§Ò Thi thö tèt nghiÖp n¨m 2009
(Thêi gian lµm bµi 150 phót )
I/_ Phần dành cho tất cả thí sinh
Câu I ( 3 điểm) Cho hàm số
( )
1
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị là (C)
1) Khảo sát hàm số (1)
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm P(3;1).
Câu II ( 3 điểm)
1) Giải bất phương trình:
2.9 4.3 2 1
x x
+ + >
2) Tính tích phân:
1
5 3
0
1I x x dx= −
∫
3) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
1x x

− − + =


= − −
 
− + =


= −

Chứng minh rằng (d
1
), (d
2
) và A cùng thuộc một mặt phẳng.
Câu V. a (1 điểm) Tìm môđun của số phức
( )
2
2 2z i i
= + − −
2) Theo chương nâng cao.
Câu IV. b (2 điểm) Trong không gian cho hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( ) ( )
µ v
α β
lần lượt
có phương trình là:
( ) ( )
: 2 3 1 0; : 5 0x y z x y z
α β

' 0, 1
1
y x
x
−
= < ∀ ≠
−
Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
( ) ( )
;1 µ 1;+v−∞ ∞
.
 Cực trị: hàm số không có cực trị
0,50
 Giới hạn:
1 1
lim lim 1; lim ; lim
x x
x x
y y y y
− +
→−∞ →+∞
→ →
= = = −∞ = +∞
Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng: x = 1
Và một tiệm cận ngang là đường thẳng: y =1
0,50
 Bảng biến thiên:
x
−∞
1

x
y
O
0,50
2) (1 điểm)
Tiếp tuyến của (C) qua điểm P(3; 1)
đường thẳng qua P(3; 1) có hệ số góc k là : y = k(x – 3) + 1 (d)
tiếp xúc với (C)
( ) ( )
( )
( )
2
1
3 1 1
1
2
2
1
x
k x
x
k
x
+

= − +

−

⇔

x
− −
+
= +
−
−
⇔ − = − − + −
⇔ − =
⇔ =
Thay x = 2 vào phương trình (2) có k = - 2
Vật phương trình tiếp tuyến qua P là:
( )
2 3 1 2 7y x y x= − − + ⇔ = − +
0,50
Câu II 1) (1 điểm)
( )
2
2.9 4.3 2 1
2. 3 4.3 1 0
x x
x x
+ + >
⇔ + + >
Đặt t = 3
x
( t > 0) có bất phương trình :
0,50
2t
2
+ 4t + 1 > 0 luôn đúng

− = − = − −
 ÷
 
= − − = − −
0,50
Vậy ta có:
( ) ( )
1
0 1
3 5
2 4 2 4
1 0
0
2 2 2
3 3 3 3 5
2 1 1 2 2 4
.
3 3 5 3 15 45
u u
I u u du u u du
 
= − − = − = −
 ÷
 
 
= − = =
 ÷
 
∫ ∫
0,50

+∞
3
0,50
vậy giá trị nhỏ nhất là
( )
0;
min 3y
+∞
=
, không tồn tại giá trị lớn nhất
III Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’. ta có GG’
là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy ABC và đáy A’B’C’. Khi đó gọi O
là trung điểm của đoạn GG’ thì ta có:
OA = OB = OC = OA’ = OB’ = OC’
Suy ra O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả
các cạnh đều bằng a. Bán kính R = OA
Tam giác vuông AGO có
2
2
2 2
2 2 2
2 2
3
3 2 9 4
12 9 21
36 6
a a a a
OA AG GO
a a a
OA

( )
( )
2
2
2 2 2 4 4
1 5
1 25 26
z i i i i i
z i
z
= + − − = + − − +
= − +
⇒ = + =
0,50
0,50
IV.b 1) ( 1 điểm)
( )
( )
2.1 1.0 3.5 1
18
;
4 1 9 14
d M
α
− + +
= =
+ +
1,00
2)( 1 điểm)
mặt phẳng cần tìm có dạng chùm

( )
γ
là: 3x + 9y – 13z +33 = 0
0,50
0,50
A B
G
B’A’
G’
C’
C
O
V.b
1 3z i= +
. Ta có
1 3
2
2 2
2 cos isin
3 3
z i
π π
 
