Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Bài 1: Cho số phức z thoả mãn z = 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P = z + 1 + z 2 − z + 1 . Tính giá trị của M.n
A.

13 3
4

B.

39
4

C. 3 3

D.

13
4

➢ Cách 1:
Re(z) là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, z = 1  z.z = 1
❖ Đặt t = z + 1 , ta có: 0 = z − 1  z + 1  z + 1 = 2  t  0;2

(

)

❖ t 2 = (1 + z ) 1 + z = 1 + z.z + z + z = 2 + 2 Re( z )  Re( z ) =

t2 − 2

2 + 2t
min f (t ) = f  2  = 3
 

1 
❖ TH2: t   ;1
2 

1
7
 7  13
− 2 = 0  t = −  max f (t ) = f  −  =
8
2 + 2t
 8 4

f '(t ) =

 Maxf (t ) =

13
;
4

Minf (t ) = 3  M .n =

13 3
4

Bài 2: Cho số phức z thoả mãn z − 3 − 4i = 5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỉ nhất của

❖ z − 3 − 4i = 5  ( x − 3) + ( y − 4 ) = 5  ( x − 3) + 
− 4  − 5 = f ( x)
2


2

❖ f '( x) = 8( x − 3) − 8( P − 4 x − 11) = 0  x = 0, 2 P − 1, 6  y = 0,1P + 1, 7

 P = 33
2
❖ Thay vào f ( x ) ta được: ( 0, 2 P − 1, 6 − 3) + (0,1P + 1, 7 − 4) 2 − 5 = 0  
 P = 13
➢ Cách 2:
❖ z − 3 − 4i = 5  ( x − 3) + ( y − 4 ) = 5 : (C )
2

❖

2

(  ) : 4x + 2 y + 3 − P = 0

❖ Tìm P sao cho dường thẳng ∆ và đường tròn (C) có điểm chung

 d ( I ; )  R  23 − P  10  13  P  33
❖ Vậy MaxP = 33; MinP = 13
❖ w = 33 + 13i  w = 1258
Bài 3: Cho số phức z thoả mãn z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = z + 1 + 2 z − 1
B. Pmax = 2 10


➢ Cách 1:
❖ z − 2 − 4i = z − 2i  x + y = 4
❖ z = x +y 
2

2

( x + y)
2

2

=

42
=2 2
2

x + y = 4 x = 2

 w = 2 2 − 4i  w = 2 6
❖ min z = 2 2 , Dấu “=” xảy ra khi 
y = 2
x = y

2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


➢ Cách 1:
❖ z + i + 1 = z − 2i  x − y = 1
❖ x2 + y 2 

( x − y)2 1
=
2
2

1
1
=
2
2

❖ z = x2 + y 2 

Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x 2 + y 2 

( x − y )2
2

➢ Cách 2:
❖ z + i + 1 = z − 2i  y = x − 1
2

1 1
1
1


D.

15
4
Sáng tác: Phạm Minh Tuấn

➢ Cách 1:
3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
❖ Ta có: z = 1  z.z = 1
2

❖ Đặt t = z + z   0; 2  t 2 = ( z + z )( z + z ) = z 2 + 2 z.z + z = 2 + z 2 + z
2

2

2

❖ z 3 + 3z + z = z z 2 + 3 + z = t 2 + 1 = t 2 + 1
2

 1 3 3
❖ P = t − t +1   t −  + 
 2 4 4
2


2

− z + z = z2 + 3 + z − z + z = z + z +1 − z + z

3
. Đến đây các bạn tự tìm max nhé
4

Bài 7: Cho các số phức a, b, c, z thoả az 2 + bz + c = 0(a  0) . Gọi z1 và z2 lần lượt là hai nghiệm của
phương trình bậc hai đã cho. Tính giá trị của biểu thức P = z1 + z2 + z1 − z2 − 2 ( z1 − z2
2

A. P = 2
B. P =

c
a

C. P = 4

2

)

2

c
a


c
 P = 4 z1 z2 = 4
a
a

Bài 8: Cho 3 số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 + z2 + z3 = 0 và z1 = z2 = z3 = 1 . Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 là số thuần ảo
2

2

2

B. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 là số nguyên tố
2

2

2

C. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 là số thực âm
2

2

2

4


2

(

)

(

)

(

= ( z1 + z2 ) z1 + z2 + ( z2 + z3 ) z2 + z3 + ( z3 + z1 ) z3 + z1

)

