G
I
Phương pháp toạ độ trong không gian NXT - FIT
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Phần 1: Hệ toạ độ trong không gian
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Diện tích của hình bình hành ABCD
[ ]
ADABS ,
=
2. Diện tích tam giác ABD
[ ]
ADABS ,
2
1
=
3. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ 3’. Thể tích tứ diện ABCD.
[ ]
'A., AADABV
=
[ ]
'A.,
6
1
AADABV
=
4. Một số tính chất của tích vô hướng và tích có hướng
0.
=⇔⊥
vuvu
vu vµ

a)
0
=+
xa
và
)1;2;1(
−=
a
b)
axa 4
=+
và
)1;2;0(
−=
a
c)
bxa
=+
2
và
)1;4;5(
−=
a
;
)3;5;2(
−=
b
3. a) Cho 3 điểm không thẳng hàng:
);;(
AAA

a) Trên các mặt phẳng Oxy, Oxz, Oyz. b) Trên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz.
c) Tìm toạ độ của điểm đối xứng với điểm M qua gốc toạ độ O (M
1
), qua trục Ox (M
2
), qua trục Oy
(M
3
), qua trục Oz (M
4
), qua mặt phẳng Oxy(M
5
), qua mặt phẳng Oxz(M
6
), qua mặt phẳng Oyz (M
7
).
5. Trong hai bộ ba điểm sau, bộ ba điểm nào thẳng hàng:
)1;3;1(A
;
)2;1;0(B
;
)1;0;0(C
và
)1;1;1('A
;
)1;3;4('
−
B
;

'
2
zyxB
;
);;('
'
4
'
4
'
4
zyxD
.
7. Cho bốn điểm
)1;2;5(
−
A
;
)4;3;1(
−
B
;
)3;1;2(
−
C
;
)2;6;2(
−
D
.

10. Cho ba vectơ:
)1;1;1(
−=
a
;
)1;0;4(
−=
b
;
)1;2;3(
−=
c
. Tìm:
2K2+ - 1 -
A
B
C
D
u
v
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
A(x
A

2
BA
I
xx
x
+
=
2
BA
I
yy
y
+
=
2
BA
I
zz
z
+
=
Phương pháp toạ độ trong không gian NXT - FIT
a) (
a
.
b
).
c
b)
2

c
.
b
e) 4
a
.
c
+
2
b
-5
c
11. Tìm góc giữa hai vectơ sau:
a)
)1;3;4(
=
a
;
)3;2;1(
−=
b
b)
)4;5;2(
=
a
;
)3;0;6(
=
b
c)

;
)2;1;0(
=
b
;
)3;2;4(
=
c
. b)
)4;3;4(
=
a
;
)2;1;2(
−=
b
;
)1;2;1(
=
c
.
c)
)5;2;4(
=
a
;
)3;1;3(
=
b
;

baabbar
14. Cho 3 điểm
)0;0;1(A
;
)1;0;0(B
;
)1;1;2(C
a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác (Chứng minh A, B, C không thẳng hàng).
b) Tính chu vi và diện tích tam giác.
c) Tìm toạ độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
d) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A.
e) Tính các góc của tam giác ABC.
f) Tìm tọa độ chân D
1
đường phân giác trong AD
1
và chân D
2
đường phân giác ngoài AD
2
của
.ABC
∆
15. Cho bốn điểm:
)0;0;1(A
;
)0;1;0(B
;
)1;0;0(C
;

bcacbac ,,,
+=+
18. Cho tam giác ABC với:
)2;1;1(
−
A
;
)3;0;1(
−
B
;
)1;2;0(C
a) Tính chu vi và diện tích tam giác.
b) Tìm toạ độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
c) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A.
d) Tính các góc của tam giác ABC.
e) Tìm tọa độ chân D
1
đường phân giác trong AD
1
và chân D
2
đường phân giác ngoài AD
2
của
.ABC
∆
19. Cho bốn điểm:
)1;3;2(A
;

A
;
)2;1;3(
−
B
;
)4;2;1(
−
C
;
)9;6;5(
−
D
a) Chứng tỏ D nằm ngoài mặt phẳng (ABC).
b) Tìm toạ độ trọng tâm của tứ diện ABCD.
c) Tính diện tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A.
22. Cho bốn điểm:
)2;7;5(
−
A
;
)1;1;3(
−
B
;
)4;4;9(
−
C
;
)0;5;1(D

