TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG III
CHỦ ĐỀ 1.1 Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ thỏa mãn điều kiện cho trước.
MỨC ĐỘ 2
Câu 1.

[2H3-1.1-2] [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai
r
r
r
r r r r
véc tơ a = (3; 0; 2) , c = (1; −1; 0) . Tìm tọa độ của véc tơ b thỏa mãn biểu thức 2b − a + 4c = 0 .
−1
−1
1
−1
A. ( ; 2;1) .
B. ( ; 2; −1) .
C. ( ; −2; −1) .
D. ( ; −2;1) .
2
2
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn A.
r 1r r
1

Câu 3.

[2H3-1.1-2] [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba
điểm A ( 2; −1;5 ) , B ( 5; −5;7 ) và M (x; y;1) . Với giá trị nào của x và y thì 3 điểm A, B, M
thẳng hàng?
A. x = 4 và y = 7 .
B. x = 4 và y = −7 .
C. x = −4 và y = 7 .
D. x = −4 và y = −7 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
uuur
uuuu
r
AB = k AM ⇒ x = −4; y = 7 .

Câu 4.

[2H3-1.1-2] [THPT Ngô Sĩ Liên lần 3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tam giác ABC
có A ( 1; 2;3) , B ( 2;1;0 ) và trọng tâm G ( 2;1;3) . Tọa độ của đỉnh C là.
A. C ( 1; 2;0 ) .

B. C ( −3; 0; −6 ) .

C. C ( 3; 0; 6 ) .

D. C ( 3; 2;1) .

Hướng dẫn giải
Chọn C.

TRANG 1


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Hướng dẫn giải
Chọn B.
x − 2 y = 4
x = 2
ur
r
r
r


d = x.a + y.b + z.c ⇔ 2 x + 3 y + z = 2 ⇔  y = −1 .
 x + 4 y + 2z = 0
z = 1


Vậy x + y + z = 2 − 1 + 1 = 2 .
Chọn A.
Câu 6.

[2H3-1.1-2] [THPT chuyên Nguyễn trãi lần 2] Cho A ( 2;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0; 2 ) . Tập
uuur uuur uuuu
r2
hợp các điểm M trên mặt phẳng Oxy sao cho MA.MB + MC = 3 là.

A. G (−2;1;0) .
x A + xB + xC

=2
 xG =
3
 x A + xB + xC = 3xG

y + yB + yC


= −1 ⇒ G ( 2; −1;0 ) .
B. Ta có  y A + yB + yC = 3 yG ⇔  yG = A
3
 z + z + z = 3z

G
 A B C
z A + z B + zC

=0
 zG =
3

C. G (18; −9;0) .
D. G (6; −3;0) .
Hướng dẫn giải
Chọn C.

Câu 8.


[2H3-1.1-2] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho
hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Biết tọa độ các đỉnh A ( −3; 2;1) , C ( 4; 2;0 ) , B′ ( −2;1;1) , D′ ( 3;5; 4 )
. Tìm tọa độ điểm A′ của hình hộp.
A. A′ ( − 3;3;3 )

.

B. A′ ( − 3; − 3; − 3) .

C. A′ ( − 3; − 3;3) .

D. A′ ( − 3;3;1) .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi A′ ( x1 ; y1 ; z1 ) , C ′ ( x2 ; y2 ; z2 ) .
5

Tâm của hình bình hành A′B′C ′D′ là I 1;3; ÷.
2


.
 x1 + x2 = 1

Do I là trung điểm của A′C ′ nên  y1 + y2 = 6 .
z + z = 5
 1 2
uuur


Câu 10. [2H3-1.1-2] [BTN 164] Trong không gian cho ba điểm A ( 5; − 2; 0 ) , B ( −2; 3; 0 ) và
C ( 0; 2; 3) . Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ:

TRANG 3


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

A. ( 1;1;1) .

B. ( 1;1; −2 ) .

PHƯƠNG PHÁP

C. ( 1; 2;1) .

D. ( 2;0; −1) .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
 A = ( 5; −2;0 )

Ta có:  B = ( −2;3;0 ) ⇒ G = ( 1;1;1) .

C = ( 0; 2;3)
r
r
Câu 11. [2H3-1.1-2] [BTN 164] Cho a = ( −2 ;0; 1) , b = ( 1; 3; − 2 ) . Trong các khẳng định sau khẳng
định nào đúng:

*  a, b  = 
÷ = ( −3; −3; −6 ) .
3
−
2
−
2
1
1
3


r r
Vậy  a, b  = ( −3; −3; −6 ) .
Sử dụng MTCT: bấm Mode 8 máy hiện ra:

.
Bấm tiếp 1 1 (chọn chế độ nhập vectơ A trong không gian).