= +
 ÷
 ÷
 
 
= +
 ÷

π
 
+
 ÷
 
∫
3. Tìm môđun của số phức
( )
3
1 4 1z i i= + + −
Câu 4 (2,0 điểm)
Một hình trụ có bán kính đáy R = 2 , chiều cao h =
2
. Một hình vuông có các đỉnh
nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông
góc với trục của hình trụ . Tính cạnh của hình vuông đó .
Câu 5 (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) :
x 3 y 1 z 3
2 1 1
+ + −
= =
và mặt
phẳng (P) :
x 2y z 5 0+ − + =
.
a. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) .
b. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) .
c. Viết phương trình đường thẳng (
∆

x

Hàm số nghịch biến trên
( ;0) (2; )−∞ ∪ +∞
và đồng biến trên khoảng (0;2)
Hàm số có cực trị:
(2) 4; (0) 0= = = =
CD
CT
y y y y
Các giới hạn:
x x
lim ; lim
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞
y y
Bảng biến thiên:
x
−∞
0 2
+∞
y’ - 0 + 0 -
y
+∞
4

0
−∞

* Đồ thị

0
k
k k k k k
k k
k
k k k k
k
<


 
− + > − + > > −
  
< − + < ⇔ ⇔ ⇔
  
≠
− + < − + >
 
 


≠

Vậy với
( 1;3) \{0,2}
∈ −
k
thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
0,5đ
0,5đ

= −

2
3
2
3
2
3
log 2
3
íi t = 2 log 2
log 2
3
x
x
V x
x
x
−


=
=
⇒ = ⇔ ⇔



= −
 =


+ = +
 ÷
 
= +
= − = +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
0,25đ
0,25đ
0,5đ
3.
( )
( )
3
2 3
2
2
1 4 1 1 4 1 3 3 1 2
1 2 5
z i i i i i i i
z
= + + − = + + − + − = − +
⇒ = − + =
0,5đ
0,5đ
Câu 4.
Xét hình vuông có cạnh AD không song song và vuông
góc với trục OO’ của hình trụ . Vẽ đường sinh AA’
Ta có : CD
⊥

c. Lấy điểm A(
−
3;
−
1;3)
∈
(d).
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (P)
(Q) có 2 véctơ chỉ phương là
( ) ( )
2;1;1 µ u 1;2; 1AI v= = −
uur r
nên có véc tơ pháp tuyến là
( )
( )
1;1;1
: 5 0
n
Q x y z
= −
⇒ − + + − =
r
Vậy
5 0
( ) :
2 5 0
x y z
x y z
− + + − =


+ ≥ −
b. Tính tìch phân : I =
0
sin2x
dx
2
(2 sin x)
/2
+
−π
∫
c. Cho số phức:
( ) ( )
2
1 2 2
= − +
z i i
. Tính giá trị biểu thức
.
=
A z z
.
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho hình chóp S,ABC . Gọi M là một điểm thuộc cạnh SA sao cho MS = 2 MA . Tính
tỉ số thể tích của hai khối chóp M.SBC và M.ABC
Câu 4 (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) :
x 1 2t
y 2t
z 1


2x 1
y
x 1
+
=
−
TXĐ: D=R\{1}
Sự biến thiên
( )
2
3
y' 0, x 1
x 1
−
= < ∀ ≠
−
Hàm số nghịch biến trên
( ) ( )
;1 1;−∞ ∪ +∞
Giới hạn:
1 1
lim 2; lim 2
lim ; lim
x x
x x
y y
y y
+ −
→−∞ →+∞


−∞
+∞
2
b. Gọi
( )∆
là tiếp tuyến đi qua M(1;8) có hệ số góc k .
Khi đó :
( )∆

y 8 k(x 1) y k(x 1) 8− = − ⇔ = − +
Phương trình hoành độ điểm chung của (C ) và
( )∆
:

