SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về
phân thức đại số lớp 8"
- 1 -
Chương 1: GIỚI THIỆU
1.1.Lý do chọn đề tài:
Đại số là một môn đặc biệt của toán học. Nếu đi sâu vào nghiên cứu về môn đại số
hẳn mỗi chúng ta sẽ được chứng kiến “Cái không gian ba chiều” lí thú của nó mà không
bao giờ vơi cạn. Các bài toán về phân thức đại số 8 là một trong những nội dung quan
trọng trong chương trình toán của trường THCS.Đặc biệt là bài toán rút gọn biểu thức đại
số. Việc biến đổi được những biểu thức đại số không đơn giản chỉ là biến đổi thông
thường mà nó đòi hỏi những hiểu biết lôgic và cách giải toán có yếu tố sáng tạo; nó có ý
nghĩa trong việc rèn luyện óc phân tích và biểu thị toán học những mối liên quan của các
đại lượng trong thực tiễn.Đi kèm với rút gọn biểu thức đại số còn có một số dạng toán về
phân thức đại số như:tìm điều kiện của biến để phân thức xác định,tìm giá trị của phân
thức tại một giá trị của biến hoặc ngược lại,chứng minh phân thức tối giản,…. Trong
phân môn đại số - chương trình toán các lớp 8 THCS số tiết về dạy học các dạng toán này
đã chiếm một vị trí quan trọng, làm nền tảng để phát triển khả năng toán.
Về cả hai phía giáo viên và học sinh đều có khó khăn khi dạy và học kiểu các dạng
toán này. Đây là một vấn đề quan trọng và bức thiết. Lâu nay chúng ta đang tìm kiếm
một phương pháp dạy học sinh giải các bài toán rút gọn làm sao đạt hiệu quả. Các tài
liệu, các sách tham khảo, sách hướng dẫn cho giáo viên cũng chưa có sách nào đề cập
đến phương pháp dạy kiểu bài này. Có chăng chỉ là gợi ý chung và sơ lược. Đặc biệt rất
nhiều học sinh thường xem nhẹ việc rút gọn biểu thức đại số và vô tình đã quên đi các
ứng dụng quan trọng và là chìa khóa, nền tảng để giải quyết các vấn đề toán học trong
trường THCS.
- 2 -
Một số em chưa biết cách giải loại toán này, mà ta gọi là phương pháp. Đi theo kết
quả của bài toán rút gọn biểu thức có các dạng toán: Tìm giá trị của biến x để biểu thức
nhận giá trị nguyên,tính giá trị của phân thức tại giá trị của biến,chứng minh phân thức

-Chuyên đề này chúng tôi đã phân loại một số dạng toán cho từng đối tượng học
sinh(Khá,Trung bình,yếu) chỉ ra các phương pháp giải.
-Chuyên đề này dễ áp dụng cho giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học ở trường
THCS
- 4 -
1.4.Cấu trúc của chuyên đề:
Chương 1:Giới thiệu đề tài
Chương 2:Cơ sở lý luận và mô hình nghiên cứu
Chương 3:Phương Pháp nghiên cứu
Chương 4:Kết quả đạt được
Chương 5:Kết luận
Chương 2: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ MÔ HÌNH NGHIÊN CỨU
2.1.Cơ sở lý luận:
2.1.1.Cơ sở lý luận:
Dạy toán là dạy cho học sinh biết phương pháp học toán và giải các bài toán từ đó
biết vận dụng toán vào trong thực tiễn.Trong quá trình dạy học toán người giáo viên
ngoài việc dạy cho học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản thì dạy cho các em biết vận
dụng lí thuyết vào giải các bài tập toán là công việc thường xuyên phải làm.Số lượng bài
tập nhiều cho nên việc phân loại các dạng toán cùng phương pháp giải là việc làm cần
thiết,giúp các em biết vận dụng những kiến thức đã học một cách linh hoạt đồng thời có
thể tích lũy cho các em nhiều kinh nghiệm trong quá trình giải toán.
Thông qua việc giải bài tập giúp các em rèn luyện tư duy,kĩ năng trình bày từ đó
nâng cao khả năng sáng tạo và óc phán đoán của các em.
2.1.2.Kiến thức cơ bản để giải một số dạng toán về phân thức:
Các em cần nắm vững:
- 5 -
+Các phép tính về đa thức và phân thức
+Các hằng đẳng thức đáng nhớ
+Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
+Điều kiện để phân thức có nghĩa

