TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018
Vấn đề 1. Tính tích phân theo định nghĩa
Câu 1. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa 2 f x 3 f 1 x 1 x 2 . Giá trị của tích phân
1
f ' x dx
0
bằng
A. 0.
B.
1
.
2
1
Lời giải. Ta có
C. 1.
D.
3
2
f
1
3
f
0
0
f 1
5
1
3 2
Vậy I f ' x dx f 1 f 0 1. Chọn C.
5 5
0
2
/
f x f x dx e x f x dx e x f x
x
0
0
1
ef 1 f 0
f 0 f 11
e 1.
0
a 1
2018
/
0
0
A. I 1.
C. I 5.
B. I 1.
2
D. I 6.
2
/
Lời giải. Ta có I f x g x dx f ' x g x f x g ' x dx
0
2
0
2
f ' x g x dx f x g ' x dx 2 3 5. Chọn C.
0
4
1
D. f 1 .
4
2
f t dt x .sin x , đạo hàm hai vế ta được 2 xf x 2 sin x x cos x .
0
1
1
Cho x ta được 2. . f
2
2
1
sin cos 1
4
2 2
2
1
f 1. Chọn C.
4
Câu 5. Cho hàm số f x liên tục trên a; với a 0 và thỏa
x
Suy ra f x x x
f 4 4 4 8. Chọn C.
1
D. f 4 16.
Vấn đề 2. Kỹ thuật đổi biến
e 2017 1
2017
f x dx 2 . Tính tích phân I
Câu 6. Cho
0
0
A. I 1.
x
1
2
B. I 2.
2017
f t dt
0
1
2
2017
0
1
f x dx .2 1. Chọn A.
2
Câu 7. Cho hàm số f x liên tục trên và
9
x 9 t 3
1
x
2
C. I 4.
x dx 4. Đặt t
1
Xét
x dx 4,
B. I 6.
Lời giải. Xét
2
f
x u 1
0
0
2
3
1
3
Vậy I f x dx f x dx f x dx 4. Chọn C.
0
0
1
Câu 8. Cho hàm số f x liên tục trên và
4
1
x 2 1
0
C. I 3.
D. I 1.
f tan x dx 4.
0
Đặt t tan x , suy ra dt
1
dt
dx tan 2 x 1 dx
dx
.
cos 2 x
1 t 2
x 0 t 0
1
1
4
f t
f x
0
0
4
1
1
1
f x
x 2 f x
Từ đó suy ra I f x dx 2
dx 2
dx 4 2 6. Chọn A.
x 1
x 1
0
0
0
Câu 9. Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn
4
tan x . f cos x dx 1,
2
2
D. I 4.
f ln 2 x
x ln x
dx 1. Tính tích phân
Suy ra dt 2 sin x cos xdx 2 cos 2 x tan xdx 2t. tan xdx
tan xdx
dt
.
2t
t 1
x 0
Đổi cận:
1.
x
t
4
e2
● Xét B
x ln x
e
Suy ra du
2
2
dx 1. Đặt u ln 2 x.
2 ln x
2 ln 2 x
2u
dx
du
dx
dx
dx
.
x
x ln x
x ln x
● Xét tích phân cần tính I
1
2
f 2 x
dx .
x
1
1
1
dx dv
v
2 . Đổi cận:
x
Đặt v 2 x , suy ra
4
2.
v
1
1
1
2
2
2
1
Câu 10. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên ;2 , thỏa f x
2
2
I
1
2
f x
1
1
f x 2 2 2. Tính tích phân
x
x
dx .
x 2 1
2
t
2
1
2
Khi đó I
2
2
Suy ra 2 I
1
2
2
1
2
1
1
2 f
2 f x f
2 x
2
f x
x
x
x2
dx 2
dx
dx
dx
2
2
2
x 1
x 1
x 1
x 1
1
1
1
2
2
2
3
D. I 3.
Câu 11. Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa f x f x 2 2 cos 2 x với mọi x .
3
2
Tính I
f x d x .
3
2
C. I 2 .
3
3
x
2
3
2
Suy ra 2 I
3
2
3
2
f t dt
3
2
3
2
2 cos t dt 12
I 6. Chọn D.
3
2
Câu 12. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên , thỏa f x 5 4 x 3 2 x 1 với mọi x . Tích phân
8
f x dx
2
bằng
A. 2.
B. 10.
C.
32
.
3
D. 72.
1
f x dx g x dx 1. Tính m n.