2x 1
2
k(x 1) 8 kx 2(3 k)x 9 k 0 (1)
x 1
+
= − + ⇔ + − − + =
−

( )∆
là tiếp tuyến của (C )
⇔
phương trình (1) có nghiệm kép

k 0
k 3

−
+ − = ⇒ − = = +
+
nên
x 1
x 1
x 1
x 1
bpt ( 2 1) ( 2 1) x 1
x 1
−
−
+
−
−
⇔ + ≥ + ⇔ − ≥ −
+
(do 2 1 1+ > )

2 x 1
(x 1)(x 2)
0
x 1
x 1

− ≤ < −
− +
⇔ ≥ ⇔

+

I = dt 2 dt 4 dt 2ln t 4 ln 4 2
1
2 2
t t
t t
1
1 1 1
®
®
0,25đ
0,25đ
0,5đ
c.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2
1 2 2 1 4 4 4 4 3 4 3 4 9 24 16 7 24
7 24
. (7 24 ) 7 24 625
= − + = − + + + = − − + = − − − = −
⇒ = +
⇒ = = − + =
z i i i i i i i i i i i
z i
A z z i i
0,5đ
0,25đ

0,25đ
H
0,25đ
Câu 4 .
a)
Tâm mặt cầu là
I (d)∈
nên I(1+2t;2t; 1− )
Vì mặt cầu tiếp xúc với (P) nên

2(1 2t) 2t 2( 1) 1
d(I;(P)) R 3 6t 3 3 t 0,t 1
4 1 4
+ + − − −
= = = ⇔ + = ⇔ = = −
+ +
 t = 0 thì I(1;0; 1− )
2 2 2
(S ) :(x 1) y (z 1) 9
1
⇒ − + + + =
 t = 1− thì I(
1; 2− −
; 1− )
2 2 2
(S ): (x 1) (y 2) (z 1) 9
2
⇒ + + + + + =
0,25đ
0,25đ

x y 1 z
( ): ( ):
vtcp u [u,v] ( 2)(2; 2;1)
2 2 1

−
∆ ⇒ ∆ = =

= = − −
−

∆
r r r


0,25đ
0,5đ
0,25đ
ĐỀ 4
Đề thi tốt nghiệp thpt
Môn Toán
Thời gian: 150 phút
I. Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm)
Câu I.( 3,0 điểm)
Cho hàm số
3 2
1 2
3 3
y x mx x m= + +


5
log
x
x
+

+
Câu III.(1,0 điểm)
Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = a; AB = AC= b,
ã
60BAC

=
. Xác định tâm và bán hình cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC.
II.Phần riêng(3,0 điểm)
Thí sinh học chơng trình nào thì chỉ đợc làm phần dành riêng cho chơng trình đó.
1. Theo chơng trình Chuẩn:
Câu IV.a(2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz:
a)Lập phơng trình mặt cầu có tâm I(-2;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng
2 2 5 0x y z+ + =

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng:

( ) : 4 2 12 0
( ) :8 4 2 1 0
x y z
x y z


+ =

, 2 , 0y x y x y= = =
..........Hết............
Đáp án.
Câu Đáp án Điểm
Câu I(3
điểm)
1.Với m=0 ta có hàm số
3
1 2
3 3
y x x= +
tập xác định: R
Chiều biến thiên:
2
' 1 , ' 0 1y x y x= = =
Hàm số đồng biến trên khoảng (-

;-1) và (1; +

); nghịch biến trên
khoảng(-1;1)
Hàm số đạt cực đại tại
4
1,
3
CD
x y= =
, đạt cực tiểu tại
1, 0
CT

1
2
3
4
5
6
7
x
y
O
2.
0 0
( ; )M x y
là điểm cố định khi đó

3 2
0 0 0 0
2
0
3
0 0 0
0 0
0 0
1 2
3 3
1 0
1 2
0
3 3
4

0,5
0,5
0,5
4
Đồ thị luôn có 2 điểm cố định M(-1; 4/3); M(1;0)
Câu
II(3
điểm)
1. Ta có
3
0
'( ) 4 16 0
2
x
f x x x
x
=

= =

=

f(0) = 16; f(2) = 0; f(-1) = 9; f(3) = 25
[ ]
[ ]
1;3
1;3
max ( ) 25 ,min ( ) 0f x f x