.
Sau đó tiếp tục nhập vectơ B, bấm mode 8 máy hiện ra:

.
Bấm tiếp 2 1 (chọn chế độ nhập vectơ B trong không gian):

TRANG 4


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN


D. 90° .

Chọn D.

rr
r r
·r r
a.b
Áp dụng công thức cos a; b = r r = 0 ⇒ a; b = 90° .
a.b

( )

( )

Câu 13. [2H3-1.1-2] [THPT chuyên KHTN lần 1] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M ( −2; 3;1) ,

N ( 5; 6; − 2 ) . Đường thẳng MN cắt mặt phẳng ( Oxz ) tại điểm A . Điểm A chia đoạn thẳng

MN theo tỉ số.
1
A. .
2

B. −2 .

1
C. − .
2
Hướng dẫn giải

tam giác A′B′C là.
A. ( 1;1; −2 )
B. ( 1; 2; −1) .
C. ( 2;1; −2 )
D. ( 2;1; −1)
.
.
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.

Gọi A′ ( a1 ; a2 ; a3 ) , B′ ( b1 ; b2 ; b3 ) , C ( c1 ; c2 ; c3 ) .
Do tính chất hình hộp ta có:
 a1 = 0
uuur uuuur

AA′ = DD′ ⇔ a2 = 0 ⇒ A′ ( 0;0; − 3) .
 a = −3
 3
b1 − 3 = 0
b1 = 3
uuur uuuur


BB′ = DD′ ⇔ b2 = 0 ⇔ b2 = 0 ⇒ B′ ( 3;0; − 3 ) .
b = −3
b = −3
 3
 3
c1 = 3


( )

( )

( )

( )

Hướng dẫn giải
Chọn B.
rr
r r
1. ( −1) + 2. ( −1) + ( −2 ) .0
a.b
−3
1
=
=−
Áp dụng công thức: cos a, b = r r = 2
.
2
2
2
2
a b
1 + 22 + ( −2 ) . ( −1) + ( −1) + 0 2 3 2

( )


2
.
5

Hướng dẫn giải
Chọn D.
r r
2
Tính  a, b  = ( t − 4; 2t + 1; 2 − t − t ) .
r r r
r r r
2
Ba vectơ a, b, c đồng phẳng ⇔  a, b  .c = 0 ⇔ t = . Vậy chọn B.
5
Câu 17. [2H3-1.1-2] [SỞ GD-ĐT ĐỒNG NAI] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm
I ( −5;0;5 ) là trung điểm của đoạn MN , biết M ( 1; −4; 7 ) . Tìm tọa độ của điểm N .

A. N ( −10; 4;3) .

B. N ( −11; −4;3) .

C. N ( −2; −2; 6 ) .

D. N ( −11; 4;3) .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
I ( −5;0;5 ) là trung điểm của đoạn MN nên ta có.
xM + xN




Câu 18. [2H3-1.1-2] [SỞ GD-ĐT ĐỒNG NAI] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm
uuuu
r uuu
r
M ( 0;1; 2 ) , N ( 7;3; 2 ) , P ( −5; − 3; 2 ) . Tìm tọa độ điểm Q thỏa mãn MN = QP .
A. Q ( −12; − 5; 2 ) .

B. Q ( −12;5; 2 ) .

C. Q ( 12;5; 2 ) .

D. Q ( −2; − 1; 2 ) .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
 xN − xM = xP − xQ
7 = −5 − xQ
 xQ = −12
uuuu
r uuur



Ta có: MN = QP ⇔  y N − yM = y P − yQ ⇔ 2 = −3 − yQ ⇔  yQ = −5 .



 z N − zM = z P − zQ


(

)

A. A ( 3;17; 2 ) .

B. A ( −3; −17; 2 ) .

C. A ( 3;5; −2 ) .

cho vectơ

D. A ( 3; − 2; 5 ) .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
uuur
r r
r r r
r r
AO = 3 i + 4 j − 2k + 5 j = 3i + 17 j − 2k ⇔ A ( −3; −17; 2 ) . .

(

)

Câu 21. [2H3-1.1-2] [THPT Nguyễn Đăng Đạo] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác

ABC có A( 0;1; 2) , B ( 1;1;1) , C ( 3;0;0) . Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là.