= z1 z1 + z2 z2 + z3 z3 + z1 z1 + z2 z2 + z3 z3 + z1 z2 + z2 z1 + z2 z3 + z3 z2 + z3 z1 + z1 z3

(

)

(

)

(

= z1 + z2 + z3 + z1 z1 + z2 + z3 + z2 z1 + z2 + z3 + z3 z1 + z2 + z3
2

2

z
Bài 9: Có bao nhiêu số phức z thoả mãn hai điều kiện z = 1 và  +
z
A. 5

B. 6

C. 7

2

z
 =1 ?
z

D. 8

➢ Giải:
❖ Ta có: z = 1 = z.z
2

❖ Đặt z = cos x + isin x, x 0;2   z 2 = cos 2 x + isin 2 x
z
❖  +
z

1


.
z1 + z2 + z3

A. P = 1999

C. P = 999,5

B. P = 1999 2

D. P = 5997

➢ Giải
5

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
 z z + z z + z z   z . z + z .z + z .z 
❖ P2 =  1 2 2 3 3 1   1 2 2 3 3 1 
z1 + z2 + z3
 z1 + z2 + z3  



19992
z
=
 1
z1


2
2
2
1999 1999 1999
 z1 + z2 + z3  
+
+

z1
z2
z3




 = 19992




❖ P = 1999
❖ Tổng quát: z1 = z2 = z3 = k  z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = k z1 + z2 + z3
Bài 11: Cho số phức z thoả mãn

3 − 3 2i
z − 1 − 2i = 3 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
1 + 2 2i

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z = 3 = 3i . Tính M.m


Bài tập áp dụng:
1) Cho số phức z thoả mãn z − 2 + 2i = 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của z . Tính M .m
A. M .n = 7

B. M .n = 5

2) Cho số phức z thoả mãn

C. M .n = 2

D. M .n = 4

1 + 2i
z − 2 = 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
1− i

nhất của z + i . Tính M .m
A. M .n =

1
5

B. M .n =

1
3

C. M .n =

A. 2

B. 2 3

C.

2 3
3

D.

3

➢ Giải:
➢ Dạng Tổng quát: z1 z + z2 + z1 z − z2 = k với z1 = a + bi; z2 = c + di; z = x + yi
k 2 − 4 z2

❖ Ta có: Min z =

2 z1

2

và Max z =

k
2 z1

❖ Chứng minh công thức:
❖ Ta có: k = z1 z + z2 + z1 z − z2  z1 z + z2 + z1 z − z2 = 2 z1z  z 

2

(1

2

2

+ 1.

( ax − by − c ) + ( ay + bx − d )
2

2

)

2
2
2
2
+ 12  ( ax − by + c ) + ( ay + bx + d ) + ( ax − by − c ) + ( ay + bx − d ) 



= 4 ( a 2 + b2 )( x2 + y 2 ) + 4 ( c2 + d 2 )
❖ Suy ra z = x + y 
2

2


2
2
+ iz −
= 4 . Gọi m = min z và M = max z , khi đó
1− i
1− i

M .n bằng:
A. 2

B. 2 2

C. 2 3

D. 1
7

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
❖ ADCT Câu 12 ta có: z1 = 1; z2 =


2
m = 2
;k = 4  
1− i


2

❖ Mặc khác: z1 z2 z3 =

2

2

1
3
+
i  z1 z2 z3 = 1  z1 z2 z3 = 1
2 2

❖ Suy ra P  3 . Dấu “=” xảy ra khi z1 = z2 = z3 = 1
Bài 15: Cho số phức z = x + yi với x, y là các số thực không âm thoả mãn
2

(

P = z2 − z + i z2 − z

2

z −3
= 1 và biểu thức
z − 1 + 2i

)  z(1 − i) + z(1 + i) . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P lần lượt là:


A. Pmin = 1

C. Pmin = 3

B. Pmin = 4

D. Pmin = 2

➢ Giải:
❖ Ta có: z = 1  − z = 1
8

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

(

)

❖ P = 1 + z + 1 + z 2 + 1 + z3 = 1 + z + − z 1 + z 2 + 1 + z3  1+ z − z 1+ z 2 + 1+ z3 = 2
6z − i
 1 . Tìm giá trị lớn nhất của z .
2 + 3iz

