BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

Chủ đề 2: Chỉ ra các thao tác tư duy của quá trình tư duy
( Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa,
trừu tượng hóa) thông qua một số ví dụ trong chủ đề Hình học
giải tích trong mặt phẳng.

PHÚ THỌ 5/2017

PHÚ THỌ , NĂM 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

THIẾT KẾ VÀ SỬ DỤNG BÀI TOÁN MỞ
TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ
“PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG”

Chuyên ngành:
LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN
Mã số:


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Sau đại học, Ban chủ
nhiệm khoa Toán - Công nghệ , các cán bộ, giảng viên trường Đại học Hùng
Vương , đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành khóa học và trang bị
đầy đủ kiến thức để tôi thực hiện thành công việc nghiên cứu, hoàn thiện luận
văn.

1.1. Tư duy, tư duy sáng tạo...................................................................................5
1.1.1. Tư duy.....................................................................................................5
1.1.2. Tư duy sáng tạo.......................................................................................7
1.2. Bài toán mở..................................................................................................10
1.2.1. Các quan niệm về bài toán mở...............................................................10
1.2.2. Bài toán mở góp phần phát huy tính sáng tạo, chủ động, tích cực cho học
sinh.................................................................................................................. 17
1.3. Thực trạng việc giảng dạy chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” ở
trường phổ thông.................................................................................................19
1.3.1. Cấu trúc và phân phối chương trình nội dung “Phương pháp tọa độ trong
mặt phẳng” trong chương trình Trung học phổ thông......................................19
1.3.2. Những yêu cầu cần đạt khi dạy chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng” ở trường Trung học phổ thông.............................................................20
1.3.3 Thực trạng việc giảng dạy chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
theo hướng sử dụng bài toán mở......................................................................22

i


1.4. Những thuận lợi và khó khăn trong dạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ
trong mặt phẳng” theo hướng thiết kế các bài toán mở........................................24
1.4.1. Thuận lợi................................................................................................24
1.4.2. Khó khăn...............................................................................................25
TÓM TẮT CHƯƠNG 1........................................................................................26
CHƯƠNG 2: THIẾT KẾ VÀ SỬ DỤNG BÀI TOÁN MỞ TRONG DẠY HỌC
CHỦ ĐỀ “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG”.......................27
2.1. Định hướng thiết kế các bài toán mở............................................................27
2.1.1. Thiết kế bài toán mở phải phù hợp với với nội dung chương trình........27
2.1.2. Thiết kế bài toán mở phải phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh 27
2.1.3. Thiết kế bài toán mở giúp giáo viên sáng tạo các bài toán đóng nhằm

PHỤ LỤC.............................................................................................................PL1

iii


DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT

Chữ viết tắt

Viết đầy đủ

BT

Bài toán

BTM

Bài toán mở

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

HSG

Học sinh giỏi


Vectơ chỉ phương

VTPT

Vectơ pháp tuyến

iv


DANH MỤC CÁC HÌNH

Các hình

Trang

Hình 1

9

Hình 2

13

Hình 3

21

Hình 4


Hình 12

52

Hình 13

53

Hình 14

54

v


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong giai đoạn hiện nay, khi khoa học và công nghệ đang có những
bước tiến nhảy vọt, nền kinh tế hội nhập ở nước ta đang phát triển mạnh mẽ
thì việc đòi hỏi ở nguồn nhân lực Việt Nam không chỉ có thể lực, tầm vóc tốt
mà còn cần phải có sự phát triển toàn diện về trí tuệ, có ý chí, năng lực và đạo
đức, có năng lực tự học, tự đào tạo, năng động, chủ động, tự lực, sáng tạo, có
tri thức và kỹ năng nghề nghiệp cao, có khả năng thích ứng và nhanh chóng
tạo được thế chủ động trong môi trường sống và làm việc [18]. Để đào tạo ra
những con người không chỉ giỏi về kiến thức mà còn chủ động, sáng tạo trong
công việc thì ngoài việc xây dựng nội dung chương trình giáo dục thì phương
pháp giáo dục của mỗi người giáo viên có vai trò hết sức quan trọng.
Nghị quyết Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo
dục đã nêu: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng
hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ

Đề xuất một số hướng thiết kế và cách thức sử dụng BTM trong dạy
học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” ở trường THPT.
3. Đối tượng nghiên cứu
Quá trình dạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” ở
trường THPT.
4. Phạm vi nghiên cứu
Luận văn tập trung nghiên cứu việc thiết kế và sử dụng BTM trong dạy
học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” cho HS khá và giỏi môn
Toán.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu GV thiết kế và sử dụng hợp lý BTM trong dạy học chủ đề
“Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” thì sẽ phát huy được tính sáng tạo, sự
2


chủ động, tính tích cực của HS, đồng thời phát triển tư duy cho HS và góp
phần nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề này.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống hóa những nghiên cứu lí luận về BTM
- Khảo sát thực trạng sử dụng BTM trong dạy học chủ đề “Phương
pháp tọa độ trong mặt phẳng”.
- Thiết kế BTM trong dạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng”.
- Đề xuất cách thức sử dụng BTM trong dạy học chủ đề “Phương pháp
tọa độ trong mặt phẳng”.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm bước đầu minh họa cho tính khả thi,
tính hiệu quả của những đề xuất về việc thiết kế và sử dụng BTM trong dạy
học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”.
7. Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu, phân tích, tổng hợp,

người. Trong quá trình phản ánh hiện thực khách quan bằng những khái niệm,
phán đoán… Tư duy bao giờ cũng có mối liên hệ nhất định với một hình thức
hoạt động của vật chất, với sự hoạt động của não người (dẫn theo [20], tr.11).
Sinh lý học nghiên cứu cơ chế hoạt động thần kinh cao cấp với tư cách
là nền tảng vật chất của các quá trình tư duy ở con người(dẫn theo [20], tr.7):
Tư duy là một hình thức hoạt động của hệ thần kinh, thể hiện qua việc tạo ra
các liên kết giữa các phần tử đã ghi nhớ, được chọn lọc và kích thích chúng
hoạt động để thực hiện sự nhận thức về thế giới xung quanh, định hướng cho
hành vi phù hợp với môi trường sống.
Tâm lý học nghiên cứu diễn biến của quá trình tư duy, mối quan hệ qua
lại cụ thể của tư duy với các khía cạnh khác của nhận thức (dẫn theo [20],
tr.7). Tư duy là một quá trình tâm lý thuộc nhận thức lý tính, là một mức độ
nhận thức mới về chất so với cảm giác và tri giác. Tư duy phản ánh những
thuộc tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vât,
hiện tượng mà trước đó ta chưa biết.
Trong quá trình xác định sự khác nhau giữa tâm lý người và động vật,
các nhà tâm lý học cũng chỉ ra sự khác nhau căn bản giữa tư duy con người và
hoạt động tâm lý động vật. Đó là tư duy con người sử dụng khái niệm để ghi
5


lại những kết quả trừu tượng hóa; tư duy được ra đời từ lao động và trên cơ sở
sự phát triển của xã hội.
Theo nghĩa từ điển: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức,
đi sâu vào cái bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những
hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán, suy lý” [14].
Qua những quan niệm trên về tư duy có thể hiểu rằng:“Tư duy là sản
phẩm cao cấp của một vật chất hữu cơ đặc biệt, tức là bộ não, qua quá trình
hoạt động của sự phản ánh hiện thực khách quan bằng biểu tượng, khái niệm,
phán đoán,…Tư duy bao giờ cũng liên hệ với một hình thức nhất định của sự

*) So sánh – tương tự
Theo từ điển Tiếng Việt: So sánh là “xem xét cái này với cái kia để thấy
sự giống và khác nhau, hoặc sự hơn kém nhau” [14]. So sánh nhằm mục đích
phát hiện những đặc điểm chung và những đặc điểm riêng khác nhau ở một số
đối tượng, sự kiện. Tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính
chất và quan hệ của những đối tượng khác nhau.
*) Khái quát hóa – đặc biệt hóa
Khái quát hóa là việc chuyển từ nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã
cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách
nêu đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát. Đặc biệt hóa là
quá trình ngược lại của khái quát hóa, là việc chuyển từ nghiên cứu một tập
hợp đối tượng đã cho về nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong nó.
Khái quát hóa, đặc biệt hóa là các thao tác tư duy thường xuyên được
vận dụng trong dạy học môn Toán đặc biệt trong việc hướng dẫn HS tìm tòi
và giải toán.
1.1.2. Tư duy sáng tạo
a) Khái niệm về tư duy sáng tạo

7


TDST là một trong những loại hình tư duy có vai trò quan trọng trong
dạy học nói chung và dạy học môn Toán nói riêng. Khái niệm tư duy sáng tạo
được nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước đề cập đến.
Theo các nhà tâm lí học: TDST là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân
đồng thời là hạt nhân cơ bản của giáo dục; là những năng lực tìm thấy những
ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ mới; là một chức năng của kiến
thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá … (dẫn theo [20]).
Theo các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tôn Thân [11]
“TDST là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới, độc đáo, có hiệu quả

