ( y ' ( x0 ) ; −1)
r uu
r
r ur
Đường thẳng IM vuông góc với tiếp tuyến ⇔ n ⊥ n1 ⇔ n.n1 = 0
⇔

( 2 − y0 ) . y ' ( x0 ) + ( −1) ( x0 − 1) = 0

⇔

( x0 − 1)

4

=1

⇔

 x0 = 0, y ( 0 ) = 1

 x0 = 2, y ( 2 ) = 3

Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là M1(0;1), M2(2;3) .
Ví dụ 11: Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị (C) của hàm số
y=


trang 14



2 x0 − 4 
Tiếp tuyến ∆ cắt tiệm cận đứng x = −1 tại A  −1;
÷, cắt tiệm cận ngang
x 0 +1 


y = 2 tại B ( 2 x 0 +1;2 ) và giao điểm của hai tiệm cận I ( −1; 2 ) .
2
2
Theo giả thiết IA + IB = 40 ⇔

36

+ 4 ( x0 + 1) = 40
2

( x0 + 1)

2

( x0 + 1) 2 = 1
⇔ 4 ( x0 + 1) − 40 ( x0 + 1) + 36 = 0 ⇔ 
( x0 + 1) 2 = 9
4

+Với

5.1Cho hàm số y =

2x −1
có đồ thị (C) .Tìm tọa độ tiếp điểm của M của đồ thị (C) biết
x −1

rằng tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho
OA = 4OB , với O là gốc tọa độ.
5.2Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y =

2x
, biết tiếp tuyến của (C) tại
x+2

M cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
1
.
18
5.3 Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị (C) của hàm số y =

2x −1
. Tìm
x −1

tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận tại A
và B sao cho tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất.
2x − 3
5.4 Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp
x−2

………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
Xếp loại: ……………………………………………………………………
Vinh Xuân, ngày …..tháng ..….năm …..…
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

PHẦN ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG
XÉT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỞ GD&ĐT THỪA THIÊN HUẾ
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………

trang 18