rút gọn phân
thức
Số h/s giải
được bài tập
chứng minh
phân thức tối
giản
Số h/s giải
được bài tập
tìm giá trị
nguyên của
biến để phân
thức nguyên
Cuối Kì 1: 2011-
2012
38
Cuối Kì 1: 2012-
2013
34
Như vậy tỉ lệ học sinh học trung bình và khá môn toán còn thấp, đặc biệt là giải bài
toán rút gọn của các em còn yếu, do đó việc đưa ra các dạng toán và phương pháp giải
cho từng dạng toán đó là vô cùng quan trọng và cấp thiết trong quá trình giảng dạy ở
trường THCS Vũ Di.
2.2.3.Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về phân thức đại số lớp 8:
2.2.3.1.Dạng toán tìm điều kiện của biến để phân thức xác định:
-Với phân thức mà mẫu chỉ là đa thức dạng (ax+b) các em chỉ cần cho mẫu thức khác
0,rồi tìm ra kết quả.
- 8 -
Ví dụ 1:Tìm điều kiện của x để phân thức sau có nghĩa:
a)

5
−≠
x
-Với những phân thức mà mẫu lại là một phân thức khác thì cần chú ý tới tử của phân
thức mẫu,ví dụ:
Ví dụ 2:Tìm điều kiện của x để phân thức xác định:
a)
1
12
4
−
−
−
x
x
x
b)
1
13
2
5
+
+
−
−
x
x
Giải :
a)Điều kiện:









−
≠
≠
⇒≠
+
−
⇒≠
+
++−
⇒≠+
+
−
3
1
4
1
0
13
14
0
13
132
01

xx
xx
c)
4
15
2
−
+
x
x
Giải :
a)Phân tích mẫu thành nhân tử ta có:
( )
( )
4228
23
++−=− xxxx
,với chú ý:
( )
03142
2
2
>++=++ xxx
nên suy ra điều kiện để
phân thức có nghĩa là:
202
≠⇒≠−
xx
b)Ta có:
( )

xy
+−
22
2
*Một số bài tập vận dụng cho dạng toán này:
Tìm điều kiện của x để phân thức sau xác định:
a)
52
41
+
−
x
x
b)
22
4
1
+
−
x
x
c)
254
2
2
3
−
+
x
xx

x
2.2.3.2.Dạng toán rút gọn phân thức:
- 10 -
*Phương pháp chung:
-Phân tích cả tử thức và mẫu thức thành nhân tử
-Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Đây là dạng toán cơ bản của phân thức đại số 8,với những bài tập mà tử thức và
mẫu thức có sẵn các nhân tử chung (hoặc chỉ cần đổi dấu phân thức thì có nhân tử
chung)thì ta vận dụng tính chất cơ bản của phân thức là chia cả tử và mẫu cho nhân tử
chung đó,ví dụ:
Ví dụ 1:Rút gọn phân thức sau:
a)
( )
( )
2
2
5
3221
3214
yxyx
yxxy
−
−
b)
( )
( )
xx
xxy
3112
138

bước của bài toán rút gọn,ví dụ:
Ví dụ 2:Rút gọn phân thức sau:
a)
( )
2
2
32
4520
+
−
x
x
b)
( ) ( )( )
xxx
xx
48333
12580
3
−−−−
−
c)
xx
xxx
3
33
2
23
−
+−−