−
C
. Tìm toạ độ hình chiếu vuông
góc H của P lên mặt phẳng ABC.
25. Cho bốn điểm:
)4,2,3(
−
A
;
)2,5,2(
−
B
;
)2,2,1(
−
C
;
)3,2,4(D
a) Tính cosin của góc tạo bởi
AB
và
CD
.
b) Tính diện tích tam giác BCD.
c) Tính độ dài đường cao của hình tứ diện ABCD xuất phát từ đỉnh A.
Phần 2: Phương trình mặt cầu.
A. Kiến thức cần nhớ
1. Phương trình mặt cầu tâm
);;(
000

- d là khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng P:
)).(,( PId
- Tâm I’ là giao điểm của đường thẳng (d) (qua tâm I của mặt cầu và vuông góc với mặt phẳng (P)) và
mặt phẳng (P).
- Bán kính:
22
dRr
−=
* Nếu (P) đi qua tâm I của mặt cầu thì: I
≡
I’ và R=r.
3. Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(I, R):
222
))(,(
CBA
CcBbAa
PId
++
++
=
B. Bài tập: Phương trình mặt cầu
1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a)
0128
222
=++−++
yxzyx
b)
04284
222

=+−++
yxzyx
i)
076
222
=−−++
zzyx
j)
0442
222
=+−−++
zyxzyx
2. Viết phương trình của mặt cầu đường kính AB với A, B có toạ độ:
a)
)1,3,1(
−−
A
;
)5,1,3(
−
B
. b)
)5,2,6(
−
A
;
)7;0;4(
−
B
.

;
)0,,0( bB
;
),0,0( cC
;
)0;0;0(O
.
6. Cho
)4;1;3(
−−
S
;
)0;1;3(
−
A
;
)0;3;1(B
;
)0;1;3(
−
C
;
)0;3;1(
−−
D
.
a) Chứng minh rằng ABCD là hình vuông và SA là đường cao của hình chóp S.ABCD.
b) Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.
7. Cho hai mặt cầu
09:)(

f) Hai đầu đường kính là A(4; -3; -3) và B(2; 1; 5).
g) Hai đầu đường kính là A(2; -3; 5) và B(4; 1; -3).
h) Nhận AB làm đường kính với A(6; 2; -5) và B(-4; 0; 7).
i) Đi qua bốn điểm: A(1; -2; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 1), D(-8; -2; 2).
j) Đi qua bốn điểm: A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0).
k) Qua ba điểm: A(0; 0; 4), B(2; 1; 3), C(0; 2; 6) và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz).
9. Cho các điểm: A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) trong đó a, b, c là các hằng số dương.
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác nhọn.
b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
c) Tìm toạ độ O’ đối xứng với O qua mặt phẳng (ABC).
10. Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) và cắt đường thẳng (d):
tại hai điểm A, B sao cho AB = 16.
11. Cho các điểm: A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4).
a) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Viết phương trình tham số của đường thẳng qua I và vuông góc
với mặt phẳng (ABC).
Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
12. Xét vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng sau:
a)
05426
222
=+++−++
zyxzyx
, x + 2y + z -1 = 0.
b)
010226
222
=+−+−++
zyxzyx
, x + 2y + 2z = 0.

h)
032
222
=−−++
zzyx
, x - 2y - z + 5 = 0.
i)
082
222
=−−++
xzyx
, x - 2y - 3 = 0.
j)
4)1(
222
=++−
zyx
, x - 2 = 0.
k)
0242
222
=−−−−++
mzyxzyx
, 2x - 4y - 2z + 5 = 0.
l)
4)2()1(
222
=−++−
zyx
, 2x + y - z + m = 0.

