LƯỢNG GIÁC VẬN DỤNG CAO
Mục lục
1. Ôn tập những vấn đề cơ bản………………………….…………….……………………

.

2. Tìm nghiệm của phương trình………………………………………………………….

.

3. Nghiệm dương nhỏ nhất – nghiệm âm lớn nhất………………………..…

.

4. Số nghiệm của phương trình…………………………………………………………….
5. Tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [a ; b ] ………..…………

.

6. Tìm m để phương trình có nghiệm………………….………………………………
7. Tìm m để phương trình đúng n có nghiệm thuộc (a ; b )…….…..…

9. Tìm GTLN-GTNN của hàm số……………………………………...………..……… .

Vấn đề 1. Ôn tập những vấn đề cơ bản
Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
2018
A. Hàm số y =
có tập xác định là D = ¡ .
1 + tan 2 x
sin x

; y2 = 2 - sin x cos ỗ
- 2x ữ
Cõu 2. Cho cỏc hm s y1 =
ữ
ỗ
ữ; y3 = sin x cos x + tan x v
ỗ
ố2
ứ
cos3 2 x
D. Hm s y = sin

y4 = x cos 2 x . Hi cú bao nhiờu hm s cú th nhn gc ta lm tõm i xng?

A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Cõu 3. Trong cỏc hm s y1 = sin x ; y2 = sin 2 x ; y3 = tan x ; y4 = cot x cú bao nhiờu hm s tha món
tớnh cht f (x + k p ) = f (x ), " x ẻ Ă , k ẻ Â .
A. 1.
B. 2.
Cõu 4. ng cong trong hỡnh bờn l
th ca mt hm s trong bn hm
s c lit kờ bn phng ỏn A, B,
C, D di õy. Hi hm s ú l hm s
no?

C. 3.


4ứ
ở ố
ỷ
ca gung vi x 0 tớnh bng phỳt. Ta quy c rng y > 0 khi gu trờn
mt nc v y < 0 khi gu di nc. Vy chic gu v trớ cao nht
khi no?
1
1
A. x = 0.
B. x = .
C. x = .
D. x = 1.
4
2
Cõu 7. Gi n l s nguyờn tha món (1 + tan10 ).(1 + tan 2 0 )L (1 + tan 450 ) = 2 n. Khng nh no sau
õy ỳng?
A. n ẻ [1;7 ].

B. n ẻ [8;19 ].

C. n ẻ [20;26 ].

D. n ẻ [27;33].

Cõu 8. Tỡm s nguyờn dng n nh nht ca tha món
1
1
1
2
+

2
3
1
.
C. P = - ì
D. P = 2
2


Cõu 10. Cho gúc a tha món tan a = 5.

A. P =

4
v a ẻ
3

ổ3p
ự
a
a
ỗ
;2p ỳ. Tớnh P = sin + cos .
ỗ
ỗ2
ỳ
ố
2
2
ỷ

ữ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗố
ỗ
ỗ
ố6
ứ 2
ố6
ứ
3ứ
ó cho tr thnh phng trỡnh no di õy?
A. 4 t 2 - 8t + 3 = 0.
B. 4 t 2 - 8t - 3 = 0.
C. 4 t 2 + 8t - 5 = 0.
D. 4 t 2 - 8t + 5 = 0.
ổ
pử
Cõu 12. Cho x 0 tha món 6 (sin x - cos x )+ sin x cos x + 6 = 0. Giỏ tr cos ỗỗx 0 + ữ
ữ
ữ bng
ỗ
ố
4ứ

A. - 1.

B. 1.

B. sin 2 x - 2 cos 2 x = 2.
C. cos 2 x - 2 sin 2 x = - 2.
D. sin 2 x - 2 cos 2 x = - 2.
1
Cõu 14. Cho hai phng trỡnh cos 3 x - 1 = 0 (1) v cos 2 x = (2). Tp cỏc nghim ca phng
2
trỡnh (1) ng thi cng l nghim ca phng trỡnh (2) l

C. -

+ k 2p (k ẻ Â ).

D. x =

2p
+ k 2p (k ẻ Â ).
3

ỡ p p p pỹ
Cõu 15. Tỡm gúc a ẻ ùớ ; ; ; ùý phng trỡnh cos 2 x + 3 sin 2 x - 2 cos x = 0 tng ng vi
ùợù 6 4 3 2 ùỵ
ù
phng trỡnh cos (2 x - a ) = cos x .

A. a =

p
6

.

B. 3.
C. 5.
D. 8.
Cõu 17. Biu din tp nghim ca phng trỡnh cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 trờn ng trũn lng
giỏc ta c s im cui l
A. 2.
B. 4.
C. 5.
D. 6.

Cõu 18. Cú bao nhiờu giỏ tr ca a thuc [0;2p ] ba phn t ca S = {sin a ,sin 2a ,sin 3a } trựng vi
ba phn t ca T = {cos a ,cos 2a ,cos 3a } .
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
n+ 1
n
*
Cõu 19. Phng trỡnh 2 cos x .cos 2 x .cos 4 x .cos 8 x ...cos 2 x = 1 vi n ẻ Ơ cú tp nghim trựng vi
tp nghim ca phng trỡnh no sau õy?
A. sin x = 0.
B. sin x = sin 2 n x .
C. sin x = sin 2 n + 1 x .
D. sin x = sin 2 n + 2 x .
Cõu 20. Tớnh din tớch ca a giỏc to bi cỏc im trờn ng trũn lng giỏc biu din cỏc nghim
ổ pử
ca phng trỡnh tan x + tan ỗ
ữ= 1.
ỗx + ữ


pa

với a, b là các số

b

nguyên và nguyên tố cùng nhau. Tính S = a + b.
A. S = 3.
B. S = 7.

