[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế
SĐT. 0935.785.115 Địa chỉ: 116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế

I – PHƯƠNG PHÁP
Kết quả 1: Cho tam giác OAB , trên cạnh OA chọn A '  0 , trên cạnh OB chọn B '  0 .
Lúc đó:

SOA ' B ' OA ' OB '
=

SOAB
OA OB

Chứng minh:
Gọi H , H ' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và A ' lên
OB

Lúc đó: S0 A ' B ' =

1
1
A ' H '.OB ' và SOAB = AH .OB
2
2


Gọi H , H ' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và A ' lên
mp ( SBC ) .
Lúc đó:
VS. A ' B 'C ' =

1
1
A ' H '.SSB 'C ' và VS . ABC = AH .S SBC
3
3

Suy ra:
VS . A ' B 'C ' A ' H ' S SB 'C ' SA ' SB ' SC '
=

=


(Định lý thales)
VS . ABC
AH S SBC
SA SB SC

II – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' . Tỉ số thể tích khối AA ' B ' C ' và khối ABCC ' là
A. 1

B.

1

= 1.
VC '. ABC

 Chọn đáp án A.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB, SD . Mặt phẳng

( AMN ) cắt

SC tại E . Gọi V2 là thể tích của khối chóp S.AMEN và V1 là thể tích khối chóp S.ABCD .

Khẳng định nào sau đây là đúng?
1
A. V2 = V1
3

1
B. V2 = V1
4

1
C. V2 = V1
8



2
Ta có :

VS . AMEN 2VS . AME SA SM SE 1 1 1
=


=  =
VS . ABCD 2VS . ABC SA SB SC 2 3 6

1
1
 VS . AMEN = VS . ABCD hay V2 = V1
6
6

 Chọn đáp án D.
Ví dụ 3 : Cho tứ diện đều ABCD . Điểm M là trung điểm AB và N trên cạnh CD sao cho CN = 2 ND
. Tỉ số thể tích của khối ABCD và khối MNBC bằng
A. 3.

B.

3
.
2

C.

VBACD 3
VBMCN

 Chọn đáp án A.

Ví dụ 4 : Cho hình chóp S.ABC . Gọi M , N lần lượt thuộc các cạnh SB, SC sao cho
SM = MB, SN = −2CN . Mặt phẳng ( AMN ) chia khối chóp thành hai phần, gọi V1 = VS . AMN và

V2 = VABCNM . Khẳng định nào sau đây đúng ?
1
B. V1 = V2
3

A. V1 = V2

1
C. V1 = V2
2

2
D. V1 = V2
3

Lời giải
Ta có :

VS . AMN SM SN 1 2 1
=

=  =

8

1
D. V2 = V1
6

Lời giải

⎯⎯
→ Qua M dựng MK BE . Xét tam giác BEC :

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

 MK BE

. Suy ra E là trung điểm SK .

1
MK = MK


2
Vậy

SE 1


1
C. V2 = V1
8

1
D. V2 = V1
6

Lời giải
Hình chóp C.A ' B ' C ' và lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có
đường cao và đáy bằng nhau nên
1
1
2
VC . A ' B 'C ' = VABC . A ' B 'C '  VC . ABB ' A ' = V1 − V1 = V1
3
3
3

Do EF là đường trung bình của hình bình hành
ABB ' A '  S ABFE =

1
1
S ABB ' A '  VC . ABB ' A ' = V1
2
3

1


Lời giải
+

VS .BMN VB.MNS BM BN BS 1 4 4
=
=


=  =
VS . ABC VB. ACS
BA BC BS 3 5 15

+

VA.CPN VC . ANP CA CN CP 1 1 1
=
=


=  =
VS . ABC VC . ABS CA CB CS 5 2 10



VS . BMN
4 1 8
=  =
VA.CNP 15 10 3


S
1
1 1 1
1
 AMNP = MNP =  =  VAMNP = VABCD = 7 a 3
2
VABCD S BCD 2 2 4
4

 Chọn đáp án D.
Ví dụ 9: Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' . Gọi O là tâm của ABCD; M, N lần lượt là trung điểm của

A ' B ' và A ' D ' . Tỉ số thể tích của khối A ' ABD và khối OMND ' C ' B ' bằng
A.