Bài 17: Cho số phức z thoả mãn
A. max z =

1

Bài 18: Cho z = a + bi, ( a, b 

) thoả

z 2 + 4 = 2 z và P = 8(b2 − a 2 ) − 12 . Mệnh đề nào sau đây

đúng?
A. P = z − 2

(

2

)

(

2

)

B. P = z − 4

2

C. P = ( z − 2 )

2

D. P = ( z − 4 )

❖ z − 2 − 3i = 1  ( x − 2 ) + ( y − 3) = 1 (1)
2

2

❖ Đặt P = z + 1 + i  ( x + 1) + ( y − 1) = P 2
2

2

(2) với P  0

9

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
❖ Lấy (1)-(2) ta được: y =

P 2 + 10 − 6 x
. Thay vào (1):
4
2

 P 2 + 10 − 6 x

− 3  = 1  52 x 2 − 40 + 12 P 2 x + P 4 − 4 P 2 + 52 = 0
❖ ( x − 2) + 
4

Bài 20: Cho số phức z  * thoả mãn z 3 +

1
1
 2 và M = max z + . Khẳng định nào sau đây
3
z
z

đúng?
C. 2  M 

A. −1  M  2
B. 1  M 

5
2

7
2

D. M 3 + M 2 + M  3

➢ Giải:
3

3

1
1




=  z +  − 3 z +    z +  − 3 z +   2
3
z
z
z
z
z




3

3

1
1
1
1


−3 z +
❖ Mặc khác:  z +  − 3  z +   z +
z
z
z
z


B. ( z ) = 21008 − 3

D. ( z ) = 21008 − 2

➢ Giải:
❖

( z − 3 + 1)(1 − i ) = (1 + i )

2017

 ( z − 3 + 1)(1 − i ) (1 + i ) = (1 + i )

2018

10

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
1009

1009
(1 + i )2 
2i 




B.

3
 z 3
2

D. 3  z  5

➢ Giải:

(1 − 5i ) z = 2 z42 +

3i + 15

(

)

(

)( z − 3i ) = 2 z42  1 −

(

)

 1 − 5i z − 3i 1 − 5i =

❖



C. P = 2
D. P =

B. P = 3

2
2

➢ Giải:
❖ Đặt z = x + yi, 2z − i = 2 + iz  x2 + y 2 = 1
❖ Gọi A, B là hai điểm biểu diễn z1, z2.
❖ Ta có z1 − z2 = OA − OB = AB = 1
❖ Suy ra AB = OA = OB hay tam giác OAB đều.
❖ P = z1 + z2 = OA + OB = 2OM = 2.

3
= 3
2

Bài 24: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 = z2 = z3 = 1 và z1 + z2 + z3 = 0 . Tính giá trị của biểu
thức P = z12 + z22 + z32 .
11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
A. P = 1



(

❖ z1 + z2 + z1 − z2 = 2 z1 + z2
2

2

2

2

)  52 = z

1

2

+ z2

2

(z


1

+ z2
2


B. z1 + z2 + z3  z1 z2 + z2 z3 + z3 z1

C. z1 + z2 + z3  z1 z2 + z2 z3 + z3 z1

D. z1 + z2 + z3  z1 z2 + z2 z3 + z3 z1

➢ Giải: Chuẩn hoá z1 =

1
3
1
3
+
i, z2 = −
i, z3 = −1 Suy ra đáp án A
2 2
2 2

Bài 28: Cho z1, z2, z3 thoả mãn z1 = z2 = z3 = 1 và z1 + z2 + z3 = 1 . Biểu thức
P = z12 n +1 + z22 n +1 + z32 n +1 , (n  *) nhận giá trị nào sau đây?

A. 1

B. 2

C. 4

D. 3

➢ Giải: Chuẩn hoá n = 1, z1 = 1, z2 = i, z3 = −i Suy ra đáp án A

D. Pmin =

5
2

A. Pmin =

➢ Giải:

(

)
+ z )( z + z

(
+z )

)

(

❖ z1 − z2 + z2 − z3 + z3 − z1 = ( z1 − z2 ) z1 − z2 + ( z2 − z3 ) z2 − z3 + ( z3 − z1 ) z3 − z1
2

2

2

= 9 − ( z1 + z2


❖ Do đó: P 

2
9
= 1 (do z1 + z2 + z3  0 )
9

Bài 30: Cho ba số phức z thoả mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
A. Pmax = 1
B. Pmax =