C. S = 15.
D. S = 17.
sin x
1
pa
Câu 22. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình
với a, b
+
+ cot x = 2 có dạng
1 + cos x 1 - cos x
b
là các số nguyên, a < 0 và a, b nguyên tố cùng nhau. Tính S = a + b.
A. S = 3.
B. S = 4.
C. S = 5.
D. S = 7.
æ
ö
æ

p
7

.

B. -

p
18

.

C. -

p
20

.

Câu 25. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos 3 x (2 cos 2 x + 1) =

D.

p
7

.

1
pa

÷ có dạng
çè
ø
4÷
b
a, b là các số nguyên, a < 0 và a, b nguyên tố cùng nhau. Tính S = a + b.
A. S = - 3.
B. S = - 1.
C. S = 1.
D. S = 3.

Câu 28. Cho phương trình 2 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x )(sin x + cos x )cos x =
nhỏ nhất của phương trình có dạng

S = a + b.
A. S = 2.

pa
b

cos 2 x
. Nghiệm dương
1 - tan x

với a, b là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau. Tính

B. S = 3.

C. S = 4.
D. S = 7.


Vấn đề 4. Số nghiệm của phương trình
4


Câu 31. Phương trình 2 cos 2 x + 2 cos 2 2 x + 2 cos 2 3 x - 3 = cos 4 x (2 sin 2 x + 1) có bao nhiêu nghiệm
thuộc khoảng (0;2018) ?
A. 2565.

B. 2566.

C. 2567.

D. 2568.

(1 - 2 cos x )(1 + cos x )
Câu 32. Phương trình
= 1 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0;2018p ) ?
(1 + 2 cos x )sin x
A. 3025.

B. 3026.
C. 3027.
D. 3028.
ép
ù
Câu 33. Phương trình sin ê 3 x - 9 x 2 - 16 x - 80 ú= 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
ê
ú
ë4


C. 6.

D. 7.

Vấn đề 5. Tổng các nghiệm của phương trình
trên đoạn [a ; b ]
Câu 36. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình tan 5 x - tan x = 0 trên [0; p ) bằng
3p
5p
.
.
C. 2p.
D.
2
2
Câu 37. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos (sin x ) = 1 trên đoạn [0;2p ] bằng

A. p.

B.

A. 0.

B. p.

C. 2p.

D. 3p.


.
6

Câu 40. Tổng các nghiệm của phương trình
A.

11p
.
36

B.

p
3

.

C. S = 4 p.

D. S = 5p.

æ pö
3- 1
3+1
0; ÷
+
= 4 2 trên khoảng ç
÷
ç
÷ bằng

.
7
5
70
35
sin 2 x + 2 sin 2 x - 5sin x - cos x + 2
Câu 43. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
= 0 trên đoạn
2 cos x + 3
[0;100p ] bằng
A. p.

B. 2p.

C. 3p.

5


14701p
14850p
D.
.
.
6
3
ổ pử
Cõu 44. Tng tt c cỏc nghim ca phng trỡnh sin 3 ỗỗx - ữ
ữ= 2 sin x trờn on [0;2018] bng
ỗố

412485p
.
2

D.

824967p
.
4

Cõu 45. Tng tt c cỏc nghim ca phng trỡnh cos 2 x (tan 2 x - cos 2 x ) = cos3 x - cos 2 x + 1 trờn
on [0;43p ] bng
A.

4220
p.
3

B.

4225
p.
3

C.

4230
p.
3


ỳ
ố 3ữ
ứ
3
3
ù
ù
ợù
ỵ
ở ỷ

ổ3p
ử
5 + 4 sin ỗỗ - x ữ
ữ
ữ
ỗố 2
ứ
6 tan a
Cõu 48. Cho phng trỡnh
=
. Gi S l tp hp tt c cỏc giỏ tr thc ca
sin x
1 + tan 2 a
a thuc on [0;2p ] phng trỡnh cú nghim. Tng cỏc phn t ca tp S bng
B. 2p.
C. 4 p.
D. 6p.
ổ pử
ổ pử

D. 15.
3
Cõu 51. Cho phng trỡnh 3 tan 2 + tan x + cot x +
= m. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn m nh hn
sin 2 x
2018 phng trỡnh cú nghim?
A. 2004.
B. 2008.
C. 2011.
D. 2012.
A. p.

