SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ
SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

Người thực hiện: Hà Thị Thảo
Chức vụ:
Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2018


MỤC LỤC

NỘI DUNG

TRANG

I. Mở đầu……………………………………………...1
1.Lí do chọn đề tài………………………………….1
2. Mục đích nghiên cứu…..………………………...1
3. Đối tượng nghiên cứu …………………………. .1
4. Phương pháp nghiên cứu …. …………………... 1
II. Nội dung……………………………………………2
1.Cơ sở lí luận


những phương pháp hoàn toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng
phương pháp dạy học hiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của
phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp
học tập của học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động.
Do sự thay đổi của BGD về hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm mới
chỉ được một năm nên tài liệu còn hạn chế, đặc biệt là các câu hỏi trong phần
vận dụng. Để giúp học sinh có cái nhìn sâu, rộng hơn về số phức, trong quá
trình giảng dạy tôi luôn tìm tòi, sưu tầm, chắt lọc trong các tài liệu, khai thác
và kết hợp các kiến thức khác về toán học để xây dựng các dạng bài tập mới
cho học sinh tư duy, giải quyết. Một trong các vấn đề tôi xây dựng là ''RÈN
KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG
2


PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC" trên cơ sở khai thác một số tính chất của số
phức và liên hệ giữa số phức và hình học .
2. Thực trạng của vấn đề:
Hình thức thi trắc nghiệm môn Toán đang còn là mới mẻ với học sinh
THPT, đặc biệt với môn Toán có khối lượng kiến thức khá nhiều, để làm tốt
bài thi đòi hỏi các em phải nắm chắc kiến thức các phần đồng thời phải có tư
duy tổng hợp, tuy nhiên đa phần học sinh sự liên hệ tổng hợp của các em còn
chưa tốt nên quá trình làm bài chưa được điểm số cao. Bên cạnh đó, lượng bài
tập cũng như các dạng bài tập về số phức trong SGK còn nhiều hạn chế, mặt
khác trong nhiều đề thi: đề minh họa của BGD, đề KSCL của các trường
THPT, phần số phức có nhiều câu hỏi ở mức độ vận dụng, vận dụng cao. Với
thời lượng cho phép dạy trên lớp môn toán có hạn. Số phức trở thành một
phần học khá trừu tượng đối với học sinh phổ thông trung học. Đối với các
đối tượng là học sinh khá giỏi thì câu hỏi mà học sinh thường đưa ra là số
phức đưa ra để làm gì?...Do trong thực tế cuộc sống hằng ngày không dùng
đến tập số phức. Do vậy hứng thú đối với phần học số phức là hạn chế.


•

z' z'
= ( z ≠ 0)
z
z
3


•

z = zz

•

z + z ' ≤ z + z ' . Dấu « = » xảy ra khi hai véc tơ biểu diễn z và z’ cùng
hướng

c) Một số kết quả về tập điểm biểu diễn số phức:
•

z − a − bi = z − a '− b ' i thì tập điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng.

•

z − a − bi = m (m > 0) thì tập điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm
I(a ;b) bán kính R = m
z − a − bi + z − a '− b ' i = k . Nếu A(a ;b), B(a’ ;b’) và AB < k thì tập


nhất của w là :

4


A.

2
2

B.2

C.

3 2
2

D. 2 2

Giải : Gọi M là điểm biểu diễn z, vì z + 2 − 2i = z − 4i nên tập điểm biểu diễn
z là đường thẳng có phương trình x + y – 2 = 0 ( ∆ ). Mặt khác :
1
w = iz + 1 ⇒ w = i z + ⇔ w = z − i . Gọi I(0 ;1) , khi đó z − i = MI nên
i
w min = d (I, ∆) =

2
2

Bài 3:( Câu 48 - Đề minh họa BGD lần 3– 2017)



Vậy P = m + M =

5 2 + 2 73
2

Nhận xét : Nếu tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng thì z - z' min
khi điểm biểu diễn z là hình chiếu của điểm biểu diễn z’ trên đường thẳng đó.
Dạng 2: Tập điểm biểu diễn số phức là đường tròn và một số bài tập liên
quan:
5


Bài 1 : Gọi z là số phức thỏa mãn z + 3 − 2i = 3 . Khi đó tập hợp điểm biểu
diễn số phức w sao cho w − z = 1 + 3i là:
A. Đường tròn tâm I(–2;5), R= 3