C. Pmax =

1
2

2z − i
:
2 + iz

3
4

D. Pmax = 2

z = 1
➢ Giải: Chuẩn hoá: z  1  
z = 0
❖ z =1 P =


2

2

2

2

2

C. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = 2 2
2

2

2

D. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = 1
2

2

2

13

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

➢ Giải:
❖ 3  z − i  z +1  z  2
 x 2 + ( y − 1)2 = 9
 z1 = −2i
o Dấu “=” xảy ra khi:  2
2
 x + y = 4

❖ z − 2 2  z − 2 − 2i  5  z  5 + 2 2

( x − 2 )2 + ( y − 2 )2 = 25
4+5 2  4+5 2 
 z2 =
+ 
o Dấu “=” xảy ra khi: 
i
2
2
2
2 
 x + y = 33 + 20 2

❖ P=

4+5 2  4+5 2 
+ 
 i − 4i = 33
2
2



2

=

y + ( y − 2)

2

2

2

3 7
7

= y−  + 
2 4
4


 y = 3
4+ 6 3
+ i
❖ Dấu “=” xảy ra khi: 
2  z =
2
2
 y = ( x − 2 )
Bài 34: Cho số phức z thoả mãn z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = z 3 − z + 2 .


3
4

D. Pmax = 2

C. Pmax = 1

Bài 37: Cho phương trình: z 4 + az 3 + bz 2 + cz + d = 0,(a, b, c, d  ) có bốn nghiệm phức là z1, z2, z3,
z4. Biết rằng z1z2 = 13 + i, z3 + z4 = 3 + 4i , khẳng định nào sau đây đúng?
B. b  50

A. b  53

C. b  55

D. b  51

Bài 38: Cho số phức z thoả mãn z1 = z2 = z3 = 1 và z1 + z2 z3 ; z2 + z3 z1 ; z3 + z1z2 là các số thực. Tính

( z1 z2 z3 )

2017

.

A. 1

C. ±1


 z −1 
Bài 40: Cho z1, z2, z3, z4 là nghiệm phức của phương trình: 
 = 1 . Tính giá trị của biểu thức
 2z − i 
4

(

)(

)(

)(

)

P = z12 + 1 z22 + 1 z32 + 1 z42 + 1 ;

A. P = 1

C. P =

18
5

B. P = −1

D. P =

17

2

z1 z2
.
+
z1 z2

A. 2

B.0,75

C. 0,5

D. 1

Bài 43: Trong mặt phẳng phức với gốc toạ độ O, cho hai điểm A, B (khác O) biểu diễn hai số phức z1,
z2 thoả mãn z12 + z22 = z1 z2 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ∆OAB vuông cân tại A
B. ∆OAB đều
C. ∆OAB cân, không đều
D. ∆OAB cân tại A
Bài 44: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 = z2 = z3 =

2
và z1 + z2 + z3 = 0 . Tính giá trị lớn
2

nhất của biểu thức P = z1 + z2 + 2 z2 + z3 + 2 z3 + z1 .
A. Pmax =


2

2

2

3
2

❖ Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:
P = z1 + z2 + 2 z2 + z3 + 2 z3 + z1 

(1 + 2

2

+ 22

)( z + z
1

2
2

+ z2 + z3 + z3 + z1
2

2

) = 3 26


C.  = 3 5

B.  = 4 2

D.  = 4

➢ Giải:
❖ z − 1 = 2  ( x − 1) + y 2 = 2
2

❖ P = x 2 + ( y + 1) +

( 2 − x ) + ( y − 1)

❖ P = x 2 + ( y + 1) +

( 2 − x ) + ( y − 1)

2

2

2

2

2

2


3

A. 1
B.

C. 2

3
4

D.

3

➢ Giải:
❖ Ta có: z1 + z2 = 1; 3 = z1 − z2  z1 + z2

(

❖ z1 + z2 + z1 − z2 = 2 z1 + z2
2

(

2

❖ P = 4 z1 + z2
3



+ z2

)

2

2

 3  z1 + z2  2

− 3 ( z1 + z2 ) + 5

t = 1
❖ Xét hàm số: f (t ) = t 3 − 3t + 5, t   3; 2  ; f '(t ) = 3t 2 − 3 = 0  
t = −1
❖ Do đó min f (t ) = 3  min P = 3
❖ Dấu “=” xảy ra khi z1 + z2 = 1
Bài 49: Cho số phức z thoả mãn z +

3
2
2
= 3 2 . Gọi M = max z và m = min z , tính môđun của số
2

phức  = M + mi .
A.  = 4 22

C.  = 5 10

z+ =3 2 
= 18 
= 18 
= 18
2
2
2
2
z
z
z
2

z −6 z +9
4



2

z

2

= 18  12 − 3 15  z  12 + 3 15
2

Do đó:  = 3 62
Bài 50: Cho số phức z thoả mãn z 2 − 2 z + 5 = ( z − 1 + 2i )( z + 3i − 1) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P = z − 2 + 2i .