+ Tư duy độc lập: HS tự đọc, tự tìm hiểu các vấn đề, tự giải quyết các
bài tập hoặc chứng minh vấn đề nào đó.
+ Tư duy sáng tạo: HS tự nêu ra, khám phá vấn đề, tự tìm ra hướng giải
quyết mới trên các kiến thức đã có.
b) Các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo
+ Tính mềm dẻo: Là khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này
sang hoạt động trí tuệ khác. Trong học tập môn Toán, tính mềm dẻo của
TDST được biểu hiện ở việc thực hiện linh hoạt các thao tác tư duy, vận dụng
linh hoạt kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm đã có vào hoàn cảnh mới khi có
những yếu tố đã thay đổi, khả năng nhìn nhận ra vấn đề mới trong điều kiện
quen thuộc.
+ Tính nhuần nhuyễn: Là khả năng sử dụng nhiều loại hình tư duy đa
dạng trong phát hiện và giải quyết vấn đề. Trong học tập môn Toán, tính
nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo được biểu hiện bởi tính đa dạng về phương
pháp xử lí khi giải toán, khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh
khác nhau, là khả năng giải quyết một BT một cách thành thạo.
9


+ Tính độc đáo: Là khả năng tìm kiếm được kiến thức mới chưa ai biết,
giải pháp tối ưu. Trong học tập môn Toán, tính độc đáo được biểu hiện bởi
khả năng tìm ra hướng mới, lạ để giải quyết vấn đề, khả năng tìm ra những
mối liên hệ, sự liên tưởng và những sự kết hợp mới.
+ Tính thăng hoa: Thể hiện ở sản phẩm tìm được mang tính phát triển,
được ứng dụng rộng rãi (dẫn theo [20]).
1.2. Bài toán mở
1.2.1. Các quan niệm về bài toán mở
BTM là khái niệm đã được nhiều nhà nghiên cứu đề cập đến. Sau đây
là một số quan niệm về BTM:
+) Theo Pehkonen: “BT kết thúc mở đưa ra những tình huống và yêu

BTM về phía kết luận là BT mà khi giải phải mò mẫm, dự đoán,
biện luận nhiều trường hợp...

+) Tác giả Bùi Văn Nghị: “BTM được hiểu là BT mà đáp số của nó
không phải là duy nhất, có nhiều phương án khác nhau để giải quyết nó với
các kết quả khác nhau” [12].
Như vậy có nhiều phát biểu khác nhau của nhiều nhà nghiên cứu về
BTM nhưng đều nêu lên đặc trưng của BTM là tính mở ở lời giải, ở câu trả
lời. Ta xét một số ví dụ cụ thể về BTM sau đây để thấy được điều đó:
Ví dụ 1.1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC
có B  3;2  ; C  4;1 và có diện tích bằng 3. Hãy bổ sung thêm yếu tố vào giả
thiết để có thể xác định được tọa độ đỉnh A .
Lời giải của BT:
Giả sử A  x0 ; y0  . Ta có phương trình đường thẳng BC : x  y  5  0 và độ
dài cạnh BC  2 .
Khoảng cách từ A đến BC : h 

S

x0  y0  5
2

x  y0  5 x0  y0  5
1
2 0

.
2
2
2

tròn  C  : x  y  5.

Có thể nghĩ theo hướng khác, về dạng của tam giác, các đường trong tam
giác. Chẳng hạn:
5) Tam giác ABC cân tại A hoặc B, C.
6) Tam giác ABC vuông tại A hoặc B, C.
7) Đường trung tuyến BM hoặc CN có phương trình: x  y  2  0.
…
Nhận xét: Câu trả lời của BT là các yếu tố cần bổ sung vào giả thiết.
Rõ ràng đáp số của BT không duy nhất, và các yếu tố cần thêm ở đây tùy theo
cách nghĩ của HS, chẳng hạn: điểm A thuộc đường thẳng, đường tròn nào đó;
trung điểm của cạnh AB thuộc đường thẳng, đường tròn nào đó; trọng tâm
của tam giác ABC thuộc đường thẳng, đường tròn nào đó; dạng của tam giác
ABC , … Để tìm ra câu trả lời cần có sự mò mẫm, dự đoán, … Theo các quan
niệm trên ta có thể thấy đây là một BTM.