0
0
1
B. m n .
C. m n 1.
2
Lời giải. Từ giả thiết m. f x n. f 1 x g x , lấy tích phân hai vế ta được
A. m n 0.
1
1
m. f x n. f 1 x dx g ( x )dx
0
1
1
0
x 0 t 1
f 1 x dx . Đặt t 1 x , suy ra dt dx . Đổi cận:
.
x 1 t 0
0
1
1
f 1 x dx f t dt f t dt f x dx 1.
1
0
2
0
Từ 1 và 2, suy ra m n 1 . Chọn C.
Câu 14. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên 0;1, thỏa mãn f ' x f ' 1 x với mọi x 0;1. Biết rằng
1
f 0 1, f 1 41. Tính tích phân I f x dx .
1
1
2
f x dx f 1 x dx .
Vì f ' x f ' 1 x
0
0
1
Từ 1 và 2, suy ra
1
f x dx f 1 x dx 21. Chọn B.
0
0
2
Câu 15. Cho hàm số y f x liên tục trên và thỏa mãn f 3 x f x x với mọi x . Tính I f x dx .
u
1
4
0
Cách khác. Nếu bài toán cho f x có đạo hàm liên tục thì ta làm như sau:
f 0 0
f 3 0 f 0 0
Từ giả thiết f 3 x f x x
.
*
3
f 2 1
f 2 f 2 2
Cũng từ giả thiết f 3 x f x x , ta có f ' x . f 3 x f ' x . f x x. f ' x .
2
4
0
4
0
0
Vấn đề 3. Kỹ thuật tích phân từng phần
3
Câu 16. Cho hàm số f x thỏa mãn
3
x . f x .e f x dx 8 và f 3 ln 3 . Tính I e f x dx .
0
0
A. I 1.
B. I 11.
C. I 8 ln 3.
D. I 8 ln 3.
3
3
3
u x
f x
f x
d
v
f
x
.
e
d
x
0
v
e
0
0
Suy ra 8 3.e
2
f ' x cos2 xdx 10 và f 0 3. Tích phân
0
f x sin 2 xdx bằng
0
B. I 7.
A. I 13.
2
Lời giải. Xét
0
C. I 7.
D. I 13.
u cos 2 x
du sin 2 xdx
0
2
f x sin 2 xdx
0
10 f 0 f x sin 2 xdx
f x sin 2 xdx 10 f 0 13. Chọn D.
Câu 18. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn
2
f x 1 dx 3 và f 1 4. Tích phân
1
1
x
3
f ' x 2 dx bằng
0
t x 1
f x 1 dx 3
f t dt 3 hay
0
f x dx 3.
0
1
1
u x
du dx
1
1
tf
'
t
d
t
xf ' x dx . Đặt
.
t x
x 3 f ' x 2 dx
2
0
1
Khi đó
0
Câu 19. Cho hàm số f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên 0;2. Biết f 0 1 và f x f 2 x e 2 x
2
x 0;2. Tính tích phân I
x
3x
3
14
0
A. I
2
2
C. I
16
.
3
D. I
16
.
5
x 2
f 2 1.
4 x
u x 3 3x 2
2
f 21
2
2
3 x 2 6 x ln f x dx 3 x 2 2 x ln f x dx 3J .
0
2
Ta có J x 2 2 x ln f x dx
0
0
0
x 2t
2 t
2
0
Suy ra 2 J x 2 2 x ln f x dx x 2 2 x ln f 2 x dx x 2 2 x ln f x f 2 x dx
2
x 2 2 x ln e 2 x
2
2
4 x
dx x 2 2 x 2 x 2 4 x dx
0
0
Vậy I 3 J
32
16
J .
15
15
16
. Chọn D.
5
D. S 2 tan
2 ln
.
4 m 2
4 m 2
2
2 sin 2 x e 2 cot x dx 2
Lời giải. Ta có
4 m2
2 cot x
dx
sin x .e
4 m 2
2 cot x
2
2
4 m
2
2
sin 2 x 2 e 2 cot x dx
sin x
4 m2
2
Xét
2
2
e 2 cot x dx .
4 m2
6
2
Từ 1 và 2, suy ra I sin 2 x .e 2 cot x
1 sin 2
4 m2
Vấn đề 4. Tính a, b, c trong tích phân
2
ln 9 x dx a ln 5 b ln 2 c
2
Câu 21. Biết
với a, b, c . Tính P a b c .
1
A. P 13.
B. P 18.
u ln 9 x
du 2 x2 dx
Lời giải. Đặt
.
