TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG I
CHỦ ĐỀ 2.9 Tìm tham số để các điểm cực trị của ĐTHS thỏa ĐK cho trước.
MỨC ĐỘ 3
Câu 1.

Câu 2.

4
2
[2D1-2.9-3] [THPT chuyên Nguyễn trãi lần 2] Cho hàm số f  x   mx   m  1 x   m  1
. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tất cả các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã
cho nằm trên các trục tọa độ là.
1�
� 1�
� 1�
�
�1 �
1; �.
0; �� 1 .
0; 1; �.
A. �
B. �
C. �
D.  1;0 �� �.
3
� 3�
�

  m  1  0
�  m  1
�
m
�
2m
� �2m �
� 3

[2D1-2.9-3] [THPT chuyên Nguyễn trãi lần 2] Tìm m để đồ thị hàm số
y  2 x3   1  2m  x 2  3mx  m có điểm cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía với trục hoành.
��
m 4
��
�m �0
B. 0  m  4 .
C. ��
.
�m � 1
�
�
2
Hướng dẫn giải

m4
�
A. �
.
m0
�

2

��
m4
� �1 �
1 m
�
�
�
�g � ��0
�   m �0
�m  0
� � �2 �
� �4 2
� ��
..
1
�
�
�
  m 2  4m  0
�m  0; m  4
m �
�
�
�
2

TRANG 1



D. m = -

3
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn C.
 3 x 2  3m  0 � x 2  m . Để hàm số có cực trị thì m  0 .
Ta có: y �
Khi đó tọa độ 2 điểm cực trị là B



 



m ; m m  3m  1 , C  m ;  m m  3m  1 .

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là y  g  x   f  x  
Gọi M
là trung điểm
d : x  2my  2m  0 .

y��
.y �
 1  2mx .
�

�





4
4
2
Với m  0 , hs có 3 cực trị: A  0; m  2m  ; B ( m ; m 4  m 2  2m) ; C  m ; m  m  2m .

Vì AB  AC nên để tam giác ABC đều thì AB  BC � m  3 3 .
Câu 5.

[2D1-2.9-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 06] Cho hàm số y  x 3  3mx 2  4m3 .Với giá trị nào
của m để hàm số có 2 điểm cực trị A, B sao cho AB  20 .
A. m  1; m  2 .
B. m  1 .
C. m  �1 .
D. m  �2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Giải: Ta có y '  3x 2  6mx .Điều kiện để hàm số có hai cực trị là m �0 .
x 0
�
y  4m 3
�
y '  0 � �1
� �1
� A  0; 4m3  ; B  2m;0  .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có y '  4 x 3  4 m 2 x  0 � x  0, x  �m .

2
2
4
2
4
Suy ra toạ độ các điểm cực trị là A  0; m  , B  m; m  m  , C  m; m  m  .

�
m  0 l 
m2
�
��
Để bốn điểm A, B, C , O là bốn đỉnh của hình thoi thì ta cần có m  m 
2.
2
m�
�
�
2
[2D1-2.9-3] [CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP] Với giá trị nào của tham số thực m thì đồ thị
2

Câu 7.

4


y  2 x 4  3mx 2  m 4  5m 2  1 � y �
 8 x 3  6mx ; y �
0� � 2
.
4 x  3m  0  *
�
Theo yêu cầu bài toán :  * phải có hai nghiệm phân biệt khác 0 .

  4.4.3m  0
�
� m  0.
�
m �0
�

Câu 8.

� 3m
� � 3m
�
31
31
4
2
; m4  m 2  1�, C �

; m4  m2  1 �.
Gọi A  0; m  5m  1 , B �
8
8

�

B. m  2 .

3
C. m   .
2

3
D. 3  m   .
2

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Tập xác định: D  �.
 x 2  2mx  6m  9 .
Đạo hàm: y �
Đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng một phía đối với trục tung khi phương
�
�
 4m 2  6m  9  0
3
�
y

0
�
�m .
trình
có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu

 1  3  3a 2  1  2  b3  1  3c 2  0
�
2
3
2
�y�
�  2   12  3a  1  4  b  1  3c  0
Theo giả thiết ta có hệ: �
.
2
3
2
�y  1   3a  1   b  1  3c  4d  7
�
2
3
2
�
�y  2   8  3a  1  4  b  1  6c  4 d  8
�x  3a 2  1
3x  2 y  z  0
�
�
�
3
12 x  4 y  z  0
�
�y  b  1
Xét hệ phương trình �
với �

y  x 4  2mx 2  2m 2  4m có ba điểm cực trị A, B, C sao cho S ABC  1. .
A. m  3 .