Cõu 52. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m phng trỡnh sin 4 x = m.tan x cú nghim x ạ k p.
ộ 1 ử
A. m ẻ ờ- ;4ữ
ữ
ữ.
ờ
ở 2 ứ

ộ 1 ự
B. m ẻ ờ- ;4 ỳ.
ờ
ở 2 ỳ
ỷ

ổ1 ử
C. m ẻ ỗ
ữ.
ỗ- ;4ữ


D. 11.


Cõu 55. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m phng trỡnh cos 4 x = cos 2 3 x + m sin 2 x cú nghim
ổ pử
thuc khong ỗỗ0; ữ
ữ
ữ.
ỗ
ố 12 ứ
ổ 1ử
ổ1 ử
ổ 1ử
0; ữ
.
;2ữ
.
A. m ẻ ỗ
B. m ẻ ỗ
C. m ẻ (0;1).
D. m ẻ ỗỗ- 1; ữ
ữ
ữ
ữ.
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ

D. 51.

A. m -

Cõu 58. Cho hm s y = f (x ) cú bng bin thiờn nh hỡnh v

x

- Ơ

f ' (x )

1

- 1

- 2
+

-

0

0

4

+Ơ

+


2

0
+

-

0

0

3

+Ơ

+
+Ơ

f (x )

2

1

0

- 2
Cú bao nhiờu s nguyờn
- Ơdng m phng trỡnh f (2 sin x + 1) = f (m ) cú nghim?

B. 1 < m £ 2.
C. 1 £ m £ 2.

Câu 62. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sin 2 x +

D. 1 £ m < 2.
æ p÷
ö
2 sin ç
x+ ÷
- 2 = m có đúng
ç
÷
ç
è
4ø

æ 3p ö
2 nghiệm thuộc khoảng çç0; ÷
÷.
ç
è 4÷
ø

A. - 3 < m < - 1 + 2. B. - 3 < m £ - 1 + 2.
C. - 1 < m £ - 1 + 2.
D. - 1 < m < - 1 + 2.
2
Câu 63. Cho phương trình m sin x - 3sin x cos x - m - 1 = 0. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên m
æ 3p ö

C. 3.
D. 4.
Câu 66. Cho phương trình sin 4 x + cos 4 x + cos 2 4 x = m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
é p pù
để phương trình có 4 nghiệm thuộc đoạn ê- ; ú.
ê
ë 4 4ú
û
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 67. Cho phương trình (sin x - 1)(cos x - cos x + m ) = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
2

m để phương trình có đúng 5 nghiệm thuộc đoạn [0;2p ].
1
1
1
1
.
B. - < m £ 0.
C. 0 < m < .
D. - < m < 0.
4
4

÷
ç
÷.
ç
è 5 5ø

Câu 69. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 10;10 ] để số vị trí biểu diễn các
nghiệm của phương trình 1 + 2 cos 2 2 x -

æ
pö
3 sin 4 x - m = m sin ç
÷ trên đường tròn lượng giác là
ç2 x - ÷
ç
è
ø
3÷

4?
A. 8.
B. 9.
C. 10.
D. 12.
Câu 70. Cho phương trình (m + 1)cos x + (m - 1)sin x = 2m + 3. Có bao nhiêu giá trị của tham số m
để phương trình có hai nghiệm x1 , x 2 thỏa mãn x1 - x 2 =
A. 0.

B. 1.


B. 2.
C. 3.

D. Vô số.

Câu 73. Cho phương trình 3 m + 3 3 m + 3sin x = sin x . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
phương trình có nghiệm?
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 7.
Câu 74. Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m +

m + 1 + 1 + sin x = sin x có

nghiệm là [a; b ]. Giá trị của a + b bằng
1
- 2.
C. 3.
2
Câu 75. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

A. 4.

D. -

B.

1
4


3

Câu 77. Cho phương trình 4 sin x + m + sin x = sin x + 4 sin x + m - 8 + 2. Có tất cả bao nhiêu giá
trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm ?
A. 18.
B. 19.
C. 20.
D. 21.
Câu 78. Cho phương trình 3 tan x + 1 (sin x + 2 cos x ) = m (sin x + 3cos x ). Có bao nhiêu giá trị
3

nguyên của tham số m thộc đoạn [- 2018;2018] để phương trình trên có đúng một nghiệm thuộc
æ pö
÷?
ç
0; ÷
ç
ç
è 2÷
ø
A. 2015.

B. 2016.
C. 2018.
Câu 79. Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos 2 x +
A. 2.
B. 3.
C. 4.
Câu 80. Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

ứ
3
.
2
ộ p pự
Cõu 82. Giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s f (x ) = 2 cos3 x - cos 2 x trờn on ờ- ; ỳ ln
ờ
ở 3 3ỳ
ỷ
lt l
1
3
19
A. - 3 v 1.
B.
v 1.
C.
v 1.
D. - 3 v .
4
4
27

A. - 1 v 1.

B. 0 v 1.

C. -

3

ử
4
x
ữ
ữ
Cõu 85. Giỏ tr nh nht ca f (x ) = sin ỗỗ 2
ữ+ cos ỗ
ữ+ 1 gn nht vi s no sau õy?
ỗ
ỗ
ỗ
ốx + 1ữ
ứ
ốx 2 + 1ữ
ứ
1
1
1
A. - 1.
B. - .
C. - .
D. - .
2
4
8
cos x + 2 sin x + 3
Cõu 86. Gi m, M ln lt l giỏ tr nh nht v ln nht ca hm s y =
. Tớnh
2 cos x - sin x + 4
S = 11m + M .

tr ln nht ca hm s. Khi ú giỏ tr ca M + m gn nht vi s no sau õy?
5
7
9
11
A. .
B. .
C. .
D. .
2
2
2
2
Cõu 90. Giỏ tr nh nht v giỏ tr ln nht ca hm s f (x ) = sin 2018 x + cos 2018 x ln lt l
A.