5
7
log
x x
x x
x
x
x
x
+ +

+ +
<





+


0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
Câu III

Phơng trình mặt cầu :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 1 1x y z
+ + + =
2.Ta có
( ) ( )

P
nên lấy M( -3;0;0) thuộc mp
( )

thì
8.( 3) 1
25
(( ),( )) ( ,( ))
64 16 1 2 21
d d M


= = =
+ +
0,5
0,5
0,5
0,5
S
A C
B
O

0,5
Câu
IVb(2đi
ểm)
Gọi I( a;b;c) do I thuộc đt (d) nên ta có
2 2 0
1 0
a b
a c
+ =


=

(I)
mặt cầu tiếp xúc với cả 2 mặt phẳng nên
2 5 2 2
6 6
2 3 3
3 7
a b c a b c
a b c
a c
+ + + +
=
+ =



=


+ + + + + =
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu
Vb(1
điểm)
tìm đợc các giao điểm x= 0; x = 1, x = 2
1 2
0 1
7
(2 )
6
S xdx x dx
= + =

0,5
0,5
Đề thi tốt nghiệp thpt
Môn Toán
Thời gian: 150 phút
I. Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm)
Câu I.( 3,0 điểm)
Cho hàm số
3
2y x mx m= +
, với m là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C) của hàm số khi m =3.

Thí sinh học chơng trình nào thì chỉ đợc làm phần dành riêng cho chơng trình đó.
1. Theo chơng trình Chuẩn:
Câu IV.a(2,0 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm:
A(3;-2;-2) ; B(3;2;0) ; C(0;2;1); D(-1;1;2)
1. Viết phơng trình mặt phẳng (BCD).
2.Viết phơng trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)
Câu V.a(1,0 điểm)
Tìm số phức z biết
2 5z =
và phần ảo của z bằng 2 lần phần thực của nó.
2.Theo chơng trình nâng cao.
Câu IV.b(2,0 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1)
1. Viết phơng trình mặt phẳng (BCD). Chứng minh rằng ABCD là hình tứ diện
2. Viết phơng trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)
Câu V.b(1 điểm)
Viết dạng lợng giác của số phức
1 3z i= +
..........Hết............
5
5
Đáp án:
Câu Đáp án Điểm
Câu I(3
điểm)
1.Với m=3 ta có hàm số


y' + 0 - 0 +
y
*Đồ thị:
Cắt trục oy tại (0;1)
2.phơng trình
3
3 1 0x x k + =

3
3 1x x k + =
số nghiệm của pt trên là hoành độ giao điểm của đờng thẳng y =k và (C)
k< 1 hoặc k>3: pt có 1 nghiệm
k = -1 hoặc k = 3: pt có 2 nghiệm
-1< k < 3: pt có 3 nghiệm
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
Câu II(3
điểm)
1. Ta có:
1 1 1
2
0 0 0

+ =
= =
= =

3. Ta có
[ ]
2
1
'( ) 3 3 0
1 0;2
x
f x x
x
=

= =

=

f(1) = 1; f(0) = 3; f(2) = 5
[ ]
[ ]
0;2
0;2
max ( ) 5 , min ( ) 1f x f x
= =
0,5

( 3;0;1), ( 4; 1;2) (1;2;3)BC BD BC BD= = =
uuur uuur uuur uuur
mặt phẳng (BCD) đi qua B( 3;2;0) và có vectơ pháp tuyến
(1;2;3)n =
r
có pt: x+2y+3z-7=0
2.
3 2.2 3.2 7
( ,( )) 14
1 4 9
d a BCD

= =
+ +
Mặt cầu có tâm A, bán kính R = d( A, (BCD)) có pt:

2 2 2
( 3) ( 2) ( 2) 14x y z + + + + =
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu Va(1
điểm)
giả sử z = a+2ai.Ta có
2
5 2 5 2z a a= = =
Vậy z= 2+4i, z = -2-4i
0,5
0,5

2 2 3 3
z i cos isin
= + = +
ữ
ữ
ữ0,5
0,5
Đề thi tốt nghiệp thpt
6
Môn Toán
Thời gian: 150 phút
I. Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm)
Câu I.( 3,0 điểm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2
3
x
y
x
+
=

2.Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đờng tiệm cận đứng bằng
khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.

