Chuyên đề: TÍCH PHÂN

Câu lạc bộ Giáo viên trẻ Tp. Huế
Tác giả: PHẠM THANH PHƯƠNG

Biên tập: LÊ BÁ BẢO (Huế)

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG
Chủ đề 2: TÍCH PHÂN
I. ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
ĐỊNH NGHĨA

1.

Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số thực bất kì thuộc K . Nếu F là một nguyên
hàm của f trên K thì hiệu số F ( b ) − F ( a ) gọi là tích phân của f từ a đến b , ký hiệu
b



f ( x ) dx. Nếu a < b thì

a

b

 f ( x ) dx

gọi là tích phân của f trên đoạn  a; b .

a

b



b

b

a

a

f ( x ) dx =  f ( t ) dt =  f ( u ) du = F ( b ) − F ( a )

a

Ví dụ
3
1 
1
1
1

 2 1
3 
 

1: I =   4 x +
 dx =  2 x + ln 2 x − 1  1 = 18 + ln 5  −  2 + ln1 = 16 + ln 5
2x −1 

 2
1
1
1
3

9
 1

=  − 6 + ln 3  −  − 2 + ln1 = ln 3
2
 2


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN
2
 y4
2

2
Ví dụ 3: I =   y 3 + 2 y −  dy =  + y 2 − 2 ln y 
y
 4
1
1

1


(

)

4

(

)

Ví dụ 5: I =  4 + cot 2 s ds =  3 + 1 + cot 2 s ds = ( 3s − cot s )


2



2

4



2

 3
  3
 −3 − 4
=


•

c
c
b
f
x
dx
+
f
x
dx
=
f ( x ) dx
( )  ( )

a
b
a



b
b
b


f
x

•

Nếu f ( x )  0 trên  a; b thì

b

 f ( x ) dx  0 .
a

•

Nếu f ( x )  g ( x ) trên  a; b thì

b



b

f ( x ) dx   g ( x ) dx .

a

a

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH, ĐƯA VỀ TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN

1.



dx

2

A ( x + 1) + B
A
B
x
+
, x  −1 
=
, x  −1
2
2
2
x + 1 ( x + 1)
( x + 1)
( x + 1)

A =1
A =1
x
1
1
=
−
 x = Ax + A + B, x  −1  

. Do đó


x

( x + 1)

x ( x − 1)
x2 − 4

2

=

x +1 −1

( x + 1)

2

=

1
1
−
, các này hiệu quả hơn.
x + 1 ( x + 1)2

dx

Gợi ý: Với mọi x 0;1 , ta có:



1

(

)

(

)

1

1

2
1
1
1 d x −4
( x + 2) − ( x − 2)
=  dx + 
+
dx
2
2 0 x −4
x + 2 ) ( x − 2)
0
0 (
1


1 1
1
x−2 1
1 3
1
= x + ln x 2 − 4 + ln
= 1 + ln + ln
0 2
0
x+2 0
2 4
3
2

Ví dụ 3: Tính I =



x 2 − 1 dx

−2

 x 2 − 1, khi x 2 − 1  0  x 2 − 1, khi x  (−, −1]  [1, +)
=
Gợi ý: Ta có: x − 1 = 
2
2
2
1 − x , khi x − 1  0 1 − x , khi x   −1,1
2

2

)

1

(

)

2

(

)

− 1 dx +  1 − x dx +  x 2 − 1 dx
−1

2

1

 x3
 −1 
2
x3  1  x3
=  − x + x −  + − x = 4
3  −1  3
 3

8

1
1 sin 4 x
  3
+ 2sin 2 x + 3x  =
( cos 4 x + 4cos 2 x + 3) dx = 

80
8 4
0 8


Khi đó: I =


6

Ví dụ 5: Tính I =  sin x.cos 5 xdx
0

Gợi ý: Dùng công thức lượng giác: sin x.cos 5 x =


1
( sin 6 x − sin 4 x )
2




Bài tập 2. Tính I = 


3

4

Bài tập 4. Tính I =  sin 2 xdx

Bài tập 3. Tính I =  1 − x dx

0

0


4

(

)

