SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT SÔNG RAY
Mã số:………………………
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG BÀI TOÁN “KẾT THÚC MỞ” NHẰM
NÂNG CAO HIỂU BIẾT TOÁN CỦA HỌC SINH ĐỐI
VỚI THỐNG KÊ
Người thực hiện: Phạm Văn Tánh
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục 
- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán học 
- Lĩnh vực khác: 

Có đính kèm: Các sản phẩm không thề hiện trong bản in SKKN
 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác
Năm học: 2011-2012
SƠ LƯỢC VỀ LÍ LỊCH KHOA HỌC
I.Thông tin cá nhân:

1. Họ và tên: PHẠM VĂN TÁNH
2. Ngày sinh: 29 – 12 – 1975
3. Địa chỉ: Số nhà 129 -Ấp Suối Nhát - Xuân Đông - Cẩm Mỹ - Đồng Nai
4. Điện thoại : 01223060939
5. Email:
6. Chức vụ: Tổ trưởng tổ Toán - Tin
7. Đơn vị công tác: Trường THPT Sông Ray
II.Trình độ đào tạo:
1. Học vị: Thạc sỹ
2. Năm nhận bằng: 2012
3. Chuyên ngành đào tạo: Lí luận và phương pháp giảng dạy Toán
III. Kinh nghiệm khoa học:

lý học để thi cử đã làm cho giáo viên và học sinh lúng túng trong việc lựa chọn cách
dạy và cách học. Học sinh chỉ học những gì sẽ ra trong đề thi, chỉ chú trọng rèn
luyện các kĩ năng giải toán thuộc các chủ đề được quy định trong “cấu trúc đề thi”.
Sắp tới, Việt Nam sẽ tham gia chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA
(Programme for International Student Assessment) của Tổ chức Hợp tác và Phát
triển Kinh tế (Organization for Economic Co-operation and Development: OECD)
thì giáo dục toán cũng cần phải có những điều chỉnh cần thiết để năng lực của học
sinh đáp ứng được hướng đánh giá này. “Chương trình đánh giá học sinh quốc tế
PISA là một nỗ lực hợp tác của các quốc gia thành viên của tổ chức OECD để đánh
giá các học sinh ở tuổi mười lăm được chuẩn bị tốt như thế nào để đáp ứng những
thách thức của xã hội ngày nay. Đánh giá PISA chọn một tiếp cận rộng cho việc
đánh giá kiến thức và các kỹ năng phản ánh những thay đổi hiện nay trong chương
trình, di chuyển xa hơn về phía sử dụng kiến thức trong các nhiệm vụ và thách thức
thường ngày”. (Trần Vui, 2008 [10 tr. 6]).
Toán học là môn học của tư duy. Dạy học toán là nhằm trang bị và phát triển
ở học sinh khả năng và phương pháp tư duy trước một vấn đề toán học hoặc vấn đề
từ thực tiễn cuộc sống. Học toán không chỉ học các khái niệm, các kĩ năng giải toán
mà còn phải biết nghĩa của nó và biết vận dụng vào trong cuộc sống bình thường.
Một trong những nội dung toán có ứng dụng rất nhiều trong thực tiễn đó là
“thống kê”, một bộ phận của nội dung này đó là “Thống kê mô tả” được đưa vào
giảng dạy chính thức ở lớp 7 (từ năm học 2002 – 2003) và ở lớp 10 (từ năm học
- 2 -
2006 – 2007). Điều này hoàn toàn phù hợp với xu thế phát triển của xã hội vì kiến
thức thống kê không thể thiếu được đối với mỗi con người trong thời kì hội nhập và
phát triển hiện nay. Vào đầu thế kỉ XIX, nhà khoa học người Anh H.G. Well đã dự
đoán :“ Trong một tương lai không xa, kiến thức thống kê và tư duy thống kê sẽ trở
thành một yếu tố không thể thiếu được trong học vấn phổ thông của mỗi công dân,
giống như là khả năng biết đọc biết viết vậy”.
Tôi phỏng vấn trực tiếp một số giáo viên vừa mới dạy xong chương
Thống kê, họ đều cho rằng kiến thức về thống kê ở lớp 10 là rất đơn giản, thậm chí

1.4. Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là: Đại số 10 (chương trình nâng cao và
chương trình chuẩn).
1.5. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là: nghiên cứu vai trò của các bài toán kết
thúc mở đối với năng lực hiểu biết toán của học sinh, cụ thể trong dạy học thống kê
ở lớp 10.
Khách thể nghiên cứu: Học sinh lớp 10 của trường THPT Sông Ray.

2. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
2.1. Cơ sở lí luận
Trong mục này tôi sẽ nghiên cứu làm rõ khái niệm “Hiểu biết toán” và vai trò
của bài toán “kết thúc mở” trong việc phát triển tư duy toán và hiểu biết toán của
học sinh. Việc nghiên cứu này nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi thứ nhất.
2.1.1. Hiểu biết toán
Như trong phần mở đầu, tôi đã giới thiệu PISA là chương trình đánh giá học
sinh quốc tế của tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD. Các lĩnh vực mà PISA
chọn để đánh giá đó là: Đọc hiểu, hiểu biết toán, hiểu biết khoa học và giải quyết
vấn đề. Ở Việt Nam, việc đánh giá học sinh chủ yếu dựa trên các bài kiểm tra, các
kì thi (Học sinh giỏi, tốt nghiệp , tuyển sinh). Các nội dung đánh giá (đặc biệt ở cấp
độ đại trà) chủ yếu yêu cầu HS áp dụng các kiến thức, kĩ năng để giải quyết một số
bài toán toán học tiêu biểu mà các em đã được làm quen trong SGK và trong quá
trình học tập. Các bài toán kết thúc mở hay các bài toán có nguồn gốc thực tiễn
không thấy xuất hiện ở đây. Theo hướng đánh giá của PISA, người ta không chỉ
đánh giá kiến thức của HS mà còn xem xét đến khả năng sử dụng các kiến thức đã
học vào việc giải quyết các vấn đề của cuộc sống. Định nghĩa về hiểu biết toán của
OECD/PISA là: “Hiểu biết toán là năng lực của một cá nhân để xác định và hiểu
- 4 -
vai trò của toán học trong cuộc sống, để đưa ra những phán xét có cơ sở, để sử
dụng và gắn kết với toán học theo các cách đáp ứng nhu cầu của cuộc sống của cá

. Điều này rất gần gũi với “hiểu biết toán” của học sinh. Như vậy bài
1
Quá trình này gọi là quá trình “Mô hình hoá toán học”, xin xem thêm TLTK [6, tr. 11]
- 5 -
toán kết thúc mở có vai trò rất quan trọng trong việc nâng cao hiểu biết toán của học
sinh.
Ví dụ
2
: Công ty chiếu sáng công cộng quyết định dựng một cây đèn trong
một công viên nhỏ hình tam giác sao cho nó chiếu sáng toàn bộ công viên. Người ta
nên đặt nó ở đâu?
Đây là một vấn đề thực tiễn mang tính xã hội, bối cảnh là cộng đồng địa
phương, tình huống là dựng cây đèn ở chỗ nào trong công viên sao cho nó chiếu
sáng toàn bộ công viên. Vấn đề cần giải quyết này phải được mô hình hóa toán học.
Công viên được thể hiện là một hình tam giác, việc chiếu sáng toàn bộ công
viên như là một hình tròn ngoại tiếp tam giác đó mà bóng đèn là tâm của đường
tròn. Như vậy một mô hình toán học là: Dựng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam
giác.Vận dụng kết quả này vào tình huống thực tiễn ban đầu, phân tích, phản ánh và
đặt câu hỏi. Rõ ràng kết quả này không vận dụng được nếu tam giác có một góc tù
lúc đó cây đèn sẽ nằm ngoài công viên, mặt khác còn phải xem xét tới yếu tố khác
như cây xanh trong công viên có che ánh sáng của cây đèn không?
2.2. Cơ sở thực tiễn
2.2.1. Thống kê trong chương trình toán phổ thông
Thống kê được đưa vào giảng dạy trong chương trình toán phổ thông ở Việt
Nam từ rất sớm. Ngay từ lớp 3, lớp 4, lớp 5 học sinh đã được làm quen với các số
liệu thống kê, một số loại biểu đồ. Đến lớp 7 và lớp 10 thì thống kê được chính thức
đưa vào giảng dạy với một chương riêng biệt. Nội dung được phân bố đều khắp các
cấp học, lớp học theo kiểu các đường tròn đồng tâm, lớp sau nối tiếp lớp trước.
Thống kê ở lớp 3, lớp 4, lớp 5 chỉ ở mức độ chuẩn bị, chúng xuất hiện như là những
tri thức toán học khác, các khái niệm về lí thuyết thống kê chưa được phát biểu. Ở