B. m  1
.

C. m  4
.

D. m  2
.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
 4 x 3  4mx .
Ta có y�
x0
�
y�
 0 � �2
.
x m
�
Hàm số có ba cực trị khi m  0 .

2
2
2
Tọa độ ba điểm cực trị là A  0; 2m  4m  , B  m; m  4m  , C   m; m  4m  .
2

A, B ; đường thẳng AB cùng với hai trục Ox, Oy tạo thành một tam giác. Tính chu vi p của
tam giác ấy.
1
3
3 5
3 5
A. p 
.
B. p 
.
C. p  .
D. p  .
4
2
4
2
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A, B của đồ thị hàm số: y  2 x  1. .
1
�1 �
Giao với Ox : M � ; 0 �� OM  . .
2
�2 �
Giao với Oy : N  0;1 � ON  1. .

Câu 11. [2D1-2.9-3] [THPT Chuyên LHP] Biết rằng đồ thị hàm số y 

MN 



x0
�
 0 � �2
y�
 4 x 3  4mx ; y �
.
x m
�
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị � m  0 . Các điểm cực trị có tọa độ là A  0; 2m  ,



 



B  m ; m 2  2m , C  m ;  m 2  2m � H  0;  m 2  2m  là trung điểm của BC .
Dễ thấy tam giác ABC cân tại A nên S ABC 

1
AH .BC  m 2 . m .
2

Khi đó SABC  2 � m 2 . m  2 � m  5 4. .
m
Câu 13. [2D1-2.9-3]
[THPT
HÀM
LONG]

2

Chọn B.
x2
�
y�
 3x 2  6( m  1) x  12m ; y�
0� �
.
x  2m
�
A  2;9m  ; B  2m; 4m3  12m 2  3m  4  .
TRANG 5


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Tam giác ABC có trọng tâm là gốc toạ độ :
2  2m  1  0
�
1
�
�m .
�
9
3
2
2

�x .x  2  m
�A B
2
Ta có: AB  30 � AB 2  30 �  xB  x A    y B  y A   30 � 5  xB  x A   30
2

2

2

2

2
2
�m  3 � 2  m
�  xB  x A   6 �  xB  x A   4 xB x A  6  0 � �
 6  0 � m  1 .
� 4
2
�2 �
4
2
Câu 15. [2D1-2.9-3] [THPT Gia Lộc 2] Tìm m để đồ thị hàm số y  x  2  m  1 x  m có ba điểm

cực trị tạo thành tam giác vuông cân.
A. m  2 .
B. m  1 .

C. m  0 .
Hướng dẫn giải

 0 � m 0 (loại D).
1
TRANG 6


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

4
Đồ thị hàm số luôn có ba điểm cực trị A  0;2m m  ; B x1; y ;C  x2 ; y đối xứng nhau qua Oy.

Phương trình đi qua hai điểm cực tiểu:
Ta nhớ lại dạng đồ thị hàm bậc 4 trùng phương có hệ số a  0 và 3 điểm cực trị mà tôi đã giới
thiệu trong phần giải chi tiết của sách giải đề như sau:

Ta có yB  yC  f

 m  f   m

.
 m2  2m2  2m m4  m4  m2  2m.