12


Ví dụ 1.2: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy , cho đường thẳng

d : x  y  2m  0 (m là tham số) và đường tròn  C  : x 2  y 2  4 y  4  0 . Có
thể kết luận gì về vị trí tương đối giữa d và  C  ?
Nhận xét: Câu trả lời của BT là các vị trí tương đối có thể xảy ra giữa đường
thẳng d và đường tròn  C  . Ở đây do phương trình đường thẳng d còn phụ
thuộc tham số m nên các vị trí tương đối giữa d không cắt, cắt hay tiếp xúc
với  C  tùy theo các giá trị của m . Đây chính là BTM ở kết luận theo quan
niệm của tác giả Bùi Huy Ngọc.
Lời giải của BT:
Ta có  C  có tâm I  0;2  , bán kính R  2 2 .


Hình 2
13


thông thường bằng câu hỏi: “Có thể tìm được tọa độ của các điểm nào trong
hình đã cho?”.
Rõ ràng cách hỏi này thể hiện tính “mở” rõ hơn bởi việc tìm được những
điểm nào còn phụ thuộc vào năng lực, kiến thức của từng HS. Để tìm được
kết quả BT ngoài huy động vốn kiến thức, kinh nghiệm, HS còn cần phải có
sự suy đoán, mò mẫm. Đây là BTM theo quan niệm của các tác giả Tôn Thân,
Nguyễn Văn Bàng.
Lời giải của BT:
Ta có thể xác định được tọa độ của tất cả các điểm có trên hình.
�x  2 y  1  0
� A  3;1
+) A  AH �AM � Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ �
�x  y  2  0

+) N là trung điểm của cạnh AB � B  3; 5 
+) Đường thẳng BC  AH và đi qua B  3; 5  � BC có phương trình:

�3 1 �
2 x  y  1  0 . Từ đó ta tìm thêm được các điểm H � ;  �
, M  1; 1
�5 5 �
+) M là trung điểm BC � C  1;3 .
Ví dụ 1.4: Cho các điểm A  1;2  ; B  2; 1 ; C  4; 3 . Hãy nêu các cách
khác nhau để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Lời giải của BT: Có thể xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác theo các

a

4

b

3








�
�

14


3
1
�3 1�
 ; �
.
Giải hệ được: a   ; b   � I �
2
2
�2 2�

a

6
b

c

0
�

�3 1�
 ; �
.
Từ đó ta có I �
� 2 2�
Cách 4: Gọi d1 là đường thẳng đi qua A và vuông góc AB ; d 2 là
đường thẳng đi qua C và vuông góc AB ; M là giao điểm của d1; d 2 � M .
Điểm I là trung điểm của A, M � I .
Cách 5: Nhận xét

ABC là tam giác vuông tại B. Suy ra tâm I của

đường tròn này là trumg điểm của cạnh BC � …
Nhận xét: Câu trả lời của BT là các cách khác nhau để xác định tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Rõ ràng câu trả lời của BT là không
duy nhất. Việc tìm ra nhiều cách giải khác nhau của cùng một BT phụ thuộc
vào khả năng tư duy của từng HS và phụ thuộc vào các cách nhìn khác nhau.
Đây cũng là một BTM theo các quan niệm trên.

15


+ Chú ý đến các vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn ta có thể lập
các BT sau:
BT 1.4.4: Viết phương trình đường thẳng song song (vuông góc) với
đường thẳng d và tiếp xúc với  C  .
BT 1.4.5:Viết phương trình đường thẳng song song (vuông góc) với
đường thẳng d và cắt  C  tại hai điểm A, B thỏa mãn:
+ AB  2 3
+ AB lớn nhất

16


+ Tam giác OAB có chu vi 4  2 3
+ Tam giác OAB có diện tích bằng

3

+ Tam giác OAB có diện tích lớn nhất
+ Tam giác OAB là tam giác vuông
+ Tam giác OAB đều
….
Có thể lập các BT tương tự bằng cách thay điều kiện song song (vuông góc),
bằng điều kiện đường thẳng tạo với d một góc  nào đó.
Qua các ví dụ trên về BTM ta có thể thấy các quan niệm của các nhà
nghiên cứu về BTM đều có những đặc điểm chung. Đó là tính mở ở câu trả
lời của BT. Nhằm phù hợp với mục đích dạy và học nội dung “Phương pháp
tọa độ trong mặt phẳng”, trong luận văn chúng tôi có sử dụng các quan niệm
của các tác giả Nguyễn Văn Bàng, Tôn Thân, Bùi Huy Ngọc, Bùi Văn Nghị
về BTM.