SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LƯU ĐÌNH CHẤT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KĨ NĂNG
GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

Người thực hiện: Vũ Thị Thanh Huyền
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2017


MỤC LỤC
Mục lục
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
3.1. Kết luận.
3.2. Kiến nghị.
Tài liệu tham khảo

vậy, trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy đa số học sinh thường có xu hướng bỏ
qua các bài tập liên quan đến GTLN, GTNN của môđun số phức trong các đề thi.
Tuy nhiên, bằng cách chuyển bài toán cực trị số phức sang bài toán cực trị hình học
thì rất nhiều bài được giải quyết khá đơn giản, hiệu quả và có thể vận dụng cho
nhiều bài tập khác.
Có nhiều tài liệu tham khảo có đề cập đến bài toán cực trị số phức song chỉ
đưa ra phương pháp đại số để giải quyết hoặc có đề cập đến phương pháp hình học
nhưng rời rạc, không hệ thống. Do đó, học sinh vẫn lúng túng khi vận dụng, không
biết cách chuyển bài toán cực trị số phức sang bài toán cực trị hình học và khi nào
thì chuyển được.
Để những học sinh không thuộc đối tượng học sinh khá, giỏi vẫn có thể giải
quyết được các bài toán này, tôi lựa chọn nghiên cứu và triển khai thực hiện đề tài:
“Rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp
hình học”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Đưa ra cho học sinh một phương pháp đơn giản và hiệu quả hơn để giải
quyết bài toán cực trị số phức mà đa số học sinh có thể tiếp thu và vận dụng được.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Bài toán cực trị số phức và các cách giải quyết bài toán.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết và phương
pháp khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Để làm được bài toán cực trị số phức, ngoài kiến thức về số phức, học sinh cần
được trang bị thêm một số kiến thức sau về mô đun số phức và cực trị hình học:
1


* Mô đun của số phức:

2


Bài toán 4: Cho hai điểm A, B cố định. Gọi O là
trung điểm AB. Một điểm M thay đổi trên elip (E)
cố định có tiêu điểm là A và B. Giả sử (E) có độ
dài trục lớn là 2a, độ dài trục nhỏ là 2b. Khi đó, độ
dài đoạn OM lớn nhất bằng a và nhỏ nhất bằng b
Bài toán 5: Cho đường thẳng d cố định và 2 điểm
A, B cố định không nằm trên d. Một điểm M thay
đổi trên d. Khi đó:
+ Nếu A, B thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ
là đường thẳng d thì (MA + MB)min = AB khi M =
AB ∩ d.
+ Nếu A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là
đường thẳng d thì (MA + MB)min = A’B khi M =
A’B ∩ d với A’là điểm đối xứng với A qua đường
thẳng d [1]

Bài toán 6: Cho đường tròn (C) và đường thẳng d
cố định. Một điểm M thay đổi trên (C) và một
điểm N thay đổi trên d.
Khi đó MNmin = R − d ( I ; d )
Dấu “=” xảy ra khi M ≡ H, N ≡ K [2]
Bài toán 7: Cho hai đường tròn (C1) và (C2) cố
định. Một điểm M chạy trên đường tròn (C1 ) và điểm N chạy trên đường tròn (C2 ) .
Ta có:
+ Nếu (C1) và (C2) cắt nhau thì MNmin = 0, MNmax = R1 + R2 + I1I2
+ Nếu (C1) và (C2) ngoài nhau thì MNmin = I1I2 – R1 + R2 , MNmax = R1 + R2 + I1I2
+ Nếu (C1) và (C2) đựng nhau thì MNmin = R1 − R2 , MNmax = R1 + R2 + I1I2 [2]

Thực chất của bước 1 và bước 2 là diễn đạt lại yêu cầu bài toán theo ngôn
ngữ hình học. Hai bước này quyết định sự thành công của bài toán. GV cần phân
tích cho học sinh hiểu được rằng: Có thể giả thiết của số phức z và yêu cầu tìm cực
trị số phức là khác nhau song nếu biểu diễn hình học của nó là một thì cách giải các
bài toán này là như nhau.
Cụ thể, tôi chia bài tập cực trị số phức thành các dạng cơ bản sau:
Dạng 1. Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng. Tìm số phức z
có z − z ' lớn nhất, nhỏ nhất.
Ví dụ 1. Cho số phức z thỏa mãn: z + i + 1 = z − 2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z .
Hướng dẫn
Gọi điểm M(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z = x + yi (x,y ∈ R ) thì z = OM
4


Ta có: z + i + 1 = z − 2i ⇔ x + 1 + ( y + 1)i = x + ( y − 2)i
⇔ ( x + 1) + ( y + 1) = x 2 + ( y − 2 ) ⇔ x + 3 y − 1 = 0 ⇒
M thuộc đường thẳng (d): x + 3 y − 1 = 0
⇒ z nhỏ nhất ⇔ OM nhỏ nhất
2

2

2

1
1
⇒ z min = OM min =
10
10


⇔ ( x + 2 ) + ( y − 2 ) = x 2 + ( y − 4 ) ⇔ x + y − 2 = 0 (1)
2

2

2

Ta lại có: iz + 1 = − y + 1 + xi = ( y − 1) 2 + x 2 (2)
Đặt N(y; x), I(1; 0) thì từ (1) và (2) ⇒ IN = iz + 1 và N thuộc đường thẳng
(d): x + y − 2 = 0
⇒ iz + 1 nhỏ nhất ⇔ IN nhỏ nhất ⇔ IN = d ( I ; d ) = 2
2
2
Vậy iz + 1 min = IN min =
2
5


(

)

Ví dụ 4. Cho số phức z thỏa mãn u = ( z + 3 − i ) z + 1 + 3i là một số thực. Tìm giá
trị nhỏ nhất của z
Hướng dẫn
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của z = x+ yi (x,y ∈ R ) thì z = OM
2
2
Ta có: u =  ( x + 3) + ( y − 1) i   ( x + 1) − ( y − 3) i  = x + y + 4 x − 4 y + 6 + 2 ( x − y + 4 ) i
⇒ u ∈ R ⇔ x − y + 4 = 0 ⇒ M thuộc đường thẳng d: x – y + 4 = 0

⇒ MA + MB = AB ⇒ M thuộc đoạn thẳng AB.
uuur uuu
r
·
Ta có: AO. AB = −3 ⇒ OAB
tù nên OA ≤ OM ≤ OB
⇒ M = Max z = OB = 13 , m = Min z = OA = 2 ⇒ M + m = 13 + 2
6


Ví dụ 7. Cho số phức z thỏa mãn z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2 . Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của z − 1 + i .
Hướng dẫn
Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z = x + yi.
Gọi A(-2; 1), B(4; 7), I(1; -1) ⇒ z − 1 + i = MI
Ta có:
z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2 ⇔ MA + MB = AB
⇒ M thuộc đoạn thẳng AB.
uur uuu
r
uur uuu
r
·
·
Ta lại có: AI . AB = 6; BI .BA = 66 ⇒ IAB
và IBA
nhọn
⇒ Max z − 1 + i = Max{IA, IB} = 73
Min z − 1 + i = d ( I ; AB )
Phương trình đường thẳng AB: x – y + 3 = 0 ⇒ Min z − 1 + i = d ( I ; AB ) =



⇒ z +1+ i
z +1+ i

min

= AN min = AI − R = 5 − 1 = 4

m ax

= AN m ax = AI + R = 5 + 1 = 6

Ví dụ 10. Cho số phức z thỏa mãn

z +2−i
= 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn
z +1− i

nhất của z
Hướng dẫn
Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z = x + yi thì z = OM .
z + 2−i
= 2 ⇔ x + 2 + ( y − 1) i = 2 x + 1 − ( y + 1) i
Ta có:
z +1− i
2
2
2
2

3
+
4
i
+
8
2 z − 3 + 4i + 8 3
3

2
2
⇔ ( x − 3) + ( y + 4 ) = 52 ⇒ Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn (C)
tâm I(3; - 4) bán kính R = 5
⇒ Min z = OM min = OI − R = 5 − 5 = 0
⇒ Min z = 0 và Max z = 10
Max z = OM max = OI + R = 5 + 5 = 10
2
Ví dụ 12. Cho số phức z thỏa mãn: z − 6 z + 25 = 2 z − 3 + 4i . Tìm giá trị nhỏ

nhất và giá trị lớn nhất của z − 3 + 5i
Hướng dẫn
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của z = x+ yi (x,y ∈ R )
Gọi A(3; -5) ⇒ z − 3 + 5i = AM
2
Ta có: z − 6 z + 25 = 2 z − 3 + 4i

8


 z − 3 + 4i = 0


⇔ ( x − y 2 + 1) + ( − x 2 − y − 2)i = 3 ⇔ ( x − y 2 + 1) 2 + (− x 2 − y − 2) 2 = 3
⇔ x 2 + y 2 + 2 x = 0 ⇒ N thuộc đường tròn (C) tâm I ( −1;0 ) , R = 1
⇒ z − 3 − 2i
z − 3 − 2i

min

= AN min = AI − R = 2 5 − 1

m ax

= AN m ax = AI + R = 2 5 + 1

Dạng 4: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một elip. Tìm số phức z có z − z '
lớn nhất, nhỏ nhất.
Ví dụ 14. Cho số phức z thỏa mãn z + 4 + z − 4 = 10 . Giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của z lần lượt là
A. 10 và 4
B. 5 và 4
C.4 và 3
D. 5 và 3 [8]
Hướng dẫn
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z. Đặt A(-4; 0), B(41; 0).
Khi đó z + 4 + z − 4 = 10 ⇔ MA + MB = 10 và
z = OM .
Do MA + MB = 10 ⇒ M thuộc elip (E) có tiêu
9



⇔ − y + 1 + ( x + 1)i + − y − 1 + ( x − 1)i = 4 ⇔ y − 1 + ( x + 1)i + y + 1 + ( x − 1)i = 4 (1)
Gọi M(y; x), A(1; -1), B(-1; 1) ⇒ (1) ⇔ MA + MB = 4
⇒ M thuộc elip (E) có tiêu điểm là A, B, độ dài trục lớn
2a = 4, tiêu cự 2c = AB = 2 2 , có tâm O(0; 0) là trung
điểm AB.
Ta có: b2 = a2 – c2 = 2 ⇒ b = 2 ⇒ độ dài trục nhỏ 2b = 2 2
Ta lại có OM = y 2 + x 2 = z
⇒ Max z = MaxOM = a = 2 , Min z = MinOM = b = 2
Ví dụ 16. Cho số phức z thỏa mãn z + 4 − 3i + z − 8 − 5i = 2 38 . Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của z − 2 − 4i .
Hướng dẫn
Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z. Đặt A(-4; 3), B(8; 5) ⇒ I(2; 4) là
trung điểm của AB.
Khi đó z + 4 − 3i + z − 8 − 5i = 2 38 ⇔ MA + MB = 2 38 và z = IM .
Do MA + MB = 2 38 ⇒ M thuộc elip (E) có tiêu điểm là A, B và độ dài trục lớn
là 2a = 2 38 , tâm là I(2; 4)
(E) có tiêu cự 2c = AB = 2 37 , có độ dài trục nhỏ 2b = 2 (trong đó
b2 = a 2 − c 2 = 1 )
Khi đó Max z = max IM = a = 38 , Min z = min OM = b = 1
Bài tập vận dụng.
10


Ví dụ 17. Cho số phức z thỏa mãn z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2 . Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của z − 1 + i .
Ví dụ 18. Cho số phức z thỏa mãn z + 4 + z − 4 = 10 . Giá trị nhỏ nhất của z là:
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

2
2
Ta có: z + 2 − 2i = z − 2i ⇔ ( x + 2 ) + ( y − 2 ) = x + ( y + 2 ) ⇔ x − 2 y + 1 = 0
⇒ M thuộc đường thẳng (d): x - 2y + 1 = 0
Gọi A(0; 2), B(1; - 2) thì
11


P = z − 2i + z − 1 − 2i = x − ( y − 2)i + x − 1 − ( y + 2)i = MA + MB

Bài toán trở về: Tìm điểm M ∈ (d): x - 2y +1 = 0
sao cho P = MA + MB nhỏ nhất
Ta thấy A, B thuộc hai nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d
⇒ P = MA + MB ≥ AB. Dấu “=” xảy ra khi M ≡ M’ = AB ∩ d
⇒ Pmin = AB = 17
Ta còn có thể mở rộng bài toán như sau:
Ví dụ 21. Cho số phức z thỏa mãn z + 2 − 2i = z − 2i . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức P = z − 2i − z − 1 − 2i .
Hướng dẫn
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của z = x+ yi (x,y ∈ R )
2
2
2
2
Ta có: z + 2 − 2i = z − 2i ⇔ ( x + 2 ) + ( y − 2 ) = x + ( y + 2 ) ⇔ x − 2 y + 1 = 0
⇒ M thuộc đường thẳng (d): x - 2y + 1 = 0
Gọi A(0; 2), B(1; - 2) thì P = z − 2i + z − 1 − 2i = x − ( y − 2)i + x − 1 − ( y + 2)i = MA + MB
Bài toán trở về: Tìm điểm M ∈ (d): x - 2y +1 = 0 sao cho P = MA − MB lớn nhất
Ta thấy A, B thuộc hai nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d.

 z1 + 5 = 5
⇔
Ta có 

8c + 6d = 35
 z2 + 1 − 3i = z2 − 3 − 6i

⇒ M thuộc đường tròn (C ) :( x + 5)2 + y 2 = 25 và N
thuộc đường thẳng d : 8 x + 6 y = 35 .
Ta thấy đường thẳng d không cắt (C ) và z1 − z2 = MN .
Bài toán trở thành: Cho M chạy trên đường tròn
(C ) :( x + 5) 2 + y 2 = 25 và N chạy trên đường thẳng
d : 8 x + 6 y = 35 . Tìm giá trị nhỏ nhất của MN.

Đường tròn (C) có tâm I(-5; 0), bán kính R = 5.
Gọi d’ là đường thẳng qua I, vuông góc với d, cắt đường tròn (C) lần lượt tại K, L.
Ta có: MN nhỏ nhất khi M ≡ K, N ≡ H. Khi đó: MNmin = d(I, d) – R = 7,5 – 5 =
2,5
Ví dụ 23. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + i = 5, z2 − 5 = z2 − 7 . Tìm giá trị
nhỏ nhất của z1 − z2 .
Hướng dẫn
Giả sử M (a; b) là điểm biểu diễn của số phức z1 = a + bi , N (c; d ) là điểm biểu diễn
của số phức z2 = c + di
 z1 + i = 5
a 2 + (b + 1) 2 = 25
⇔
Ta có 
z
−
5

⇔
Ta có 
2
2
(a + 6) + (b − 1) = 4
 z2 + 6 − i = 2

⇒ M thuộc đường tròn (C1 ) :( x + 3)2 + ( y − 4) 2 = 1
và N thuộc (C2 ) :( x + 6) 2 + ( y − 1)2 = 25
và z1 − z2 = MN
Bài toán trở thành: Cho M chạy trên đường tròn (C1 ) :( x + 3) 2 + ( y − 4) 2 = 1 và N
chạy trên đường tròn (C2 ) :( x + 6) 2 + ( y − 1) 2 = 25 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
nhất của MN.
Đường tròn (C1 ) :( x + 3)2 + ( y − 4) 2 = 1 có tâm I1(-3; 4), bán kính R1 = 1.
Đường tròn (C2 ) :( x + 6) 2 + ( y − 1) 2 = 25 có tâm I2(-6; 1), bán kính R2 = 5
14


Do R2 – R1 < I1I2 < R2 + R1 nên hai đường tròn cắt nhau tại A, B.
Khi đó: MNmin = 0 ⇔ M ≡ N ≡ A hoặc M ≡ N ≡ B
MNmax = R2 + R1 + I1I2 = 6 + 3 2 ⇔ M ≡ C, N ≡ D
⇒ Min z1 − z2 = 0, Max z1 − z2 = 6 + 3 2

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Sau khi áp dụng đề tài này vào giảng dạy tại trường THPT Lưu Đình Chất,
bước đầu đã thu được một số kết quả khả quan. Học sinh có sự tiến bộ rõ rệt, thể
hiện qua chất lượng các kì thi khảo sát. Đa số học sinh trung bình khá trở lên đã có
thể giải quyết được các bài toán cực trị số phức. Các em đã bắt đầu yêu thích, hào
hứng chinh phục các bài toán khó về cực trị số phức, không còn tâm lí bỏ qua khi

viên khi dạy ôn chuyên đề số phức.
3.2. Kiến nghị.
Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên trong phạm vi bài viết, tôi cũng chỉ mới
giải quyết một số dạng toán. Vẫn còn một số dạng cực trị số phức mà tôi chưa thể
chuyển qua bài toán cực trị hình học được. Mong các bạn đồng nghiệp đóng góp ý
kiến để có cách khác thác tốt hơn cho các bài toán thuộc thể loại này.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 18 tháng 5 năm
2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác

16


Vũ Thị Thanh Huyền

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Bài tập toán 7 tập 2 – Tôn Thân – Vũ Hữu Bình - Nhà xuất bản giáo dục.
[2] Bài tập toán 9 tập 1 – Tôn Thân – Vũ Hữu Bình - Nhà xuất bản giáo dục.
[3] Đề thi thử lần 2 chuyên đại học Vinh năm 2017
[4] Đề thi thử THPT Kim Liên – Hà Nội năm 2017
[5] Đề thi thử THPT Hưng Nhân – Thái Bình năm 2017
[6] Giải tích 12 nâng cao – Nhà xuất bản giáo dục.
[7] Toán 7 tập 2 – Nhà xuất bản giáo dục.
[8] Đề thi thử số 5 – Toán học và tuổi trẻ


18