16. Cho 4 điểm A(-2; 0; 1), B(0; 10; 3), C(2; 0; -1) và D(5; 3; -1).
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C.
b) Viết phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với mp(P).
c) Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc với mp(P).
17. Cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + 6z - 18 = 0 cắt Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C. Viết phương trình mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện OABC.
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (tiếp diện)
18. Viết phương trình mặt phẳng:
a) Tiếp xúc với mặt cầu:
24)2()1()3(
222
=++−+−
zyx
tại điểm M(-1; 3; 0).
b) Tiếp xúc với mặt cầu:
05426
222
=++−−++
zyxzyx
tại M(4; 3; 0).
c) Tiếp xúc với mặt cầu:
49)2()3()1(
222
=−+++−
zyx
tại M(7; -1; 5).
d) Tiếp xúc với mặt cầu:
2222
)()()( Rczbyax
=−+−+−

và song song với 2 đường thẳng:
2
13
3
1
2
5
+
=
−
−
=
+
zyx
;
0
8
2
1
3
7
−
=
−
+
=
+
zyx
.
k) Chứa đường thẳng (d): và tx với mc:

zyxzyx
. Viết phương trình tiếp diện của (S):
a) Đi qua T(1; 1; 1).
b) Đi qua đường thẳng:
c) Đi qua đường thẳng:
34
1
1
zyx
=
−
−
=
.
d) Vuông góc với đường thẳng:
2
2
1
1
2
3
−
−
=
+
=
−
zyx
.
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

222
=−−−+++
zyxzyx
2K2+ - 5 -
x - 2y - z + m = 0
x + y + 2 = 0
2x + y - z - 1 = 0
x - 2z - 3 = 0
x - 2y - 3 = 0
2x + z - 1 = 0
x - 2y + 3z - 2 = 0
x + y - z = 0
x - 2y - 1=0
z - 1 = 0
Phương pháp toạ độ trong không gian NXT - FIT
c) (S):
25)1()2()1(
222
=−+−+−
zyx
24. Tuỳ theo m, xét vị trí tương đối của (d): với mặt cầu (S):
8)1()2()1(
222
=++−+−
zyx
25. Tìm vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng sau:
a)
0142
222
=++−++

zxzyx
, (x = 1 - t; y = m + t; z = 2 + t).
e)
0422
222
=++−+++
mzyxzyx
,
Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (tiếp tuyến)
26. Cho mặt cầu (S), tâm I(2; 1; 3), bán kính R = 3.
a) Chứng minh rằng T(0, 0, 5) nằm trên mặt cầu (S).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (S) tại T, biết rằng tiếp tuyến đó:
- có vectơ chỉ phương là:
).2;2;1(
=
a
- vuông góc với mặt phẳng:
.03223:)(
=++−
zyx
α
- Song song với đường thẳng (d’):
27) Cho mặt cầu (S):
03242
222
=−+−−++
zyxzyx
. Viết phương trình tiếp tuyến của (S):
a) Có vectơ chỉ phương
)1;1;4(

05462
222
=+−−−++
zyxzyx
b)
02642
222
=−+−−++
zyxzyx
,
02222
222
=+−+−++
zyxzyx
c)
02622
222
=−+−−++
zyxzyx
,
04622
222
=−+−−++
zyxzyx
d)
01422
222
=−+−++
yxzyx
,

=−+−+−
DCzByAx
Rczbyax
hoặc
2222
2222
')'()'()'(
)()()(
Rczbyax
Rczbyax
=−+−+−
=−+−+−
Điều kiện: (Aa + Bb + Cc)
2
< R
2
(A
2
+ B
2
+ C
2
) hay (R- R’)
2
<(a- a’)
2
+ (b- b’)
2
+ (c- c’)
2

222
=+++
=+−+−++
zyx
zyxzyx
e)
0122
5)3()3()2(
222
=++−
=++++−
zyx
zyx
f)
0122
010226
222
=+−−
=+−+−++
zyx
zyxzyx
g)
0922
086246
222
=+−−
=−−+−++
zyx
zyxzyx
h)

0
02
22
=
=−+
z
Rxyx
Tìm phương trình đường thẳng (d) tựa trên (C), cắt (d) và vuông góc với (d).
34.Cho đường tròn (C) xác định bởi:
(C):
0122
017664
222
=++−
=+++−++
zyx
zyxzyx
a) Tìm toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn (C).
b) Lập phương trình mặt cầu chứa đường tròn (C) và có tâm thuộc mặt phẳng x + y + z + 3 = 0.
Phần 3: Phương trình mặt phẳng
I. Phương trình mặt phẳng
A. Kiến thức cần nhớ
a) Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 với
0C B A
222
≠++
,
);;( CBAn
=
là vtpt của mp.