9 x
dv dx
x x 3
9 x2
2
3
dx 5 ln 5 4 ln 8 2 1
dx
3 x
1
a 5
5 ln 5 6 ln 2 2
b 6 P 13. Chọn A.
c 2
Nhận xét. Ở đây chọn v x 3 thay bởi x để rút gọn cho 9 x 2 , giảm thiểu biến đổi.
1
C. P 7.
1
x
3
x 3 2 x ex 3 2 x
1
x 2
dx x 4
d
x
x
x
e.2
e.2
4
0
D. P 8.
1
A
0
1
A.
e.ln 2 e t
e.ln 2
2 e
e
1
2e
1
e
ln
ln 1
.
e ln 2
e
e ln 2
e
m4
1
5
A. P .
4
3
B. P .
2
2
Lời giải. Ta có I
0
x cos x
2
x cos x
x cos x
2
dx
0
x 2 sin x ln x cos x
2
2
1
1
2
2 1 ln 2 1 ln
8
2 8
0
1
a
8
b 1
1 e
B. P 1.
C. P 3.
D. P 5.
2x
x
A. P 1.
ln 8
Lời giải. Ta có I
ln 3
ln 8
ln 8
1
e 2 x 1 e x
dx
e x dx .
ln 8
ln 3
td t
td t
2
.
2x
e
t 1
e 2 x 1dx . Đặt t e 2 x 1 t 2 e 2 x 1 , suy ra 2 tdt 2 e 2 x dx dx
ln 3
x ln 3 t 2
.
Đổi cận:
x ln 8 t 3
2
2
a 2
1 3
Vậy I 1 ln 2 2 3
P a b 5. Chọn D.
2 2
b 3
2
Câu 25. Biết
x 1
1
dx
x x x 1
A. P 12 .
a b c với a, b, c . Tính P a b c .
x 1 x
1
1
dx
2du
Đặt u x 1 x , suy ra du
2 x 1 2 x
x 2 u 3 2
. Khi đó I 2
Đổi cận
x 1 u 2 1
2
3 2
2 1
du
2
u2
3 2
2 1
32
12
2
b
P 46. Chọn D.
12
32
2 1
c 2
4
Câu 26. Biết
sin 4 x
cos x 1 sin x 1
2
2
dx 2
0
D. P 36.
2 sin 2 x cos 2 x
3 cos 2 x 3 cos 2 x
dx .
x 0 t 1
Đặt t cos 2 x
dt 2 sin 2 xdx. Đổi cận:
.
x t0
4
0
dt
1
2
1
3 t 3 t dt
0
a 16
16 2 12 6 8
b 12 P 36. Chọn D.
6
c 8
1
x ex
dx
4x
xe 2 x
1
4
e 2 x 4 x 4e x x
dx
4 xe 2 x
1
8
e 2 x
2e x
2
x
x
2
dx
1
x
a 1
P a b c 4. Chọn B.
b 1
c
4
2
Câu 28. Biết
2 x
x 2
u
4
4
2
16
4
u
2 cos
2 2 cos u
2 .sin u.cos udu
sin 2udu 8
u
2 2 cos u
sin
4
4
4 x 2.sin 2u
e
Câu 29. Biết I
1
a 1
4 2 6
P 3. Chọn C.
b 4
c 6
2
4
ln 2 x ln x
1
C. P 6.
ln x 1 /
ln x 1
ln x
dt
dx .
dx
2
ln x x 1
ln x x 1
ln x x 1
2
1
x 1 t
e 2
1
2
Đổi cận:
. Khi đó I tdt t 2
6
t
6
6
1 x x
1 x x
2
6
x t
dx
6
1 t t
2
D. P 41.
6
1 x 2 x dx x
t cos t
6
1
2
1
2
. Chọn B.
B. P 35.
6
6
D. P 10.
ln x 1
ln x
.
dx .
ln x x 1 ln x x 12
6
d t
6
6
t cos t
1 t 2 t
1 x 2 x cos xdx .
6
I x 2 cos xdx . Tích phân từng phần hai lần ta được I 2
6
2
3
36 3
a 2
P a b c 35. Chọn C.
b 36
2
. Tính tích phân I f x dx .
1
2
B. I
0
2
9e 1
.
2e 2
2
C. I
0
2
Lời giải. Ta có I f x dx f x dx e 2 x dx x 1 dx
1
0
1
2
Lời giải. Ta có f x
2 x 1
A. ln15.
C. 3 ln15.
ln 1 2 x C1
2
f x
dx ln 2 x 1 C
2 x 1
ln 2 x 1 C 2
ln 1 2.0 C1 1 C1 1.
f 0 1
D. 4 ln15.
2
f 1 f 3 3 ln 5 ln 3 3 ln15. Chọn C.
Câu 33. Cho hàm số f x xác định trên \ 2;1, thỏa mãn f x
1
1
, f 3 f 3 0 và f 0 . Giá trị
x x 2
3
2
biểu thức f 4 f 1 f 4 bằng
1
1
1 8
C. ln 80 1.
D. ln 1.
ln 2 .
3
3
3 5
1
1 1
1
;x 1
ln x 1 ln x 2 C 3
3
1
1
1
1
1
f 0
ln 1 0 ln 0 2 C 2
C 2 ln 2 .
3
3
3
3
3
1 1
f 3 f 3 0
C1 C 3 ln .
3 10
1 5 1
1 1
1
1
Ta có f 4 f 1 f 4 ln ln 2 ln C 2 C1 C 3 ln 2 . Chọn B.
3 2 3
f x
C. 3 ln 2 1.
B. 2 ln 2.
D. ln 2 3.
1
x ln x 1
ln 1 ln x C1 khi x 0; e
d ln x 1
1
dx
ln ln x 1 C
.
x ln x 1
ln x 1
ln ln x 1 C 2 khi x e ;
1
1
f
Do đó f x
f
ln ln x 1 3 khi x e;
1
f f e 3 3 ln 2 1. Chọn C.
e
1
ln 2 ln 2
e
e 3 ln 2 3
Câu 35. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số y
1
với x \
k , k
dx
dx
dx
1
tan x C .
2
2
1 sin 2 x
4
sin x cos x
2 cos 2 x
4
1
3
0
1
3 F 01
3
; nên F 0 F tan x
2
12 4 4
0;
11
Vậy P F F
1. Chọn C.
12
12
Vấn đề 6. Tính tích phân dựa vào tính chất
2
0
Câu 36. Cho hàm số f x là hàm số lẻ, liên tục trên 4;4 . Biết rằng
f x dx 2 và
2
1
4
I f x dx .
0
0
0
11
D. I 10.
f 2 x dx 4. Tính tích phân
x 1 u 2
.
Xét B f 2 x dx f 2 x dx. Đặt u 2 x
du 2dx . Đổi cận:
2
2
1
x 2 u 4
1
Câu 37. Cho hàm số f x là hàm số chẵn, liên tục trên 1;6 . Biết rằng
3
f x dx 8 và
1
f 2 x dx 3. Tính tích phân
1
6
I f x dx .
1
A. I 2.
B. I 5.
Lời giải. Vì f x là hàm số chẵn nên
C. I 11.
3
6
1
1
f t dt f x dx
f x dx 2 K 6.
2 2
2 2
2
6
2
6
Vậy I f x dx f x dx f x dx 8 6 14. Chọn D.
1
1
2
7
Câu 38. Cho hàm số f x liên tục trên 3;7 , thỏa mãn f x f 10 x với mọi x 3;7 và
f x dx 4. Tính tích phân
D. I 80.
7
Khi đó I 10 t f 10 t dt 10 t f 10 t dt 10 x f 10 x dx
7
3
f x f 10 x 7
7
3
3
10 x f x dx 10
3
7
7
f x dx xf x dx 10 f x dx I .
3
B. I
1
.
2018
C. I 2018.
D. I 4036.
x t
.
Lời giải. Đặt x t
dx dt . Đổi cận
Khi đó I
x t
f t
f t
2018t f t
2018 x f x
2018 1
2018 x 1
0
Vậy 2 I
Câu 40. Biết
sin
x sin 2018 x
a
với a, b . Tính P 2a b.
dx
2018
x cos x
b
x t 0
0
Khi đó I
t sin t
t sin 2018 t
x sin 2018 x
d
t
d
t
sin2018 t cos2018 t
sin 2018 x cos2018 x dx.
sin 2018 t cos2018 t
0
0
2018
x sin 2018 x
x sin 2018 x
sin 2018 x
2
sin 2018 x
sin 2018 x
sin 2018 x
I
dx
dx
dx .
2018
2018
2 0 sin 2018 x cos 2018 x
2 0 sin 2018 x cos 2018 x
sin
x
cos
x
2
Đặt x u ta suy ra
2
2
Vậy I
a 2
2
dx
P 8. Chọn B.
2 0
4
b 4
Vấn đề 7. Kỹ thuật phương trình hàm
2
Câu 41. Cho hàm số y f x liên tục trên ; và thỏa mãn 2 f x f x cos x . Tính tích phân I f x dx .
2 2
f x 2 f x cos x
2
2
1
1
f x dx cos xdx sin x
3
3
Khi đó I
2
2
2
2
. Chọn B.
D. I
.
10
1
.
4 x2
1
2
2 f x 3 f x
4 f x 6 f x
2
1
4x
4 x2
Do đó ta có hệ
4 x2
4 x2
Lời giải. Từ giả thiết, thay x bằng x ta được 2 f x 3 f x
2
Khi đó I f x dx
2
2
1
1
2
4
x 2 2 x 1 f 1 x f x 1 2 x 6 x 2 4 x 3 x 4 .
1
f 1 x 2 x x 4 x 2 f x . Thay vào 1 ta được
Ta có x 2 f x f 1 x 2 x x 4
x 2 2 x 1 2 x x 4 x 2 f x f x 1 2 x 6 x 2 4 x 3 x 4
1 x 2 2 x 3 x 4 f x x 6 2 x 5 2 x 3 2 x 2 1
13
1 x 2 2 x 3 x 4 f x 1 x 2 1 x 2 2 x 3 x 4
f x 1 x 2 .
1 1 2
Vậy I f x dx 1 x 2 dx x x 3 . Chọn C.
3 0 3
0
0
1
1
ta được f 2 f x .
x
x
x
1
1
f x 2 f 3 x
f x 2 f 3 x
x
x
2
Do đó ta có hệ
f x x.
dx 2 1 dx x 1 . Chọn B.
Khi đó I
x
x
2 2
x
1
1
2
2
1
f x 3x 2 f
Cách khác. Từ f x 2 f 3 x
x
2
Khi đó I
1
2
2
f x
1
f
x
1
1
1
dx . Đặt t , suy ra dt 2 dx t 2 dx
dx 2 dt .
x
x
x
t
2
Xét J
1
2
1
1
x t 2
2
2
2
2
2
2
3
I dx .
Vậy I 3 dx 2 I
2
1
1
1
Câu 45. Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 và thỏa mãn 2 f x 3 f 1 x 1 x 2 . Tính tích phân I f x dx .
0
A.
.
20
B.
.
16
D. .
4
Vậy I
3 2 x x 2 2 1 x 2
.
5
1
3 2 x x 2 2 1 x 2 dx . Chọn A.
5 0
20
Cách khác. Từ 2 f x 3 f 1 x 1 x 2
f x
1
Khi đó I f x dx
0
1
2
1 x 3 f 1 x .
2
1
x 0 t 1
Đổi cận:
. Khi đó J f t dt f t dt f x dx I .
x 1 t 0
1
0
0
1
1
1
1
I 1 x 2 dx .
Vậy I 1 x 2 dx 3I
2 0
5
20
0
Vấn đề 8. Kỹ thuật biến đổi
Câu 46. Cho hàm số f x thỏa f x f x 3x 5 6 x 2 . Biết rằng f 0 2, tính f 2 2.
2 144.
6
x
2x 3 C.
2
f 0
C C 2.
2
f 2 2 26 4.23 4 100. Chọn C.
Suy ra f 2 x x 6 4 x 3 4
2
Thay x 0 vào hai vế, ta được
Câu 47. Cho hàm số f x có đạo hàm f ' x liên tục và nhận giá trị không âm trên 1; , thỏa f 1 0,
e 2 f x . f x 4 x 2 4 x 1 với mọi x 1; . Mệnh đề nào sau đây đúng?
2
A. 1 f 4 0.
B. 0 f 4 1.
C. 1 f 4 2.
.
2
C. 8.
D. 10.
Lời giải. Nhận thấy được f x f x . f x f x . f x .
2
Do đó giả thiết tương đương với f x . f x 15 x 4 12 x .
f 0 f 0 1.
Suy ra f x . f x 15 x 4 12 x dx 3x 5 6 x 2 C
C 1
f x . f x 3x 5 6 x 2 1
f x . f x dx 3 x 5 6 x 2 1 dx
f 2 x
2
x6
2 x 3 x C '.
2
f 0
2
Lời giải. Ta có
1
B. f 2 10.
C. f 2 10.
2
f x dx 10 f x 10 f 2 f 1 10.
1
15
D. f 2 20.
1
f x dx 10 và
f x
dx ln 2 ln f x
f x
2
f 1 1 , giá trị của f 1 bằng
A. e 2 .
C. e 4 .
D. 3.
f 'x
2 (do f x 0 )
Lời giải. Ta có f ' x 2 f x 0 f ' x 2 f x
f x
f ' x
f x
B. e 3 .
dx 2dx ln f x 2 x C (do f x 0 ).
f x e 2 x 2
f 1 e 4 . Chọn C.
Mà f 1 1 C 2 ln f x 2 x 2
Câu 51. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên đồng thời thỏa mãn
B. f ln 2 .
3
1
C. f ln 2 ln 2 .
2
1
D. f ln 2 ln 2 2 .
2
Lời giải. Ta có f ' x e x f
2
x
f 'x
f 2 x
e x (do f x 0 )
f 'x
1
1
dx e x dx
e x C f x x
6
1009
2019
3029
4039
A. P
B. P
C. P
D. P
.
.
.
.
2020
2020
2020
2020
f 'x
2 x 3 (do f x 0 )
Lời giải. Ta có f ' x 2 x 3 f 2 x 0 2
f x
f 'x
f x
2
dx 2 x 3 dx
. Chọn C.
Suy ra P 1 ...
2019 2020 2020
2 3 3 4
Mà f 1
Câu 53. Cho hàm số f x liên tục trên 0; 3 , thỏa mãn f x 1, f 0 0 và f x x 2 1 2 x f x 1. Giá trị của
f
3 bằng
A. 0.
B. 3.
C. 7.
D. 9.
16
f x
Lời giải. Từ giả thiết suy ra
2
dx 2
2 x 2 1
dx 2 f x 1 2 x 2 1 C
Mà f 0 0 C 0 f x x 2
f
3 3. Chọn B.
Câu 54. Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên 1;4 , đồng biến trên 1;4 , thoản mãn x 2 xf x f x với mọi
2
4
3
x 1;4 . Biết rằng f 1 , tính tích phân I f x dx .
2
1
1186
1187
1188
B. I
C. I
.
.
.
45
45
2
8
7
3
f x
x3 x x
Mà f 1 C
2
3
2
9
9
18
2
4
f x dx
1
1186
. Chọn A.
45
Câu 55. Cho hàm số f x liên tục, không âm trên 0; , thỏa f x . f ' x cos x 1 f 2 x với mọi x 0; và
2
2
2
sin x 2 1 sin 2 x 4 sin x 3, x 0;
f 2 2. Chọn D.
2
Câu 56. Cho hàm số f x liên tục, không âm trên 0;3, thỏa f x . f x 2 x f 2 x 1 với mọi x 0;3 và f 0 0. Giá
trị của f 3 bằng
A. 0.
Lời giải. Từ giả thiết ta có
B. 1.
2 f x . f x
2 1 f 2 x
C.
3.
D. 3 11.
2 x , x 0;3
2 f x . f x
3
5
5
7
A. f 1 2.
B. 2 f 1 .
C. f 1 3.
D. 3 f 1 .
2
2
2
2
2
f x . f ' x
2
3
1
Lời giải. Từ giả thiết ta có f x . f ' x . x 2 1 1 f x
3
2
x 1
1 f x
4
1
0
1 d 1 f x
1
2
dx
3 0 2 1 f x 3
x 2 1
0
1
1
3
1
x 2 1
Lời giải. Từ giả thiết ta có
2
x 1
x 1
x 1
x
1
x
. Do đó giả thiết tương đương với
f x
f x f x .
2
x 1
x 1
x 1
Nhận thấy
x
x
f x .
, x \ 0; 1.
x 1
x 1
Cho x 2 ta được f 2. 2 ln 3 1 f 2 ln 3
3
3
2 2
2
b
2
2
f x f x
Câu 59. Cho hàm số f x có đạo hàm xác định, liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 0 1 và
với mọi
f x 0
x 0;1. Đặt P f 1 f 0 , khẳng định nào sau đây đúng?
A. 2 P 1.
Mà f 0 1 C 1
f x
.
x 1
1
2
1
Vậy P f x dx
0
0
2
1
1
x C f x
.
f x
x C
1
dx ln 2 0, 69. Chọn B.
x 1
Câu 60. Cho hai hàm số f x và g x có đạo hàm liên tục trên 0;2, thỏa mãn f ' 0. f ' 2 0 và g x . f ' x x x 2 e x .
2
2 2 2 e x
g
2
0
f ' 2
Do đó từ g x . f ' x x x 2 e x , suy ra
.
0 0 2 e x
g 0
0
f ' 0
2
f t dt . Tính
0
2
g
x
f
x
1
I
g x dx .