Bài tập 5. Tính I =  4 cos 4 x − 3cos 2 x dx
0

2.
-

PHƯƠNG PHÁP DÙNG VI PHÂN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN
Một số bài toán đơn giản không cần phải đưa ra biến mới, tức là không cần đặt t = t ( x ) ,

 f ( x +  ) dx =   f ( x +  ) df ( x +  ) =  .F ( x +  ) a
a

a


4

Ví dụ 1: Tính I =  tan xdx
0





4

4





4
d ( cos x )
sin x
2
Gợi ý: I =  tan xdx = 
dx = − 
dx = − ln cos x 4 = − ln

1
1 d ex + 1
dx
ex
Gợi ý: I =  x
=
dx =  dx −  x
dx = dx −  x
e + 1 0
ex +1
e +1
e +1
0
0
0
0
0
1

1
1
2e
= x − ln e x + 1 = 1 − ln ( e + 1) + ln 2 = ln
0
0
1+ e


1 − 2sin 2 x
dx

3

3

3
1
1
1 ( 2 x + 3) 2 3 ( 2 x + 3) 2 3 27 − 5 5
=
=
Gợi ý: I =  ( 2 x + 3) 2 d ( 2 x + 3) = .
3
1
1
21
2
3
3
2
ln 3

Ví dụ 5: Tính I =

e x dx



(1 + e )
x


x

(

1 + ex
=
1
−
2

)

−

1
2

ln 3
−2 ln 3
=
= 2 −1
0
1 + ex 0

Bài tập tương tự:

4

Bài tập 1. Tính I =  cot xdx
0

dx
2 x − 3x + 1
2

ln 6

Bài tập 5. Tính I =

e

e x + 3dx

x

0

3. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
- Cho các hàm số u(x), v(x) có đạo hàm liên tục trên K và hai số thực a, b thuộc K , ta có:
b

b
b b
b b
a u ( x )v ' ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) a − a v ( x ) u ' ( x )dx . Viết gọn: a udv = uv a − a vdu

- Nếu hàm số f(x) là tích của 2 trong 4 hàm: hàm lũy thừa y=xa , hàm số mũ
y = a x , y = e x , hàm lôgarit y = logax, y = lnx, hàm lượng giác y = sin x, y = cos x thì ta sử

dụng phương pháp tích phân từng phần, tức là biến đổi f(x)dx về dạng u ( x ) v ' ( x ) dx .
- Việc lựa chọn u và dv phải thỏa mãn các điều kiện sau: du đơn giản, v dễ tìm, tích

dx
,
v
=
chọn
1 + x2
2

1
1 1 x3
x2
ln 2 
x 
1
ln 1 + x 2 − 
dx
=
−
x−
dx = − + ln 2

2
2 

0 0 1+ x
2
2 0  1+ x 
2

(

Khi đó: I = −e .x
+ 2 x.e dx = − + 2 K , với K =  xe
. − x dx
0 0
e
0

(

−x

2

)

Tính K: Đặt u = x2, dv = e-xdx, ta có: du = dx, chọn v = -e-x.

(

Khi đó: K = − x.e− x

)

1 1 −x
1
1
1 1 
2
+  e dx = − − e− x = − −  − 1 = − + 1
0 0

, chọn v = − 2
3
2x
x
x

2
ln x 2
dx
ln 2
1 2 3 − 2 ln 2
+
=−
− 2 =
2
3

2x 1 1 2x
8
4x 1
16
e2

1 
 1
Ví dụ 4: Tính I =   2 −
 dx
ln
x
ln

−  dx = − e2 − e = e −
ln x
2
2
e e
2

3

Ví dụ 5: Tính I = 
1

3 + ln x

( x + 1)

2

Gợi ý: Đặt u = 3 + ln x, dv =

(

)

dx
dx

( x + 1)