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )
5438433348333 −−=−−+−=−−−− xxxxxxxx
- 11 -
Từ đó kết quả là:
( )
3
545
−
+
x
xx
c)
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
13133333
22223
−−=−−=−−−=+−− xxxxxxxxxx
)3(3
2
−=− xxxx
Từ đó ta có kết quả:
x
x 1
2
−
d)
( )( )
43127

xyzzyx
−+−+−
−++
c)
( ) ( ) ( )
222
2
3
34343
67
−+−+−
−−
xxxxx
xx
HD:
a)đưa các lũy thừa về cơ số là số nguyên tố,sau đó phân tích thành nhân tử,cụ thể như
sau:
( )
9103.23.23.2.58.3.49.4.5
182920291830920915
−=−=−
( )
14153.23.2.73.2.527.2.76.2.5
182818291928629199
−=−=−
Từ đó rút gọn ta được kết quả: A = 2
- 12 -
b)phân tích tử thành nhân tử và mẫu biến đổi ta có:
( )
( )

Vậy ta có kết quả:
( )( )
23
1
+−
+
xx
x
Vẫn là bài toán rút gọn nhưng tồn tại dưới một cái tên khác là “Chứng minh đẳng thức”
thì thông thường hướng dẫn học sinh biến đổi vế phức tạp hơn,sau khi rút gọn thì bằng vế
kia.Chẳng hạn các ví dụ sau:
Ví dụ 4:Chứng minh đẳng thức:
a)
yx
yxy
yxyx
yxyyx
−
+
=
−+
++
2
2
2
2
22
322
b)
yx

22
22
c)
( )
1
32
2
2
2
−
−+
x
xx

- 13 -
d)
342
1573
23
23
+−−
−+−
xxx
xxx
e)
( ) ( ) ( )
2322
222
bcbacab
bacacbcba

=
−+−+−
−+−−+
2222
2222
22
22
c)
( )
223
1
23
331
2323
x
y
xxx
xxyy
−
−
=
+−−
+−−
2.2.3.4.Dạng toán chứng minh phân thức tối giản:
Học sinh đều nắm được phân thức tối giản là phân thức mà tử và mẫu thức chỉ có
nhân tử chung là 1 và -1 nhưng việc chứng minh phân thức tối giản thì các em lại chưa
nắm được phương pháp làm nên còn lúng túng trong việc tìm ra lời giải.
Để chứng minh một thức tối giản ta gọi ước chung lớn nhất của tử và mẫu thức là
d,ta chứng minh d = 1 hoặc d = -1.Để chứng minh được điều này ta vạn dụng các kiến
thức về chia hết như:tính chất chia hết của một tổng,quan hệ giữa bội và ước…Ví dụ:

3 , 4n d n d− − +M M
hay:
3 4n n d− + − + M
=>
dM1
.Do đó d = 1 hoặc -1.Vậy phân thức đã cho tối giản với mọi n.
b)Gọi ƯCLN của
2
1586 nn ++
và
2
302113 nn ++
là d(
1≥d
),ta có:
dnndnn MM
22
302113,1586 ++++
hay:
( )
[ ]
dnnn M1515862
2
++++
suy ra :
dn M15 +
(1)
Mặt khác:
( )( )
ddnnnn MM 5515131586

+
n
và
12
2
−n
là d.Ta có:
dn M12 +
(1) và
dn M12
2
−
.Ta có:
( )
dnndndnnnn MMM 1)12(22111212
2
++=+⇒+⇒−−+=−
Nên
dM1
. Do đó d = 1 hoặc d = -1.Vậy phân thức đã cho tối giản.
Qua các ví dụ trên cho thấy khi chứng minh phân thức tối giản thì ta nhân hệ số
thích hợp để trừ(cộng) tử và mẫu thức cho nhau,sau đó tiếp tục có thể sử dụng hằng đẳng
thức hoặc phân tích đa thức thành nhân tử đối với tử thức hoặc mẫu thức hoặc đối với tử
thức và mẫu thức sau khi đã nhân thêm hệ số thích hợp để xuất hiện những biểu thức chia
hết cho d.
- 15 -
Ví dụ 2:Chứng minh phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n:
a)
230
112