và
)',','(
2
cbau
=
thì
có vectơ pháp tuyến








=
''
;
''
;
'' b
b
a
a
a
a
c
c
c
c

=+++
DzCyBxA
với
.1
2
0
2
0
2
0
=++ CBA
B. Bài tập
1. Mặt phẳng (P) có phương trình 3x - 5y+ z - 15 = 0
a) Tìm một vectơ pháp của mặt phẳng đó.
b) Tìm toạ độ giao điểm của mặt phẳng với các trục toạ độ.
2. Mặt phẳng (P) có phương trình 2x - 3y + 5z - 1 = 0.
a) Tìm toạ độ một vetcơ pháp của mặt phẳng đó.
b) Tìm toạ độ giao điểm của mặt phẳng với các trục toạ độ Ox, Oy, Oz.
3. Viết phương trình mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) và phương trình mặt phẳng đi qua M(2; -1; 3) và
lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ đó.
4. Viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua điểm M(3; 2; -5) và có vectơ pháp tuyến
)1;4;3(
−=
n
.
b) Đi qua M(1; -3; 7) và có vectơ pháp
)0;2;3(
=
n

u
và
( )
1;2;1
−=
v
.
2K2+ - 7 -
000
000
114
OBOAOC
OBOAOC
+=
+=
Phương pháp toạ độ trong không gian NXT - FIT
l) Qua P(8; -3; 1), Q(4; 7; 2) và vuông góc với mặt phẳng 3x + 5y - 7z - 21 = 0.
m) Qua I(3; -1; 5) và vuông góc với MN, trong đó M(4; 2; -1), N(1 ; -2, 3).
n) Qua K(-1; -2; 5) đồng thời vuông góc với 2 mp (P
1
):x + 2y - 3z + 1 = 0 và (P
2
):2x - 3y + z + 1 = 0.
o) Qua A(-1; 1; 2) và vuông góc với BC, trong đó B(3; -1; 0), C(2; 1; 1).
p) Qua M(1; -2; 3) và song song với mặt phẳng x - 3y + 2z + 13 = 0.
q) Qua M(1; 0; -2) và vuông góc với 2mp (P
1
): 2x + y - z - 2 = 0 và (P
2
): x - y - z - 3 = 0.

a) A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C(4; 5; 6). b) A(3; -1; 5), B(4; 2; -1), C(1 ; -2, 3).
c) A(-1; 1; 2), B(3; -1; 0), C(2; 1; 1). d) A(2; 1; 3), B(-1; -2; 4), C(4; 2; 1).
e) A(2; -3; 1), B(-2; 0; 5), C(3; 2; 0). f) A(2; -4; 0), B(5; 1; 7), C(-1; -1; -1).
g)A(1; -1; 2), B(-3; 0; 4), C(1; 1; 0). h) A( 5; 0; 0), B(0; -3; 0), C(0; 0; -5).
8.a) Tìm phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm M(-4; -9; 12), A(2; 0; 0) và cắt Oy, Oz lần lượt tại B
và C sao cho OB = 1 + OC (B, C không trùng với gốc O).
b) Tìm phương trình mp(Q) đi qua M và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A
0
, B
0
, C
0
sao cho:
9. Cho tứ diện ABCD với các đỉnh A(7; 9; 1), B(-2; -3; 2), C(1; 5; 5), D(-6; 2; 5). G là trọng tâm của tứ
diện, I là điểm cách đều 4 đỉnh của tứ diện. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm B, G, I.
10. Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 3), B(3; -2; 1), C(-4; 1; 1), D(1; 1; -3). Gọi I là điểm cách đều 4 đỉnh
của tứ diện, U, V, R lần lượt là những hình chiếu vuông góc của I lên các trục Ox, Oy, Oz. Tìm phương
trình của mặt phẳng (UVR).
11. Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Xác định toạ độ hình chiếu H của O lên mặt phẳng (ABC). Tính OH.
c) Tính diện tích S của tam giác ABC.
d) Giả sử a, b, c thay đổi nhưng thoả mãn
2222
kcba
=++
không đổi. Khi nào S đạt giác trị lớn nhất?
Chứng tỏ rằng khi đó OH cũng lớn nhất.
12. Cho tứ diện ABCD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).
a) Viết phương trình các mặt của tứ diện.