2. Tính thể tích của khối trụ.
II.Phần riêng(3,0 điểm)
Thí sinh học chơng trình nào thì chỉ đợc làm phần dành riêng cho chơng trình đó.
1. Theo chơng trình Chuẩn:
Câu IV.a(2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz:
cho A(1;0;0), B(1;1;1),
1 1 1
; ;
3 3 3
C

ữ

a)Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng
( )

đi qua O và vuông góc với OC.
b) Viết phơng trình mặt phẳng
( )

chứa AB và vuông góc với
( )

Câu
V.a(1,0 điểm)
Tìm nghiệm phức của phơng trình
2 2 4z z i+ =
2.Theo chơng trình nâng cao.
Câu IV.b(2,0 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

Tập xác định: D= R\ {3}
Chiều biến thiên:
2
5
' 0
( 3)
y x D
x

= <

Hàm số nghịch biến trên (-

;3)

(3;+

)
Hàm số không có cực trị
Tiệm cận đứng x = 3, tiệm cận ngang y = 1
Bảng biến thiên:
x -

3 +

y'

P
y


x
+
=

theo đầu bài
3 5
2
1 3
3
3 5
x
x
x
x
x

= +
+
=


=



0,25
0,25
0,25
0,25
0,5

+ + = + +
=
2.a)Đặt

2
2
2
1
1
1
1 ln
1 1, 2
3
2 2
u x du dx
x
x u x e u
u
I udu
= + =
= = = =
= = =

b)
2 2
2
0 0
2
0
1 2

2
4
xq
S R

=
Theo đầu bài
2
4 4 1R R

= =
2 2
4 2 6
TP xq day
S S S R R

= + = + =
b) Thể tích khối trụ
2
2V R l

= =
0,5
0,5
Câu
IVa(2
điểm)
a. Mặt phẳng
( )


r uuur uur
.
pt mặt phẳng
( )

: y- z =0
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu
Va(1
điểm)
Giả sử z = a+bi , theo đầu bài ta có :

2( ) 2 4 3 2 4
2
3 2
3
4
4
a bi a bi i a bi i
a
a
b
b
+ + + = =

=
=


đi qua A,
B, vectơ chỉ phơng của đt

là
(4; 2;1)AB =
uuur
pt đuờng thẳng:
1 4
2
x t
y t
z t
= +


=


=

0,5
0,5
Câu
Vb(1
điểm)
Giả sử

2 2 2
2

3
x
y
x
+
=

2.Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đờng tiệm cận đứng bằng
khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
Câu II.(3,0 điểm)
1. Giải phơng trình
2 1
3 .5 7 245
x x x
=
.
2.Tính tích phân a)
1
1 ln
e
x
I dx
x
+
=

b)
2
0
1 2J cos xdx

( )

Câu
V.a(1,0 điểm)
Tìm nghiệm phức của phơng trình
2 2 4z z i+ =
2.Theo chơng trình nâng cao.
7
Câu IV.b(2,0 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
( )

: y+2z= 0 và 2 đờng
1.Tìm toạ độ giao điểm A của đờng thẳng d với mp
( )

và giao điểm B của
đờng thẳng d' với
( )

.
2. Viết phơng trình tham số của đờng thẳng

nằm trong mp
( )

và cắt cả 2 đờng thẳng
d và d'.
Câu V.b(1 điểm) Tìm căn bậc hai của số phức
1 4 3i+

Bảng biến thiên:
x -

3 +

y' - -
y 1 +

-

1
*Đồ thị:
Cắt trục Oy tại
2
;0
3


ữ

, cắt ox tại (2;0)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
7
f(x)=(x+2)/(x-3)
f(x)=1

ữ
khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang và tiệm cận đứng lần lợt là
2
1 1 , 3
3
x
y x
x
+
=

theo đầu bài
3 5
2
1 3
3
3 5
x
x
x
x
x

= +
+
=


x

= =
+ + =
+ + = + +
+ + = + +
=
2.a)Đặt

2
2
2
1
1
1
1 ln
1 1, 2
3
2 2
u x du dx
x
x u x e u
u
I udu
= + =
= = = =
= = =

b)
2 2