2

2 1  x x +1 
4
x +1 1 4 
16 

Bài tập tương tự:
1

Bài tập 1. Tính I =  x.ln ( x + 1) dx

2

Bài tập 2. Tính I =  ( x 2 + x − 1) e x dx
1

0


2

Bài tập 3. Tính I =  x.sin xdx
0

2

Bài tập 4. Tính I =  x.e x dx
1

e



+ Bước 1: Đặt t = t(x), suy ra dt = t ' ( x ) dx
Đổi cận: x = a  t = t ( a ) =  , x = b  t = t (b ) = 
+ Bước 2: Biến đổi f ( x ) dx = g (t ) dt

1



+ Bước 3: Khi đó:

x a
2

dx = ln x + x 2  a + C (đơn giản hơn tích phân đã cho).

Giả sử G ( t ) là một nguyên hàm của g ( t ) thì I = G ( t )





4

Ví dụ 1: Tính I = 
0

(

dx

1

Lúc đó: I = 

1

1 
t +1 1
4
 1
= 
−
dt
=
ln
= ln

t +1 t + 2 
t+2 0
3
0
1

2

x
dx
x −1
1 1+


Lúc đó: I = 

 t3 t2
= 2  − + 2t − 2ln 1 + t
3 2

1

 1 11
 = − 4ln 2.
0 3


2

Ví dụ 3: Tính I =  sin 5 xdx
0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN




2

2


2

1


2

(

)

1
dx
4sin x + 3cos x + 5

Ví dụ 4: Tính I = 
0

Gợi ý: Đặt t = tan


t =0
2

x
1
, ta có dt = .
2
2


1

Khi đó: I = 
0

(

8t + 3 1 − t
8

Ví dụ 5: Tính I =

Gợi ý: I =

x
3

x +1
2

) + 5 (1 + t )
2

dt = 
0

1

(t + 2)



Khi đó: I = 
2

(

3
3
tdt
dt
1  1
1 
1 t −1 3 1 3
=
=
−
= ln

 dt = ln


2
2 t +1 2 2 2
t − 1 t 2 ( t − 1)( t + 1) 2 2  t − 1 t + 1 

)

Bài tập tương tự:
1


Bài tập 5. Tính I = 
0

5.

x
dx
1+ x

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2
- Đặt x = x(t), với biến x là biến ban đầu, t là biến mới. Khi đổi biến phải đổi cận.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN
- Cách này áp dụng cho 1 số bài toán đặc thù mà không thể hoặc gặp khó khăn khi áp
dụng phương pháp phân tích, phương pháp đổi biến dạng 1 hoặc tích phân từng phần. Sau đây,
là một số gợi ý cho các trường hợp cụ thể:
o

  
Nếu f(x) chứa 1 − x 2 , đặt x = sin t, t   − ;  hoặc x = cos t , t 0,   .
 2 2

a2 − x2 ( a  0) , đặt x = a sin t hoặc x = a cos t .
a 2 − ( x +  ) ; ( a  0 ) , đặt  x +  = a sin t hoặc  x +  = a cos t .
2

o

1
hoặc f(x) chứa
x +1

Nếu f ( x ) =

f ( x) =

1
1
  
 
, t   − ;  \ 0 hoặc x =
, t   0;   \  
sin t
cos t
 2 2
2

2

1
hoặc f(x) chứa
x + a2
2

1

( x +  )



1
x a
2

dx = ln x + x 2  a + C (đơn giản hơn tích phân đã cho). Giả sử

G ( t ) là một nguyên hàm của g ( t ) thì I = G ( t )
2
2

Ví dụ 1: Tính


0

x2
1 − x2




dx

  
Gợi ý: Đặt x = sin t , t   − ;  , ta có: dx = cos tdt , 1 − x 2 = 1 − sin 2 t = cos 2 t = cos t
 2 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


2

4

4

2

Ví dụ 2: Tính I =  x 2 4 − x 2 dx
1



  
Gợi ý: Đặt x = 2sin t , t   − ;  , ta có dx = 2cos tdt . Đổi cận: x = 1  t = , x = 2  t =
6
2
 2 2
Ta có:

4 − x2 = 4 − sin 2 t = 2 cos2 t = 2 cos t = 2cos t . Khi đó:










2

dx
x2 −1


2

1
− cos t
  
, t   − ;   dx =
dt . Đổi cận: x = 1  t = , x =
t = .
2
sin t
sin t
2
3
3
 2 2



cos t
dt 2
2
dt
1
cos t

= ln 3
Cách 1: I = 
t
t
t
t
t

2  sin cos
2  tan cos 2
2

tan
3
3
2
2
2
2 3
2
3






2

2

2
1+ u
1+ u2

(

)

1
du
1 u = ln u 1 = ln 3
3
3
1

1

1
dx
2
1
+
x
0

Ví dụ 4: Tính I = 

1
  
dt = 1 + tan 2 t dt


2



(
)

. Khi đó: I = 
2
4
1 + tan t
0
4

1 + tan 2 t dt

4

=  dt =
0


4

1
dx
+ 6 x + 13
1


4 tan t + 4

. Khi đó: I = 

2

)





4

dt = .
2
8
0

Bài tập tương tự:
1

Bài tập 1. Tính I =  1 − x 2 dx

3

Bài tập 2. Tính I =  x 4 9 − x 2 dx
0

0


dx
3 − x2 − 2 x

MỘT SỐ LƯU Ý VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
- Các phép đổi biến sau đây có thể xem là đổi biến dạng 1, cũng có thể xem là đổi biến

dạng 2, cách đặt t = t ( x ) hoặc x = x ( t ) rất đơn giản, chẳng hạn: t = − x, t =


− x, t =  − x,...
2

Các biến đổi thường gặp:



o

Đổi biến với I để có I =  +  .I  I =

o

Đổi biến với I, ta có 2 I = I + I = K  I =

o

1− 

với  ,   ,   1


0

 f ( x ) dx +  f ( x ) dx = I

Cách 1: (Phân tích thành 2 tích phân) I =
0

a

a

0

1

+ I2

Với I1 : đặt t = − x  I1 = −  f ( −t ) dt = −  f ( x ) dx = − I 2  I = 0
−a

Cách 2: (Tính trực tiếp) Đặt t = − x  I = −  f ( −t ) dt =
a

a

a

−a


0

0

Đối với I1 : đặt t = -x, ta có dt = −dx,sin x = − sin t , x10 = t10 .
Đổi cận: x = −1  t = 1, x = 0  t = 0.
0

1

1

1

0

0

Khi đó: I1 =  t10 .sin tdt = −  t10 .sin tdt = −  x10 .sin xdx = − I 2 . Suy ra I = 0
Cách 2: Đặt t = − x , ta có dt = −dx,sin x = − sin t , x10 = t10 .
Đổi cận: x = −1  t = 1, x = 1  t = −1.
−1

1

1

−1

Khi đó: I =  t10 .sin tdt = −  t10 .sin tdt = − I . Suy ra 2I = 0  I = 0 .

−a

f ( −t )

0

Với I1 : đặt t = − x  I1 = − 
a

a

 I = I1 + I 2 = 
0

k x. f ( x)
1+ k x

k −t + 1
a

dx + 
0
−a

Cách 2: Đặt t = − x  I = − 
a

a

dt = 


1
1
+
k
1
+
k
0
0
+1
kt

a

dx =  f ( x ) dx.
0
a

dt =



−a

a
a
f (t )
k t . f (t )
k x. f ( x)

−a



k x. f ( x)
1+ k x

−a

a

dx =



−a

a

1
f ( x ) dx  I =  f ( x ) dx
2 −a

1

Ví dụ: I =

cos xdx
ex +1
−1

0

1

1

1

cos tdt
cos tdt
et .cos tdt
e x .cos xdx
=
=
=
0 1 + e x
e − t + 1 0 1 + 1 0 1 + et
1
et

Khi đó: I1 = − 

(

)

1
1 e x + 1 cos xdx
1
1

et .cos tdt
e x .cos xdx
=
=
=
1 e−t + 1 −1 1
 1 + et −1 1 + e x
−1
+
1
et
1

Suy ra: 2 I = I + I =

1

1
1
cos xdx
e x .cos xdx
+
−1 e x + 1 −1 1 + e x = −1 cos xdx = sin x −1 = 2sin1  I = sin1.