( ) ( )
dnnnnnn M1213
2324
+=+−++
(1)
mà :
( )
dndnnnnn MM ⇒++=+ 12
23
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
dM1
.Vậy phân thức tối giản.
*Một số bài tập vận dụng cho dạng toán:
Chứng minh các phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n:
a)
25
13
+
+
n
n
b)
178
153
2
2
++
++
nn

Giải:a)
3−x
là ước nguyên của 2
Nếu
123
=⇒−=−
xx
Nếu
523 =⇒=− xx
Nếu
413
=⇒=−
xx
Nếu
213 =⇒−=− xx
Phần b),c) làm tương tự
Trong trường hợp tử và mẫu thức đều chứa biến thì ta thực hiên phép chia tử cho mẫu
thức tách lấy phân thương và dư,rồi viết phân thức dưới dạng khác,ta lập luận tương tự
như trên đối với phần dư chia cho mẫu thức,ví dụ:
Ví dụ 2:Tìm giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị nguyên:
a)
3
53
34
−
+−
x
xx
b)
12

cũng nguyên,nên để phân thức có giá trị nguyên thì
3
5
−x
là số
nguyên.Đến đây ta làm tương tự như ví dụ 1
b)Ngoài việc thực hiện phép chia như câu a) ta cũng có thể viết tử thức liên tiếp có chứa
mẫu thức dưới dạng sau:
Ta có:
( ) ( )
71212822
223
++++=+++ xxxxxx
Từ đó ta suy ra:
12
7
1
12
822
2
23
+
++=
+
+++
x
x
x
xxx
Lập luận tương tự như trên ta tìm được kết quả:

16
234
4
+−+−
−
xxxx
x
- 18 -
2.2.3.6.Dạng toán tính giá trị của phân thức tại một giá trị của biến:
Nhiều học sinh khi gặp dạng toán này thường hấp tấp thay ngay giá trị của biến vào
phân thức rồi thực hiện phép tính mà quên mất rằng có thể rút gọn phân thức rồi mới thực
hiện thay và tính toán thì phép tính sẽ nhanh hơn rất nhiều,ví dụ:
Ví dụ 1:Tính giá trị của biểu thức:
a)
169
3
2
2
+−
−
xx
xx
tại x = -8 b)
22
23
23
2
−−+
++
xxx

25
8
18.3
8
=
−
−
=
−−
−
b)
( )( )
( )( )( )
1
1
112
21
22
23
23
2
−
=
+−+
++
=
−−+
++
xxxx
xx

+
+
−
+−
1
2
1
2
1
3
4
2
tại x = 101
Giải:
- 19 -
a)Ta có:
( ) ( )
( )
( )( )
( )( )
1
1
11
11
1
1
21
21
2
2

++
−−
Có các bài toán cũng tìm giá trị của biểu thức nhưng không cho giá trị cụ thể của
các biến mà cho các điều kiện dàng buộc của các biến thì lúc đó ta phải linh hoạt biến đổi
phân thức đã cho dưới dạng có chứa biểu thức điều kiện hoặc biến đổi điều kiện trước rồi
thực hiện phép tính,ví dụ bài toán sau:
Ví dụ 3:Cho
2
7
;
3
7
≠
−
≠ ba
và
72
=−
ba
.Tính giá trị của biểu thức:
72
23
73
5
−
−
−
+
−
=

+
+−
=
−
−
−
+
−
=
b
b
a
a
b
bab
a
aba
b
ab
a
ba
P
Ví dụ 4:Cho
63 =− xy
,tính giá trị của biểu thức:
6
32
2 −
−
+

−
=
x
x
y
y
x
xx
y
y
A
Ví dụ 5:Tính giá trị của
yx
yx
A
+
−
=
biết
)0;0(2
22
≠+≠=− yxyxyyx
Giải:
Ta có:
( )
( ) ( )
02.0)(02
22222
=−+⇒=+−−⇒=−− yxyxxyyyxxyyx
- 20 -