4
4
2
2
2
Khi đó d A ; BC   2m m   m  2m m   m  m .


x  m 1
�

Do m  2  m  1 nên yêu cầu của bài toán � m  2  1  m  1 � 0  m  1 .
3
2
Câu 18. [2D1-2.9-3] [THPT Nguyễn Đăng Đạo] Đồ thị hàm số y = x - 3x +( m + 2) x - m có 2

điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành khi và chỉ khi.
A. m < 2 .
B. m
là trung điểm �
�của BC .
� 2 �
Ta có R  IO  IB � IO 2  IB 2

m
�

4

 1

2

 m2

4

m


4

 1

2

4

�

x  m
�



 

2
Khi đó hàm số có 3 điểm cực trị lần lượt là A  0;1 , B   m ;  m  1 , C
uuu
r
uuur
AB   m ;  m 2 , AC   m ; m 2 .







Vẽ hệ trục tọa đô � ABC cân tại A.





m ;  m 2  1 .

uuu
r uuur


 

4
4
2
Tọa độ các điểm cực trị là A  0; 2m  m  , B  m ; m  m  2m , C



m ; m 4  m 2  2m .
TRANG 8


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Tam giác ABC đều nên AB  BC � m 4  m  4m � m  3 3 .
Câu 22. [2D1-2.9-3] [THPT LƯƠNG TÀI 2] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị
của hàm số y  x 4  2m 2 x 2  m 4  1 có 3 điểm cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị tạo với gốc tọa
độ O một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn?
A. m  0 .
B. m  � 2 .
C. m  �2 .
D. m  �1 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
 3x 3  4m 2 x  0 có ba nghiệm
Để hàm số y  x 4  2m 2 x 2  m 4  1 có 3 điểm cực trị thì y �

A. m  3 3 .

B. m  1 .
3
3

C. m   1
3
3.

D. m   3 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
4
2
4
3
2
Viết lại : y  x  2mx  2m  m � y '  4 x  4mx  4 x( x  m)  0  1 .

Hàm số có CĐ – CT khi  1 có 3 nghiệm phân biệt hay  m  0  . nên x  0; x  m; x  m; .
4
Gọi A ; B ; C là tọa độ 3 điểm cực trị A  0; m  2m  ;



 

B  m ; m 4  m 2  2m ; C


B. m 

3
.
2

1
C. m   .
2
Hướng dẫn giải

D. m 

1
.
2

Chọn D.
�
x  m � y  2 m m  1
 0 � x2  m � �
 3x 2  3m ; y �
Ta có: y�
ĐK: m  0 .
x   m � y  2m m  1
�
Ta có: B



2
.
3

C. m 

B. m  3 3 .

1
.
3

D. m  1 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
) y   x 2 ( x 2  2m)  1  m   x 4  2mx 2  1  m .
) y '  4 x 3  4mx  4 x( x 2  m) .
Hàm số đã cho có ba cực trị khi và chỉ khi phương trình y’  0 có ba nghiệm phân biệt.
Khi và chỉ khi phương trình x 2  m  0 có hai nghiệm phân biệt khác 0. .
� m  0 � m  0 . Đối chiếu với các phương án trong đề ra thì B là đáp án.

Câu 26. [2D1-2.9-3] [THPT Thuận Thành 3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm
số y  x 4  2mx 2  3m  4 có các cực trị đều nằm trên các trục tọa độ.
A. m   1;0; 4 .

B. m �( �;0) � 4 .

C. m � 1;0;1 .


1
A. m  .
B. m  1 .
C. m   .
D. m  1 .
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn B.

TRANG 10


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

 4 x 3  4mx  4 x  x 2  m  .
Ta có: y �
Hàm số có 3 cực trị khi m  0 .



 



2
Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A  0; 1 , B  m ; 1  m ; C


uuuu
r uuur uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuur
 MG  GO MG  GA  MG  GA MG  GB  MG  GB MG  GO
uuuu
r uuur uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuur
.
 3MG 2  2MG GO  GA  GB  GO.GA  GA.GB  GB.GO
uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuur
 3MG 2  GO.GA  GA.GB  GB.GO

y = x 4 - 2 x 2 + m có ba điểm cực trị A , B , C sao cho tam giác ABC bị trục tọa độ Ox chia
thành hai phần có diện tích bằng nhau.
1
1
1
A. m = � .
B. m = 2 .
C. m = � .
D. m =
.
2
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
�
x =0� y =m
�
3
x =- 1 � y = m - 1 .
y�
= 4x - 4x = 0 � �
�
�
x =1 � y = m - 1
�
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị: A( 0; m) ; B ( - 1; m - 1) ; C ( 1; m - 1) .
D ABC cân tại A và BC / /Ox .
Gọi M , N lần lượt là giao của Ox với AB ; AC .
2

Yêu cầu bài toán suy ra �
.
�
�
2
�
0 < m
�
y 0� �
��
� A  0; 4m3  ; B  2m;0  .
x

2
m
y

0
�2
�2
'

Mà AB  20 .
� 4m6  m 2  5  0 � m  �1 .
Câu 33. [2D1-2.9-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 05] Cho hàm số y   x3  3mx 2  3m  1 (m là tham
số). Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau
qua đường thẳng d: x  8 y  74  0 .
A. m  2 .

B. m  2 .

C. m  1 .

D. m  1 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

uuu
rr
�AB  d
�AB.u  0
Câu 34. [2D1-2.9-3] [THPT TH Cao Nguyên] Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

x 2  mx  m
bằng.
y
x 1
A.

5.

B. 2 5 .

C. 4 5 .
Hướng dẫn giải

D. 5 2 .

Chọn B.
2
� x2  2x
x0
�x 2  mx  m �
� 0 � x  2 x  0 � �
y
Ta có y� �
;


x 2  mx  m
là A  0; m  và B  2; 4  m  .
x 1

  4  m  m   20  2 5 .
2

4
2
Câu 35. [2D1-2.9-3] [Sở Hải Dương] Cho hàm số y  x  2  m  4  x  m  5 có đồ thị  Cm  .Tìm số

thực m để đồ thị  Cm  có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng
tâm.
B. m  1 hoặc m 

A. m  1 .
C. m 

17
.
2

17
.
2

D. m  4 .
Hướng dẫn giải


�
2

.
Câu 36. [2D1-2.9-3] [BTN 174] Tìm tất cả các giá trị m sao cho đồ thị hàm số y  x 4  2mx 2  1 có ba
điểm cực trị tạo thành một tam giác có một đường trung bình là y 
A. m  1 .

B. m  1 .

1
.
2

1
C. m   .
2
Hướng dẫn giải

D. m 

1
.
2

Chọn A.



 

thành hai phần có diện tích bằng nhau.
1
1
1
A. m = � .
B. m = 2 .
C. m = � .
D. m =
.
2
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
�
x =0� y =m
�
3
x =- 1 � y = m - 1 .
y�
= 4x - 4x = 0 � �
�
�
x =1 � y = m - 1
�
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị: A( 0; m) ; B ( - 1; m - 1) ; C ( 1; m - 1) .
D ABC cân tại A và BC / /Ox .
Gọi M , N lần lượt là giao của Ox với AB ; AC .
2


�
0 < m
D. m  1 .

Chọn C.
4
2
Áp dụng công thức tính nhanh: đồ thị hàm số y  x  2  m  1 x  m có ba điểm cực trị tạo
3
8 m  1
thành tam giác vuông cân � b  1  0 � 
1  0 � m  0 .
8a
8
3

Câu 40. [2D1-2.9-3] [THPT Chuyên KHTN] Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  m , điểm A  1;3 và hai
điểm cực đại, cực tiểu thẳng hàng ứng với giá trị của tham số m bằng:
1
5
A. m  .
B. m  3 .
C. m  2 .
D. m  .
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
 3x 2  6 x  m . Hàm số có hai cực trị � �
 9  3m  0 � m  3 .
Ta có y �
Lại có y 

� 3
5
�2m
� 4m
.1 
� m  (thỏa mãn điều kiện).
Để A  1;3 �d thì 3  �  2 �
2
�3
� 3
Câu 41. [2D1-2.9-3] [Cụm 6 HCM] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
y  x 4  2mx 2  4 có 3 điểm cực trị nằm trên các trục tọa độ.
A. m  2 hoặc m  2 .
B. m  2 .
C. m  2 .
D. Không có giá trị m nào.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
 4 x 3  4mx  4 x  x 2  m  .
Ta có y�
 0 có 3 nghiệm phân biệt � a.b  0 � m  0 .
Hàm số có 3 cực trị khi y�

Khi đó, y �
 0 � x  0; x  � m .
Tọa độ 3 điểm cực trị là A  0; 4  , B



 