Chơng 2. Hàm BiếnPhức
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 35
1. Phép quay tâm O góc z = e
i

z
2. Phép vi tự tâm O hệ số =
3. Phép tĩnh tiến vectơ b w = + b
Vậy phép biến hình tuyến tính là phép đồng dạng.

Hàm nghịch đảo
Hàm nghịch đảo
w =
z
1
, z
*
(2.9.3)
là hàm giải tích, có đạo hàm
w(z) =
2
z
1
0 với z 0
và do đó biến hình bảo giác mặt phẳng (z) - {0} lên mặt phẳng (w).

Kí hiệu z = re
i

, ta có
| w | =

u
u
+
và y =
22
vu
v
+


Thay vào phơng trình đờng tròn (2.9.5) nhận đợc
D(u
2
+ v
2
) + Bu - Cv + A = 0
Qua phép biến hình nghịch đảo
1. Đờng thẳng
đi qua gốc A = D = 0 biến thành đờng thẳng qua gốc
không qua gốc A = 0 và D 0 biến thành đờng tròn qua gốc
2. Đờng tròn
đi qua gốc A 0 và D = 0 biến thành đờng thẳng không qua gốc
không qua gốc A 0 và D 0 biến thành đờng tròn không qua gốc
Vậy phép biến hình nghịch đảo biến đờng tròn suy rộng thành đờng tròn suy rộng.

z

w



r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w

)dcz(
bcad


0 với z -
c
d

và do đó biến hình bảo giác mặt phẳng (z) - {-
c
d
} lên mặt phẳng (w).

Phân tích
w =
c
a
dcz
1
c
adbc
+
+

(2.10.2)
Suy ra phép biến hình phân tuyến tính là tích của các phép biến hình sau đây.
1. Phép đồng dạng z = cz + d
2. Phép nghịch đảo =

1

a
, b
1
=
c
b
và d
1
=
c
d

Suy ra nếu biết đợc ảnh của ba điểm khác nhau
w
1
= w(z
1
), w
2
= w(z
2
), w
3
= w(z
3
),
thì có thể xác định đợc phép biến hình phân tuyến tính.

3
1

1
(z +
z
1
), z
*
(2.10.4)
là hàm giải tích, có đạo hàm
w(z) =
2
1
(1 -
2
z
1
) 0 với z 0, 1
và do đó biến hình bảo giác mặt phẳng (z) - {0, 1} lên mặt phẳng (w).
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e


C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o

w =
2
1
(r +
r
1
)cos

+ i
2
1
(r -
r
1
)sin

(2.10.6)

Qua phép biến hình Jucop
Đờng tròn
|
z
|
= 1 biến thành đoạn thẳng u = cos

, v = 0
|
z
|
= r biến thành ellipse u =


Đ11. Các ví dụ biến hình bảo giác

Ví dụ 1 Tìm hàm giải tích w = f(z) biến hình bảo giác nửa mặt phẳng D = { Imz > 0 }
thành phần trong hình tròn đơn vị G = {
|
w
|

<
1 } sao cho f(a) = 0.


Do

D và

G đều là đờng tròn nên chúng ta chọn phép biến hình phân tuyến tính
w =
dcz
baz
+
+

Do hàm phân tuyến tính bảo toàn tính đối xứng qua biên và f(a) = 0 suy ra f(
a
) =
1

-

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X

m
Chơng 2. Hàm Biến Phức
Trang 38 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
w = k
az
az


với k




Do tính tơng ứng biên : z



D

w = f(z)



G suy ra
z = x


|
w
|

G = { | w | < 1 } sao cho f(a) = 0.
Do D và G đều là đờng tròn nên chúng ta chọn phép biến hình phân tuyến tính
w =
dcz
baz
+
+

Do hàm phân tuyến tính bảo toàn tính đối xứng qua biên và f(a) = 0 suy ra f(1/
a
) =
w =
a/1z
az
k


=
1za
az
k


với k
Do tính tơng ứng biên : z D w = f(z) G suy ra
| z | = 1 | w | = | k |
1za
az



e

) = 0 và f(0) = i.
Trớc hết biến góc nhọn thành nửa mặt phẳng trên bằng phép luỹ thừa. Sau đó dùng
phép biến hình phân tuyến tính (2.11.1) biến nửa mặt phẳng trên thành phần trong của
hình tròn đơn vị.
0

1/
a

0

a

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i

a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 2. Hàm BiếnPhức

1z






+
Ví dụ 5 Tìm hàm giải tích w = f(z) biến hình bảo giác miền D = {| z | < 1, | z -
2
i
| >
2
1
}
thành miền G = { -1 < Rew < 1 }.
Lấy tích các phép biến hình w = i =
iz
i4

+ 3

0

i

w =


) = i

-
1

1


=
1z
1z
+



(0) = -1,

(i) = i

0

i

-
1


= -i


- 3i


(i) = i,

(i/2) = -i
i


=
iz
1

,

(i) =



(0) = i,

(
-
i) = i/2

0

-
i


a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.