Loại 3: Tích phân I =  f ( x ) dx , với a =  ,
a



0



− x , ta có dt = −dx , đổi cận: x = 0  t = , x =  t = 0. Khi đó:
2
2
2



cos 4  − t 


sin 4 t
sin 4 x
2 
2
I = − 
dt =  2
dt
=
0 sin 4 x + cos4 x dx
0 sin 4 t + cos 4 t


4 
4
2
cos  − t  + sin  − t 
2 
2 

0
0
4
cos x + sin x
sin x + cos x
2

cos n x

dx = , với mọi số tự nhiên n  0 .
n
n
cos x + sin x
4

2
0

Bài tập tương tự:


x 7 − x5 + x3 − x
dx
cos 4 x

Bài tập 1. I =  4
−

4


)(

(




.ln 2
8

Đáp án: I = 0

)

) dx

ln x 2 + 1

1

Đáp án: I =

Gợi ý: đặt t = − x

1

Bài tập 4. I = 


−x



Ta biến đổi: I =
Ta có: dx = s .

1
dx, với m  0; mx 2 + nx + p vô nghiệm.
mx + nx + p
2

1 
1
  
dx, s  0. Đặt x + r = s tan t , t   − ; 
2


m (x + r) + s
 2 2

(

)

dt
2
= s 1 + tan 2 t dt và ( x + r ) + s = s. (1 + tan 2 t )
2
cos t


(

1

2

)

 dx = 2 1 + tan t dt , x = −1  t = 0, x = 1  t =
2

• Bài toán 2: I = 






4

;I = 



4
0

(

)

an  
1
a
an 

2
dx
+
b
−
dx
=
.ln
mx
+
nx
+
p
+ b −
.K ,


2
2




  2m 
2m mx + nx + p

1
1
3
1
= .ln x 2 + 2 x + 5
+ 2
dx (xem thêm ví dụ của Bài toán 1)
−
1
−1
2
x + 2x + 5

Lưu ý: Trong Bài toán 1 và Bài toán 2, f ( x ) là phân thức hữu tỉ có bậc tử nhỏ hơn 2. Nếu
tử là đa thức P ( x ) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta biến đổi

(

)

P ( x ) = Q ( x ) . px 2 + qx + r + R ( x ) (nói đơn giản: chia tử cho mẫu để tìm thương Q ( x ) và

phần dư R ( x ) ), suy ra
• Bài toán 3: I = 

1

( mx

+ nx + p

dx, s  0 . Đặt x + r = s tan t , t   − ; 
2
 2 2
m k . ( x + r ) + s 





1

k



(

)

2
Ta có: dx = s 1 + tan 2 t dt và ( x + r ) + s  = s k . (1 + tan 2 t )



1
Khi đó: I = k
m

k



(

1 + tan 2 t

)

k −1

=

k

s
k k
m .s

t1

 ( cos t )

2 k −2

dt.

t2

(xem thêm Bài toán 8 sau đây về phương pháp tính tích phân của hàm số cos n t )
Ví dụ: I = 



  
Đặt x + 1 = 2 tan t , t   − ;   dx = 2 (1 + tan 2 t ) dt . Đổi cận: x = −1  t = 0, x = 1  t = ;
4
 2 2
I =



4
0

(

)

2 1 + tan 2 t dt

( 4 tan

2

t+4

• Bài toán 4: I = 

)

2


( mx

2

+ nx + p

)

k

dx, với k nguyên, k  2 , m  0; mx 2 + nx + p vô nghiệm.

Ta chú ý ( mx 2 + nx + p ) ' = 2mx + n và biến đổi như sau:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN
I=

a 
2mx + n
an  
1
a
an 


dx +  b −
dx =


2





(

)

k

1

(

mx 2 + nx + p

)

)

dx , dùng vi phân hoặc biến đổi t = mx 2 + nx + p .

dx : xem Bài toán 3.

k

Lưu ý: Trường hợp từ đa thức P ( x ) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2, ta dùng phương pháp đồng

, với mọi
2
i
2
k
ax + b ( ax + b )
( ax + b ) cx + d ( cx + d )
( cx + d )

b
d
x  − , x  − . Đồng nhất thức để tìm A1 , A2 ,..., Ai , B1 , B2 ,..., Bk . Ngoài ra có thể dùng
a
c
phương pháp hệ số bất định để tìm A1 , A2 ,..., Ai , B1 , B2 ,..., Bk .
• Bài toán 6: I = 

P ( x)





( mx

2

+ nx + p ) . ( qx 2 + rx + s )
i



P ( x)

Q ( x)

với P ( x ) = Q ' ( x ) , vì nó

đơn giản, chỉ cần đặt t = Q ( x )  dt = P ( x ) dx hoặc dùng vi phân.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN
P ( x)

- Nếu phân thức hữu tỉ

Q ( x)

có bậc P ( x ) lớn hơn hoặc bằng bậc Q ( x ) thì thực hiện

phép chia P ( x ) cho Q ( x ) ta được

P ( x)

= R ( x) +

Q ( x)

P1 ( x )

A2
B1
B2
+
+ ... +
+
+
+ ... +
2
i
2
j
ax + b ( ax + b )
( ax + b ) cx + d ( cx + d )
( cx + d )

f ( x) =
+

C1 x + D1
C2 x + D2
+
2
mx + nx + p mx 2 + nx + p

(

)

2

+ .. +

( qx

b
d
với mọi x  − , x  − . Đồng nhất thức hoặc dùng phương pháp hệ số bất định để tìm các
a
c
số ở tử các phân thức.
Ví dụ: I = 

3

2

3x 4 + x 2 + x + 2
dx
x5 − x 4 + x3 − x 2 + x − 1

Ta có: x5 − x 4 + x3 − x 2 + x − 1 = ( x − 1) ( x 2 − x + 1)( x 2 + x + 1)
I =

3

2

3x 4 + x 2 + x + 2
dx
( x − 1) x 2 − x + 1 x 2 + x + 1



2 x − 1) −
(


3
2
x
−
1
1
2
1


2+
Khi đó: I =  
+ 2
+ 2
dx =  
+2 2
dx

2
2 x −1
2 x −1
x − x +1 x + x +1 
x
−

+ 2
2
2
2
x −1
2 x − x +1
2 x − x +1
x + x +1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

2

+ rx + s

)

h


Chuyên đề: TÍCH PHÂN
3
1
dx
dx

3 1 3
=  2 ln ( x − 1) + ln x 2 − x + 1  − 
+
2

3

2

Với I 2 = 

2

1 3

x−  +
2 4

dx

3

2

2

1 3

x+  +
2 4


)

, đặt x −

dx
(Nhiều tài liệu gọi đây là kỹ thuật “Nhảy tầng lầu”)
x +1
4

1
1
2
2
2 1+
2 1−
2
1 2 x +1 − x −1
1 2 x2 + 1
1 2 x2 −1
1
1
x dx −
x 2 dx
I= 
dx =  4 dx −  4 dx = 
4

2 1
x +1
2 1 x +1
2 1 x +1
2 1 x2 + 1
2 1 x2 + 1
2

x+  −2
x
x


2

Ví dụ 2: I = 

2

1

dx
(Kỹ thuật “Nhảy tầng lầu” đơn giản chỉ là kỹ thuật phân tích – rút gọn)
x +1
6

4
4
4
2
2
2
2
1 2 ( x + 1) − ( x − 1)
1 2 ( x − x + 1) + x − ( x + 1)( x − 1)
I= 
dx = 
dx

+
+
+
2  1 x + 1 1 x 6 + 1 1 x 4 − x 2 + 1  2  1 x 2 + 1 3 1 x3 2 + 1 1 x 2 − 1 + 1 



x 2 

(

)

( )
( )


1 

 2
2 d x3
2 dx+
 
1
1
dx
1
x 

, lần lượt đặt x = tan t , x3 = tan t , u = x +


4
4
dx
1 2
dx
1 2 ( x + 4) − x
1 2 1
x3 
=
=
dx
=
−

dx
5 x5 + 20 x 5 1 x ( x 4 + 4 ) 20 1 x ( x 4 + 4 )
20 1  x x 4 + 4 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Ví dụ 4: I = 

2

1

=

)(

) dx

+ 1 x2 + 2 x −1
x − 14 x − 1
6

3

Chia tử và mẫu cho x 3 ta được: I = 

2

1

1 
1
1
1



 
1 + 2  x − + 2 
 x − + 2 d  x − 
2
x
x
x

x
−
Đặt
, ta được: I =  3
dt =  2
dt
0
0
x
t + 3t − 14
( t − 2 ) ( t 2 + 2t + 7 )

Ví dụ 6: I = 

2

1

x2 + 1
dx
x4 + 1

1

1
dx− 
2
2 dt
1
x

I =
12
−1
( x + 2)

10

Ví dụ 7:

2

ax + b
ad − bc
 dt =
(còn gọi là “chồng chất nhị thức”)
2
cx + d
( cx + d )

dx
 3x − 5 
dx =  
.

2
−1
 x + 2  ( x + 2)
10

2


1

( 3x − 2 ) ( 3x + 4 )
7

3

dx

1
10
 3x − 2 

 . ( 3x + 4 )
 3x + 4 
7

dx = 

2

1

1
 3x − 2 


 3x + 4 


1
1− t
1 (1 − t ) dt
5
= 1−

=
. Khi đó: I = 1 .
.
3x + 4
3x + 4
3x + 4
6
68 18
7 t
8

Ta có: t =

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN
2.

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC


• Bài toán 8: I =  cos4 xdx (Ví dụ 4 phần II.1): dùng công thức, đưa về cos 2 x, cos 4 x .
0

=
, ta có: dt = 1 + tan 2  dx = (1 + t 2 ) dx  dx =
Ta
có:
2
2
2
2
1+ t2
1+ t2

và d sin x + e cos x + f =
Đổi cận: x =   t = tan
Khi đó: I = 

(

) (

)

2t.d + 1 − t 2 .e + 1 + t 2 . f
1+ t2

mt 2 + nt + p
=
1+ t2




= A + B.
+
, x  D (TXĐ)
d sin x + e cos x + f
d sin x + e cos x + f d sin x + e cos x + f

 a sin x + b cos x + c = A ( d sin x + e cos x + f ) + B ( d cos x − e sin x ) + C, x  D
Đồng nhất các hệ số của sin x , cos x và hệ số tự do để tìm A, B, C.


d cos x − e sin x 
Cdx
dx + 
Khi đó: I =   A + B.


 d sin x + e cos x + f
d sin x + e cos x + f 


= ( Ax + B.ln d sin x + e cos x + f
trong đó K = 







Ví dụ 1: I =  2




4cos x − 3sin x
1


Khi đó: I =  2 1 +
+
dx
0
 4sin x + 3cos x + 5 4sin x + 3cos x + 5 





1
= ( x + ln 4sin x + 3cos x + 5 ) 2 +  2
dx
0 4sin x + 3cos x + 5
0

=


K =2
0

9 

x
=
2
2
2
2
1+ t2
1+ t2
1+ t2

(

Đổi cận: x = 0  t = 0, x =

K =

(

8t + 3 1 − t

Vậy I =

2

2

1

0


9 1
+ ln +
2
8 6

Lưu ý: Nếu b =c = f = 0 hoặc a = c = f = 0 thì có thể phân tích tử số P(x) để tìm nhanh các

P ( x)

số A, B thỏa mãn:

d sin x + e cos x

=

A ( d sin x + e cos x ) + B ( d cos x − e sin x )
d sin x + e cos x

, việc này khá

đơn giản (Kỹ thuật thêm bớt).
3.

