Chơng 3. Tích Phân Phức
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 45
=





dt)t()t(fo
+





dt)t()t(go
=


+ dz)z(gdz)z(f

2. Định hớng Nếu hàm f khả tích trên đờng cong
+
= (ab) thì hàm f cũng khả tích
trên đờng cong
-
= (ba).


ba
dz)z(f = -





ds)s()s(fo

3. Hệ thức Chasles Nếu hàm f khả tích trên đờng cong = (ab) thì với mọi c hàm
f khả tích trên các đờng cong
1
= (ac) và
2
= (cb).


=+
abcbac
dz)z(fdz)z(fdz)z(f (3.2.3)
Chứng minh
Giả sử c = () với [, ]. Tham số hoá

1
=
1
([, ]) với
1
: [, ] D,
1
(t) = (t)

2

22
=





dt)t()t(fo

4. Ước lợng tích phân Kí hiệu s() là độ dài của đờng cong . Nếu hàm f khả tích
trên đờng cong thì hàm | f(z) | khả tích trên đờng cong .



dz)z(f


ds)z(f sup

| f(z) | s() (3.2.4)
Chứng minh
Từ giả thiết suy ra hàm fo(t)(t) khả tích trên [, ]. Kết hợp công thức (3.1.3) với
công thức tích phân đờng loại 1 suy ra



dz)z(f =




e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F

c
o
m
Chơng 3. Tích Phân Phức
Trang 46 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
5. Liên hệ tích phân đờng Nếu hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y) khả tích trên đờng cong
thì các hàm u(x, y) và v(x, y) khả tích trên đờng cong .


++= dy)y,x(udx)y,x(vidy)y,x(vdx)y,x(udz)z(f (3.2.5)
Chứng minh
Từ giả thiết suy ra các hàm u(t) và v(t) khả tích trên [, ]. Kết hợp công thức (3.1.3) với
công thức tích phân đờng loại 2 suy ra công thức (3.2.5)

Công thức Newton-Leibniz
Hàm giải tích F(z) gọi là nguyên hàm của hàm f(z) trên miền D nếu z D, F(z) = f(z)
Cho hàm f(z) có nguyên hàm là F(z) và = (ab). Khi đó ta có

ab
dz)z(f = F(b) - F(a) (3.2.6)
Chứng minh
Từ giả thiết suy ra hàm Fo(t) là nguyên hàm của fo(t) trên [, ]. Kết hợp công thức
(3.1.1) và công thức Newton - Leibniz của tích phân xác định.


ab
dz)z(f =




Với n = 1 hàm f(z) =
z
1
có nguyên hàm F(z) = Lnz. Tuy nhiên hàm logarit chỉ xác định
đơn trị trên - (-, 0]. Vì vậy I = Ln
1
(e
i2

) - Ln
0
(e
i0
) = 2i

Đ3. Định lý Cauchy

Định lý Cho hàm f giải tích trên miền D đơn liên và đờng cong đơn, kín, trơn từng
khúc, định hớng dơng và nằm gọn trong miền D. Khi đó ta có
0dz)z(f =


(3.3.1)
Chứng minh
Kí hiệu D

D là miền đơn liên có biên định hớng dơng là đờng cong . Để đơn

r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w









D
dxdy)
y
u
x
v
( + i







D
dxdy)
y
v
x
u
( = 0


hình bên. Ta có
D
1
= D + (ab) + (ba) + (cd) + (dc)
Kết hợp hệ quả 2 và tính định hớng, tính cộng tính
của tích phân
0 =


1
D
dz)z(f
=

D
dz)z(f +

ab
dz)z(f
+

ba
dz)z(f
+

cd
dz)z(f
+

dc

L
k
dz)z(f
(3.3.4)
Chứng minh
Suy ra từ công thức (3.3.3) và tính định hớng, tính cộng tính của tích phân.

d

c

a

b

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i

a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 3. Tích Phân Phức



anz
d)(f

Hệ quả 5 Cho hàm f giải tích trên miền D đơn liên và a D. Khi đó hàm
F(z) =


z
a
d)(f với z D (3.3.6)
là nguyên hàm của hàm f trong miền D và F(a) = 0.
Chứng minh
Theo công thức (3.3.5) hàm F xác định đơn trị trên miền D và F(a) = 0.
Ngoài ra với mọi (z, h) D ì sao cho [z, z + h] D
)z(f
h
)z(F)hz(F

+
=
( )

+

hz
z
d)z(f)(f
h

i2
1
=





D a 0
D a 1
(3.4.1)
Hàm Ind

(a) gọi là chỉ số của điểm a đối với đờng cong

.
Chứng minh
a

n

m
z

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X

m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t

1
theo công thức (3.3.4) và các ví dụ
trong Đ1.



az
dz
=


S
az
dz
= 2i
Định lý
Cho hàm f giải tích trong miền D và đờng cong đơn, kín, trơn từng khúc,
định hớng dơng sao cho D

D. Khi đó ta có
a D - , Ind

(a)f(a) =



dz

dz)z(g
=





dz
az
)a(f
dz
az
)z(f

Kết hợp với công thức (3.4.1) suy ra công thức (3.4.2)
Hệ quả 1
Cho miền D có biên định hớng dơng gồm hữu hạn đờng cong đơn, kín,
trơn từng khúc và hàm f liên tục trên
D
, giải tích trong D.
z D, f(z) =







Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r

d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m