4
9

B.

4
7

C.

5
7

D.


VOMND 'C ' B '

S ABD
S MND 'C ' B '

=

7
S ABD .
4

=

1
d ( A '; ( ABCD ) ) .S ABD
3
1
d ( O; ( A ' B ' C ' D ' ) ) .S MND 'C ' B '
3

4
 Chọn đáp án B.
7

Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, SA = a, ABC đều cạnh 2a . Gọi M , N
lần lượt thuộc các cạnh SB, SC sao cho SM = MB, SN = −2CN . Tính thể tích khối AMNCB.
A.

2 3a 3
9


Ta có:

VS . AMN SM SN 1 2 1
=

=  =
VS . ABC
SB SC 2 3 3

1
2
2 3a 3
 VS . AMN = VS . ABC  VABCNM = VS . ABC =
3
3
9

 Chọn đáp án A.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm cạnh SA .Mặt phẳng

( ) qua


=   =
2VS . ABC
SA SB SC 2 2 2 8

 V1 = 8V2  Chọn đáp án A.

Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm cạnh SC . Mặt phẳng

( ) chứa

AM và song song với BD , cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại N , P . Gọi V1 = VS . ANMP và

V2 = VABCDPMN .Khẳng định nào sau đây đúng?

A. V2 = 3V1

3
B. V2 = V1
2

C. V2 = 2V1

7
D. V2 = V1
2

Lời giải
Gọi BD  AC = O ; AM  SO = I  là
trọng tâm SAC và SBD . Qua I dựng

Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi M , N , P, Q lần lượt
1
thuộc các cạnh SA, SB, SC , SD sao cho SM = MA; SN = 2 NB; SP = 3PC ; SQ = SD . Tính thể tích khối
3

SMNPQ .
A.

3 2a 3
16

B.

2a 3
48

C.

2a 3
16

D.

2a 3
32

Lời giải
Ta có

VS .MNP SM SN SP 1 2 3 1

16

Vậy VSMNPQ = VS .MNP + VS .MPQ =

3
VS . ABCD
16

3
2a 3
2a 3
= 
=
 Chọn đáp án D.
16 6
32

Ví dụ 14: Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' . Gọi V1 = VA. A' B 'C ' và V2 = VABC . A ' B 'C ' . Khẳng định nào sau đây
đúng?
3
A. V1 = V2
4

1
B. V1 = V2
2

1
C. V1 = V2
3


1
B. V1 = V2
2

1
C. V1 = V2
3

2
D. V1 = V2
3

Lời giải
Do AA '

( BCC ' B ')  VM .BCC ' B ' = VA.BCC ' B'

1
2
Ta có : VA. A ' B 'C ' = VABC . A ' B 'C '  VA.BCC ' B ' = VABC . A ' B 'C '
3
3

V1 2
=  Chọn đáp án D.
V2 3

Suy ra:


– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
=

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

1
1
d ( A; ( BCB ' C ') ) .S BCB 'C ' = VABCD. A ' B 'C ' D '
6
6

V1 1
=  Chọn đáp án B.
V2 6

Suy ra:

Ví dụ 17: Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' .Gọi M là trung điểm cạnh AB . Gọi V1 = VMBCB ' và

V2 = VABCD. A' B 'C ' D ' .Khẳng định nào sau đây đúng?
A. V1 =

5
V2
12

1

2
3

B.

4
23

C.

4
9

D.

4
27

Lời giải
Ta có:

S ADE AD AE 2 2 4
=

=  =
S ABC AB AC 3 3 9

Mặt khác:
1
1

Ví dụ 19: Xét khối chóp tứ giác đều S.ABCD , mặt phẳng chứa đường thẳng AB đi qua điểm C ' của
cạnh SC chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số

A.

1
2

B.

2
3

C.

5 −1
2

SC '
SC

D.

4
5

Lời giải
Đặt

SC '

 VS . ABCD .
2

1
x2 + x 1
= VS . ABCD 
=
2
2
2

−1 + 5
2

 Chọn đáp án C.
Ví dụ 20: Cho khối hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' có thể tích V . Tính thể tích khối chóp ACB
. ' D'
A.

V
3

B.

V
2

C.

2V

3

Nhận xét: Hoàn toàn có thể “thử: trường hợp đặt biệt, khi hình hộp đặt biệt trở thành hình lập phương
cạnh a thì dễ thấy thể tích khối lập phương là a 3 , còn khối ACB
. ' D ' là khối tứ diện đều cạnh a 2 
thể tích tương ứng là

(

)

3

2 a 2
12

=

a3
. So sánh ta đưa ra kết quả.
3

Ví dụ 21: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật ABCD có BC = 2 AB , SA vuông góc với đáy.
Gọi M là điểm trên cạnh AD sao cho AM = AB . Gọi V1 ,V2 lần lượt là thể tích của hai khối chóp
S. ABM và S.ABC . Tính

A.

1
8

2
4
4

V 1
1
Mặt khác: VS . ABC = VS . ABCD  1 = 
2
V2 2

 Chọn đáp án D.
Ví dụ 22: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng

600 . Gọi A '; B '; C ' tương ứng là điểm đối xứng của A; B; C qua S . Tính thể tích khối bát diện có các
mặt ABC; A ' B ' C '; A ' BC; B ' CA; C ' AB; AB ' C '; BC ' A '; CA ' B '.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
A. 2 3a3

Luyện thi THPT Quốc gia 2018
3a 3
2

B.

C.


3

 Chọn đáp án C.
Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi M , N , P, Q lần lượt
1
thuộc các cạnh SA, SB, SC , SD sao cho SM = MA; SN = 2 NB; SP = 3PC; SQ = SD. Tính tỉ số thể tích
3

giữa khối SMNPQ và khối S.ABCD .
A.

3
16

B.

3
8

C.

3
32

D.

1
12

Câu 2. Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' . Gọi V1 = VA.BCC ' B ' và V2 = VABC . A ' B 'C ' . Khẳng định nào sau đây


1
6

D.

1
8

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

Câu 4. Cho hình lăng trụ ngũ giác ABCDE.A ' B ' C ' D ' E ' . Gọi A ", B '', C '', D '', E '' lần lượt là trung điểm
của AA ', BB ', CC ', DD ', EE ' . Khi đó tỉ số thể tích của khối lăng trụ ABCDE.A '' B '' C '' D '' E '' và khối lăng
trụ ABCDE.A ' B ' C ' D ' E ' bằng:
A.

1
2

B.

1
4

C.

D.

V
81

Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có A ' và B ' lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB . Tỉ số thể tích
VS . ABC
bằng:
VS . A ' B 'C '

A.

1
2

B.

1
4

C. 4

D.2

Câu 7. Cho hình chóp S.ABC . Gọi A ' và B ' lần lượt là trung điểm của SA và SASB . Khi đó tỉ số thể
tích của hai khối chóp S. A ' B ' C và S.ABC bằng:
A.

1
2

1
8

D.

1
16

Câu 9. Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' . Tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB ' D ' và khối hộp
ABCD.A ' B ' C ' D ' bằng:

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
A.

1
2

B.

1
4

Luyện thi THPT Quốc gia 2018
C.

1
4

B.

1
4

C.

1
6

Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O . Khi đó, tỉ số

A.

1
2

B.

1
4

C.

1
6

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O . Khi đó, tỉ số

A.

VS . ABCD

D.

1
8

VS .OAB
bằng
VS . ABC

D.

1
8

Câu 14. Cho tứ diện SABC . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , AC . Gọi
V1 = VS . ABC ,V2 = VS .MNP .Lựa chọn kết luận đúng trong các kết luận sau:

A. V1 = 2V2

B. V1 = 8V2

C. V1 = 4V2

D. V1 = 6V2

Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
SA và SB . Tính tỉ số thể tích


Câu 16. Cho hình chóp S.ABC có SA = 9; SB = 4; SC = 8 và đôi một vuông góc. Các điểm A; B '; C ' thỏa
mãn SA = 2SA '; SB = 3SB '; SC = 4 SC ' . Tính thể tích của khối chóp S. A ' B ' C '
A. 24

B. 16

C.2

D.12

Câu 17. Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a . Tính thể tích khối tứ diện ACD ' B ' .

A.

a3
3

B.

2a 3
3

C.

a3
4

D.

6a 3