SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN
TRƯỜNG THPT MINH CHÂU

ĐỀ KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 11
MÔN: TOÁN – NĂM HỌC 2017-2018
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
Đề thi gồm: 01 trang

Câu 1 (1,0 điểm). Giải phương trình cos 2 2 x  cos 2 x 

3
0
4

sin x  1
.
sin x  cos x
Câu 3 (1,0 điểm). Cho hàm số y = x3 - 3x 2 +1 có đồ thị (C ). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 2(1  cos x )(1  cot 2 x ) 

thị (C ), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng D : x + 9 y = 0.
x 5  5x 3  2 x 2  6 x  4
x 1
x3  x2  x  1
Câu 5 (1,0 điểm). Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn 1  Cn3 . Tìm hệ số của số hạng chứa x8

Câu 4 (1,0 điểm). Tính giới hạn: I  lim

n



n

2

 n  1  1
2

, n  * . Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n .

---------- HẾT ---------Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:…………………….………..…….; Số báo danh……………………
SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN
TRƯỜNG THPT MINH CHÂU

ĐÁP ÁN KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
KHỐI 11
MÔN: TOÁN – NĂM HỌC 2017-2018


Đáp án gồm: 06 trang

I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh
làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu

 x  k
sin x  0

ĐK: 
, k  .



x
k



sin x  cos x  0

4
1
sin x  1
Pt  2(1  cos x). 2 
sin x sin x  cos x
2
sin x  1


 sin x  cos x  sin x.cos x  1  0
1  cos x sin x  cos x

0,25

0,25

2

4
2
 x    5  k 2
 x    k 2 (l )

4
4

Vậy phương trình có họ nghiệm x  
3



2

0,25

0,25

 k 2 .

(1,0 điểm)
Đạo hàm y ' = 3x 2 - 6 x.

Gọi M (a; a 3 - 3a 2 + 1) Î (C ). Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại M là
3

0,25

x 3  x 2  x  1   x  1  x  1 .
2





 x  2  x2  2
x 5  5x3  2 x 2  6 x  4
3

lim
 .
3
2
x 1
x

1
x1
2
x x  x1
3
Vậy I   .
2

4.

I  lim


1
  C7k  
2
k 0

7k

 1

k

n  7
.

 n  4  ktm 

7k

 1

k

0,25

x14 2 k x  k

0,5

x143k . Ứng với x8 suy ra 14  3k  8  k  2 .
5


0,25

1
 2

a  x
a  x



5  b2
b  5  2 y
 y  2

Phương trình (1) trở thành

8a 3  2a  b3  b  0   2a  b   4a 2  2ab  b 2  1  0
 2a  b
 2
2
 4a  2ab  b  1  0  l 

0,25


x  0

Với 2a  b  2 x  5  2 y  
5  4 x2

8 x  4 x 2  10 x  5 
 0 * 
3  4x  1

Ta có *   2 x 2  4 x  3  3 x  4 x  3  2 x 2  x  5 
Với 0  x 

16
0
3  4x  1

3
16
có 2 x 2  4 x  3  3 x  4 x  3  2 x 2  x  5 
0
4
3  4x  1

Vậy (*) không có nghiệm thỏa mãn 0  x 

1
2

0,25

3
4





Giả sử A  a;3a  13 , AD=2 5   a  7    3a  11  20  a  3 (do a

E
I
B

C
O

N

M
A

G

D

1

8a)

Gọi I là trung điểm của BC nên tứ giác ADCI là hình thoi cạnh a nên IA = IB = IC
= a thì tam giác ABC vuông tại A, suy ra AC vuông góc DI

0,25

0,25

AC  ID  ID || AB  , AC  SD  AC   SID 
 AC  SI


0,25




S MNPQE  4 x 3a  2 3 x


0,25

Max S MNPQE

9
(1 điểm)

3 3 2
a 3

a tại x 
2
4

Cho dãy số (un ) xác định bởi:
u1  1; un 

2  n  1 un1
n



*

0,25

2n  n 2

n

2

 n  1  1
2

, n   .
*

( n  1) 2  1  2(n 2  1)
 nun  2  n  1 un1 
, n  *
2
2
 n  1[(n  1)  1]

1
1
1
 ( n  1)un1 
 [nun  2 ] (1)
2
( n  1)  1 2