++
+
xx
xx
tại x = -3 b)
23
2255
24
224
++
−−+
xx
yyxxx
tại x = 2 và y =-2
Bài 2:a)Tính giá trị của phân thức
yx
yx
A
23
23
+
−
=
biết rằng:
xyyx 2049
22
=+
và
032 << xy
b)Biết

3
5
3
2
Bài 3:Cho x,y,z khác 0 và
x
y
y
x
C
x
z
z
x
B
y
z
z
y
A +=+=+= ;;
.Tính giá trị của biểu thức:
ABCCBA −++
222
2.2.3.7.Dạng toán tìm giá trị của biến để phân thức nhận một giá trị nào đó:
- 21 -
Đây là dạng toán ngược của dạng toán trên,có hai trường hợp là phân thức nhận giá
trị 0 và phân thức nhận giá trị khác 0.Với trường hợp phân thức có giá bằng 0 thì lập luận
tử thức bằng 0 và mẫu thức khác 0,ví dụ:
Ví dụ 1:Với giá trị nào của x thì phân thức sau có giá trị bằng 0:
a)

≠
−=
⇒



≠−
=+
⇒



≠−
=+
1
1
014
013
044
033
x
x
x
x
x
x
.Vậy giá trị của phân thức bằng 0 khi x=
-1
b)
0

021
1
022
01
2223
xx
x
xx
x
xxx
x
Vậy giá trị của phân thức bằng 0 khi x = 1
Có những trường hợp khi cho tử thức bằng 0 lại trùng với điều kiện của biến để
phân thức có nghĩa,khi đó ta kết luận không có giá trị nào của biến để phân thức nhận giá
trị bằng 0,chẳng hạn:
Ví dụ 2:Tìm giá trị của x để phân thức
1
22
2
−
+
x
x
nhận giá trị bằng 0.
Giải:
0
1
22
2
=

+−
+
x
x
bằng
4
3
- 22 -
b)Tìm x để giá trị của phân thức
933
33
23
23
+++
−−+
xxx
xxx
bằng -1
Giải:
a)Ta có:
( ) ( )
11
3
153128
53324
4
3
5
32
=

+6 > 0
Ta có một số bài tập tương tự:
Bài 1:Tìm giá trị của x để các phân thức sau bằng 0:
a)
82
63
−
+
x
x
b)
273
253
2
2
+−
−+
xx
xx
c)
65
6116
2
23
++
+++
xx
xxx
Bài 2:a)Tìm giá trị của x để phân thức
x

44
2
+
++
x
xx
a)Với điều kiện nào của x thì giá trị phân thức được xác định?
b)Rút gọn phân thức
c)Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 1?
d)Có giá trị nào để phân thức bằng 0 hay không?
Giải:
a)
2
−≠
x
b)Rút gọn phân thức ta được:
2+x
c)
1
−=
x
d)Không có giá trị nào của x thỏa mãn để phân thức có giá trị bằng 0
Ta có bài tập tương tự:
Ví dụ 2:Cho phân thức :
8
1263
3
2
−
++

−
xx
xx
a)Tìm điều kiện của x để phân thức xác định?
b)Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng
3
1
c)Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 1
d)Tìm giá trị nguyên của x để phân thức có giá trị nguyên?
e)Tìm giá trị của x để phân thức luôn dương?
Giải:
Măc dù đề bài không yêu cầu rút gọn nhưng để làm các phần trên học sinh vẫn rút
gọn rồi vận dụng các dạng toán trên các em tìm ra kết quả.
Những bài toán rút gọn tồn tại dưới một cái tên khác là chứng minh đẳng thức như
sau:
Ví dụ 4:Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
( )
22
1
4
1
2
11
1
:
1
1
1
1

x
x
x
b)
yx
yx
yxyx
yx
yx
x
yx
+=
−






++
+








−