0
A. I
f x 1009 x C
f ' x 1009
x
Thay ngược lại, ta được 1 2018 1009t C dt 1009 x C
2
0
1009 2
x
2
1 2018
t Ct 1009 x C C 2 1.
2
0
Suy ra f x 1009 x 1 hoặc f x 1009 x 1 (loại vì f x 0 x 0;1 ).
1
Khi đó I
1
1
g x dx f x dx 1009 x 1 dx
0
Lời giải. Từ giả thiết ta có f x g x x. f x x. g x
D. I 8 ln 2.
f x x . f x g x x . g x 0 x . f x x. g x 0
C
x. f x x. g x C f x g x .
x
4
4
4
Mà f 1 g 1 4 C 4
I f x g x dx dx 8 ln 2. Chọn A.
x
1
1
Câu 63. Cho hai hàm f x và g x có đạo hàm trên 1;2, thỏa mãn f 1 g 1 0 và
2
Tính tích phân I
1
x
1
A. I .
2
3
C. I .
2
B. I 1.
D. I 2.
x 1
1
g x
f x 2017
x 12
x
Lời giải. Từ giả thiết ta có
, x 1;2 .
x
1
g x
f x 1
x 1
x
x 1
x
x
x 1
x
g x
f x x C.
x 1
x
2
2
x
x 1
1
Mà f 1 g 1 0 C 1
I
g x
xf ' x
phân I
dx .
2 2
0 1 f 3 x . f x
1
3
5
A. I .
B. I 1.
C. I .
D. I .
2
2
2
f
3
x
.
f
x
1
xf ' x
1 f x
3
dx
2
0
1 f x .
3
3
1
x
1
xd
d x 1 J .
1 f x
3
1
1
dx
dx
1 f x
1 f 3 x
0
f 3 x . f x 1 3
1
3
1.dx 3 J 2 . Vậy I 2 . Chọn A.
0
Câu 65. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn af b bf a 1 với mọi a, b 0;1. Tính tích phân
1
I f x dx .
0
1
2
0
0
0
sin xf cos x dx cos xf sin x dx 1dx
.
2
1
0
1
2
t cos x
sin
xf
cos
0
1
1
2
t sin x
cos xf sin x dx f t dt f x dx
0
0
0
Vấn đề 9. Kỹ thuật đạo hàm đúng
20
Câu 66. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thoả mãn 3 f x xf x x 2018 với mọi x 0;1. Tính
1
I f x dx .
0
1
1
1
1
f x dx
0
0
x 2018
.
2021
1
1
1
1
1
x 2018 dx
.
x 2019
. Chọn C.
2021
2021 2019
2021
2019
0
C. f 1 2018e 2018 .
D. f 1 2019e 2018 .
Lời giải. Nhân hai vế cho e 2018x để thu được đạo hàm đúng, ta được
f x e 2018 x 2018 f x e 2018 x 2018 x 2017 f x e 2018 x 2018 x 2017 .
Suy ra f x e 2018 x 2018 x 2017 dx x 2018 C .
Thay x 0 vào hai vế ta được C 2018
f x x 2018 2018 e 2018 x .
Vậy f 1 2019e 2018 . Chọn D.
Câu 69. Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên , thỏa mãn f x xf x 2 xe x và f 0 2. Tính f 1.
2
1
B. f 1 .
e
A. f 1 e.
2
C. f 1 .
e
2
D. f 1 .
e
x2
2 xe
C.
Thay x 0 vào hai vế ta được C 0
f x 2 e x .
2
2
Vậy f 1 2e 1 . Chọn D.
e
21
x2
2
x2
x2
e 2 f x 2 xe 2 .
x
cos 2 x
x
Suy ra sin xf x
dx x tan x ln cos x C .
cos 2 x
2
3
Với x
f . 3 ln 2
3 f . 3 2 ln 2 2C .
3 3
3
2
3
3
3 1
1
f .
ln 3 ln 2 C
f . 3 ln 3 2 ln 2 2C .
6 6 3
6 9
2
2
Câu 71. Cho hàm số f x liên tục trên 0; , thỏa
2
f
0
2
2
. Tính tích phân
x 2 2 f x sin x dx
4
2
2
I f x dx .
0
.
2
x dx 2 .
4
2
2
2
.
4
2
x 2 2 f x sin x 2 sin 2 x dx 0
4
Suy ra f x 2 sin x
4
4
0
0
Câu 72. Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 thỏa
1
0
2
f x 2 ln 2
2
dx 2 f x ln x 1 dx . Tích phân I f x dx .
e
0
0
1
e
e
4
A. I ln .
1
Do đó giả thiết tương đương với
f x ln 1 x dx 0 f x ln 1 x , x 0;1.