B. Đường tròn tâm I(–3;2), R= 3

C. Đường tròn tâm I(–1;3), R= 3

D. Đường tròn tâm I(3; –2), R= 3

Giải: w − z = 1 + 3i ⇔ z = w − 1 − 3i thay vào giả thiết
z + 3 − 2i = 3 ⇔ w −1 − 3i + 3 − 2i = 3 ⇔ w + 2 − 5i = 3 . Vậy tập hợp điểm biểu
diễn số phức w là đường tròn tâm I(–2;5), R= 3.
Nhận xét: Với các bài tập tương tự giáo viên nên hướng cho học sinh thay z
bởi w vào giả thiết ta sẽ có kết quả nhanh chóng.
Bài 2: ( Thi thử chuyên KHTN lần 2 – 2017)


C. 3 5

D. 3 10

Giải : Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Vì z = 1 nên M thuộc đường tròn
(C) tâm O(0;0), bán kính R = 1. Khi đó T = MA +3 MB với A(-1 ; 0), B(1;0).
Ta có T2 = ( MA + 3MB)2 ≤ 10(MA2 + MB2). Nhận thấy A, B thuộc đường
tròn (C). Mặt khác AB = 2 nên AB là đường kính của đường tròn suy ra
6


(MA2 + MB2) = AB2 = 4. Vậy T ≤ 2 10
Bài 4( Câu 46 - Đề minh họa BGD – 2018)
Xét các số phức z = a + bi ( a, b ∈ R ) thỏa mãn z − 4 − 3i = 5 . Tính
P = a + b khi z + 1 − 3i + z − 1 + i đạt giá trị lớn nhất.
A. P =10

B. P = 4

C. P = 6

D. P = 8

Giải : Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Vì z - 4 -3i = 5 nên M thuộc
đường tròn (C) tâm I ( 4 ; 3), bán kính R =

5 . Khi đó : T = MA + MB với

A(-1 ; 3), B( 1 ; -1). Ta có T2 = ( MA + MB)2 ≤ 2(MA2 + MB2).

nhất m của biểu thức z1 − z2
A. m =

2 −1

B. m = 2 2

C. m = 2

D. m = 2 2 − 2

Giải:
Từ z2 = iz1 suy ra điểm biểu diễn z2 là ảnh của điểm biểu diễn z1 qua phép
quay tâm O, góc quay 900.
Tập hợp điểm biểu diễn z1 là đường tròn (C1): (x + 1)2 + (y – 1)2 = 4
Tập hợp điểm biểu diễn z2 là đường tròn (C2): (x + 1)2 + (y + 1)2 = 4
Ta có z1 − z2 nhỏ nhất bằng A1A2 với A1, A2 lần lượt là giao điểm của đường
thẳng y = - x và y = x với đường tròn (C1) và (C2). Ta có :
7


A1 (−1 + 2;1 − 2), A2 (−1 + 2; −1 + 2) ⇒ A1 A2 = −2 + 2 2

y
A1
O

1
2



Giải: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Ta có :
3z − 3i = 3 ⇔ z −

tròn (C) tâm I (0;

3
3
i =
nên tập điểm biểu diễn số phức z là đường
3
3

O

3
3
) bán kính R =
3
3

⇒ T = z + z − z1 + z − z2 = MO + MA + MB

1 3
1 3
với O là gốc tọa độ A( ; ), B(- ; ) .
2 2
2 2

Nhận thấy 3 điểm O, A, B đều thuộc


Nhận xét : Khi gặp các bài toán mà tập điểm biểu diễn số phức z là đường
tròn tâm I, bán kính R, để tìm các môđun lớn nhất, nhỏ nhất, trước tiên ta
kiểm tra xem các môđun đó là khoảng cách từ điểm M đến các điểm nào và vị
trí giữa các điểm đó với đường tròn.
Khi đó nếu A là điểm biểu diễn z’ thì z − z ' max = IA + R, z − z ' min = IA − R
Dạng 3: Tập điểm biểu diễn số phức là đường Elip và một số bài tập liên
quan:
Bài 1:( Thi thử toán học và tuổi trẻ lần 5- 2017)
Xét các số phức z thỏa mãn z − 4 + z + 4 = 10 .GTLN và GTNN của z lần
lượt là :
A.10 và 4

B. 5 và 4

C. 4 và 3

D. 5 và 3

Giải : Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Vì z − 4 + z + 4 = 10 nên M thuộc
(E) có 2 tiêu điểm là F1(-4 ;0), F2(4 ;0). Độ dài trục lớn 2a = 10 nên a = 5 và
 z min = b = 3


b = 3. z = OM ⇒ 


 z max = a = 5

Bài 2:(Đề KSCL lần 2 trường THPT Nghèn – Hà Tĩnh 2018)

khả năng tư duy vận dụng của học sinh
Bài tập áp dụng:
Câu 1: ( Đề KSCL lần 2 trường THPT Nguyễn Trãi – Hải Dương 2017)
Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 2i = 1 . Số phức z – i có môđun nhỏ nhất là :
A.

5 −1

B.

5 +1

C.

5 −2

D. 5 + 2

Câu 2: (KSCL trường THPT Hoằng Hóa 4-Thanh Hóa lần 2 – 2017)
Cho số phức z thỏa mãn z + 1 = z − i . Tìm số phức w = z + 2i -3 có mô
đun nhỏ nhất .
1 3
A. w = − i
2 2

1 1
B. w = − i
2 2

1 1

nhỏ nhất.
A. 1 − 3i

B. −1 + 3i

C. 1

D.

3 +i

Câu 5:(Câu 44 Đề KSCL lần 3 - THPT Quảng Xương 1- Thanh Hóa 2018)

z −1
1
=
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
z + 3i
2

Cho số phức z thỏa mãn

P = z + i + 2 z − 4 + 7i
A. 8

B.10

C. 2 5

D. 4 5

C.

2
5

D.

4
3

Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z − 3 − 4i = 5 . Gọi M, m là GTLN và
2
2
GTNN của biểu thức P = z + 2 - z -i . Tính w với w = M + mi

A. 1258

B. 15

C.

394
2

D.

193
3

Câu 9: (Câu 41 Đề KSCL lần 3 THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 2018)

C. S = 22018

B. S = 1

D. S = 21009

Đáp án
Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Đáp án


Giỏi
8

Tỉ lệ
20%

Khá
12

5,3%
7,7%

Khá
10
10

Tỉ lệ
30%

TB
17

26,3 %
25,6%

TB
20
19


Rõ ràng khi thực hiện đề tài này, kết quả là học sinh học phần số phức có tiến
bộ rõ rệt.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ:
1. Kết luận:
Việc viết sáng kinh nghiệm là một trong những vấn đề cấp thiết nhất cho
gian đoạn hiện nay, giai đoạn công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước, một đất
nước đang phát triển như Việt Nam ta nói chung, riêng đối với ngành giáo dục
cần phải đổi mới nhanh chóng, song ở mỗi bộ môn đặc biệt các môn tự nhiên
điều cốt lõi mà chương trình lớp trên kế thừa và áp dụng thì mỗi giáo viên
12


chúng ta nên chỉ ra và tạo mọi điều kiện để các em nắm bắt được kiến thức
cũng thấy được ứng dụng của kiến thức đó vào thực tiễn một cách sinh động.
Có như vậy, các môn học tự nhiên mới trở thành niềm đam mê ở các em học
sinh. Hy vọng rằng với đề tài này có thể giúp học tự học và thích học phần số
phức .
2. Kiến nghị:
Đề tài này cần thiết giới thiệu rộng rãi cho học sinh và đồng nghiệp dạy
12. Tuy nhiên các ví dụ cũng cần được sưu tập thêm, với sự cộng tác của độc
giả chắc chắn đề tài sẽ đem lại nhiều lợi ích . Ngoài ra phương pháp giải các
ví dụ có thể chưa tối ưu cần sự góp ý bổ sung của bạn đọc.
TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1.Báo toán học và tuổi trẻ.
2.Phân dạng và phương pháp giải toán số phức của thầy : Lê Hoành Phò
3.Các đề minh họa của BGD năm 2017, 2018 , đề thi KSCL của các trường
THPT trên cả nước.

Xác nhận của hiệu trưởng


Kết quả
đánh giá xếp Năm học đánh
giá xếp loại
loại
(A, B, hoặc C)

"Tổng hợp một số phương
pháp giải phương trình vô tỉ "
SGD&ĐT

Loại C

2009 -2010

SGD&ĐT

Loại C

2015-20116

" Ứng dụng cấp số nhân để
giải một số bài toán vật lý,
sinh học, địa lý và thực tiễn "

14