A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LỜI MỞ ĐẦU
Một trong các nhiệm vụ cơ bản của chương trình hình học cải cách giáo
dục phổ thông là “Bồi dưỡng kỹ năng vận dụng phương pháp véctơ vào việc
nghiên cứu một số hình hình học, một số quan hệ hình học ...Việc sử dụng
vectơ để giải bài toán hình học”.Chính vì vậy việc giáo viên hướng dẫn học
sinh sử dụng phương pháp vectơ để giải bài toán là cần thiết và phù hợp với xu
thế cải cách giáo dục hiện nay.
Mặt khác khi đứng trước một bài toán hình học không gian thì học sinh mới
chỉ dùng phương pháp hình học tổng hợp (lớp 11) và phương pháp toạ độ (lớp
12) để giải mà chưa nghĩ đến việc dùng phương pháp véctơ để giải chúng.
Vì lí do trên tôi chọn đề tài :
“HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ”.
II. THỰC TRANG CỦA VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU
1. Thực trạng
Trong chương trình cải cách giáo dục, việc trình bày phương pháp vectơ có
liên quan mật thiết đến phương pháp toạ độ. Khái niệm trục toạ độ, hệ trục toạ
độ học sinh đã được làm quen trong chương trình toán cấp 2.Trong chương
trình hình học THPT, Ban khoa học tự nhiên: ở lớp 10 học sinh làm quen với
phương pháp véctơ, sau đó dùng véctơ để xây dựng hệ toạ độ trên mặt phẳng.
Sang lớp 11 học sinh được làm quen với véctơ trong không gian, sử dụng vectơ
để nghiên cứu quan hệ vuông góc trong không gian. Ở lớp 12 vectơ được sử
dụng để nghiên cứu một số quan hệ hình học và xây dựng hệ trục toạ độ trong
không gian.Nhưng chưa đi sâu vào việc trình bày lời giải các bài toán hình học
không gian bằng phương pháp véc tơ.Một số định lí đóng vai trò “bản lề ”trong
việc chuyển từ khái niệm vectơ sang khái niệm toạ độ: Định lí về hai véctơ
cùng phương; Định lí về phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng
phương trong mặt phẳng; Định lí về phân tích một vectơ theo ba vectơ không
đồng phẳng trong không gian.
2. Hiệu quả

theo hệ véc tơ cho trước và ghi nhớ một số bài toán cơ bản...
2.Quy trình chung để giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp
véctơ
Bước 1.Lựa chọn một số véctơ mà ta gọi là “ hệ véctơ cơ sở’’; “phiên dịch”
các giả thiết, kết luận của bài toán hình học không gian đã cho ra “ngôn
ngữ” véctơ .
Bước 2. Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành các
phép biến đổi các hệ thức véctơ theo hệ vectơ cơ sở.
Bước 3. Chuyển các kết luận vectơ sang các tình chất hình học không gian
tương ứng.
3.Một số dạng toán sử dụng phương pháp
3.1.Dạng 1. Phần quan hệ song song
Bài toánuuu
1.
Hai
đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi và
r
uuur
chỉ khi AB = kCD .
r r
Bài toán 2. Cho hai a, b không cùng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không
uuur
r
r
thuộc (P) . Khi đó :AB//(P) ⇔ AB = xa + yb .
Bài toán 3. Cho hai mặt phẳng phân biệt ( ABC) và (MNP).
Khi đó: (ABC) / / ( MNP )

uuu
r


1

Theo bài ra:
+M là trọng tâm của tam giác AA1B1:
uuuu
r 1 uuur uuur
AM = ( AA1 + AB1 )
3

A1

C1

M

(1)

+N là trọng tâm của tam giác A1B1C1:
uuur 1 uuur uuur uuuu
r
AN = ( AA1 + AB1 + AC1 ) (2)
3

F
B

+E là trọng tâm của tam giác ABC:
uuur 1 uuur uuur
AE = ( AB + AC )

Từ (3), (4): EF = AF − AE = a + c
(6)
3
uuuu
r uuur
Từ (5), (6): MN = EF (7)

(

Từ (1), (2): MN = AN − AM =

)

(

)

Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian
Từ (7) : MN // EF.
Ví dụ 2
Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1.Giả sử M, N lần lượt là trung điểm các cạnh
AA1, B1C1. Chứng minh: MN // (DA1C1).
Lời giải:
Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở

{

B1

uuur r uuur r uuuur r


C1

D1

A1

)
M

(2)
uuuu
r
uuuur
uuuu
r
+ MN / / ( DA1C1 ) ⇔ MN = xDC1 + yDA1
(3)
Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ

C

B

uuuu
r uuur uuuur 1 r r r
Từ (1), (2): MN = DN − DM = − a + 2c + b
2
1 r r r r
= c−a+c+b

AA1, CC1 và G là trọng tâm của tam giác A1B1C1.
Chứng minh: (MGC1) // (AB1N).
Lời giải:
Bước
1:
Chọn
hệ
véc
tơ
cơ
sở

{

B1

uuur r uuur r uuur r
AA1 = a, AB = b, AC = c

}

G

uuuu
r 1 uuur
+ M là trung điểm AA1: AM = AA1
2
uuur 1 uuur uuuu
r
+ N là trung điểm CC1: AN = AC + AC1


B

A
C

.
Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ
Ta có:

uuuu
r uuur uuuu
r 1 r 1r 1r
MG = AG − AM = a + b + c
(5)
2
3
3
uuuu
r
uuur
uuuu
r
r
r
1 r
MG = x AG − y AM = ( x + y )a + xb + yc
(6)
2
r r r

(10)
Từ (8) và (9): MC1 = AN

(

)

4

C1

A1

(8)
(9)

(7)


Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian
uuuu
r 1 uuur 1 uuur
uuuur 3 uuur 3
Từ (10) : MC1 = AN ⇒ MC1 / / mp ( AB1 N )
Từ (11) và (12) : mp ( MGC1 ) / / mp( AB1 N )

Từ (7) : MG = AB1 + AN ⇒ MG//mp(AB1 N )

(11)
(12)

pháp giải:
uuuur ur
Đặt AM = m , gọi N là hình chiếu của M lên l.
uuuu
r uuur uuuu
r

r ur

uuuu
r

r

(

r ur r

)

Khi đó: MN = AN − AM = xa − m và MN ⊥ a ⇔ xa − m a = 0
uuuu
r

Khoảng cách cần tìm : MN =

r ur

( xa − m )


r r
r
r
ur
.Nếu xa + yb ≠ 0 thì góc giữa AM và (ABC) bằng góc giữa m và xa + yb , còn
r
r r
xa + yb = 0 thì AM ⊥ (ABC).

Khi cho biết x,y ta tìm được khoảng cách từ M đến (ABC) bằng

(

)

Bài
toán 8. Cho đường thẳng chéo nhau, d1 đi qua A1uvà
có véc tơ chỉ phương
ur
u
r
a1 ; đường thẳng d2 đi qua A2 và có véc tơ chỉ phương a2 .

5


Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng trên.
Phương pháp giải:
ur uu
r

Lời giải:
Chọn hệ véc tơ cơ sở

5a
.Hãy tính đường cao của lăng trụ.
4
A1

uuuur ur uuu
r r uuur ur
AA1 = m, AB = n, AC = p .
ur
Giả sử h = m

{

}

C1
O1

B1

Ta có:

uuuu
r 1 uuuur uuur uuuu
r 1 ur r ur
AO1 = AA1 + AB1 + AC1 = 3m + n + p
3

6
2 ( 3h 2 + a 2 )
uuuu
r
5a
Vì: AO1 .cosϕ =
4
2
2
9h + 3a (6h 2 + a 2 ) 5a
a 6
=
⇒h=
nên
2
2
6(3h + a )
6
3

A

C

O

B

Ví dụ 5
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA=4.Điểm D nằm trên cạnh SC,

D

N là hình chiếu vuông góc của điểm A trên
đường
thẳng BD. uuur uuur
uuur uuur uuur
r
r
r

C

A
N

AN = DN − DA = xDB − DA = − a + xb) + (1 − x )c
Do AN ⊥ DB

B

uuur uuur
r
r
r r r
⇒ AN .DB = 0 ⇔ −a + xb + (1 − x)c (b − c) = 0

(

)


2
uuur 2 r r 2 9
AB = b − a =
2
uuur 2
AB 3 uuu
r 3 174
Vậy: VS . ABC = 1
.
. SO =
3
4
16

(

)

(

(

)

)

Ví dụ 6
Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC cạnh bằng 4 2 , cạnh bên SC
vuông góc với đáy và có độ dài bằng 2. M,N lần lượt là trung điểm BC,
AB.Hãy tìm số đo của góc và khoảng cách giữa SM và CN.

A
Q

Khi đó:

N

uuur uuur
SM .CN
2
cosϕ = uuur uuur =
⇒ ϕ = 450
2
SM . CN

B

+Tính khoảng cách giữa SM và CN?

7

M


Gọi P thuộc SM và Q thuộc CN. Khi đó:

uuur
uuur
uuur uuu
r 1 r

uuur 1 r r r
uuur 1 r r r
⇒ PQ = a − b − 2c ⇒ PQ =
a − b − 2c
6
6

(

)

(

)

2

=

2 3
3

Ví dụ 7
Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC với cạnh bằng 1, cạnh SA
vuông góc vuông góc với đáy, SA = 3 . Mặt phẳng ( α ) song song với các
đường thẳng SB và AC, mặt phẳng ( β ) song song với các đường thẳng SC và
AB. Tính giá trị của góc giữa hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) .
Lời giải:
Chon hệ véc tơ cơ sở
uuu

r
r r
Đặt m = xa + yb + zc

r r r
r r
uur ur
ur
 SB.m = 0
 b − c xa + yb + zc = 0
⇔ r r
Ta có: m ⊥ ( α ) ⇔  uuur ur
r r
 AC.m = 0
c ( xa + yb + zc ) = 0
 y = −23
6 x − 2 y − z = 0

⇔

1
 y + 2z = 0
 x = − 2 z
ur
Số phương trình bé hơn số ẩn, điều đó chứng tỏ m ⊥ ( α ) không được xác định

(

)(


m.n 5

Bài tập vân dụng.
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, CA=BD=b, AD=BC=c. Tính cosin
của góc giữa các cạnh đối diện.
Bài 2. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A1B1C1 có BC=a, AC=b, Ab=c,
AA1=h. Tính cosin của góc:
1.Giữa AB1 và BC1.
2.Giữa AB và B1C.
Bài 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.
Bài 4. Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng 1. BD là đường cao của tam giác ABC
Tam giác đều BDE nằm trong mặt phẳng tạo với cạnh AC góc ϕ , biết rằng các
điểm S và E nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABC). Tính SE.
3.3.Dạng 3. Phần quan hệ vuông góc
Bài toánuuu
9.
Hai đường thẳng phân biệt AB và CD vuông góc với nhau khi và
r uuur
chỉ khi AB.CD = 0 .
r r
Bài toán 10. Cho hai a, b không cùng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không
uuur r
 AB.a = 0
thuộc (P) . Khi đó :AB ⊥ (P) ⇔  uuur r
.
 AB.b = 0

Ví dụ 8
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. M và N là các điểm thuộc các đường

Theo bài ra :
uuuu
r 1 uuur 1
BM 1
= ⇒ BM = BA1 =
3
3
MA1 2
uuur 2 uuur 2
CN 2
= ⇒ CN = CB1 =
3
3
NB1 1

(
(

r r
a+b
r r
b−c

C1

D1

A1

B1


)

(

Do đó:

uuuu
r uuur 1 r r r
MN .BA1 = −a + b + c
3
uuuu
r uuur 1 r r r
MN .CB1 = − a + b + c
3

)

r r
a + b = 0 ⇒ MN ⊥ BA1

(

)(

)

(

) ( b − c ) = 0 ⇒ MN ⊥ CB

B1

A1

· A B = ·AA B = ϕ
Theo giả thiết : ·AA1 D1 = D
1 1 1
1 1
Gọi m là độ dài cạch hình hộp.
Ta có:

uuur r r r uuur uuur r r r r r
A1C = a + b + c ⇒ A1C . AB1 = (a + b + c ) b − a = 0
uuur uuur
⇒ A1C ⊥ AB1
(1)
uuur uuuu
r r r r r r
A1C. AD1 = (a + b + c ) c − a = 0
uuur uuuu
r
⇒ A1C ⊥ AD1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra A1C ⊥ ( AB1D1 ) .

(

(

C1




II. CÁC BIỆN PHÁP ĐỂ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
1.Hình thức luyện tập trên lớp có sự hướng dẫn của Thầy giáo
- Thực hiện trong phạm vi một số buổi chữa bài tập của các buổi học chính
khoá với các bài tập ở mức độ vừa phải. Thầy giáo đưa ra phương pháp giải, ví
dụ mẫu và hệ thống bài tập, học sinh nêu các lời giải có thể có được của bài
toán. Sau đó cho học sinh tìm tòi, phát hiện một số vấn đề xung quanh bài giải
ở mức độ đơn giản.
- Thực hiện một số buổi trong công tác bồi dưỡng đối với những học sinh khá
hơn ở mức độ những bài toán cao hơn.
2.Hình thức tự nghiên cứu các bài toán có sự hướng dẫn của Thầy giáo
Hình thức này cũng cần thực hiện liên tục trong quá trình học tập của học sinh,
làm cho khả năng tư duy, tính sáng tạo của học sinh ngày càng được tăng lên.
C.KẾT LUẬN
I. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Sau khi tôi dạy một số tiết trên lớp và một số buổi bồi dưỡng thì tôi cho tiến
hành kiểm tra khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh trên các lớp tôi dạy thì
số lượng học sinh đạt yêu cầu sau mỗi năm tăng lên, khả năng tư duy, sáng tạo
của học sinh thay đổi theo chiều hướng tích cực.
II. KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT
Cần tăng cường hơn nữa hệ thống ví dụ giải bài toán hình học không gian
bằng phương pháp véc tơ và hệ thống bài tập trên sách giáo khoa, tài liệu tham
khảo để học sinh có thể tự nghiên cứu và vận dụng véc tơ trong quá trình giải
toán.
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2018
Người viết

Phạm Đình Thương