1
v 2.
21008

B.

1
v 1.
21009

C. 0 v 1.

D.


p
x
2
2
÷
Câu 93. Cho hàm số y = 2 sin 2 ççx - ÷
÷+ 2 cos ç
÷- 3 sin x + a (với là tham số). Gọi m, M lần lượt
ç
ç
ç
è
ø
è2 ÷
ø
6÷
ép 2p ù
là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn ê ; ú. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a
ê6 3 û
ú
ë
để m 2 - M £

B. 1.

C. 2.

321
?
4

3

C. 3.

Câu 96. Cho hàm số y = f (x ) xác định trên ¡ , thỏa mãn f (tan x ) =

1
sin 2 x - cos 2 x với mọi
2

æ p pö
xÎ ç
- ; ÷
÷. Với a, b là hai số thực thay đổi thỏa mãn a + b = 1, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
ç
ç
è 2 2÷
ø

S = f (a ). f (b ) bằng

A.

1
.
25

B. -

1

B. .

A. M =

1+

nhất của P =

2
5
2
C. .
D. .
.
p
p
p
3p
Câu 98. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 4. Tìm giá trị lớn nhất M trong tất cả các
æ pù
hàm số y = a + b sin x + c cos x với x Î çç0; ú.
ç 4ú
è
û

2.

B. M = 1 +

C. M = 2 1 +

Câu 100. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn cos (x + y + 1)+ 3 = cos (3 xy )+ 9 xy - 3 x - 3 y. Giá trị

A.

nhỏ nhất của biểu thức S = x ( y + 2) bằng
A.

11 + 4 7
.
9

B. 1.

C.

28 + 8 7
.
21

---------- HẾT ----------

11

D.

7+ 2 7
.
21



21

8. Kỹ thuật hàm đặc trưng …………………………………………….………………….….
10. Bài toán GTLN-GTNN có chứa tham số m …………………………………

10

34

27


2018
cú tp xỏc nh l D = Ă .
1 + tan 2 x
sin x
B. Hm s y =
cú tp xỏc nh l D = Ă \ {3} .
3 - cos x
A. Hm s y =

C. Hm s y =

cos x + 1 cú tp xỏc nh l D = Ă .

D. Hm s y = sin

2x
cú tp xỏc nh l D = Ă .
x- 2

Cõu 3. Trong cỏc hm s y1 = sin x ; y2 = sin 2 x ; y3 = tan x ; y4 = cot x cú bao nhiờu hm s tha món
tớnh cht f (x + k p ) = f (x ), " x ẻ Ă , k ẻ Â .
A. 1.
B. 2.
Li gii. Chn C. ú l cỏc hm s y2 ; y3 ; y4 .
Cõu 4. ng cong trong hỡnh bờn l
th ca mt hm s trong bn hm
s c lit kờ bn phng ỏn A, B,
C, D di õy. Hi hm s ú l hm s
no?

C. 3.

D. 4.

A. y = sin 2 x
B. y = cos x .
C. y = - sin x
Li gii. Khi x = 0 thỡ y = 1. Chn B.
Cõu 5. ng cong trong hỡnh bờn mụ t th ca
hm s y = A sin (x + a )+ B (vi A, B, a l cỏc

D. y = - cos x .

ộ pự
12a
hng s v a ẻ ờ0; ỳ). Tớnh S = A + B +
.
ờ
ỳ

ổp
ử 1- B
+ aữ
=
. (4 )
Ta thy A = 0 khụng tha món h. Do ú (3) sin ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố3
ứ
A
ổ 2p
ử
ổp
ử
(4 )
đ - A sin ỗ
+ aữ
+ B = - 3 - A sin ỗ
T (1) ắ ắ
ữ
ữ
ỗp ỗ + aữ
ữ
ữ+ B = - 3 ắ ắđ B = ỗ
ỗ
ố
ứ


1.

aữ
ữ
ữ= 2 sin a


sin

p
3

cos a + cos

p
3

ộ pự

sin a = 2 sin a

3 cos a = 3sin a tan a =

3 a ẻ ờởờ0; 2 ỳỷỳ
p
ắ ắ ắđ a = .
3
6


x- ữ
thc h = y trong ú: y = 2,5sin ờ2p ỗ
ữ
ỗ
ữỳ+ 2 vi x l thi gian quay
ỗ
ờ
4ứ
ở ố
ỷ
ca gung vi x 0 tớnh bng phỳt. Ta quy c rng y > 0 khi gu trờn
mt nc v y < 0 khi gu di nc. Vy chic gu v trớ cao nht
khi no?
1
1
A. x = 0.
B. x = .
C. x = .
D. x = 1.
4
2
ộ ổ 1 ửự
1
ỳ
đ x = . Chn C.
Li gii. Gu v trớ cao nht khi: sin ờ2p ỗỗx - ữ
ữ
ữỳ= 1 ắ ắ
ỗ
ờ

L
cos1
cos 2
cos 45
45 cos 44.cos 43.....cos 2.cos1
sin 90
= 2 .