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
1

dx

−1



t (1 + t )
2

=

1
2

2 +1

2 +1

1  1
1 1 2 
 2− +
 dt =  −  − ln t + 2 ln t + 1
t
t t +1 
2 t 
2 −1 



1
2 −1
2 +2 1 
=  2 + ln
+ 2 ln
 = 2 + 2 ln

u = x
Đặt 
, ta có
2
dv = x x + 4dx
Khi đó: I =

(

1 2
x +4
3

)

du = dx


1 2
v = x + 1
3


)

3
2

2 12
x2 + 4 −  x2 + 4

3
30
30
2

=

32 2 1
4
− .I −  x 2 + 4dx
3
3
30

2
x
 2
Suy ra: I = 8 2 −  x 2 + 4dx = 8 2 −   . x 2 + 4 + 2.ln x + x 2 + 4  
 0
2
0

(

)

(

= 8 2 − 2 2 + 2ln 1 + 2  = 6 2 − 2ln 1 + 2


I
=
=
0 cos3 t 0 cos4 t = 0 1 − sin 2 t
cos 2 t
 2 2

(



0

2



4

Đặt u = sin t  du = cos tdt , I = 

)

du

( u + 1) ( u − 1)
2

2



Cách 2: Đặt t = x + x 2 + 1  ( t − x ) = x 2 + 1  x =
2

 dx =

t2 +1
dt và
2t 2

(

)

t 2 −1
2t

x2 + 1 = t −

t 2 −1 t 2 + 1
=
2t
2t

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Đổi cận: x = 0  t = 1, x = 1  t = 1 + 2
1+ 2


)

1
2 + ln 1 + 2 

2

Cách 3: (Tích phân từng phần) Đặt u = x 2 + 1, dv = dx, ta có du =
1

Khi đó: K = 

x2 + 1 −1

0

x2 + 1

1

1

1

dx = x + 1dx − 
2

0


2



Một số công thức nguyên hàm cần chú ý:


• Vì  x 2  a  =



x
x a
2

x 2
a
x  a  ln x + x 2  a + C , a  0 (1)
2
2

nên I =

Nếu không chứng minh công thức (1) bằng đạo hàm, có thể biến đổi như sau:



x
x a
2


x a
2



x2  a + C

1
x a
2

dx = ln x + x 2  a + C , a  0 (2)

Nếu không chứng minh công thức (2) bằng đạo hàm, có thể biến đổi như sau:



1
x a
2

x

1+
dx = 

x  a dx =

x + x2  a

2

a

) = ln x +

dx =

1



x2  a + C

.ln  x +  +

( x +  )

2

a +C


2
 = x  a nên

x
a
x 2  adx = . x 2  a  ln x + x 2  a + C , a  0 (3)
2





dx 
x2  a 
a

x
a
Suy ra: I = . x 2  a  ln x + x 2  a + C
2
2


1

• Bài toán 14: I = 

dx

mx + nx + p
2



Đặt  = n2 − 4mp. (Ta không xét  = 0 , đơn giản)


- Nếu   0 và m < 0 thì I = 


2
m  ( x − x1 )( x − x2 )
m. ( x + r ) − s

s
hoặc đặt t = x − x1 + x − x2 hoặc xem thêm công thức (2) nói trên.
sin t


- Nếu   0 và m < 0 thì I = 


1
−m . s − ( x + r )

2

dx, s  0. Đặt x + r = s sin t

Sau đây là 3 ví dụ với 3 trường hợp trên.
2

Ví dụ 1: Tính I = 
1
2

1
x2 − 2x + 2
2


1

( x − 1)

t 

+ 1 = tan 2 t + 1 =



Khi đó: I = 

dx


2

2

+1

dx

, ta có dx =

dt

, x = 1  t = 0, x = 2  t =
2


0

du
1
=
2
1− u
2

2
2


0

2
1 
1 u +1
 1
−
2 = ln 1 + 2

 du = ln
2 u −1
 u + 1 u −1 
0

(