Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I/ Lời mở đầu.
Căn cứ vào chủ trương đường lối, chính sách pháp luật của Đảng
và nhà nước. Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kế hoạch
chuyên môn của trường THPT Hoàng Lệ Kha năm học 2012 –
2013.
Trong quá trình giảng dạy, tôi được nhà trường tin tưởng giao
cho dạy các lớp mũi nhọn, đối tượng học sinh chủ yếu là học sinh
khá, giỏi. Chính vì vậy ngoài việc giúp các em nắm chắc kiến thức
cơ bản tôi còn phải bồi dưỡng các em tham gia các kỳ thi học sinh
giỏi cấp tỉnh và đặc biệt tôi coi việc bồi dưỡng cho các em ôn thi đại
học là nhiệm vụ quan trọng số một.
Trong các nội dung thi Đại học – Cao đẳng phần hàm số đóng vai
trò quan trọng hàng đầu. Phần hàm số là phần rất nhiều vấn đề và
rất nhiều bài tập phong phú điển hình là các bài toán về đồ thị hàm
số, trong đề tài của mình tôi chọn vấn đề quan trọng của đồ thị hàm
số là một số bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số.
Từ lý do chọn đề tài, từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh
ôn thi đại học, cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy. Tôi
đã tổng hợp, khai thác thành chuyên đề: ‘‘Hướng dẫn học sinh giải
một số bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số’’.
Qua nội dung đề tài này tôi mong muốn cung cấp cho học sinh một
số phương pháp và các kỹ năng cơ bản để học sinh có thể giải quyết
các bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số, tránh tình
trạng khi các em gặp phải các bài toán khoảng cách liên quan đến
đồ thị hàm số thường làm phức tạp vấn đề hay không giải được. Hy
vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các
Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha

Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
2
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013
1. Kiến thức toán có liên quan
- Khoảng cách giữa hai điểm.
- Công thức khoảng cách từ một điểm đến đưòng thẳng.
- Kỹ năng tính nhanh cực trị của hàm đa thức bậc ba, hàm
phân thức bậc 2: bậc 1.
- Sử dụng bảng biến thiên của hàm số.
2. Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải
Ví dụ 1: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2
1
( ) 1
3
y f x x mx x m
= = − − + +
có
khoảng cách giữa các điểm cực đại cực tiểu là nhỏ nhất.
Phân tích bài toán: Bài toán giải theo ba bước
Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu.
Bước 2: Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị để đưa ra toạ độ
các điểm cực trị
Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị và sử dụng
hàm số hoặc các bất đẳng thức cơ bản đưa ra giá trị nhỏ nhất của
khoảng cách đó từ đó tìm ra m.
Bài giải:
Ta có:
2
'( ) 2 1f x x mx= − −



= −

.
Thực hiện phép chia
( )f x
cho
'( )f x
ta có:
Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
3
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013
2
1 2 2
( ) ( ). '( ) ( 1) ( 1).
3 3 3
f x x m f x m x m= − − + + +
Do
1
2
'( ) 0
'( ) 0
f x
f x
=


=


2 1 1 2
2 2 2
4
( ) ( ) ( ) ( 1)( )
9
4
[( ) 4 ][1 ( 1) ]
9
4 4
( 1)[1 ( 1) ] 4(1 )
9 9
2 13
3
AB x x y y x x m x x
x x x x m
m m
AB
= − + − = − + + −
= + − + +
= + + + ≥ +
⇒ ≥
Vậy m=0 thì giá trị nhỏ nhất giữa điểm cực đại và cực tiểu là:
2 13
3
.
Ví dụ 2: Cho hàm số
3 2 2 2
( ) 3 3( 1) 3 1y f x x x m x m= = − + + − − −
. Tìm m
để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu cách đều O.

(1 ; 2 2 ); (1 ; 2 2 ).A m m B m m
− − − + − +
Khi đó:

2 3 2 2 3 2
3
(1 ) ( 2 2 ) (1 ) ( 2 2 )
16 4 0
0
.
1
2
OA OB m m m m
m m
m
m
= ⇔ − + − − = + + − +
⇔ − =
=


⇔

= ±

Đối chiếu điều kiện
1
2
m
= ±

.
0
'( ) 0
2
x
f x
x
=

= ⇔

=


⇒
hàm số có hai điểm cực trị là A(0;-m), B(2;4-m).
Khoảng cách hai điểm cực trị là:
2 2
(2 0) [(4 ) ( )] 2 5.d m m
= − + − − − =
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 4: Cho hàm số
2
2 2
( ) .
1
x mx
y f x
x
+ +

. Đặt:
2
( ) 2 2 2; ' 3 2 .g x x x m m= + + − ∆ = −
Hàm số có cực đại và cực tiểu
⇔
'( ) 0f x
=
có hai nghiệm phân biệt
( ) 0g x
⇔ =
có hai nghiệm phân biệt khác -1
' 0 3 2 0
3
(*)
( 1) 0 3 2 0
2
m
m
g m
∆ > − >
 
⇔ ⇔ ⇔ <
 
− ≠ − ≠
 
.
Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị ta có:
1 1 2 2
( ;2 2 ), ( ;2 2 ).A x x m B x x m+ +
Với

( ;( )) .
2 2
x x m x m
d B d
+ + + + +
= =
Khi đó:
1 2
3 2 2 3 2 2
( ;( )) ( ;( ))
2 2
x m x m
d A d d B d
+ + + +
= ⇔ =
1 2
3 2 2 3 2 2x m x m⇔ + + = + +
2 2
1 2
1 2 1 2
1 2
(3 2 2) (3 2 2)
(3 3 )(3 3 4 4) 0
1
3 3 4 4 0 .
2
x m x m
x x x x m
x x m m
⇔ + + = + +

Bước 3: Tính khoảng cách và áp dụng viét ta có m.
Bài giải:
Ta có:
2
2
2
'( )
(1 )
x x m
f x
x
− + +
=
−
.
Đặt:
2
( ) 2 ; ' 1g x x x m m
= − + + ∆ = +
.
Hàm số có cực đại, cực tiểu
( ) 0g x
⇔ =
có hai nghiệm phân biệt khác
1

' 0 1 0
1(*).
(1) 0 1 0
m

Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
7
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013

2 2 2
2 1 2 1
2 2
2 1 1 2 1 2
10 100 ( ) 4( ) 100
( ) 20 ( ) 4 20
4 4 20 0.
AB AB x x x x
x x x x x x
m m
= ⇔ = ⇔ − + − =
⇔ − = ⇔ + − =
⇔ + = ⇔ =
Đối chiếu (*) m=4 thoả mãn.
Ví dụ 6: Cho hàm số
3 5
( )
2
x
y f x
x
−
= =
−
có đồ thị (H). Tìm trên (H)
điểm M để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (H) là nhỏ

− −
Dấu bằng xẩy ra khi:
2
1
1
2 ( 2) 1
3
2
m
m m
m
m
=

− = ⇔ − = ⇔

=
−

Từ đó ta có M(1;2) và M(3;4).
Ví dụ 7: Cho hàm số
2
3 3
( )
2
x x
y f x
x
+ +
= =

) thuộc (C). Tổng khoảng cách từ M đên hai tiệm
cận là :
0 0
0 0
0
1
1
( ) 2 2
2 2 2
x y
d M x x
x
− +
= + + = + +
+
Theo bất đẳng thức côsi ta có:
4
0
0
1
( ) 2 2 8
2 2
d M x
x
≥ + =
+
Tức là giá trị nhỏ nhất của d(M) là
4
8



Vậy toạ độ M(
4
4 4
1 1
2 ; 1 2
2 2
− + − + +
) hay M(
4
4 4
1 1
2 ; 1 2
2 2
− − − − −
).
Ví dụ 8: Cho hàm số
2
5 15
( )
3
x x
y f x
x
+ +
= =
+
có đồ thị (C). Tìm M
thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến trục hoành bằng hai lần
khoảng cách từ M đến trục tung.

1
5 15
3
a a
d
a
+ +
=
+
.
Khoảng cách từ M đến trục tung là:
2
d a
=
.
Ta có:
2
1 2
5 15
2
3
a a
d d a
a
+ +
= ⇔ =
+
Xét hai trường hợp:
+ Trường hợp 1:
2

− + − −
− + − −
.
+ Trường hợp 2:
2
2
5 15
3 11 15 0
3
a a
a a a
a
+ +
= − ⇔ + + =
+
phương trình
này vô nghiệm.
Vậy toạ độ M là:
1 61 1 61
( ; 1 61);( ; 1 61)
2 2
− + − −
− + − −
.
Ví dụ 9: Cho hàm số
1
( )
1
x
y f x

d M a
a
−
= +
+
Để ý rằng với M(1;0) thì d(M)=1 do đó để tìm giá trị nhỏ nhất
d(M) ta chỉ cần xét khi:
1
1 1
0 1.
1
1 1
1
1
a
a
a
a
a a
a
 <
− < <


⇔ ⇔ < <
 
−
− < +
<


a
a
a
a

+ =

⇔ = −
+


< <

Vậy toạ độ M(
2 1;1 2
− −
).
Ví dụ 10: Cho hàm số
2
6
( )
3
x x
y f x
x
+ −
= =
−
có đồ thị là (C). Tìm
điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách M đến hai trục

;
3
x x
x
x
+ −
−
) hay M(
6
; 4
3
x x
x
+ +
−
).
Tổng khoảng cách từ M đến trục hoành và trục tung là:
6
( ) 4
3
d M x x
x
= + + +
−
.
Do M(2;0)thuộc (C) nên tìm giá trị nhỏ nhất d(M) ta chỉ cần xét với
2x
≤
, xét hai khả năng:
*) Nếu

−
2
3 3
6
'( ) 2 0
( 3)
3 3
x
p x
x
x

= −
= − = ⇔

−
= +


Lập bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ nhất d(M) trên [0;2] là
p(0)=p(2)=2.
Vậy toạ độ M(2;0) và M(0;2).
Ví dụ 11: Cho hàm số
4 9
( )
3
x
y f x
x
−

đẳng thức côsi ta có giá trị nhỏ nhất của AB từ đó ta có A, B.
Bài giải:
Gọi toạ độ của A(
3
3;4
α
α
+ +
); B(
3
3 ;4
β
β
− −
) với
,
α β
là hai số dương.
Ta có:
2 2 2 2 2
3 3
( ) ( ) ( ) ( )
B A B A
AB x x y y
α β
α β
= − + − = + + +
áp dụng côsi.

2


=


Vậy toạ độ A(
3 3;4 3
+ +
); B(
3 3;4 3
− −
).
Ví dụ 12: Cho hàm số
2
2 5
( )
1
x x
y f x
x
− + −
= =
−
có đồ thị là (C). Tìm
trên mỗi nhánh của đồ thị (C) hai điểm A, B sao cho khoảng cách
giữa chúng là nhỏ nhất.
Phân tích bài toán:
Bước 1: Nhận thấy đồ thị hàm số gồm hai nhánh ứng với
hoành độ lớn hơn 1 và hoành độ nhỏ hơn 1, ta gọi toạ độ của A(
4
1;

1 ;
β β
β
− − −
) với
,
α β
là hai số
dương.
Ta có:

2 2 2 2 2
2 2
4 4
( ) ( ) ( ) [( ) ( )]
4
( ) [1 (1 ) ]
B A B A
AB x x y y
α β α β
α β
α β
αβ
= − + − = + + + + +
= + + +

Áp dụng côsi ta có:
2 2
2 2
8 16 8 8

− +
).
Ví dụ 13: Cho hàm số
2
4 5
( )
2
x x
y f x
x
+ +
= =
+
có đồ thị (C). Tìm M
thuộc (C) để khoảng cách từ M đến đường thẳng
∆
:
3 6 0x y
+ + =
nhỏ
nhất.
Phân tích bài toán:
Bước 1: Gọi toạ độ của M thuộc (C).
Bước 2: Tính khoảng cách từ M đến
∆
:
3 6 0x y
+ + =
, sau xử lý
khéo giá trị tuyệt đối để áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số.

1 1
3 ( 2 ) 6 4 8
2 2
( ; )
10
3 1
1
4( 2)
1 1 1 1 2 10
2
(2 2 ) .2 2 2 .
2 2 5
10 10 10
m m m
m m
d M
m
m
m m
m m
+ + + + + +
+ +
∆ = =
+
+ +
+
= = + + ≥ + =
+ +
Khoảng cách từ M đến
∆

5 5 3 5
( ; );( ; ).
2 2 2 2
− − −

Ví dụ 14: Cho hàm số
2
3 cos 4 sin 7
( )
1
x x
y f x
x
α α
+ +
= =
−
có đồ thị
(C). Tìm
α
để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến tiệm cận xiên đạt
giá trị lớn nhất.
Phân tích bài toán:
Bước 1: Ta tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Bước 2: Tính khoảng cách từ O đến tiệm cận xiên, sử dụng bất
đẳng thức Buanhiacopski để đư ra giá trị lớn nhất, từ đó tìm được
α
.
Bài giải:
Ta có:

d O
α α
α α
α α α
+
+
∆ = =
+ +
Áp dụng bất đẳng thức Buanhiacopski ta có:
2 2 2
2 2
9
(4 )(sin 10cos )
13 10
10
( ; )
10
sin 10cos
d O
α α
α α
+ +
∆ ≤ =
+
Khoảng cách lớn nhất từ O(0;0) đến tiệm cân xiên
∆
là
13 10
10
Khi

= =
−
(C). Tìm trên (C) những điểm có hoành độ lớn hơn 1
mà khoảng cách từ điểm đó đến
∆
là nhỏ nhất.
Phân tích bài toán:
Bước 1: Tìm phương trình tiếp tuyến
∆
.
Bước 2: Dùng phương pháp tiếp tuyến để tìm khoảng cách
nhỏ nhất trên miền
(1; )
+∞
.
Bài giải:
Ta có:
2
3
'
(1 )
y
x
=
−
.
Phương trình tiếp tuyến
∆
là:
3 1y x


= ⇔ = ⇔ ⇒ =

=
−

Vậy toạ độ điểm cần tìm là N(2;-5).
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho hàm số
3 2
( ) 2 12 13y f x x mx x= = + − −
. Tìm để đồ thị hàm số
có điểm cực đại và cực tiểu cách đều trục Oy.
Bài 2: Cho hàm số
2 1
( )
3
x
y f x
x
+
= =
−
có đồ thị (C). Tìm toạ độ M trên
(C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ
nhất.
Bài 3: Cho hàm số
4 7
( )
2 1

có đồ thị (C). Tìm trên mỗi nhánh
của (C) các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó là nhỏ
nhất.
Bài 6: Cho hàm số
2
( )
2
x
y f x
x
+
= =
−
có đồ thị (C). Tìm M trên (C) cách
đều hai trục toạ độ.
Bài 7: Cho hàm số
1
( )
2
x
y f x
x
+
= =
−
có đồ thị (C). Tìm M trên (C) để
tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất.
Bài 8: Cho hàm số
2
( )

1
x x
y f x
x
− +
= =
−
có đồ thị (C). Tìm M thuộc (C)
sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là
nhỏ nhất.
Bài 11: Cho hàm số
2
2 2
( )
1
x x
y f x
x
+ −
= =
−
có đồ thị (C). Tìm M thuộc
(C) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm
cận là nhỏ nhất.
Bài 12: Cho hàm số
2
5
( )
2
x x

có đồ thị (C). Tìm trên mỗi nhánh
của (C) các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa chúng đạt giá trị
nhỏ nhất.
Bài 15: Cho hàm số
2
1
( )
1
x x
y f x
x
− +
= =
−
có đồ thị (C). Tìm trên mỗi
nhánh của (C)
Các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó là nhỏ nhất.
Bài 16: Cho hàm số
2
3 7 1
( )
2 1
x x
y f x
x
− + −
= =
+
có đồ thị (C). Tìm trên mỗi
nhánh của đồ thị (C) các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa chung

(C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ
nhất.
Bài 19: Cho hàm số
2
3 5
( )
2 2
x x
y f x
x
− +
= =
−
có đồ thị (C). Tìm M trên (C)
để tổng khoảng cách từ M đến trục hoành và trục tung là lớn nhất.
Bài 20: Cho hàm số
2
2 sin 3 cos 6
( )
1
x x
y f x
x
α α
− +
= =
−
có đồ thị (C). Tìm
α


Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
19
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013
Hằng năm, những sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực
tiễn, thiết thực phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục
và đào tạo, nhất là các sáng kiến đổi mới phương pháp giảng dạy
cần được tập hợp trong một kỷ yếu khoa học của Sở GD& ĐT và
tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh và phụ huynh được tham khảo.
MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ Trang
1.
I. Lời mở đầu Trang
1.
II. Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trang
1.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Trang
2.
I. Các giải pháp thực hiện Trang
2.
II. Biện pháp tổ chức thực hiện Trang
2.
1. Kiến thức chuẩn
bị Trang 2.
2. Một số bài toán thường gặp và phương pháp
giải Trang 2.
C. KẾT QUẢ Trang
17.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
20