Sau đây là bảng thống kê các bài toán có kết thúc mở có mặt trong các SGK:
Các ví dụ và hoạt động Bài tập Tổng
Bộ sách thứ nhất 1 1 2
Bộ sách thứ hai 1 6 7
Tổng 2 7 9
Bảng 1: Bảng thống kê số lượng ví dụ và bài tập có kết thúc mở trong các SGK.
Ghi chú:
Bộ sách thứ nhất: Đại Số 10 – Chương trình nâng cao
Bộ sách thứ hai: Đại số 10 – Chương trình chuẩn.
Qua bảng thống kê cho thấy số lượng các bài tập có câu hỏi kết thúc mở
được bộ sách thứ hai quan tâm nhiều hơn. Vì thế, việc cần bổ sung các bài toán kết
thúc mở sẽ được tập trung nhiều hơn vào đối tượng theo học chương trình nâng cao.
2.3. Bổ sung một số bài toán có kết thúc mở
2.3.1. Các bài toán
- 7 -
Bài toán 1
Người ta tiến hành những cuộc thăm dò dư luận để tìm ra mức độ ủng hộ tổng
thống trong lần bầu cử đến. Bốn nhà xuất bản báo thực hiện những thăm dò mức
quốc gia riêng lẻ. Những kết quả của bốn thăm dò được chỉ ra như sau:
Tờ Báo 1: 36,5% (thăm dò được tiến hành vào ngày 6 tháng Giêng, với một mẫu
gồm 500 cư dân được chọn ngẫu nhiên với quyền bầu cử).
Tờ Báo 2: 41% (thăm dò được tiến hành vào ngày 20 tháng Giêng, với một mẫu
gồm 500 cư dân được chọn ngẫu nhiên với quyền bầu cử).
Tờ Báo 3: 39% (thăm dò được tiến hành vào ngày 20 tháng Giêng, với một mẫu
gồm 1000 cư dân được chọn ngẫu nhiên với quyền bầu cử).
Tờ Báo 4: 44,5% (thăm dò được tiến hành vào ngày 20 tháng Giêng, với 1000 độc
giả gọi điện đến để bầu chọn).
Kết quả của tờ báo nào có khả năng là tốt nhất để dự đoán mức độ ủng hộ tổng
thống nếu cuộc bầu cử được tổ chức ngày 25 tháng Giêng? Hãy đưa ra hai lý do ủng
hộ cho câu trả lời của em.

- 8 -
Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy thảo luận loại biểu đồ thống kê mà các
em cho là thích hợp nhất để biểu diễn dữ liệu (thông tin) cho trước. Vẽ biểu đồ
thống kê. Từ bảng đó, hãy quyết định loại biểu đồ thống kê phù hợp nhất dùng để
biểu diễn dữ liệu cho mỗi trường hợp.
a. Cơ cấu giá trị sản xuất của một quốc gia trong một năm
Ngành
Số phần trăm
Công nghiệp nặng 41,2
Công nghiệp nhẹ 28,4
Công nghệ thông tin 15,5
Nông nghiệp 14,9
b. Một tạp chí về xe chỉ ra cho người xem số lượng xe mà một đại lí đã bán
ra cho những hãng khác nhau trong suốt một năm
Hãng
Số lượng bán ra
Mazda 532
Honda 621
Nissan 1030
Volvo 58
Toyota 450
Jaguar 36
BMW 40
Ford 89
Fiat 60
Mercerdes 700
c. Sự biến động về giá cổ phiếu của một công ty trong một tuần
Thứ
Giá cổ phiếu ($$)
Hai 2.30