cos1.cos 2.....cos 43.cos 44 cos 45
ổ ử
ỗ
ữ
ỗ ữ
45 ỗ 1 ữ
45
ữ
ữ
= 2 .ỗ
=
2
. 2 = 2 23 ắ ắ
đ n = 23. Chn C.
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
2ữ
ỗ

sin1
ị sin1.P =
+
+L +
sin 45.sin 46 sin 46.sin 47
sin134.sin135
ị sin1.P = cot 45- cot 46 + cot 46- cot 47 + ... + cot134- cot135
2
ị sin1.P = cot 45- cot135 = 2 ắ ắ
đ P=
ắắ
đ n = 1. Chn A.
sin1
=

(cos1 + sin1) (cos 2 + sin 2)

( )

( )

( )

Cõu 9. Cho gúc a tha 0 < a


Li gii. Ta cú (sin a - cos a ) + (sin a + cos a ) = 2 (sin 2 a + cos 2 a ) = 2 .
2

2

2

5 3
= .
4 4

2

Suy ra (sin a - cos a ) = 2 - (sin a + cos a ) = 2 Do 0 < a

.
5

ổ3p
ự a ổ3p ự
ẻ ỗỗ ; p ỳ.
Li gii. Ta cú P 2 = 1 + sin a . Vi a ẻ ỗỗ ;2p ỳị
ỗ2
ỗ4 ỳ
ỳ
ố
ỷ 2 ố
ỷ
ùỡù
a
2
ùù 0 Ê sin

Vn 2. Tỡm nghim ca phng trỡnh
ổ pử
ổp
ử 5
ổp
ử
+ 4 cos ỗỗ - x ữ
= . Nu t t = cos ỗ
Cõu 11. Cho phng trỡnh cos 2 ỗỗx + ữ
thỡ phng trỡnh
ữ
ữ
ữ
ỗ - xữ
ữ
ữ
ữ
ỗố
ỗ
ỗ
ố6
ứ 2
ố6
ứ
3ứ
ó cho tr thnh phng trỡnh no di õy?
A. 4 t 2 - 8t + 3 = 0.
B. 4 t 2 - 8t - 3 = 0.
C. 4 t 2 + 8t - 5 = 0.
D. 4 t 2 - 8t + 5 = 0.

ử
ổp
ử 3
+ 4 cos ỗ
Do ú phng trỡnh tng ng vi - 2 cos 2 ỗỗ - x ữ
ữ
ữ
ỗ - xữ
ữ
ữ- 2 = 0
ỗ
ỗ
ố6
ứ
ố6
ứ
ổp
ử
ổp
ử
- 4 cos 2 ỗỗ - x ữ
+ 8 cos ỗỗ - x ữ
ữ
ữ- 3 = 0.
ữ
ữ
ỗ6
ỗ6
ố
ứ

1- t 2
x+ ữ
Li gii. t t = sin x - cos x = - 2 cos ỗ
Suy
ra
2
Ê
t
Ê
2
.
sin
x
cos
x
=
.
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố
4ứ
2
ột = - 1
1- t 2
+ 6= 0 ờ
Phng trỡnh ó cho tr thnh 6t +
ờt = 13 (loaùi )
2

A. cos 2 x - 2 sin 2 x = 2.
B. sin 2 x - 2 cos 2 x = 2.
C. cos 2 x - 2 sin 2 x = - 2.
D. sin 2 x - 2 cos 2 x = - 2.
2
Li gii. Phng trỡnh tng ng vi (2 sin x + 2 cos 2 x )- 2.2 sin x cos x + (2 cos 2 x - 1) = 0

2 - 2 sin 2 x + cos 2 x = 0 cos 2 x - 2 sin 2 x = - 2. Chn C.
Cõu 14. Cho hai phng trỡnh cos 3 x - 1 = 0 (1) v cos 2 x = -

1
2

(2). Tp cỏc nghim ca phng

trỡnh (1) ng thi cng l nghim ca phng trỡnh (2) l
A. x =

p
3

p

C. x =

B. x = k 2p (k ẻ Â ).

+ k 2p (k ẻ Â ).
3


Phng trỡnh (2) cos 2 x = cos

phng trỡnh cos (2 x - a ) = cos x .
A. a =

p

B. a =

.

6
Li gii. Ta cú

p
4

C. a =

.

cos 2 x + 3 sin 2 x - 2 cos x = 0

p
3

.

D. a =



ộ
5p ự
Cõu 16. Trờn on ờ- 2p; ỳ, th hai hm s y = sin x v y = cos x ct nhau ti bao nhiờu im?
ờ
2ỳ
ở
ỷ
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 8.
Li gii. Phng trỡnh honh giao im ca hai th hm s l: sin x = cos x

tan x = 1 x =

p
4

+ k p (k ẻ Â ).

ộ
5p ự
p
5p
9
9
ẻÂ
đ - 2p Ê + k p Ê
- Ê k Ê ắ kắắ

p k 2p
ộcos 2 x = 0
ờx = +
đ 4 diem
ờ
ờ
4
4
ờ

(k ẻ Â ) v cỏc im ny khụng trựng nhau nờn tp
ờ
1
ờcos x = p
ờ
ờ
ờx = + k 2p đ 2 diem
2
ở
ờ
3
ở
nghim ca phng trỡnh ó cho cú 6 im biu din trờn ng trũn lng giỏc. Chn D.

Cõu 18. Cú bao nhiờu giỏ tr ca a thuc [0;2p ] ba phn t ca S = {sin a ,sin 2a ,sin 3a } trựng vi
ba phn t ca T = {cos a ,cos 2a ,cos 3a } .
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.

3
ở

Th li ta thy ch cú a =

p
8

+k

p
2

(k ẻ Â ) tha S = T .

p
1
15 k ẻ Â
+ k Ê 2p - Ê k Ê
ắ ắắ
đ k ẻ {0;1;2;3} . Chn D.
8
2
4
4
Cõu 19. Phng trỡnh 2 n + 1 cos x .cos 2 x .cos 4 x .cos 8 x ...cos 2 n x = 1 vi n ẻ Ơ * cú tp nghim trựng vi
tp nghim ca phng trỡnh no sau õy?
A. sin x = 0.
B. sin x = sin 2 n x .
C. sin x = sin 2 n + 1 x .

B.

3 10
.
5

C.

2.

D.

ỡù
ùù x ạ p + k p
ùù
2
(k ẻ Â ).
ớ
ùù
p
x
ạ
+
k
p
ùù
4
ùợ
tan x + 1
1 tan x +

ộx = k p
tan 2 x - 3 tan x = 0 ờ
ờ
(k ẻ Â ).
ờtan x = 3
ờx = arctan 3 + k p
ở
ở
Nghim x = k p biu din trờn ng trũn lng giỏc l hai im
A, B (xem hỡnh v).
Nghim x = arctan 3 + k p biu din trờn ng trũn lng giỏc l hai
im M , N (xem hỡnh v).

17

3.
y
T

3

1

M

H
O

x
A

pa
b

vi a, b l cỏc s

nguyờn v nguyờn t cựng nhau. Tớnh S = a + b.
A. S = 3.
B. S = 7.
C. S = 15.
D. S = 17.
Li gii. Phng trỡnh tng ng vi sin 5 x = 1 - 2 cos 2 x sin 5 x = - cos 2 x
ộ
p
2p
ờx = - + k
ổ
ử
p
ờ
6
3
sin 5 x = sin ỗỗ2 x - ữ
ờ
ữ
ữ
ỗố
ứ
ờ
3
p

b
l cỏc s nguyờn, a < 0 v a, b nguyờn t cựng nhau. Tớnh S = a + b.
A. S = 3.
B. S = 4.
C. S = 5.
D. S = 7.
ùỡù cos x ạ 1
x ạ k p (k ẻ Â ).
Li gii. iu kin: ớ
ùùợ sin x ạ 0
Cõu 22. Nghim õm ln nht ca phng trỡnh

Phng trỡnh

sin x (1 - cos x )+ 1 + cos x
2

sin x
sin x + cos x + 1 = 2 sin 2 x
sin x + cos x + cos 2 x = 0

+

cos x
= 2
sin x

(sin x + cos x )(1 + cos x - sin x ) = 0.
sin x + cos x = 0 tan x = - 1 x = -


đ ùớ
ắắ
đ S = 3. Chn A.
ắắ
đ nghim õm ln nht l - ắ ắ
ùùợ b = 4
4

ổp
ử
ử
p
2ổ
- xữ
+ 2x ữ
. S v trớ biu din cỏc
Cõu 23. Cho phng trỡnh sin x + sin 5 x = 2 cos 2 ỗ
ữ- 2 cos ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ4
ỗ4
ố
ứ
ố
ứ
nghim ca phng trỡnh trờn ng trũn lng giỏc l?

Li gii. Ta cú ớ
.
ùù
ổp
ử
ổp
ử
ữ
ữ
ỗ
+
2
x
=
1
+
cos
+
4
x
=
1
sin
4
x
ùù 2 cos 2 ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ

ở

Hp hai trng hp ta c nghim ca phng trỡnh ó cho l x =

k p k 2p
=
(k ẻ Â )
3
6

ắắ
đ cú 6 im biu din trờn ng trũn lng giỏc. Chn D.
Cõu 24. Cho phng trỡnh sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 (cos 4 x + sin 3 x ). Tng nghim õm ln
nht v nghim dng nh nht ca phng trỡnh bng

p
7

.

p

p

p

C. D. .
.
.
18

ữ
ỗ
sin ỗ
3x + ữ
=
sin
4
x

(k ẻ Â ).
ờ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ố
ố2
ứ ờ
p
3ứ
ờx = - + k 2p
ờ
6
ở
A. -


D. S = 17.

2 cos x + 2 cos 3 x + 2 cos 5 x = 1.
Nhn thy sin x = 0 x = k p (k ẻ Â ) khụng tha món phng trỡnh.

Nhõn hai v cho sin x ta c 2 sin x cos x + 2 sin x cos 3 x + 2 sin x cos 5 x = sin x
sin 2 x + (sin 4 x - sin 2 x )+ (sin 6 x - sin 4 x ) = sin x

ộ
k 2p
ờx =
ờ
5
sin 6 x = sin x ờ
(k ẻ Â ).
ờ
p k 2p
x
=
+
ờ
ờ
7
7
ở
ùỡ a = 1
p
đ ùớ
ắắ
đ S = 8. Chn B.

19

p
4

+ k p (k ẻ Â ).

D. 2020.


Hp hai trng hp ta c nghim ca phng trỡnh ó cho l x =

p
4

+

kp
(k ẻ Â )
2

ắắ
đ cú 4 im biu din trờn ng trũn lng giỏc. Chn B.
ổ pử
ữ cú dng p a vi
Cõu 27. Nghim õm ln nht ca phng trỡnh tan 2018 x + cot 2018 x = 2 sin 2017 ỗỗx + ữ
ỗố
ứ
4ữ
b

ổ pử
ữ
ùù sin ỗ
ù
x
+
=
1
p
4
ữ
ỗ
ùù x = + k 2p
ỗ
ố
ứ
ùùợ
4ữ
ùùợ
4
ùỡù a = - 7
7p
ắắ
đớ
ắắ
đ S = - 3. Chn A.
ắắ
đ nghim õm ln nht l ùùợ b = 4
4


1 - tan x
1cos x
Do ú phng trỡnh 2 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x )(sin x + cos x )cos x = (sin x + cos x )cos x

Ta cú

2017
2018
cos x (sin x + cos x ). ộ
x + cos 2018 x )- 1ự
ờ2 (sin
ỳ= 0.
ở
ỷ
cos x = 0 : (loaùi ).

p

+ k p (k ẻ Â ).
4
2 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x )- 1 = 0 2 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x ) = 1 : vụ nghim vỡ

sin x + cos x = 0 tan x = - 1 x = -

1009
ổa1009 + b1009 ử
ổa + b ử
ữ
ữ = 1 vi a = sin 2 x , b = cos 2 x .
ỗỗ

1
1
1
1
+
+
+L +
= 0 cú nghim dng
sin x sin 2 x sin 4 x
sin 2 2018 x

k 2p
vi k ẻ Â v a, b ẻ Â + , b < 2018. Tớnh S = a + b.
2a - b
A. S = 2017.
B. S = 2018.
C. S = 2019.
D. S = 2020.
Li gii. iu kin: sin 2 2018 x ạ 0.
cos a cos 2a 2 cos 2 a - cos 2a
1
=
=
.
Ta cú cot a - cot 2a =
sin a sin 2a
sin 2a
sin 2a
ổ x
ử

sin x
p
Cõu 30. Phng trỡnh
cú bao nhiờu nghim?
=
x
18
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. Vụ s.
Li gii. iu kin: x ạ 0 .
sin x
p
p
Phng trỡnh
=
ắắ
đ sin x =
x . (1)
x
18
18
Phng trỡnh (1) l phng trỡnh honh giao im ca th hm s y = sin x (cú th l mu

xanh nh hỡnh v) vi th hm s y =

p
18


đ 0

2
ộ x
ờcos = 0 (loaùi )
ử
xổ
3
x
3
x
3x
p
2p
ờ 2
2 cos ỗ
sin
+ cos ữ
=
0

tan
= - 1 x = - + k
(k ẻ Â ).
ữ
ờ
ỗ
ữ
ỗ
3x
ờ 3x
2ố

3
4
6ứ
2 cos

ắắ
đ k ẻ {1;2;3;...;3027} . Vy cú 3027 nghim. Chn C.
ộp
Cõu 33. Phng trỡnh sin ờ 3 x ờ4
ở
A. 1.
B. 2.

(

Li gii. Phng trỡnh

p
4

3x

(3x -

ự
9 x 2 - 16 x - 80 ỳ= 0 cú bao nhiờu nghim nguyờn dng?
ỳ
ỷ

)

3k - 2
3k - 2
ộk = 1 ị x = 12
ờ
kẻ Â
+
đ ờ
. Chn B.
Vỡ x ẻ Â nờn ta cn cú 3k - 2 = {1;2;7;14;49;98} ắ ắắ
ờk = 3 ị x = 4
ờ
ờ
ởk = 17 ị x = 12 (loaùi )
ổ pử 1
Cõu 34. Phng trỡnh sin 4 x + cos 4 ỗỗx + ữ
cú bao nhiờu nghim thuc khong (0;2017p ) ?
ữ=
ỗ
ố
ứ 4
4ữ
A. 4032.
B. 4033.
C. 4034.
D. 4035.
1 - cos 2 x
ùỡù
2
ùù sin x =
2

2

2

(1 - cos 2 x ) + (1 - sin 2 x ) = 1
3 - 2 (cos 2 x + sin 2 x ) = 1
ộx = k p
ổ
ờ
pử
1
ữ
ờ
sin ỗ
2
x
+
=

(k ẻ Â ).
ữ
p
ỗ
ữ
ỗ
ờx = + k p
ố
4ứ
2
ờ

ùù
Li gii. iu kin: ùớ cos 2 x ạ 0.
ùù
ùùợ cos 4 x ạ 0
Phng trỡnh tan 4 x - tan 2 x = 4 tan x (1 + tan 4 x .tan 2 x )

tan 4 x - tan 2 x
= 4 tan x (vỡ cos 2 x ạ 0 ắ ắ
đ 1 + tan 4 x .tan 2 x ạ 0 )
1 + tan 4 x .tan 2 x
tan 2 x = 4 tan x



tan x + tan x
= 4 tan x
1 - tan x tan x
tan x (2 tan 2 x - 1) = 0


ộx = k p
ộtan x = 0 (thoỷ
a maừ
n)
ờ
ờ
ờ
ờ
ổ 2ử
ờ


C. 2p.

B.

Phng trỡnh tan 5 x = tan x 5 x = x + k p x = k
đ 0Ê k
Vỡ x ẻ [0; p ) ắ ắ

p
4

D.

5p
.
2

(k ẻ Â ).

p

ẻÂ
< p 0 Ê k < 4 ắ kắắ
đ k ẻ {0;1;2;3} .
4
ỡù k = 0 ắ ắ
đ x= 0
ùù
ùù

D. 3p.
Li gii. Phng trỡnh tng ng vi sin x = k 2p, k ẻ Â .
Vỡ - 1 Ê sin x Ê 1 nờn suy ra k = 0 , khi ú phng trỡnh tr thnh sin x = 0 x = l p (l ẻ Â ).
đ x ẻ {0; p;2p } . Suy ra tng cỏc nghim 0 + p + 2p = 3p. Chn D.
Vỡ x ẻ [0;2p ]ắ ắ

9
= 0. Gi S l tp cỏc giỏ tr ca
4
tham s a thuc on [0;4 p ] phng trỡnh cú nghim kộp. Tng cỏc phn t ca tp S bng

Cõu 38. Cho phng trỡnh x 2 - (2 cos a - 3)x + 7 cos 2 a - 3cos a -

A.

20p
.
3

B. 15p.

C. 16p.

ổ
9ử
2
2
ữ= 0
Li gii. Yờu cu bi toỏn D = (2 cos a - 3) - 4 ỗỗỗ7 cos a - 3cos a - ữ
ố

đaẻ ớ
; ;
;
ý
ờcos a = ùợù 6 6 6
2
6 ùỵ
ờ
ù
ở
p 11p 13p 23p 5p 7p 17p 19p
Vy +
+
+
+
+
+
+
= 16p. Chn C.
6
6
6
6
6
6
6
6

Cõu 39. Tớnh tng S tt c cỏc nghim ca phng trỡnh (2 cos 2 x + 5)(sin 4 x - cos 4 x )+ 3 = 0 trờn
khong (0;2p ).

ỡ p 5p 7p 11p ỹ
ùý ắ ắ
đ x ẻ ùớ ; ; ;
đ S = 4 p. Chn C.
Vỡ x ẻ (0;2p ) ắ ắ
ùợù 6 6 6 6 ùỵ
ù

Cõu 40. Tng cỏc nghim ca phng trỡnh
A.

11p
.
36

B.

p
3

.

ổ pử
3- 1
3+1
0; ữ
+
= 4 2 trờn khong ỗ
ữ bng
ỗ

ổ
ử
pữ
ữ+ sin ỗ
sin ỗ
+ xữ
x- ữ
= 2 sin 2 x
ỗ
ỗ
ữ
ỗ3
ỗ
ố
ứ
ố
ứ
6ữ
ổp
ử
p
.
2 cos .sin ỗ
+ xữ
= 2 sin 2 x
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố12

ờ
36
3
ở
ổ pử
ỡ
ỹ
p
11
p
p
11
p
7
p
ùý ắ ắ
0; ữ
đ x ẻ ùớ ;
đ
+
=
. Chn C.
Vỡ x ẻ ỗ
ữắ ắ
ỗ
ỗ
ố 2ữ
ứ
12 36
18

2 cos ỗ
x- ữ
= 1 cos ỗ
x- ữ
=
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ố
ố
4ứ
4ứ
2

t2 - 1
+ t = 1 t 2 + 2t - 3 = 0
2

Vi t = 1, ta c sin x + cos x = 1

D. 4 p.
2

24


2

+ k 2p

p + k 2p
p

-

2

ỡù p
3p ỹ
ẻ (0;2 p )
ắắ
đ x ẻ ớ ; p; ùý. Chn C.
(k ẻ Â ) ắ xắ
ùợù 2

2 ùỵ
ù

+ k 2p

Cõu 42. Tng tt c cỏc nghim ca phng trỡnh sin 3 x (1 - 4 sin 2 x ) =

3p
3p
37p
B.

p k 2p
ờx =
+
ổp
ử
ờ
14
7
ữ
ỗ
sin 6 x = sin ỗ - x ữ
ờ
(k ẻ Â ).
ữ
ỗ
ố2
ứ ờ
p k 2p
+
ờx =
ờ 10
5
ở
ộ
ộ
p
ờk = 0 đ x =
ờk = 0 đ x =
p k 2p p k ẻ Â ờ
p k 2p p k ẻ Â ờ

. Chn D.
14 14 10 2
35
sin 2 x + 2 sin 2 x - 5sin x - cos x + 2
Cõu 43. Tng tt c cỏc nghim ca phng trỡnh
=
2 cos x + 3
[0;100p ] bng
A.

7375p
.
3

B.

7475p
.
3

C.

14701p
.
6

D.

p
10

ờ
6
.
2 sin x - 1 = 0 sin x = ờ
ờ 5p
2
+ k 2p (loaùi )
ờx =
ờ
6
ở
49
49
ổp
ử
p
7375p
=
50.
+
2
p
k=
. Chn A.
Vy tng cỏc nghim cn tớnh ồ ỗỗ + k 2p ữ
ữ
ồ
ữ
ỗ
ứ

D.

824967p
.
4