2
0
1
Suy ra
1
f x dx ln 1 x dx ln
0
0
4
. Chọn B.
e
Câu 73. Cho hàm số f x có đạo liên tục trên 0;1, f x và f ' x đều nhận giá trị dương trên 0;1 và thỏa mãn f 0 2
1
15
.
2
B. I
C. I
1
Lời giải. Giả thiết tương đương với
17
.
2
D. I
19
.
2
2
f ' x . f x 1 dx 0
0
Cho
74.
hàm
f x
số
2
1
3 f ' x . f x dx 2
9
0
0
1
1
3
A. I .
2
có
đạo
1
1
0
0
2
1
Lời giải. Giả thiết 3 f ' x . f x dx 2
3
1
1
1
0
0
0
7
D. I .
6
1
Vậy f 3 x
3
1
7
x 1
f x dx . Chọn D.
3
6
0
y f x
Câu 75. Cho hàm số
1
có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn
1
f ' x f 2 x 1 dx 2
0
0
0
0
C.
5 33
.
18
D.
5 33 54
.
18
1
f ' x f 2 x 1 dx 2
0
0
f ' x f 2 x f ' x dx 2
1
x C
f 3 x 3 x 3C
C
f 1 f 0 1
5 33 27
.
54
1
Vậy f 3 x 3 x
3
5 33 27
5 33
f x dx
. Chọn C.
18
18
0
Vấn đề 11. Kỹ thuật đưa về bình phương loại 2
Kỹ thuật Holder
1
Câu 76. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0;1, thỏa mãn
A. 1.
B. 8.
C. 10.
D. 80.
Lời giải. Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là f x , xf x , f x nên ta sẽ liên kết với bình phương f x x .
2
2
1
Với mỗi số thực , ta có
1
1
1
0
0
2
2 0
3
3 6 3 6 12 0. Để tồn tại thì 3 6 4 3 2 6 12 0
2
2
2
3 2 12 12 0 3 2 0 2
6.
2
1
f x 6 x 2
Vậy
1
2
dx 0
f x 6 x 2, x 0;1
f x dx 10. Chọn C.
3
1
phân
f x
3
dx bằng
0
A.
5
.
6
B.
6
.
5
C. 8.
D. 10.
Lời giải. Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là f x , xf x ,
2
0
0
dx
2
0
2 4 2
5 2
.
3
5
2
1
Ta cần tìm , sao cho
f x x
0
2
2 4 2
1
1
xf 2 x dx x 2 f x dx
0
0
1
. Giá trị của tích phân
16
1
f x dx
0
bằng
A.
1
.
5
nên ta sẽ liên kết với bình phương
2
x f x ??? xf 2 x 2 ??? x f x ???2 . So sánh ta thấy được ??? x x .
2
1
x f x x x dx x x dx 1 0.
2
2
16
0
0
2
1
3
1
2
3
1
f x dx
1
38
.
15
8
Tích phân
f x dx bằng
1
A.
f x dx . Bằng cách đổi biến x t 3 ta thu được tích phân
1
2
2
1
1
3 t 2 f t 3 dt 3 x 2 f x 3 dx .
2
Do đó giả thiết được viết lại
1
2
2
1
1
f x 3 2 dx 2 f x 3 dx 2 x 2 f x 3 dx 38 .
f x 3 x 2 1, x 1;2
f x 3 x 2 1, x 1;8
f x dx . Chọn D.
2
1
1
Câu 80. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 1 0 ,
f x
1
2
dx 7 và
0
x
0
2
1
f x dx . Tích
3
1
1
x
2
f x dx
0
1
x3
1
f x x 3 f ' x dx . Kết hợp với giả thiết f 1 0 , ta suy ra
3
3
0
0
1
x
3
f ' x dx 1.
0
1
1
1
0
0
0
f ' x x 3 dx f ' x 2 dx 2 x 3 f ' x dx 2 x 6 dx
2
0
2 1
2
7 2
7 .
f ' x 7 x 3 , x 0;1
f x x 4 C
4
3 2
1
7
7
7
7
f x x 4
f x dx . Chọn B.
4
4
4
5
0
1
Cách 2. Dùng tích phân từng phần ta có
1
x 2 f x dx
7
0
0
2
2
25
1
0
.7 1.
Copyright: Tài liệu đại học ©