Tú 9.5 8.5 8.5 9 5.5 7 10 7 9.5 8.5
Theo em thầy giáo sẽ chọn ai vào đội tuyển để đi thi học sinh giỏi Toán? Đưa ra lời
giải thích cho ý kiến của em.
Bài toán 8
Tại một cửa hàng bách hoá, người quản lí muốn đề ra các chiến lược kinh
doanh theo từng tháng, ông ghi chép rất cẩn thận số lượng các mặt hàng bán ra.
Bằng hiểu biết về kiến thức thống kê, em hãy giúp người quản lí đề ra các công việc
cần phải làm để các chiến lược có hiệu quả.
Bài toán 9
Một nhà cung cấp quần áo đồng phục thể dục cung cấp cho chúng ta các số liệu về
kích cỡ của mỗi size như sau:
Thông số thành phẩm: Áo đồng phục thể dục (tay ngắn)
Đơn vị: cm
Size S M L X XL
Vòng ngực 92 96 100 104 104
Dài thân sau 66 68 70 72 74
Dài tay 22.5 23
Em mặc size nào? Có bao nhiêu bạn trong lớp mặc cùng size với em? Hãy
giúp nhà trường tính toán xem cần đặt mua bao nhiêu áo đồng phục thể dục ở
mỗi size cho lớp chúng ta, và xa hơn là cho cả khối 10 của trường ta. Biết rằng
trường có 10 lớp 10 với số học sinh là 457 trong đó có 248 học sinh nữ và 209
học sinh nam.
3.2.Phân tích các bài toán
● Bài toán 1 và bài toán 2
- 11 -
Mục đích: Hai bài toán này được đưa ra nhằm giúp HS nhận thức được tầm quan
trọng của việc chọn mẫu điều tra. Nếu việc chọn mẫu không đúng thì kết quả điều
tra đó không đáng tin cậy.
Ở hai bài toán này học sinh phải đưa ra được lời nhận xét dựa trên các số liệu
và cách thức chọn mẫu, để giải quyết kiểu nhiệm vụ này đòi hỏi học sinh phải hiểu

1 1
1 1
0,402
A i i i i
i i
A A
s n x n x
N N
= =
 
= − ≈
 ÷
 
∑ ∑
Độ lệch chuẩn:
0,63
A
s ≈
.
Điểm trung bình của nhóm B là:
4,5 0 14,5 0 84,5 1 94,5 0
64,5
12
B
x
× + × + + × + ×
= =
- 12 -
Phương sai:
2

sau Hi Lạp là Tây Ban Nha rồi đến Bồ Đào Nha chứ không phải là Ý. Mặc dù mức
nợ của Tây Ban Nha Và Bồ Đào Nha thấp hơn Ý nhưng về mức độ thâm thủng
ngân sách của hai nước này đáng báo động hơn Ý nhiều.
● Bài toán 6
Thay vì một câu hỏi khô khan: Hãy tính số trung bình, số trung vị, mốt của
dãy số liệu trên? Ở đây đã được sử dụng một câu hỏi có kết thúc mở, học sinh được
tự do trình bày ý kiến của mình. Tham số nào có giá trị lớn sẽ được sử dụng, trong
dãy số liệu trên ta thấy điểm 9 xuất hiện 3 lần và là điểm số xuất hiện nhiều nhất,
như vậy rất nhiều khả năng An sẽ dùng “mốt” để báo cáo kết quả học tập môn Toán
của cậu ta với bố mẹ. Tuy nhiên, giá trị này không đại diện tốt cho dãy số liệu được
vì các điểm còn lại đều thấp hơn 9. Cũng giống như bài toán 1 và 2 bài toán này
muốn nhắc đến một khía cạnh đó là: người ta có thể lợi dụng thống kê để đạt được
một mục đích nào đó. Với người có kiến thức thống kê và “hiểu biết thống kê” sẽ
nhận định, phân tích và lí giải được vấn đề cần giải quyết.
● Bài toán 7
Bài toán này đưa ra nhằm kiểm tra khả năng vận dụng các tham số định tâm
cũng như tham số đo độ phân tán qua đó ý nghĩa của các tham số này được làm rõ
hơn. Nếu dựa vào các tham số định tâm thì HS sẽ trả lời là chọn Tú vì điểm trung
bình của Tú là 8.3 cao hơn của Tuấn (điểm trung bình của Tuấn là 8.21). Tuy nhiên
độ ổn định của Tuấn tốt hơn Tú, phương sai của điểm thi của Tuấn là 0.21 còn của
Tú là 1.76. Như vậy nếu căn cứ vào độ ổn định thì phải chọn Tuấn. Thông qua câu
- 13 -
Hình 1. Các HS tham gia thảo luận
trả lời của HS mà GV kiểm tra được khả năng vận dụng kiến thức về các số đặc
trưng của dãy số liệu vào việc làm cụ thể của các tình huống có thực trong cuộc
sống hàng ngày.
● Bài toán 8 và bài toán 9
Đây là hai bài toán đòi hỏi HS phải vận dụng kiến thức tổng hợp về thống kê
để giải quyết một vấn đề thực tế. Các em được đặt trước một vấn đề thực tế ngoài
toán học và phải biết vận dụng kiến thức thống kê để giải quyết. Hay nói một cách