3
4

Bài 52: Chi số phức z thoả mãn z 2 + 4 = 2 z . Gọi M = max z và m = min z , tính môđun của số
phức  = M + mi .
A.  = 2 3
B.  =

6
3

C.  = 14
D.  =

2
3

Bài 53: Cho số phức: z = x + yi, ( x, y  ) là số phức thoả mãn hai điều kiện z + 2 + z − 2 = 26 và
2

biểu thức P = z −

2

3
3
−
i đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức (x.y)
2

1
15
−
i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4
4

1
1
1
1
+
+
+
.
z1 z2
z3
z1 + z2 + z3

P=

A. Pmin = 6

C. Pmin = 5

B. Pmin = 4

D. Pmin = 3

Bài 55: Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn z1 = z2 = 1 . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức

z
là số thực. Tính
1 + z3

2

1+ z

2

.

A.

1
3a + 1

C.

1
3a + 2

B.

2
a+2

D.

1

= 2a =
❖
2
2
a
+
1
2a + 1
1+ z
2a
z

2

Bài 57: Cho hai số phức z ,  khác 0 và thoả mãn z −  = 2 z =  . Gọi a, b lân lượt là phần thực và
phần ảo của số phức u =

z



. Tính a 2 + b 2 = ?

A.

1
2

C.


 z −1 = 2 z

1
15
1
15
1

( x − 1) + y = 4 x + y

z= 
iu = 
i  a 2 + b2 =

2
2
z −1 = 1
8
8
8
8
4


( x − 1) + y = 1


Bài 58: Cho hai số phức z ,  khác 0 và thoả mãn z −  = 5 z =  . Gọi a, b lần lượt là phần thực và
phần ảo của số phức u = z. . Tính a 2 + b 2 = ?
A.

 z −1 = 5 z

1 3 11
1 3 11
1

( x − 1) + y = 25 x + y

z=

iu = 
i  a 2 + b2 =

2
2
z −1 = 1
50
50
50
50
25


( x − 1) + y = 1


Bài 59: Cho số phức  và hai số thực a, b. Biết rằng  + i và 2 − 1 là hai nghiệm của phương trình
z 2 + az + b = 0 . Tính a + b = ?

A.


−
1
=
b
(
)(
)
3
3




 2a 2 a 1
a = −2
− + =b

 2a 2 a 1   2
4
5

9
9
3

− +  −  a + i = b  
  13  a + b = −
9 3  9
9


B.

2
2017

D.

1
2017 2

20

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Đặt z1 = 2017 ( cos 2 x + i sin 2 x ) và z2 = 2017 ( cos 2 y + i sin 2 y )
Ta có:

z1 + z2
cos 2 x + i sin 2 x + cos 2 y + i sin 2 y
cos( x − y)
=
=
2
2017 + z1 z2 2017 (1 + cos ( 2 x + 2 y ) + i sin ( 2 x + 2 y ) ) 2017 cos( x + y)




+ 2 + 3 +1 = 0 .
z2 z3 z3 z1 z1 z2

Khẳng định nào sau đây đúng?.
A. z1 + z2 + z3 = 3

C. z1 + z2 + z3 = 2

1
3

D. z1 + z2 + z3 = 4

B. z1 + z2 + z3 =

Bài 62: Cho số phức z thoả mãn điều kiện z = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 1008 1 + z + 1 + z 2 + ... + 1 + z 2016 + 1 + z 2017

A. 2017

C. 2018

B. 1008

D. 2016

Bài 63: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn điều kiện z1 = z2 = z3 = 1, z1 + z2 + z3  0 và
z12 + z22 + z32 = 0 . Khẳng định nào sau đây sai?

A. z12017 + z22017 + z12017 = 0


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
B.

1
2

D.

1
3

22

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất