Tải file word tại website http://dethithpt.com

LƯỢNG GIÁC VẬN DỤNG CAO
Mục lục
1. Ôn tập những vấn đề cơ bản………………………….…………….……………………

.

2. Tìm nghiệm của phương trình………………………………………………………….

.

3. Nghiệm dương nhỏ nhất – nghiệm âm lớn nhất………………………..…

.

4. Số nghiệm của phương trình…………………………………………………………….
5. Tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [a ; b ] ………..…………

.

6. Tìm m để phương trình có nghiệm………………….………………………………
7. Tìm m để phương trình đúng n có nghiệm thuộc (a ; b )…….…..…

9. Tìm GTLN-GTNN của hàm số……………………………………...………..……… .

Vấn đề 1. Ôn tập những vấn đề cơ bản
Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
2018
A. Hàm số y =
có tập xác định là D = ¡ .

ổ5p
ử
2
; y2 = 2 - sin x cos ỗ
- 2x ữ
Cõu 2. Cho cỏc hm s y1 =
ữ
ỗ
ữ; y3 = sin x cos x + tan x v
ỗ
ố2
ứ
cos3 2 x
D. Hm s y = sin

y4 = x cos 2 x . Hi cú bao nhiờu hm s cú th nhn gc ta lm tõm i xng?

A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Cõu 3. Trong cỏc hm s y1 = sin x ; y2 = sin 2 x ; y3 = tan x ; y4 = cot x cú bao nhiờu hm s tha món
tớnh cht f (x + k p ) = f (x ), " x ẻ Ă , k ẻ Â .
A. 1.
B. 2.
Cõu 4. ng cong trong hỡnh bờn l
th ca mt hm s trong bn hm
s c lit kờ bn phng ỏn A, B,
C, D di õy. Hi hm s ú l hm s
no?

ữỳ+ 2 vi x l thi gian quay
ỗ
ờ
4ứ
ở ố
ỷ
ca gung vi x 0 tớnh bng phỳt. Ta quy c rng y > 0 khi gu trờn
mt nc v y < 0 khi gu di nc. Vy chic gu v trớ cao nht
khi no?
1
1
A. x = 0.
B. x = .
C. x = .
D. x = 1.
4
2
Cõu 7. Gi n l s nguyờn tha món (1 + tan10 ).(1 + tan 2 0 )L (1 + tan 450 ) = 2 n. Khng nh no sau
õy ỳng?
A. n ẻ [1;7 ].

B. n ẻ [8;19 ].

C. n ẻ [20;26 ].

D. n ẻ [27;33].

Cõu 8. Tỡm s nguyờn dng n nh nht ca tha món
1
1


5
. Tớnh P = sin a - cos a .
2
3
1
.
C. P = - ì
D. P = 2
2


Ti file word ti website http://dethithpt.com
Cõu 10. Cho gúc a tha món tan a = 5.

A. P =

4
v a ẻ
3

ổ3p
ự
a
a
ỗ
;2p ỳ. Tớnh P = sin + cos .
ỗ
ỗ2
ỳ

Cõu 11. Cho phng trỡnh cos 2 ỗỗx + ữ
thỡ phng trỡnh
ữ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗố
ỗ
ỗ
ố6
ứ 2
ố6
ứ
3ứ
ó cho tr thnh phng trỡnh no di õy?
A. 4 t 2 - 8t + 3 = 0.
B. 4 t 2 - 8t - 3 = 0.
C. 4 t 2 + 8t - 5 = 0.
D. 4 t 2 - 8t + 5 = 0.
ổ
pử
Cõu 12. Cho x 0 tha món 6 (sin x - cos x )+ sin x cos x + 6 = 0. Giỏ tr cos ỗỗx 0 + ữ
ữ
ữ bng
ỗ
ố
4ứ

2
Cõu 13. Phng trỡnh 2 sin 2 x - 4 sin x cos x + 4 cos 2 x = 1 tng ng vi phng trỡnh no trong
cỏc phng trỡnh sau?
A. cos 2 x - 2 sin 2 x = 2.
B. sin 2 x - 2 cos 2 x = 2.
C. cos 2 x - 2 sin 2 x = - 2.
D. sin 2 x - 2 cos 2 x = - 2.
1
Cõu 14. Cho hai phng trỡnh cos 3 x - 1 = 0 (1) v cos 2 x = (2). Tp cỏc nghim ca phng
2
trỡnh (1) ng thi cng l nghim ca phng trỡnh (2) l

C. -

+ k 2p (k ẻ Â ).

D. x =

2p
+ k 2p (k ẻ Â ).
3

ỡ p p p pỹ
Cõu 15. Tỡm gúc a ẻ ùớ ; ; ; ùý phng trỡnh cos 2 x + 3 sin 2 x - 2 cos x = 0 tng ng vi
ùợù 6 4 3 2 ùỵ
ù
phng trỡnh cos (2 x - a ) = cos x .

A. a =


2ỳ
ở
ỷ
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 8.
Cõu 17. Biu din tp nghim ca phng trỡnh cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 trờn ng trũn lng
giỏc ta c s im cui l
A. 2.
B. 4.
C. 5.
D. 6.

Cõu 18. Cú bao nhiờu giỏ tr ca a thuc [0;2p ] ba phn t ca S = {sin a ,sin 2a ,sin 3a } trựng vi
ba phn t ca T = {cos a ,cos 2a ,cos 3a } .
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
n+ 1
n
*
Cõu 19. Phng trỡnh 2 cos x .cos 2 x .cos 4 x .cos 8 x ...cos 2 x = 1 vi n ẻ Ơ cú tp nghim trựng vi
tp nghim ca phng trỡnh no sau õy?
A. sin x = 0.
B. sin x = sin 2 n x .
C. sin x = sin 2 n + 1 x .
D. sin x = sin 2 n + 2 x .
Cõu 20. Tớnh din tớch ca a giỏc to bi cỏc im trờn ng trũn lng giỏc biu din cỏc nghim


Tải file word tại website http://dethithpt.com

Vấn đề 3. Nghiệm dương nhỏ nhất
Nghiệm âm lớn nhất
Câu 21. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 5 x + 2 cos 2 x = 1 có dạng

pa

với a, b là các số

b

nguyên và nguyên tố cùng nhau. Tính S = a + b.
A. S = 3.
B. S = 7.

C. S = 15.
D. S = 17.
sin x
1
pa
Câu 22. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình
với a, b
+
+ cot x = 2 có dạng
1 + cos x 1 - cos x
b
là các số nguyên, a < 0 và a, b nguyên tố cùng nhau. Tính S = a + b.
A. S = 3.

D. 6.
3
Câu 24. Cho phương trình sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 (cos 4 x + sin x ). Tổng nghiệm âm lớn
nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình bằng
A. -

p
7

.

B. -

p
18

.

C. -

p
20

.

Câu 25. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos 3 x (2 cos 2 x + 1) =

D.

p


D. 2020.
æ pö
pa
Câu 27. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình tan 2018 x + cot 2018 x = 2 sin 2017 ççx + ÷
với
÷ có dạng
çè
ø
4÷
b
a, b là các số nguyên, a < 0 và a, b nguyên tố cùng nhau. Tính S = a + b.
A. S = - 3.
B. S = - 1.
C. S = 1.
D. S = 3.

Câu 28. Cho phương trình 2 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x )(sin x + cos x )cos x =
nhỏ nhất của phương trình có dạng

S = a + b.
A. S = 2.

pa
b

cos 2 x
. Nghiệm dương
1 - tan x


x
18
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. Vô số.

Vấn đề 4. Số nghiệm của phương trình
4


Tải file word tại website http://dethithpt.com
Câu 31. Phương trình 2 cos 2 x + 2 cos 2 2 x + 2 cos 2 3 x - 3 = cos 4 x (2 sin 2 x + 1) có bao nhiêu nghiệm
thuộc khoảng (0;2018) ?
A. 2565.

B. 2566.

C. 2567.

D. 2568.

(1 - 2 cos x )(1 + cos x )
Câu 32. Phương trình
= 1 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0;2018p ) ?
(1 + 2 cos x )sin x
A. 3025.

B. 3026.
C. 3027.

(

A. 2.

)

B. 3.

C. 6.

D. 7.

Vấn đề 5. Tổng các nghiệm của phương trình
trên đoạn [a ; b ]
Câu 36. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình tan 5 x - tan x = 0 trên [0; p ) bằng
3p
5p
.
.
C. 2p.
D.
2
2
Câu 37. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos (sin x ) = 1 trên đoạn [0;2p ] bằng

A. p.

B.

A. 0.

7p
.
6

B. S =

11p
.
6

Câu 40. Tổng các nghiệm của phương trình
A.

11p
.
36

B.

p
3

.

C. S = 4 p.

D. S = 5p.

æ pö
3- 1

A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
7
5
70
35
sin 2 x + 2 sin 2 x - 5sin x - cos x + 2
Câu 43. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
= 0 trên đoạn
2 cos x + 3
[0;100p ] bằng
A. p.

B. 2p.

C. 3p.

5


Ti file word ti website http://dethithpt.com
14701p
14850p
D.

B.

4036p
.
3

C.

412485p
.
2

D.

824967p
.
4

Cõu 45. Tng tt c cỏc nghim ca phng trỡnh cos 2 x (tan 2 x - cos 2 x ) = cos3 x - cos 2 x + 1 trờn
on [0;43p ] bng
A.

4220
p.
3

B.

4225
p.

D. m ẻ ỗ
ữ.
ỗ0; ữ
ỗ
ùợù 3 ùỵ
ù
ù
ờ
ỳ
ố 3ữ
ứ
3
3
ù
ù
ợù
ỵ
ở ỷ

ổ3p
ử
5 + 4 sin ỗỗ - x ữ
ữ
ữ
ỗố 2
ứ
6 tan a
Cõu 48. Cho phng trỡnh
=
. Gi S l tp hp tt c cỏc giỏ tr thc ca

2
m
+ 2 = 0. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn ca
Cõu 50. Cho phng trỡnh sin 6 x + cos 6 x + 3sin x cos x 4
tham s m phng trỡnh cú nghim?
A. 7.
B. 9.
C. 13.
D. 15.
3
Cõu 51. Cho phng trỡnh 3 tan 2 + tan x + cot x +
= m. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn m nh hn
sin 2 x
2018 phng trỡnh cú nghim?
A. 2004.
B. 2008.
C. 2011.
D. 2012.
A. p.

Cõu 52. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m phng trỡnh sin 4 x = m.tan x cú nghim x ạ k p.
ộ 1 ử
A. m ẻ ờ- ;4ữ
ữ
ữ.
ờ
ở 2 ứ

ộ 1 ự
B. m ẻ ờ- ;4 ỳ.

s m thuc on [- 10;10 ] phng trỡnh cú nghim?
A. 8.

B. 9.

C. 10.

6

D. 11.


Ti file word ti website http://dethithpt.com
Cõu 55. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m phng trỡnh cos 4 x = cos 2 3 x + m sin 2 x cú nghim
ổ pử
thuc khong ỗỗ0; ữ
ữ
ữ.
ỗ
ố 12 ứ
ổ 1ử
ổ1 ử
ổ 1ử
0; ữ
.
;2ữ
.
A. m ẻ ỗ
B. m ẻ ỗ
C. m ẻ (0;1).

ổ pử
phng trỡnh cú nghim thuc khong ỗỗ0; ữ
ữ bng
ỗ
ố 2ữ
ứ
A. - 54.
B. - 35.
C. 35.
D. 51.

A. m -

Cõu 58. Cho hm s y = f (x ) cú bng bin thiờn nh hỡnh v

x

- Ơ

f ' (x )

1

- 1

- 2
+

-


Cõu 59. Cho hm s y = f (x ) cú bng bin thiờn nh hỡnh v

x

- Ơ

- 1

f ' (x )

2

0
+

-

0

0

3

+Ơ

+
+Ơ

f (x )



Vấn đề 7. Tìm m để phương trình có đúng n nghiệm
thuộc khoảng (a ; b )
Câu 61. Cho phương trình 2 cos 2 3 x + (3 - 2m )cos 3 x + m - 2 = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của tham
æ p pö
số m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng çç- ; ÷
÷.
ç
è 6 3÷
ø
A. - 1 £ m £ 1.
B. 1 < m £ 2.
C. 1 £ m £ 2.

Câu 62. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sin 2 x +

D. 1 £ m < 2.
æ p÷
ö
2 sin ç
x+ ÷
- 2 = m có đúng
ç
÷
ç
è
4ø

æ 3p ö
2 nghiệm thuộc khoảng çç0; ÷

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 65. Có bao nhiêu số thực m để phương trình (sin x - 1)(2 cos 2 x - (2m + 1)cos x + m ) = 0 có đúng

4 nghiệm thuộc đoạn [0;2p ]?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 66. Cho phương trình sin 4 x + cos 4 x + cos 2 4 x = m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
é p pù
để phương trình có 4 nghiệm thuộc đoạn ê- ; ú.
ê
ë 4 4ú
û
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 67. Cho phương trình (sin x - 1)(cos x - cos x + m ) = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
2


A. m0 = - 3.
B. m0 = .
C. m0 Î çç ; ú.
ç
è5 10 ú
2
û

æ 3 2ö
- ;- ÷
D. m0 Î ç
÷
ç
÷.
ç
è 5 5ø

Câu 69. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 10;10 ] để số vị trí biểu diễn các
nghiệm của phương trình 1 + 2 cos 2 2 x -

æ
pö
3 sin 4 x - m = m sin ç
÷ trên đường tròn lượng giác là
ç2 x - ÷
ç
è
ø
3÷



D. 9.

3

Câu 72. Cho phương trình (8 sin 3 x - m ) = 162 sin x + 27m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
æ pö
m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng çç0; ÷
÷?
ç
è 3÷
ø
A. 1.
B. 2.
C. 3.

D. Vô số.

Câu 73. Cho phương trình 3 m + 3 3 m + 3sin x = sin x . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
phương trình có nghiệm?
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 7.
Câu 74. Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m +

m + 1 + 1 + sin x = sin x có

nghiệm là [a; b ]. Giá trị của a + b bằng
1


Câu 76. Cho phương trình sin 2 x - cos 2 x + sin x + cos x -

2 cos x + m - m = 0. Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm ?
A. 2.
B. 3.
C. 5.

D. 9.

3

3

Câu 77. Cho phương trình 4 sin x + m + sin x = sin x + 4 sin x + m - 8 + 2. Có tất cả bao nhiêu giá
trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm ?
A. 18.
B. 19.
C. 20.
D. 21.
Câu 78. Cho phương trình 3 tan x + 1 (sin x + 2 cos x ) = m (sin x + 3cos x ). Có bao nhiêu giá trị
3

nguyên của tham số m thộc đoạn [- 2018;2018] để phương trình trên có đúng một nghiệm thuộc
æ pö
÷?
ç
0; ÷



Ti file word ti website http://dethithpt.com

Vn 9. Tỡm GTLN-GTNN ca hm s
ổp
ử
sin x ữ
Cõu 81. Giỏ tr nh nht v giỏ tr ln nht ca hm s f (x ) = sin ỗ
ln lt l
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố3
ứ
3
.
2
ộ p pự
Cõu 82. Giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s f (x ) = 2 cos3 x - cos 2 x trờn on ờ- ; ỳ ln
ờ
ở 3 3ỳ
ỷ
lt l
1
3
19
A. - 3 v 1.
B.


C. 2 4036.

. Giỏ tr

C. 2 6054.

Cõu 84. Gi M , m ln lt l giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s y = sin 2 x - 4 sin x + 5 .
Tớnh P = M - 2m 2 .
A. P = 1.

C. P = 8.
D. P = 2.
ổ 2x ử
ổ
ử
4
x
ữ
ữ
Cõu 85. Giỏ tr nh nht ca f (x ) = sin ỗỗ 2
ữ+ cos ỗ
ữ+ 1 gn nht vi s no sau õy?
ỗ
ỗ
ỗ
ốx + 1ữ
ứ
ốx 2 + 1ữ
ứ


C. 2.
D. 1 + 2 2.
2
1
Cõu 88. Bit giỏ tr nh nht ca hm s y =
cú dng a + b 2 vi a, b l cỏc s
+
1 - cos 4 x cos 4 x
nguyờn. Tớnh S = a + b.
A. S = 3.
B. S = 4.
C. S = 5.
D. S = 7.
Cõu 89. Cho hm s y = 1 + 2 sin 2 x + 1 + 2 cos 2 x - 1. Gi m, M ln lt l giỏ tr nh nht v giỏ
tr ln nht ca hm s. Khi ú giỏ tr ca M + m gn nht vi s no sau õy?
5
7
9
11
A. .
B. .
C. .
D. .
2
2
2
2
Cõu 90. Giỏ tr nh nht v giỏ tr ln nht ca hm s f (x ) = sin 2018 x + cos 2018 x ln lt l
A.

A. 0.

D. 3.
1 - m sin x
Câu 92. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [0;10 ] để hàm số y =
có giá trị
cos x + 2
nhỏ nhất nhỏ hơn - 2 ?
A. 5.
B. 6.
C. 11.
D. 12.
æ
ö
æ
ö
p
x
2
2
÷
Câu 93. Cho hàm số y = 2 sin 2 ççx - ÷
÷+ 2 cos ç
÷- 3 sin x + a (với là tham số). Gọi m, M lần lượt
ç
ç
ç
è
ø
è2 ÷

A.

1
.
3

B.

2
.
3

D.

8
.
3

C. 3.

Câu 96. Cho hàm số y = f (x ) xác định trên ¡ , thỏa mãn f (tan x ) =

1
sin 2 x - cos 2 x với mọi
2

æ p pö
xÎ ç
- ; ÷
÷. Với a, b là hai số thực thay đổi thỏa mãn a + b = 1, giá trị nhỏ nhất của biểu thức


æ pö
Câu 97. Cho hai số thực x , y thuộc çç0; ÷
÷ và thỏa mãn cos 2 x + cos 2 y + 2 sin (x + y ) = 2. Giá trị nhỏ
ç
è 2÷
ø

A.

cos 4 x cos 4 y
bằng
+
y
x
3
B. .

A. M =

1+

nhất của P =

2
5
2
C. .
D. .
.

nhất của biểu thức S = a + 2b bằng
2 10 - 3
3 10 - 7
2 10 - 1
2 10 - 5
.
.
.
.
B.
C.
D.
2
2
2
2
Câu 100. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn cos (x + y + 1)+ 3 = cos (3 xy )+ 9 xy - 3 x - 3 y. Giá trị

A.

nhỏ nhất của biểu thức S = x ( y + 2) bằng
A.

11 + 4 7
.
9

B. 1.

C.

07

4. Số nghiệm của phương trình…………………………………………………………….
5. Tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [a ; b ] ………..…………

12

6. Tìm m để phương trình có nghiệm………………….………………………………
7. Tìm m để phương trình đúng n có nghiệm thuộc (a ; b )…….…..…

9. Tìm GTLN-GTNN của hàm số……………………………………...………..……… 31

Vấn đề 1. Ôn tập những vấn đề cơ bản
Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
12

16

21

8. Kỹ thuật hàm đặc trưng …………………………………………….………………….….
10. Bài toán GTLN-GTNN có chứa tham số m …………………………………

10

34

27



ổ5p
ử
y2 = 2 - sin x cos ỗ
- 2x ữ
; y3 = sin x cos 2 x + tan x v
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố2
ứ

y4 = x cos 2 x . Hi cú bao nhiờu hm s cú th nhn gc ta lm tõm i xng?

A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Li gii. Kim tra ta cú y1 v y3 l cỏc hm s l. Chn B.
Cõu 3. Trong cỏc hm s y1 = sin x ; y2 = sin 2 x ; y3 = tan x ; y4 = cot x cú bao nhiờu hm s tha món
tớnh cht f (x + k p ) = f (x ), " x ẻ Ă , k ẻ Â .
A. 1.
B. 2.
Li gii. Chn C. ú l cỏc hm s y2 ; y3 ; y4 .
Cõu 4. ng cong trong hỡnh bờn l
th ca mt hm s trong bn hm
s c lit kờ bn phng ỏn A, B,
C, D di õy. Hi hm s ú l hm s
no?


+ B= - 3
ữ
ữ
ỗố 3
ùù
ứ
ù
Li gii. Da vo th hm s ta cú h phng trỡnh ùớ A sin a + B = 0
ùù
ổp
ử
ùù
+ B=1
ữ
ùù A sin ỗỗỗ + a ữ
ữ
ố3
ứ
ùợ
ổp
ử 1- B
+ aữ
=
. (4 )
Ta thy A = 0 khụng tha món h. Do ú (3) sin ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố3

ử
ỗố3
ùù A sin ỗỗ + a ữ
=
2
ữ
ữ
ỗố3
ứ
ùợù

13

ử
ứ

(1)
(2).
(3)

1.

aữ
ữ
ữ= 2 sin a


Ti file word ti website http://dethithpt.com
sin


6
p
ùù a =
6
ợ
Nhn xột: Cỏch trc nghim: nhỡn th oỏn c A = 2; B = - 1 (da vo min max) v dựng d

p

kin th i qua gc ta suy ra a =

p

.
6
Cõu 6. Mt chic gung nc cú dng hỡnh trũn bỏn kớnh 2,5m, trc ca nú
cỏch mt nc 2m . Khi gung quay u, khong cỏch h (một) t mt
chic gu gn ti im A ca gung n mt nc c tớnh theo cụng
ộ ổ 1 ửự
ỳ
x- ữ
thc h = y trong ú: y = 2,5sin ờ2p ỗ
ữ
ỗ
ữỳ+ 2 vi x l thi gian quay
ỗ
ờ
4ứ
ở ố
ỷ


B. n ẻ [8;19 ].

C. n ẻ [20;26 ].

D. n ẻ [27;33].

Li gii. Ta cú bin i: (1 + tan1).(1 + tan 2)L (1 + tan 45)

(cos 45 + sin 45)

L
cos1
cos 2
cos 45
2 sin (1 + 45)
2 sin (2 + 45)
2 sin (45 + 45)
=

L
cos1
cos 2
cos 45
45 cos 44.cos 43.....cos 2.cos1
sin 90
= 2 .

cos1.cos 2.....cos 43.cos 44 cos 45
ổ ử

+
+L +
=
.
sin 450.sin 46 0 sin 46 0.sin 47 0
sin134 0.sin1350 sin n 0
A. n = 1.
B. n = 45.
C. n = 46.
D. n = 91.
1
1
1
Li gii. t P =
+
+L +
sin 45.sin 46 sin 46.sin 47
sin134.sin135
sin1
sin1
sin1
ị sin1.P =
+
+L +
sin 45.sin 46 sin 46.sin 47
sin134.sin135
ị sin1.P = cot 45- cot 46 + cot 46- cot 47 + ... + cot134- cot135
2
ị sin1.P = cot 45- cot135 = 2 ắ ắ
đ P=

3
.
2

B. P =

1
ì
2

C. P = -

1
ì
2

D. P = -

3
.
2

Li gii. Ta cú (sin a - cos a ) + (sin a + cos a ) = 2 (sin 2 a + cos 2 a ) = 2 .
2

2

2

5 3

ỗ
;2p ỳ. Tớnh P = sin + cos .
ỗ
ỗ2
ỳ
ố
2
2
ỷ

5.

C. P = -

5
.
5

D. P =

5
.
5

ổ3p
ự a ổ3p ự
ẻ ỗỗ ; p ỳ.
Li gii. Ta cú P 2 = 1 + sin a . Vi a ẻ ỗỗ ;2p ỳị
ỗ2
ỗ4 ỳ


ổ3p
ự
4
Vỡ a ẻ ỗỗ ;2p ỳ nờn ta chn sin a = - .
ỗ2
ỳ
ố
5
ỷ

Thay sin a = -

4
1
5
vo P 2 , ta c P 2 = . Suy ra P = . Chn C.
5
5
5

Vn 2. Tỡm nghim ca phng trỡnh
ổ pử
ổp
ử 5
ổp
ử
+ 4 cos ỗỗ - x ữ
= . Nu t t = cos ỗ
Cõu 11. Cho phng trỡnh cos 2 ỗỗx + ữ

.
Li gii. Ta cú cos 2 ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ố
ố
ố6
ứ
3ứ
3ứ
ổp
ử
ổp
ử 3
+ 4 cos ỗ
Do ú phng trỡnh tng ng vi - 2 cos 2 ỗỗ - x ữ
ữ
ữ
ỗ - xữ
ữ

ỗ
ố6
ứ
ổ
pử
Cõu 12. Cho x 0 tha món 6 (sin x - cos x )+ sin x cos x + 6 = 0. Giỏ tr cos ỗỗx 0 + ữ
ữ
ữ bng
ỗ
ố
4ứ
1
1
.
.
A. - 1.
B. 1.
C. D.
2
2
ổ pử
1- t 2
x+ ữ
Li gii. t t = sin x - cos x = - 2 cos ỗ
Suy
ra
2
Ê
t
Ê

ữ
ữ
ỗx + ữ
ỗx + ữ
ữ= - 1 cos ỗ
ữ= 2 . Chn D.
ỗ
ố
ố
4ứ
4ứ

(

)

15


Ti file word ti website http://dethithpt.com
Cõu 13. Phng trỡnh 2 sin 2 x - 4 sin x cos x + 4 cos 2 x = 1 tng ng vi phng trỡnh no trong
cỏc phng trỡnh sau?
A. cos 2 x - 2 sin 2 x = 2.
B. sin 2 x - 2 cos 2 x = 2.
C. cos 2 x - 2 sin 2 x = - 2.
D. sin 2 x - 2 cos 2 x = - 2.
2
Li gii. Phng trỡnh tng ng vi (2 sin x + 2 cos 2 x )- 2.2 sin x cos x + (2 cos 2 x - 1) = 0

2 - 2 sin 2 x + cos 2 x = 0 cos 2 x - 2 sin 2 x = - 2. Chn C.

3

k 2p
(k ẻ Â ).
3

2p
2p
p
2x =
+ k 2p x = + k p (k ẻ Â ).
3
3
3
Biu din nghim trờn ng trũn lng giỏc ta thy c nghim chung ca hai phng trỡnh l
2p
x=
+ k 2p (k ẻ Â ). Chn D.
3
ỡ p p p pỹ
Cõu 15. Tỡm gúc a ẻ ùớ ; ; ; ùý phng trỡnh cos 2 x + 3 sin 2 x - 2 cos x = 0 tng ng vi
ùùợ 6 4 3 2 ùùỵ
Phng trỡnh (2) cos 2 x = cos

phng trỡnh cos (2 x - a ) = cos x .
A. a =

p

B. a =

pử
cos 2 x +
sin 2 x = cos x cos ỗỗ2 x - ữ
ữ= cos x .
ỗ
ố
ứ
2
2
3ữ

ỡ p p p pỹ
T ú cho thy vi a ẻ ùớ ; ; ; ùý hai phng trỡnh ó cho tng ng vi nhau thỡ ch cú duy
ùợù 6 4 3 2 ùỵ
ù

nht a =

p
3

tha món. Chn C.

ộ
5p ự
Cõu 16. Trờn on ờ- 2p; ỳ, th hai hm s y = sin x v y = cos x ct nhau ti bao nhiờu im?
ờ
2ỳ
ở
ỷ

4
ở
ộ
5p ự
Vy th hai hm s ó cho ct nhau ti 5 im trờn on ờ- 2p; ỳ. Chn C.
ờ
2ỳ
ở
ỷ

Cõu 17. Biu din tp nghim ca phng trỡnh cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 trờn ng trũn lng
giỏc ta c s im cui l
A. 2.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Li gii. Ta cú cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 2 cos 2 x cos x + cos 2 x = 0

16


Ti file word ti website http://dethithpt.com
ộ
p k 2p
ộcos 2 x = 0
ờx = +
đ 4 diem
ờ
ờ
4

ờa = + k
ờ
ờ
8
2
ờ
ờ
(k ẻ Â ).
1
ờcos a = ờ
2p
ờ
a
=

+
k
2
p
ờ
2
ở
ờ
3
ở

Th li ta thy ch cú a =

p
8


2 n (sin 2 x ).cos 2 x .cos 4 x .cos 8 x ...cos 2 n x = sin x
2 n (sin 2 x .cos 2 x ).cos 4 x .cos 8 x ...cos 2 n x = sin x
2 n- 1 (sin 2 2 x ).cos 4 x .cos 8 x ...cos 2 n x = sin x
M
sin 2 n + 2 x = sin x . Chn D.
Cõu 20. Tớnh din tớch ca a giỏc to bi cỏc im trờn ng trũn lng giỏc biu din cỏc nghim
ổ pử
ca phng trỡnh tan x + tan ỗ
x+ ữ
ữ= 1.
ỗ
ỗ
ố
ứ
4ữ

A.

3 10
.
10

B.

3 10
.
5

C.

ổ pử
ùù cos ỗ
x+ ữ
ạ 0
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố
4ứ
ùợù
ổ pử
x+ ữ
Ta cú tan x + tan ỗ
ữ
ỗ
ữ=
ỗ
ố
4ứ

tan x - tan 2 x + tan x + 1 = 1 - tan x
ộtan x = 0
ộx = k p
tan 2 x - 3 tan x = 0 ờ
ờ
(k ẻ Â ).
ờtan x = 3
ờx = arctan 3 + k p
ở

Ta cú SD AMN =

1
1
AO. AT
3 10
3 10
MN . AH = .MN .
=
ắắ
đ S AMBN =
. Chn B.
2
2
2
2
10
5
AO + AT

Vn 3. Nghim dng nh nht
Nghim õm ln nht
Cõu 21. Nghim dng nh nht ca phng trỡnh sin 5 x + 2 cos 2 x = 1 cú dng

pa
b

vi a, b l cỏc s

nguyờn v nguyờn t cựng nhau. Tớnh S = a + b.

7
ở 14
ỡ
a
=
3
ù
3p
ắắ
đ ùớ
ắắ
đ S = 17. Chn D.
ắắ
đ nghim dng nh nht l
ùùợ b = 14
14

sin x
1
pa
vi a, b
+
+ cot x = 2 cú dng
1 + cos x 1 - cos x
b
l cỏc s nguyờn, a < 0 v a, b nguyờn t cựng nhau. Tớnh S = a + b.
A. S = 3.
B. S = 4.
C. S = 5.
D. S = 7.


ộ
p
ờx = + k 2p (thoỷ
a maừ
n)
ổ pử
2
ờ
1 + cos x - sin x = 0 sin ỗỗx - ữ
=

2
(k ẻ Â ).
ữ
ữ
ỗ
ờ
ố
4ứ 2
ờ
ởx = p + k 2p (loaùi )
ùỡ a = - 1
p
đ ùớ
ắắ
đ S = 3. Chn A.
ắắ
đ nghim õm ln nht l - ắ ắ
ùùợ b = 4

ổ
ử
ùỡù
p
p
2
= 1 + cos ỗ
= 1 + sin 2 x
ữ
ữ
ùù 2 cos ỗ
ỗ - xữ
ỗ - 2x ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ố
ứ
ố
ứ
4
2
ù
Li gii. Ta cú ớ
.
ùù
ổp
ử
ổp

ố
ứ
ùợ
Do ú phng trỡnh tng ng vi sin x + sin 5 x = sin 2 x + sin 4 x
2 sin 3 x cos 2 x = 2 sin 3 x cos x

2 sin 3 x (cos 2 x - cos x ) = 0.

sin 3 x = 0 x =

kp
(k ẻ Â ).
3

18


Ti file word ti website http://dethithpt.com
ộx = k 2p
ờ
cos 2 x - cos x = 0 cos 2 x = cos x ờ
k 2p (k ẻ Â ).
ờx =
ờ
3
ở

Hp hai trng hp ta c nghim ca phng trỡnh ó cho l x =

k p k 2p

2
2
sin 3 x + 3 cos 3 x = 2 cos 4 x
ổ
pử
sin ỗ
ữ
ỗ3 x + ữ
ữ= cos 4 x
ỗ
ố
3ứ
ộ
p k 2p
ờx =
+
ổ
ử
ổ
ử
p
p
ờ
42
7
ữ
ỗ
sin ỗ
3x + ữ
=

6

; nghim dng nh nht l

p
42

. Chn A.

Cõu 25. Nghim dng nh nht ca phng trỡnh cos 3 x (2 cos 2 x + 1) =

1
pa
cú dng
vi a, b l
2
b

cỏc s nguyờn v nguyờn t cựng nhau. Tớnh S = a + b.
A. S = 7.
B. S = 8.
C. S = 15.
Li gii. Phng trỡnh 4 cos 3 x cos 2 x + 2 cos 3 x = 1
2 (cos 5 x + cos x )+ 2 cos 3 x = 1

D. S = 17.

2 cos x + 2 cos 3 x + 2 cos 5 x = 1.
Nhn thy sin x = 0 x = k p (k ẻ Â ) khụng tha món phng trỡnh.


ca phng trỡnh trờn ng trũn lng giỏc l?
A. 3.
B. 4.
C. 6.
2018
2
2018
Li gii. Phng trỡnh sin
x (1 - 2 sin x )+ cos
x (1 - 2 cos 2 x ) = 0
sin 2018 x .cos 2 x - cos 2018 x cos 2 x = 0
ộcos 2 x = 0
ờ 2018
.
ờsin
x = cos 2018 x
ở
p kp
cos 2 x = 0 x = +
(k ẻ Â ).
4
2

sin 2018 x = cos 2018 x tan 2018 x = 1 tan x = 1 x =

19

p
4


D. S = 3.
ỡù tan 2018 x + cot 2018 x 2
ùù
Li gii. Ta cú ùớ
.
ổ
ử
ùù 2 sin 2017 ỗỗx + p ữ
Ê 2
ữ
ữ
ỗ
ùùợ
ố
ứ
4
ỡù
ỡù tan x = cot x
ùù x = p + k p
ùù
p
ù
4
ùớ
x = + k 2p (k ẻ Â ).
Do ú phng trỡnh tng ng vi ớ
ổ pử
ữ
ùù sin ỗ
ù

b

cos 2 x
. Nghim dng
1 - tan x

vi a, b l cỏc s nguyờn v nguyờn t cựng nhau. Tớnh

S = a + b.
A. S = 2.

B. S = 3.
ỡùù cos x ạ 0
.
Li gii. iu kin: ớ
ùùợ tan x ạ 1

C. S = 4.

D. S = 7.

cos 2 x
cos 2 x - sin 2 x
=
= cos x (cos x + sin x ).
sin x
1 - tan x
1cos x
Do ú phng trỡnh 2 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x )(sin x + cos x )cos x = (sin x + cos x )cos x


ữ
ữ
ữ
ỗ 2 ứ
ữ ố
2
21008
ố
ứ

ắắ
đ nghim dng nh nht l

3p
ắắ
đ
4

Cõu 29. Bit rng phng trỡnh

ỡùù a = 3
ắắ
đ S = 7. Chn D.
ớ
ùùợ b = 4

1
1
1
1

ỗố 2
ứ
x=

20


Ti file word ti website http://dethithpt.com
x
cot - cot 2 2018 x = 0
2
x
x
k 2p
cot 2 2018 x = cot 2 2018 x = + k p x = 2019
(k ẻ Â )
2
2
2 - 1

ùỡ a = 2019
ắắ
đ ùớ
ắắ
đ S = a + b = 2020. Chn D.
ùùợ b = 1
sin x
p
Cõu 30. Phng trỡnh
cú bao nhiờu nghim?

đ i chiu iu kin bi toỏn ta loi nghim x = 0 nờn phng trỡnh ó cho
cú 2 nghim. Chn B.

Vn 4. S nghim ca phng trỡnh
Cõu 31. Phng trỡnh 2 cos 2 x + 2 cos 2 2 x + 2 cos 2 3 x - 3 = cos 4 x (2 sin 2 x + 1) cú bao nhiờu nghim
thuc khong (0;2018) ?
A. 2565.
B. 2566.
C. 2567.
D. 2568.
Li gii. Phng trỡnh (1 + cos 2 x )+ (1 + cos 4 x )+ (1 + cos 6 x )- 3 = 2 cos 4 x sin 2 x + cos 4 x

cos 6 x + cos 2 x = 2 cos 4 x sin 2 x
2 cos 4 x cos 2 x - 2 cos 4 x sin 2 x = 0
2 cos 4 x (cos 2 x - sin 2 x ) = 0

p

p

(k ẻ Â ).
8
4
( cos 4 x = cos 2 2 x - sin 2 2 x = (cos 2 x - sin 2 x )(cos 2 x + sin 2 x ) nờn cha luụn cos 2 x - sin 2 x )
cos 4 x = 0 x =

đ 0


(1 - 2 cos x )(1 + cos x )
= 1 cú bao nhiờu nghim thuc khong (0;2018p ) ?
(1 + 2 cos x )sin x

A. 3025.
B. 3026.
Li gii. iu kin: (1 + 2 cos x )sin x ạ 0.

C. 3027.

Phng trỡnh 1 - cos x - 2 cos 2 x = sin x + 2 sin x cos x
21

D. 3028.


Ti file word ti website http://dethithpt.com
cos 2 x + cos x + sin 2 x + sin x = 0
3x
x
3x
x
cos + 2 sin cos = 0
2
2
2
2
ộ x
ờcos = 0 (loaùi )

6
3
sin
+
cos
=
0
ờ
ờ
2
ở 2
ổ
p
2p
1
1ử 3
1
đ 0< - + k
< 2018p < k < ỗ
2018 + ữ
Vỡ x ẻ (0; 2018p ) ắ ắ
ữ
ỗ
ữ. 2 4 < k < 3027,25.
ỗ
ố
6
3
4
6ứ

D. 4.

)

9 x 2 - 16 x - 80 = k p

9 x 2 - 16 x - 80 = 4 k

9 x 2 - 16 x - 80 = 3 x - 4 k

ỡù 3 x 4 k
(1)
ùớ 2
.
2
2
ùù 9 x - 16 x - 80 = 9 x - 24 kx + 16 k (2)
ợ
2 (9 k 2 - 4 )+ 98
2 k 2 + 10
98
Phng trỡnh (2) x =
ắắ
đ 9x =
= 2 (3k + 2)+
.
3k - 2
3k - 2
3k - 2
ộk = 1 ị x = 12

ùù
ữ
ỗ
ùù cos x - sin x = 2 cos ỗỗx + ữ
ữ
ố
4ứ
ùợ
4

2
ổ1 ử
ổ1 - cos 2 x ử
1
4
ữ
+ ỗỗ ữ
Phng trỡnh ỗỗ
ữ (cos x - sin x ) =
ữ
ữ
ỗố
ỗ
ữ
ứ ố 2ứ
2
4
2

2


0 < k p < 2017p 0 < k < 2017 ắ ắ
đ cú 2016 nghim
p
1
8067
ắắ
đ cú 2017 nghim.
0 < + k p < 2017p - < k

ữ
ờ
ỗ
2
(thoỷa maừn) ờx = arc tan ỗỗỗ 2 ữữữ+ k p
ờtan x =
ố
ứ
ờ
ờ
2
ở
ở
đ cú tt c 6 nghim tha món. Chn C.
Vỡ x ẻ [- p; p ]ắ ắ

Vn 5. Tng cỏc nghim ca phng trỡnh
trờn on [a ; b ]
Cõu 36. Tng tt c cỏc nghim ca phng trỡnh tan 5 x - tan x = 0 trờn [0; p ) bng
3p
.
2
ùỡ cos 5 x ạ 0
.
Li gii. iu kin: ùớ
ùùợ cos x ạ 0

A. p.

C. 2p.

đ x=
ùù
4
p 3p
Suy ra ùớ
ắắ
đ +
= p. Chn A.
p
ùù k = 2 ắ ắ
4
4
đ x=
loaùi )
(
ùù
2
ùù
3p
ùù k = 3 ắ ắ
đ x=
ùùợ
4
Cõu 37. Tng tt c cỏc nghim ca phng trỡnh cos (sin x ) = 1 trờn on [0;2p ] bng

A. 0.
B. p.
C. 2p.
D. 3p.
Li gii. Phng trỡnh tng ng vi sin x = k 2p, k ẻ Â .


23

D. 17p.


Ti file word ti website http://dethithpt.com
ộ
ùỡ p 11p 13p 23p ùỹ
ẻ [0;4 p ]
ờcos a = 3 ắ aắ
ắắ
đaẻ ớ ;
;
;
ý
ờ
ùợù 6 6
2
6
6 ùỵ
ù
6 (3 - 4 cos 2 a ) = 0 ờ
.
ờ
3 a ẻ [0;4 p ]
ùỡ 5p 7p 17p 19p ùỹ
ờ
ắ ắ ắắ
đaẻ ớ


7p
.
6

B. S =

11p
.
6

C. S = 4 p.

D. S = 5p.

Li gii. Phng trỡnh (2 cos 2 x + 5)(sin 2 x - cos 2 x )+ 3 = 0
- (2 cos 2 x + 5)cos 2 x + 3 = 0
- 2 cos 2 2 x - 5cos 2 x + 3 = 0
ộ
1
ờcos 2 x =
p
ờ
x = + k p (k ẻ Â ).
2
ờ
6
ờ
ởcos 2 x = - 3 (loaùi )
ỡ p 5p 7p 11p ỹ

ố 2ữ
ứ
sin x
cos x
7p
C.
D. p.
.
18

ỡù sin x ạ 0
p
x ạ k (k ẻ Â ).
Li gii. iu kin: ùớ
ùùợ cos x ạ 0
2
3
1
3
1
cos x + sin x +
sin x - cos x = 2 sin 2 x
Phng trỡnh
2
2
2
2
ổp
ử
ổ

4
ộ
p
ờx =
+ k 2p
ổp
ử
ờ
12
ữ
sin ỗ
+
x
=
sin
2
x

(k ẻ Â ).
ữ
ờ
ỗ
ữ
ỗ
ố12
ứ
ờ 11p k 2p
+
ờx =
ờ

ợùù 12 36 ỵ

Cõu 41. Tng cỏc nghim ca phng trỡnh sin x cos x + sin x + cos x = 1 trờn (0;2p ) bng
A. p.

B. 2p.

Li gii. t t = sin x + cos x
Phng trỡnh tr thnh:

(0 Ê t Ê

C. 3p.

)

2 , suy ra sin x cos x =

t - 1
.
2

ột = 1
ờ
ờt = - 3 (loaùi ).
ở
ổ pử
ổ pử
1
2 cos ỗ

Ti file word ti website http://dethithpt.com
ộx =
ờ
ờ
ộ p
p
ờx =
ờx = + k 2p
ờ
ờ
4
ờ 4
ờ
ờx =
3p
ờ p
ờ
=
+ k 2p
ờx ờ
ờ
4
ở 4
ờx =
ờ
ở

k 2p

p

C.
.
.
.
7
5
70
Li gii. Nhn thy cos x = 0 khụng l nghim ca phng trỡnh.
Nhõn hai v phng trỡnh vi cos x ta c
1
sin 3 x (cos x - 4 sin 2 x cos x ) = cos x
2
3
2 sin 3 x (4 cos x - 3cos x ) = cos x
A.

ộ pự
1
trờn on ờ0; ỳ bng
ờ
2
ở 2ỳ
ỷ
36p
D.
.
35

2 sin 3 x cos 3 x = cos x
ộ

14
+
Ê ắ ắắ
đ ờ
. 0Ê
+
Ê ắ ắắ
đ ờ
0Ê
5p
ờ
ờ
14
7
2
10
5
2
ờk = 1 đ x =
ờk = 1 đ x =
ờ
ờ
14
ở
ở
p 5p p p 36p
Vy tng
+
+
+ =


p

.

2

0 trờn on

14850p
.
3

3
.
2
Phng trỡnh tng ng vi sin 2 x + 2 sin 2 x - 5sin x - cos x + 2 = 0
(sin 2 x - cos x )+ (2 sin 2 x - 5sin x + 2) = 0

Li gii. iu kin: cos x ạ -

cos x (2 sin x - 1)+ (sin x - 2)(2 sin x - 1) = 0
(2 sin x - 1)(sin x + cos x - 2) = 0.

sin x + cos x - 2 = 0 : vụ nghim.
ộ
p
ờx = + k 2p ắ ắ
đ k ẻ [0;49 ]
1

6
3
k = 0 ố6
k= 0
ổ pử
Cõu 44. Tng tt c cỏc nghim ca phng trỡnh sin 3 ỗỗx - ữ
ữ= 2 sin x trờn on [0;2018] bng
ỗố
ứ
4ữ
A.

2018p
.
4

B.

4036p
.
3

C.

25

412485p
.
2