4
có
kết thúc mở. Sau đây là bảng thống kê kết quả làm bài của HS (lớp 10A4 có 46 HS
tham gia làm bài kiểm tra, 1 HS vắng)
Lớp Tần số
[0;2) 0
[2;4) 2
[4;6) 1
[6;8) 34
[8;10] 8
N = 45
Bảng 2. Thống kê điểm kiểm tra của lớp 10A1
Lớp Tần số
[0;2) 1
[2;4) 4
4
Nội dung bài kiểm tra xem trong phần phụ lục.
- 15 -
[4;6) 17
[6;8) 22
[8;10] 2
N = 46
Bảng 2. Thống kê điểm kiểm tra của lớp 10A4
Điểm trung bình của lớp 10A1 là: 7,1; độ lệch chuẩn: s
≈
1,22
Điểm trung bình của lớp 10A4 là: 5,9; độ lệch chuẩn: s
≈
1,60
Qua so sánh ta thấy rõ điểm số của lớp 10A1 tốt hơn lớp 10A4, điểm trung

[4].Lê Thị Hoài Châu (2006), Đổi mới chương trình – nội dung và phương pháp
dạy học toán, Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên trung học phổ thông chu
kỳ III 2004 - 2007.
[5].Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông (Các
tình huống điển hình), NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh.
[6].Phạm Văn Tánh (2011), Năng lực hiểu biết toán của học sinh và vấn đề mô
hình hóa: Trường hợp dạy học thống kê lớp 10, Luận văn thạc sỹ, ĐHSP Huế.
[7].Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) – Tôn Thân (Chủ biên) – Trần Đình Châu –
Trần Phương Dung – Trần Kiều (2009), Toán 7 (Tập hai), NXB Giáo dục.
[8].Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) – Doãn Minh Cường –
Đỗ Mạnh Hùng – Nguyễn Tiến Tài (2006), Đại số 10, NXB Giáo dục.
[9].Trần Vui (2008), Dạy và học có hiệu quả môn Toán theo những xu hướng
mới, Tài liệu dành cho học viên cao học chuyên ngành PPGD toán, ĐHSP Huế.
[10].Trần Vui (2008), Đánh giá hiểu biết Toán của học sinh 15 tuổi, Tài liệu dành
cho học viên cao học chuyên ngành PPGD toán, ĐHSP Huế.
Người thực hiện
Phạm Văn Tánh
- 18 -
PHỤ LỤC
BÀI KIỂM TRA SAU THỰC NGHIỆM
Họ và tên: Lớp:………
Trong mỗi bài toán dưới đây, em hãy đọc kĩ thông tin và cố gắng trả lời tất cả
các câu hỏi ngay cả trong trường hợp em không chắc chắn. Cảm ơn em!
Bài toán 1
Một biên tập viên truyền hình đưa ra sơ đồ sau rồi nói: “Đồ thị đã chỉ ra rằng có sự
tăng mạnh về các vụ cướp từ năm 2000 đến năm 2001”
Em có cho rằng khẳng định của biên tập viên là có lí khi họ lí giải về sơ đồ trên
không? Hãy giải thích ý kiến của em.
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………….
Bài toán 3
Bảng dưới đây thống kê số % tiêu thụ trái cây ở một siêu thị
Loại trái cây Số % tiêu thụ
Nho Mỹ 30%
Thanh Long 10%
Bưởi 63%
Sầu Riêng 32%
Mít 7%
Xoài 12%
Câu hỏi: Đợt tới siêu thị sẽ nhập 200 thùng trái cây, theo em, cần nhập bao nhiêu
thùng bưởi? Hãy giải thích cho ý kiến của em.
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
- 200 -