Ta có : 
.
a + ( b − 1) + ( c − 2 ) = ( a − 3) + b + c

 I ∈ ( ABC )
a + b + c − 3 = 0

 a − c = −1
a = 2


⇔ 6a − 2b − 4c = 4 ⇔ b = −2 .
a + b + c = 3
c = 3



r
Câu 22. [2H3-1.1-2] [THPT Ngô Gia Tự] Trong không gian Oxyz, cho 3 vecto a = ( −1;1;0 ) ,
r
r
b = ( 1;1;0 ) , c = ( 1;1;1) . Trong các mệnh đề sau mệnh đều nào đúng?
r r
6
A. cos b, c =
.
3
rr
C. ab = 1 .


b.c

( )

r r
Câu 23. [2H3-1.1-2] [THPT Lý Thái Tổ] Trong không gian Oxyz, cho a, b có độ dài lần lượt là 1 và
r r
r r
2. Biết a + b = 3 khi đó góc giữa 2 vectơ a, b là.

TRANG 8


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

B. −

A. 0 .

PHƯƠNG PHÁP

4π
.
3
Hướng dẫn giải

π
.
3


Câu 24. [2H3-1.1-2] [THPT Chuyên Hà Tĩnh] Trong không gian Oxyz , cho u = ( 1; − 2;3) ,
r
v = ( 2;3; − 1) , α là góc giữa hai vectơ. Chọn mệnh đề đúng.

B. 2 cot α + cos α = 0 .

A. 2sin α − cos α = 3 − 1 .
C. 2sin α + tan α = 0 .

D. sin α + cos α = 1 + 3 .
Hướng dẫn giải

Chọn C.

rr
r r
u.v
2−6−3
1
= − ⇒ α = 120ο .
Ta có cos α = cos u; v = r r =
2
14. 14
u.v

( )

(

)

1
2
−2

1
Lấy điểm M ( 2 + t ;1 + 2t ; −1 − 2t ) ∈ ( d ) . Theo đề, OM = 3 ⇒ t = −1 ∨ t = − .
3
5
1
1


Vậy M 1 ( 1; −1;1) ; M 2  ; ; − ÷.
 3 3 3
x −1 y + 2 z +1
=
=
Câu 26. [2H3-1.1-2] [THPT Quế Vân 2] Cho đường thẳng d :
và điểm
2
1
−3
A ( 2; −5; −6 ) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d . Tọa độ của H là.
A. H ( −1; −3; 2 )
B. H ( −3; −1; 4 ) .
C. H ( 3; −1; −4 )
D. H ( −3;1;4 )
.
.
.

C. am < 0 .
Hướng dẫn giải

D. c + p < 0 .

Chọn C.
Ta có phương trình mặt phẳng ( Oyz ) là x = 0. .
Do vậy A và B nằm về hai phía của mặt phẳng ( Oyz ) khi và chỉ khi hoành độ của điểm A và
hoành độ của điểm B trái dấu. Điều này xảy ra khi am < 0. .
Câu 28. [2H3-1.1-2] [THPT Trần Cao Vân - Khánh Hòa] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
r
r
r
ba vec tơ a = ( −1;1;0 ) , b = ( 1;1; 0 ) , c = ( 1;1;1) . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
r
r
rr
rr
A. b.c = 0 .
B. c = 3 .
C. a = 2 .
D. a.b = 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
rr
b.c = 2 .
Câu 29. [2H3-1.1-2] [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai
r
r
r

c
os(
b
, c) =
A.
.
B. a và b cùng phương.
6
rr
r r r r
C. a.c = 1 .
D. a + b + c = 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Câu 31. [2H3-1.1-2] [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba
điểm A ( 2; −1;5 ) , B ( 5; −5;7 ) và M (x; y;1) . Với giá trị nào của x và y thì 3 điểm A, B, M
thẳng hàng?
A. x = 4 và y = 7 .
B. x = 4 và y = −7 .
C. x = −4 và y = 7 .
D. x = −4 và y = −7 .
TRANG 10


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Hướng dẫn giải
Chọn C.


C. G (18; −9;0) .
D. G (6; −3;0) .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Câu 33. [2H3-1.1-2] [TTGDTX Cam Ranh - Khánh Hòa] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
hai điểm A ( 1;0;1) và B ( 4;6; −2 ) . Điểm nào thuộc đoạn AB trong 4 điểm sau?
A. P ( 7;12;5 ) .

B. M ( 2; −6; −5 ) .

C. N ( −2; −6;4 ) .

D. Q ( 2;2;0 ) .

Hướng dẫn giải
Chọn D.

uuur

uuu
r

Giả sử C thuộc đoạn AB ⇒ AC = k AB, ( 0 < k < 1) .

uuu
r

uuuu
r

. Tìm tọa độ điểm A′ của hình hộp.
TRANG 11


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

A. A′ ( − 3;3;3 )
.

PHƯƠNG PHÁP

B. A′ ( − 3; − 3; − 3) .

C. A′ ( − 3; − 3;3) .

D. A′ ( − 3;3;1) .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi A′ ( x1 ; y1 ; z1 ) , C ′ ( x2 ; y2 ; z2 ) .
5

Tâm của hình bình hành A′B′C ′D′ là I 1;3; ÷.
2


.
 x1 + x2 = 1

Do I là trung điểm của A′C ′ nên  y1 + y2 = 6 .

.
 z2 − z1 = −1  z2 = 2

Vậy A′ ( −3;3;3) .

Câu 36. [2H3-1.1-2] [BTN 164] Trong không gian cho ba điểm A ( 5; − 2; 0 ) , B ( −2; 3; 0 ) và
C ( 0; 2; 3) . Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ:
A. ( 1;1;1) .

B. ( 1;1; −2 ) .

C. ( 1; 2;1) .

D. ( 2;0; −1) .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
 A = ( 5; −2;0 )

Ta có:  B = ( −2;3;0 ) ⇒ G = ( 1;1;1) .

C = ( 0; 2;3)
r
r
Câu 37. [2H3-1.1-2] [BTN 164] Cho a = ( −2 ; 0; 1) , b = ( 1; 3; − 2 ) . Trong các khẳng định sau khẳng
định nào đúng:
r r
A.  a, b  = ( −1; − 1; 2 ) .
r r
C.  a, b  = ( 1; 1; − 2 ) .

;
;
*  a, b  = 
÷ = ( −3; −3; −6 ) .
3
−
2
−
2
1
1
3


r r
Vậy  a, b  = ( −3; −3; −6 ) .
Sử dụng MTCT: bấm Mode 8 máy hiện ra:

.
Bấm tiếp 1 1 (chọn chế độ nhập vectơ A trong không gian).

.
Sau đó tiếp tục nhập vectơ B, bấm mode 8 máy hiện ra:

.
Bấm tiếp 2 1 (chọn chế độ nhập vectơ B trong không gian):

.
Sau đó thoát ra màn hình bằng phím On, bấm Shift 5 3 để gọi vectơ A:


uuur
uuur uuur
AB = ( −4;1;1) , AC = ( −1; 2; −4 ) ; AB. AC = 4 + 2 − 4 = 2 .
Câu 39. [2H3-1.1-2] [THPT TH Cao Nguyên] Hai điểm M và M ' phân biệt và đối xứng nhau qua
mặt phẳng (Oxy ) . Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Hai điểm M và M ' có cùng tung độ và cao độ.
B. Hai điểm M và M ' có cùng hoành độ và cao độ
.
C. Hai điểm M và M ' có hoành độ đối nhau
.
D. Hai điểm M và M ' có cùng hoành độ và tung độ.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
“Hai điểm M và M ' có cùng hoành độ và tung độ” là MĐ đúng.
Câu 40. [2H3-1.1-2] [THPT Nguyễn Huệ-Huế] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba
điểm A ( 1; 2; − 1) , B ( 2; − 1; 3) , C ( −3; 5;1) . Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình
bình hành.
A. D ( −4; 8; − 3) .

B. D ( −2; 2; 5 ) .

C. D ( −4; 8; − 5 ) .

D. D ( −2; 8; − 3) .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
 x D − 1 = −5
uuur uuur


r
ur
b = ( −1; − 3;1) , c = ( 2; − 1; 4 ) . Khi đó vectơ d = ( −3; − 4; 5 ) phân tích theo ba vectơ không
r r r
đồng phẳng a , b , c là.
ur
r r r
ur
r r r
ur r r r
ur
r r r
A. d = 2a + 3b + c .
B. d = 2a + 3b − c .
C. d = a + 3b − c .
D. d = 2a − 3b − c .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
 x − y + 2 z = −3
x = 2
ur
r r r
ur
r
r
r


Giả sử ta có: d = x.a + y.b + z.c ⇔ 2 x − 3 y − z = −4 ⇔  y = 3 ⇒ d = 2a + 3b − c .
3 x + y + 4 z = 5

r
AC = ( - 2;0; - 2) Þ - AC = ( 2;0; 2)
uuur
Þ OM = ( - 2; - 6; 4) Þ M ( - 2; - 6; 4) .
Câu 44. [2H3-1.1-2] [BTN 171] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn vecto
r
r
r
r
r
r b r
a = ( 2;0;3) , b = ( −3; −18;0 ) , c = ( 2;0; −2 ) và x = 2a − + 3c . Trong các bộ số sau, bộ số nào là
3
r
tọa độ của x ?
A. ( 0; −2;3) .

B. ( −3; 2;0 ) .

C. ( 3; −2;0 ) .

D. ( 3; −2;1) .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
r
r
 2a = ( 4;0;6 )
 a = ( 2;0;3)
 r

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

A. m = −2 ∨ m = 4 .

PHƯƠNG PHÁP

B. m = 2 ∨ m = 4 .
C. m = −2 ∨ m = −4 .
Hướng dẫn giải

D. m = 2 ∨ m = −4 .

Chọn C.
r r r
a, b, c đồng phẳng
r r r
 m = −2
⇔  a, b  .c = 0 ⇔ −12 ( m − 2 ) − 2m 2 − 40 = 0 ⇔ m 2 + 6m + 8 = 0 ⇔ 
.
 m = −4
r
r
Câu 46. [2H3-1.1-2] [BTN 166] Trong không gian Oxyz , cho hai vector a = ( a1 , a2 , a3 ) , b = ( b1 , b2 , b3 )
r
r
r
r
khác 0 . Tích hữu hướng của a và b và c . Câu nào sau đây đúng?
r
r


A.

a1b1 + a2b2 + a3b3
r r
.
a.b

B.

a1b3 + a2b1 + a3b2
r r
.
a.b

C.

a1b1 + a2b2 + a3b1
r r
.
a.b

D.

a1b2 + a2b3 + a3b1
r r
.
a.b

Hướng dẫn giải

r
r
u = ( 1; − 2;1) và v = ( −2;1;1) , góc giữa hai vectơ đã cho bằng.
A.

2π
.
3

B.

π
.
3

5π
.
6
Hướng dẫn giải
C.

D.

π
.
6

Chọn A.

TRANG 16


A. 2sin α − cos α = 3 − 1 .
C. 2sin α + tan α = 0 .

D. sin α + cos α = 1 + 3 .
Hướng dẫn giải

Chọn C.

rr
r r
u.v
2−6−3
1
= − ⇒ α = 120ο .
Ta có cos α = cos u; v = r r =
2
14. 14
u.v

( )

Vậy 2sin α + tan α = 2.

(

)

3
+ − 3 =0.

5;; ÷
ç
ç
A. x = ç
.
B.
.
÷
÷
ç
ç
÷
÷
3 3ø
è3 3 ø
è
r æ 1 55ö
÷
11; ; ÷
ç
C. x = ç
÷
ç
÷.
è 3 3ø

r æ 5 53ö
÷
11; ; ÷
ç

r 1r
r æ 1 55ö
÷
x = 4a - b + 3c = ç
ç11; ; ÷
÷
÷.
ç
3
è 3 3ø
Câu 52. [2H3-1.1-2] [THPT Hai Bà Trưng- Huế] Trong không gian Oxyz , cho hai véc tơ
r
r
r
r
r
a = ( 2;1;- 2) , b = 0;- 2; 2 . Tất cả giá trị của m để hai véc tơ u = 2a + 3mb và
r
r r
v = ma - b vuông là:

(

A. ±26 + 2 .
6

)

B. 26 ± 2 .
6

PHƯƠNG PHÁP

rr
. = 0 Û 4m + 2 - 3m 2 m + 2 + - 4 + 3m 2 - 2m Khi đó: uv

(

Û 9m2 2 - 6m - 6 2 = 0 Û m =

)(

) (

)(

)

2 = 0.

± 26 + 2 .
6

Câu 53. [2H3-1.1-2] [THPT Hai Bà Trưng- Huế] Trong không gian Oxyz , cho hình hộp
ABCD.A ¢B ¢C ¢
D ¢ có A ( 1;1;- 6) , B ( 0;0;- 2) , C ( - 5;1;2) và D ¢( 2;1;- 1) . Thể tích khối hộp
đã cho bằng.
A. 19.

B. 38.


û

TRANG 18