y
z
x
M N
QP
α
β
dy
y
v
v
∂
∂
+
y
x
M1
P(x,y+dy)
M(x,y) N(x+dx,y)
U
V
dx
dy
N2
N1
P1
O
dx
x
v
v

1
P
1
.
(Hình 3.2)
- Điểm M(x,y) có chuyển vị theo phương x,y là : u; v.
- Điểm N(x+dx,y) có các chuyển vị theo phương x,y, khai triển Taylor bỏ qua
các vô cùng bé bậc cao là : u +
dx.
x
u
∂
∂
; v+
dx.
x
v
∂
∂
15
- Điểm P(x,y+dy) có các chuyển vị theo phương x,y là : u +
dy.
y
u
∂
∂
; v+
dy.
y
v

1
N
1
=
21
21
11
NM
cos
NM
NM ≈
α
=
Từ hình vẽ ta có :
dx)
x
u
1(udx.
x
u
udxNM
21
∂
∂
+=−
∂
∂
++=
x
u

xy
= α+β
Góc quay của cạnh MN sẽ là :
α ≈ tgα =
21
21
NM
NN
=
x)
x
u
1(
v)dx
x
u
v(
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
+
=
x
u
1
x

dy
dx
dz
M
y
z
x
M1
K1
Tương tự β =
y
u
∂
∂
=> γ
xy
= α+β=
x
v
∂
∂
+
y
u
∂
∂
(c)
Các kết quả (b) và (c) cho trong mặt phẳng xoy được sử dụng cho hai mặt phẳng
còn lại yoz và zox. Bằng cách hoá vị vòng các chỏ số theo thứ tự của tam diện
thuận x,y,z ta nhận được quan hệ chuyển vị và các biến dạng như sau :

∂
+
∂
∂
=γ
∂
∂
=ε
x
w
z
u
;
z
w
)1.3(
z
v
y
w
;
y
v
y
u
x
v
;
x
u

) =
ds
dy
(a)
n = cos (
z,n


) =
ds
dz
+Ở trạng thái ban đầu, toạ độ điểm đầu và điểm cuối của vi phân MK là
M(x,y,z) và K(x+dx, y+dy, z+dz)
+Điểm M(x,y,z) chuyển vị theo ba phương x,y,z là u,v, w.
+Điểm K(x+dx, y+dy, z+dz) chuyển vị theo ba phương là : u+du; v+dv;
w+dw.
Với du, dv, dw là các vi phân toàn phần của thành phần chuyển vị u,v,w.
du =
x
u
∂
∂
.dx +
y
u
∂
∂
.dy +
z
u

z
w
∂
∂
.dz
+ Sau biến dạng MK trở thành M
1
K
1
= ds
1
trong đó :
M(x,y,z) trở thành M
1
( x+u, y+v, z+w).
K(x+dx, y+dy, z+dz) trở thành K
1
(x+dx+u+du, y+dy+v+dv, z+dz+w+dw).
+ Chiều dài vi phân trước biến dạng: ds
2
= dx
2
+ dy
2
+ dz
2
(b)
+ Chiều dài vi phân ds
1
sau biến dạng:

=
2
2
1
ds
ds
 1+2ε
n
+ ε
n
2
=
2
2
1
ds
ds
 ε
n
=
2
2
2
1
ds2
dsds −
(d)
(Với giả thiết biến dạng bé có thể bỏ qua ε
n
2

y
v
∂
∂
.dy +
z
v
∂
∂
.dz)]
2
+
18
+ [dz + (
x
w
∂
∂
.dx +
y
w
∂
∂
.dy +
z
w
∂
∂
.dz)]
2

z
v
∂
∂
.dz)
2
;(
x
w
∂
∂
.dx+
y
w
∂
∂
.dy+
z
w
∂
∂
.dz)
2
so với
x
u
∂
∂
;
y

2
+ dz
2
) + 2 [(
x
u
∂
∂
.dx
2
+
y
u
∂
∂
.dxdy +
z
u
∂
∂
.dxdz) +
+ (
x
v
∂
∂
.dxdy +
y
v
∂

- ds
2
= 2 [(
x
u
∂
∂
.dx
2
+
y
u
∂
∂
.dxdy +
z
u
∂
∂
.dxdz) +
+(
x
v
∂
∂
.dxdy +
y
v
∂
∂

1
n
ds2
dsds −
=ε
=>
.
ds
dz
.
z
w
ds
dydz
.
y
w
ds
dxdz
.
x
w
ds
dydz
.
z
v
ds
dy
.

n
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=ε⇔

.lm + γ
yz
.mn + γ
zx
.nl (3.4).
ε
n
= ε
x
.l
2
+ ε
y
.m
2
+ ε
z
.n
2
+ 2








++
nl